CC BY
35
2016. Т. 21, вып. 2. Математика
УДК 517.988.6, 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-369-372
ОБ АНТИТОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ НАКРЫВАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
УПОРЯДОЧЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
© Т. В. Жуковская, Е. С. Жуковский
Рассматриваются вопросы существования решения х уравнения ф(х,х) = y, где y известно, отображение •) действует в упорядоченных пространствах и является по первому аргументу упорядоченно накрывающим, а по второму — антитонным. Используемое в статье понятие упорядоченного накрывания предложено в совместных работах А.В. Арутюнова, Е.С. Жуковского, С.Е. Жуковского в связи с исследованием точек совпадения отображений.
Ключевые слова: упорядоченно накрывающие отображения; антитонное отображение; операторные уравнения и неравенства.
Введение
В работах [1]—[3] предложено понятие упорядоченно накрывающего отображения и получены теоремы о точках совпадения упорядоченно накрывающего и монотонного отображений в упорядоченных пространствах. Если в качестве упорядоченно накрывающего отображения выбрать тождественное отображение, то результаты [1]-[3] совпадают с классическими принципами неподвижной точки (включая теоремы Кнастера-Тарского ([4], с. 25), Биркгофа-Тарского ([5], с. 266), Тарского-Канторовича ([4], с. 26)).
Здесь предлагается распространение понятия упорядоченного накрывания, доказываются утверждения об отображении, упорядоченно накрывающем по первому аргументу и антитонном по второму. Полученные результаты могут использоваться для исследования разрешимости уравнений и получения оценок их решений.
1. Упорядоченные пространства
Пусть заданы упорядоченные пространства X = (X, ■<), Y = (Y,, ■<). Для u,v € X, V С X будем обозначать
OX(u) = {х € X : х < и}, [u,v]X = {х € X : v ^ х и}, Lowx(V) = {х € X : х ^ v Vv € V}.
Определение 1 [1]. Отображение f : X ^ Y называем упорядоченно накрывающим множество W С Y, если для любого и € X выполнено включение
Oy(f (и)) П W С f (Ox(и)).
Отображение, упорядоченно накрывающее все пространство Y, называем упорядоченно накрывающим.
Заметим, что f : X ^ Y тогда и только тогда является упорядоченно накрывающим множество W, когда
V и € X V y € W y < f (и) ^ Эх € X f (х) = y & х ^ и.
Для целей данной работы оказывается удобной следующая модификация свойства упорядоченного накрывания.
Определение 2. Множеством упорядоченного накрывания отображения : X ^ У называем совокупность всех пар (и, у) € X х У, удовлетворяющих условию: либо у ^ f (и); либо у ^ f (и) и тогда существует такой х € X, что выполнены соотношения f (х) = у, х ^ и. Будем обозначать это множество В(/).
Множество В(/) упорядоченного накрывания любого отображения f : X ^ У не пусто (например, ему принадлежит пара (и, (и)) для всех и € X ). Отметим также, что упорядоченное накрывание множества Ш отображением f равносильно вложению ) Э X х Ш, а свойство упорядоченного накрывания — равенству ) = X х У.
Рассмотрим простейшие примеры нахождения множеств упорядоченного накрывания для вещественных функций.
Напомним, что отображение f : X ^ У называют антитонным на Ш С X, если для любых х,и € Ш из х У и следует f (х) ^ f (и). Антитонное на всем X отображение называют антитонным.
2. Теорема о возмущениях упорядоченно накрывающих отображений
Пусть определено отображение ф : X2 ^ У, которое по первому аргументу обладает некоторыми накрывающими свойствами. Следующее утверждение гарантирует сохранение этих свойств отображением f : X ^ У, f (х) = ф(х, х) , если ф по второму аргументу является антитонным на некотором множестве.
Теорема 1. Пусть у € У, существует такой элемент и0 € X, что (и0) У у, и выполнены условия:
(a) при любом х € Ох(и0) справедливо включение (х,у) € В(ф(-,х)), где В(ф(-,х)) есть множество упорядоченного накрывания отображения ф(-,х): X ^ У;
(b) при любом х € Ох(и0) отображение ф(х, ■): X ^ У является антитонным на множестве [х,ио\х;
(c) любая цепь й С Ох(и0) такая, что
ограничена снизу, т. е. Ьс^й*) = 0, и существует нижняя граница ш € Low(S), удовлетворяющая неравенству (ш) У у.
Тогда для любого х € Ох(и0) выполнено (х,у) € ). Доказательство. Покажем, что уравнение
Это множество не пусто, ио € По. Определим на По бинарное отношение < , полагая для у,и € По выполненным V < и, если V = и, или если V -< и и ф(ь, и) ^ у. Покажем, что это отношение определяет порядок на По. Достаточно проверить транзитивность. Пусть V < и, и < х, Если V = и, или и = х, то соотношение V < х очевидно. Пусть V = и и и = х, тогда
V x € S ф(х,х) У у, Vх1,х2 € S xi — х2 ^ ф(х1,х2) ^ у,
(1)
ф(х,х) = у
(2)
разрешимо, причем существует решение х € Ох(u0). Определим множество
Uo = {х € Ох(uo) : f (х) У у}.
2016. Т. 21, вып. 2. Математика
v — u — x и имеют место неравенства ф(v,u) ^ y, ф(u,x) ^ y. Согласно условию (b) выполнено ф(v, x) ^ ф(v, u) y. Таким образом, v < x.
Согласно теореме Хаусдорфа (см., например, [6], гл. 1) в (UQ, <) существует максимальная цепь S, которая содержит точку xq. В силу предположения (с) эта цепь имеет нижнюю границу w (относительно исходного порядка ^ ), и справедливо неравенство ф(w,w) У y.
Покажем, что построенная точка w является решением уравнения (2). Очевидно, w e Ox(uq). Из условия (a) следует существование элемента v e X, для которого выполнено
ф(v, w) = y, v ^ w. (3)
Из условия (b) получаем ф(и,и) У y. Для любого элемента x e S имеем x У v, следовательно, в силу предположения (b), ф(v,x) = y. Итак, v e UQ и множество S U {v} С UQ относительно отношения > является цепью, а в силу максимальности цепи S имеем v e S. Поэтому v У w. Это неравенство и соотношения (3) означают, что w = v, y.
Для произвольного x e Ox (uq) справедливо включение (x,y) e B(^(-,x)) и возможны две ситуации.
1. Если ф(x,x) ^ y, то (x,y) e B(f ).
2. В случае ф(x, x) У y, согласно доказанному выше (если принять uQ = x ), существует такой элемент u e X, что f (u) = y и x У u. Полученные соотношения означают принадлежность пары (x, y) множеству упорядоченного накрывания отображения f. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 . Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.
2. Арутюнов A.B., Жуковский E.G., Жуковский C.E. О точках совпадения отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 5. С. 475-47S.
3. Арутюнов A.B., Жуковский E.G., Жуковский С.Е. Точки совпадения многозначных отображений в частично упорядоченных пространствах // Доклады Академии наук. 2013. Т. 453. № 6. С. 595-59S.
4. Granas A., Dugundji D. Fixed Point Theory // Springer-Verlag, New York. 2003.
5. Люстерник Л.А., Соболев B.И. Краткий курс функциональ ного анализа. М.: Высшая школа, 19S2.
6 . Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 19S1.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97504), государственной программы Министерства образования и науки РФ № 2014/285 (проект № 2476).
Поступила в редакцию 21 марта 2016 г.
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: t_ [email protected]
Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики, е-mail: [email protected]
UDC 517.988.6, 517.922
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-2-369-372
ABOUT ANTITONE PERTURBATIONS OF COVERING MAPPINGS OF ORDERED SPACES
© T.V. Zhukovskaia, E. S. Zhukovskiy
We consider the problem of existence of a solution x to the equation = y, where
y is given, the mapping ■) acts in ordered spaces, is order-covering with respect to the first argument, and antitone with respect to the second one. The concept of order-covering used in the article was proposed in the joint works of A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy regarding the studies of the mappings' coincidence points. Key words: order-covering mappings; antitone mapping; operator equations and inequalities.
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 14-01-97504) and by the state program of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation № 2014/285 (project № 2476).
REFERENCES
1. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications. 2015. V. 179. № 1. P. 13-33.
2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. O tochkah sovpadeniya otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 5. S. 475-478.
3. Arutyunov A.V., Zhukovskiy E.S., Zhukovskiy S.E. Tochki sovpadeniya mnogoznachnyh otobrazhenij v chastichno uporyadochennyh prostranstvah // Doklady Akademii nauk. 2013. T. 453. № 6. S. 595-598.
4. Granas A., Dugundji D. Fixed Point Theory // Springer-Verlag, New York. 2003.
5. Lyusternik L.A., Sobolev V.I. Kratkij kurs funkcional' nogo analiza. M.: Vysshaya shkola, 1982.
6. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. EHlementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza. M.: Nauka, 1981.
Received 21 March 2016.
Zhukovskaia Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associated Professor of High Mathematics Department, e-mail: t_ [email protected]
Zhukovskiy Evgeny Semenovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics, е-mail: [email protected]
