CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов,
О.А.Джурахонов
О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
1. Обозначим через Нд Д < С[ < оо _ пространство Харди аналитических в единичном круге функций
к=0
с конечной нормой [ 1 ]
(1)
со.
м.
1/д
1 < д < оо.
Известно [2], что норма функций /(г) — Н„ реализуется на угловых граничных зна-
чениях. Через (| 2 |< 1, Г Е Ы) обозначим обычную производную г -го порядка ана-
литической функции /(Г ) по переменной г,(г) — (1г/1с1гг. Под Нгч,\<д<<х>, Г Е N понимаем класс аналитических в круге \ г \ < \ функций, у которых <q <оо. Структурные свойства функции ./(.г) Е характеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности т -го порядка, определяемой равенством
®„, / ;< :=®„ / ;* „ =8ир
(7 П
4 Ч
(г)
где
а„, У™;*,* =Х(-і)
к=О
(Ч> )/
(г) і(х+ки)
Г е
- разность т -го порядка производной / )(г) по аргументу г с шагом к.
В частности, используя специфику гильбертова пространства Н2, имеем:
Ч
т
к
щ”(У1 r>, t)2 := щ”(У(r>, t)я.
2” sup £\ ct \2 (1 -cos(k — r)u)m : \ u \< t,
L k = Г+ 1
где бкг-= к\{(к-г)\) \к>г.
Пусть
Ч=\ рЛ2)'- pAz) = 'Eftzl
к=О
(2)
- подпространство комплексных полиномов степени не более п. Наилучшее приближение функции /(г) е Нд множеством 'Рп , обозначим
Еп / д'.= Е /,Тп_х =М |/-Л-і|Я(/ :^»-і єТ>«-1
В частности, из разложения (1) и равенства Парсеваля следует, что
1/2
/ НІ
|2
2 | 1 ~к
к=п
(З)
и в силу неравенства Гельдера имеем
(4)
В данном сообщении экстремальная характеристика, введенная в [3], изучается для множеств аналитических функций Нг <^Н \<q <2. Всюду в дальнейшем предполагаем,
что для произвольной /(г)єНг1<д<2 модуль непрерывности 0, т.е.
/(г) (z) Ф const.
Для 0 < к <р!{п — г),г<п введем экстремальную характеристику
M
df
n,r,m,p,v
{И) = sup
2та Е (Л
nr n\J у с
п
\G)pm{f(r\t)2sm{n-r)tdt
у >р .
(5)
Теорема 1. Пусть г, п, т є А', г < п и \<q,p<2. Тогда для любых чисел /г, удовлетворяющих условию 0 < к <р/(п -г), г < п, имеет место равенство
о
Мп,г,т,РЛк) =
. (п — г)ї
віп ----------—
2
тр
виї
'{п - г)ісіі
/
-\/р
(6)
Существует функция /0(г) <еНгч,\ < с/ <2, для которой достигается верхняя грань в
(5), реализующая равенство (6).
Доказательство. Для доказательства воспользуемся упрощенным вариантом неравенства Минковского ([4], стр.32)
ІИлмґ
О \к>п
\р/2 У/Р ( Г к
йі
ч21р
I \\м)\рл
к>п\о ,
,0 < р < 2.
Используя равенство (2) с учетом неравенства (7) имеем:
п
\щрт (І(г); і )2 sinн (п-г )ійі
\і/р
(7)
Й I 00 f
-Ж\сґ
О I к=п ^
. к —г
------І
2
\ 2т
р! 2
N Ир
$тн{п-гуЖ
= 2 т
г
к=п
. к-г sm-----і
V 2
\ 2т
(эт(п-г )і)
2н/р
/
р/2
\1/р
>Т
I с, г I
.тр
sm
! (п — г)ісіі
йі
2!р\Ш
= 2п
к=п
п
біг]
. к-г
81П------Ї
2
тр
ътн(п-гуЖ
/
1/2
Теперь рассмотрим функцию натурального аргумента
(8)
п
У(к ) = бЦ
. к-г
біп------і
2
тр
біп н (п-г )ійі
в области ()= к :г<п< к < +<х> . Очевидно, что при v>0,0<t <к< п!{п - г) функция %тн(п -г)і > 0. С другой стороны, из очевидного неравенства
п
О
п
0
п
0
о
0
0
h j ”p n—r
г . к — r 7 n-r r
sin----------1 dt =---------------
J 2 Jr — r *
k—r,
---h
n-r Ґ \”P
n-r r( . n-r N
k — r
sin----------------1
. 2
dt>
>
n — r k — r
. n — r
sin-----------1
2
mp /
dt >
v
n-r p . n—r
~^r) jlsm_T~
\mp
dt
при p>\,k >n> г имеем
h
(k-ry\
. k-r
sin------1
2
mp h f \mp
dt>(n- r)p jj sin -—-t
Откуда сразу следует, что
б p
6kr
. k-r
sin------1
2
2
mp / \ mp
I . n-r '
>6L sin-------1
2
dt.
V
J
Умножая полученное неравенство на sinH(n-r)t,n> г и интегрируя от О до h, О <t<h< р!{п - г) для р>\,к >п> г и н> 0, имеем
h
бЦ
. k-r
sin------1
2
sinH(n-r)tdt>6prj\ sin
0 V
Из последнего неравенства вытекает, что
min y(k) :keQ = y(n) = apr jj sin
n — r
,”p
2
t
sm(n-r)tdt.
n-r
\mp
2
sinv(« - r)tdt.
Теперь с учетом неравенства (8) и равенств (9) и (3) получаем
]щ”(f(r);t)2 sinн(n-r)tdt
\ 1/p
(9)
>2m
Г h / \mp
. n-r sin------1
V о v 2
h
бЦ
.2/p
.1/2
sinн (n-r )tdt
/
■ Z \ ck \2
k=n
>T
6nr J sin— — I
.Up
. 1/2
V 0
2
sin” — r ^tdt
■Iki:
k=n
о
о
0
0
h
о
о
= 2т б_
г ( . п-г
-------г1
} 2
\1/р
$т(п-гуЖ
■Ш)2
Откуда в связи с неравенством (4) имеем
( к
ки)ч<-
ч1 !р
к / \тр
. п-г
БШ-------?
2
N Ир
,1 < д < 2,
$т{п - гул
о
/
из которого с учетом (5) следует оценка сверху
(10)
М (И) <
п,г,т,р,н\ / —
п
1
{п — гУ 2
\тр
вт н{п-гуЛ
-Ир
Для установления равенства (6) достаточно рассмотреть экстремальную функцию /0(2) = /еЯ;,1<д<2, воспользоваться определением (5) и легко проверяемыми соотношениями
Еп(/о) = 1, (см.[5] лемма 3)
Щт (. /0' ), I )2=2т б„.
. п-г
-----?
2
,0 < (п - гУ <р.
Этим теорема 1 полностью доказана.
Следствие 1. При выполнении всех условий теоремы 1 справедливо равенство
М_
' п,г,т,р,н
\п-г)
2Н
Г
тр + н +1 2
\(» + ^
у V 2 у
п-г
Г
тр
2
+ н +1
-1//?
где Г( лу) - гамма-фунщия Эйлера.
Доказательство. Полагая в равенстве (6) И =р/(п - г), получаем
М,
п,г ,т, р,н
г_р_'
уП-Г/
р!{п-г)/ \тр
г [ . п—г
| ш—г
Бт
' {п - гуЛ
А/р
о
т
2
н+1 р! 2
w-r
| (sin t)
mp*H cos tdt\
1 Ip Г ^ mp + w +1 ^ Г ( W + 1l
2Н 1 2 у 1 2 J
n-r
mp
2
h + 1
-1//?
Напомним необходимые понятия и определения для формулировки дальнейших результатов.
Пусть S= д^Н2 :||д||я <1 - единичный шар в Н2, Ш - выпуклое центрально-
симметричное подмножество из Н2; Ln с Н2 - и-мерное подпространство; L" а Н2 - подпространство коразмерности п\ А : Н2 —> Ln - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства Н2 в Ln, Лх : Н2 —»Ln - непрерывный оператор линейного проектирования И2 на подпространство Ln. Величины
Ъп(Ш; И2) = sup{sup{£ > 0; gS n Ln+l а Ш}: Ln+l а Н2}, dn(Ш;Н2) = inf{sup{inf{|| / - g ||: g e LJ: / e M}: Ln c= Я2}, ёп(М;Н2) = inf {inf {sup{|| / -Л/1|: / e M}: AH2 c= Ln]: Ln c= H2}, dn(m;H2) = inf{sup{|| /1|: / e SUlnZT}: Ln с://2}, пи (ЯП; н2) = inf {inf {sup{| I / - Л1/11: / e Ш1}: ALH2 с~Ln}:Ln^H2}
- называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным n -поперечниками.
В пространстве И2 между перечисленными и-поперечниками выполняются соотношения [6]
ъптн2) < dn(m-H2) < dnmn2) = sn(m-H2)=пптн2) (11)
3. Для произвольных m,n,r <eN,1< р<2, н>0 и 0 <(п — r)h <р, г <п определим класс функций
:= ^(п, г, т, р, у, И) = j/(z) е Hr2 : fa*(/(r); t)2 sinУ(п - r)tdt < l|.
Теорема 2. Справедливы равенства
Г2п(^М2) = У2Л^Н2) = E„(JT) = 2~т oCrMnrmpv (/г),
о
где
гп (•) - любой из перечисленных выше п-поперечников, величина Мп гтрн(^) определена в (6). Доказательство. Для любой /{г) е У7 из неравенства (10) имеем
Еп(^) = 8ир{Еп(Л: № е < 2~тссп1Мп г т р у(И). (12)
Из (11) и (12) следует оценка сверху
Уъп(3Г'’Нг)- /2,-1 ^ П2л.,(^;Я2) <
<£„(^)<Г"а,;1М„„:л,(/1). (13)
Для получения оценок снизу в подпространстве Рп рассмотрим (п +1) -мерную сферу комплексных полиномов
^И+1 := {Рп(2) е Рп\\Рп\\н2< Тт ашМп,г,т,р,уШ и покажем его принадлежность классу У7 . Для произвольного полинома Рп(2) е У „,, имеем
ЩМ'\02 * 2”б„
Б1П
(п - гУ 2
(14)
Возведя в степень р неравенство (14), затем умножая на эт н(п-гУ и интегрируя в пределах от 0 до Н , получим
ч1/р
< 2” б
I
V»
. (п-гУ
81П —------—
2
тр
\1/р
$т{п-гуЖ
\\ря№,
получаем, что сгй+1 с: ^2Г. Из полученного соотношения (11) и определения бернштейновского поперечника следует оценка снизу
Г2п(^Н2) >Ъ2п{^Н2) ^Ъ2п{стп+1М2) >2-тап1мпту{к). (15)
Из сопоставления неравенств (13) и (15) следует утверждение теоремы 2.
2. Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 и к =р/(п-г) справедливы равен-
ства
т
0
Ггп-1 (^; н2) = Ї2П (^; н2) = еп(^) =
= 2-(т+н/р) -б2-{п-г) 11р-<
Г
тр + н +1 2
у
г
+ Н + 1
-1//?
где 2И(') - любой из Ьп (•), £/и (•), ди (•), £/” (•), Пи (•) поперечников, Г(-) - гамма-функция Эйлера.
При утверждении теоремы 2 на число Н >0 мы наложили ограничение вида (п — г)к<р. Рассмотрим теперь случай, когда /ге[0,2р\ произвольное, и определим класс функций
^(Ф) := ^{т, п, г, />, у,Ь; Ф) =
ХІ !р
где Ф(/г) - непрерывная монотонно возрастающая функция, Ф(0) = 0.
Положим ((и-г)И-р)* ={0, если(п-г)И<р; 1, если{п-г)Ь>р). В этих обозначениях справедлива следующая
Теорема 3. Пусть Ф{И) е С[0,2/>],^(7) —
\0,р/(п — г)] достигается нижняя грань
Ф (И)
С \тР
1 . п-г х
-----/
2
н{п — г)ісіі и для некоторой
/
іпґ
0</?<2р
• Р
Ш1П(/2,-------)
I Х0 + ((и - Г)Ь -р)* } 5т(п-г)і<іі
р/(п-г)
1//?
= б-
(16)
Тогда при выполнении условия теоремы 2 справедливы равенства
у2п С^(Ф); Н2) = ^ (^(Ф); Н2 ) = 2~т- о£ • 0,
где ги(-) любой из поперечников &и0,с/и0,<Эи0,с/”0 и Пи(-).
Доказательство. В самом деле из неравенства (10) при q - 2 непосредственно следует, что для /г е [0,7г/(п — г)] имеет место неравенство
о
0
2 та
__________Ф(И)
к / \тр
г . п-г '
1 —'
х1/р
V»
2
У{П~Г)1(М
из которого в силу (16) получаем оценку сверху
для всех вышеперечисленных поперечников. Для получения оценки снизу положим
(17)
(18)
зп+1= {Рп(2) &^\\Рп\\- ^т°СО\
и покажем, что 8п+1 а ^(Ф). Если И<р/(п — г\ то, учитывая неравенство (14) и определе ние числа Q в соотношении (16), имеем
Н
| щт( рП г); * н (п~г уж
^Л!р
<2т б_
/ 8т — *
V0
п — г
Т
\тР
\1р
81П н (п-г уж
Рп 11^
Г ( . п — г ] 81П — Г
.тр
Л 1р
2
%т{п-гуЖ
0<Ф(/7).
Если же И >р!{п - г), то, учитывая тот факт, что для произвольного Рп (X) ^
справедливо равенство
ЩЛРп)'^)2=<
2т бпГ || Рп ||
/ \т ' . п-г '
81П---------
V 2
*
2т бПг || Рп ||,
из (16) и (18) с учетом (19) получим
( А
, (п-г )* < р
(п-г )* > р,
Ч 1 !р
(19)
\0
р/ (п—г )
\1р
I щт (Р^); *)2 81Пн (п~гУЖ + | щрт(рп); *)2 81Пн (п~гуж
р/ (п—г )
0
н
- 2т бпг\\рп\\
р/(п-г)/ \тр
Г . п-г
| I8Ш 2 і
п
8ЇИн (п-г )І<ІІ+ | 8ІИн (п-г )І<ІІ
Лір
р/ (п-г )
рі (п-г)/ \тр
- 1 . п-г ' --------------І
I
о
2
п
бш” (п — гул + | 8ІПН (п - гул
\1 /р
р/(п—г)
Q<Ф{h).
Таким образом, при произвольном И е [ОД/?] для всех Р„(2) е ^ условие
Ґ А
\1р
{ Щ^р('1)',і)2$т(п-гуж
<Ф{И)
выполняется и £и+1 є ^(ф) доказано. Отсюда, учитывая соотношения (11) и определения бернштейновского поперечника, получаем оценки снизу
у2я(^(Ф);4)>62я(^(Ф);Я2)>
^ъ2п{5п+1-н2) = гтбп1<2.
(20)
Из сопоставления неравенств (17) и (20) следует утверждение теоремы 3.
Анализируя условия теоремы 3 для функции вида Ф(И) = кв, в > 0, выясним значение в, для которых эти условия выполняются. Для этого необходимо, чтобы для всех к^\р/(п-г),2р\ было
<іП
Ґ
П п
рЦп-г)/ \тр
‘ . п — г
эш-----------і
V
I
о
2
/
п
8ІП н(п-гул+ | зіп\n-rydt
4-1 1р
р/(п—г)
>0.
Выполнив дифференцирование и проведя простые рассуждения, приходим к неравен-
ству
вр
р/(п-г)/ \тр
г . п — г
] 81П----------і
2
У
>П-рв
и-
р
\
п-г
\ о \ ' у
Правая часть этого неравенства максимальное значение получает при И =р1(п — г) и мы имеем
1
в > — Р
( рКп-г')ґ
п-г г ( • п-г -------------------------І
Р
I
о
2
\тр \
smн(n-rydt
і
/
Г 1 2H ^ mp + h +1N I 2 J Г Ґн+Г| I 2 J
P P r (nm ^ —- + H + 1 v 2 ,
-і
Отметим, что теорема 3 является обобщением утверждения теоремы 4 работы [7]. Институт математики АН Республики Таджикистан Поступило 02.10.2006 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гостехиздат, 1950, 350 с.
2. Кусис П. Теория пространств Hp. М.: Мир, 1984, 368 с.
3. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш.- ДАН РТ, 2006, т.49, N2, с.Ш - 117.
4. Hardy G.G., Littlewood G., Polya G. Inequality. 2nd ed. Cambridge University Press. 1952, 346 p.
5. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. Теория отображений и приближения функций. Киев: Наукова Думка, 1983, с.62-73.
6. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.:Изд.МГУ, 1976, 304 с.
7. Шабозов М.Ш., Умеди Гулходжа.- Докл. РАН, 2005, т.403, 5, с.610-613.
М.Ш.Шабозов, О.А.Чурахонов ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИН БА ВОСИТАИ ПОЛИНОМ^О ДАР ФАЗОИ ХАРДЙ
Дар мак;ола нобаробарихои хдник; оиди наздиккунии функсияхои аналитикй ба воситаи полиномхои комплексй дар фазои Хардй ёфта шуда, дар асоси ин нобаробарихо к;имати аник;и якчанд кутрхо барои синфи функсияхое, ки ба воситаи модулхои бефосилагии тартиби олй дода шудаанд, ёфта шудааст.
M.Sh.Shabozov, O.A.Jurakhonov ON THE BEST APPROXIMATION OF POLYNOMIAL IN THE HARDY SPACE
In this article are found exact inequalities in the best approximation by polynomials of analytical functions in Hardy space, in view of these inequalities are found a value of some dimeters for a class of functions, which characterized to the module continuites of the higher order.
