О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №3_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков*

О НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ

Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет

Найдены точные значения п-поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций в метрике пространства Харди, усредненный модуль непрерывности с весом граничных значений г-ых производных которых мажорируется заданной функцией. Для нахождений точных значений линейных и гельфандовских п-поперечников указывается наилучший линейный метод приближения.

Ключевые слова: п-поперечники - наилучшие линейные методы приближения - модуль непрерывности - мажоранта - пространство Харди.

1. В работе построены наилучшие линейные методы приближения некоторых классов аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Ис1, 1 < д < да, усреднённые

модули непрерывности граничных значений производных г\г), г е N которых мажорируются. Также вычислены точные значения различных п -поперечников исследуемого класса функций.

Пусть Л(11 ) - множество аналитических в круге II'.= <еС :\ г\< р\ (0 < р < 1, := II)

функций /{г). Говорят, что функция / е= Л{11принадлежит банаховому пространству Харди

И , 1 < д < да, если

ll/IL HI ft = lim

Hq р^-1-0

1 2n

^ J I f {ре*) |q dt

V 2ж 0

< да, 1 < q < да. (1)

Очевидно, что норма (1) реализуется только на тех функциях / е А(и), угловые граничные значения /(в11) := /(1) которых существуют почти для всех 1 е [0,2ж]. В случае д = да будем до-польнительно предполагать функцию /(г) непрерывной в и . Через /(г) (г) обозначим обычную

г -ю производную (Г/ /с1гг, г е N и положим := е Л(1/) : ||/(г)||я ^ 1| •

Обозначая через Т)п - множество комплексных алгебраических полиномов степени п и ра-

венством

Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/4, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

км), =1пя||/-^1|? -.Рп_х Е^},

определим наилучшие приближения функции / е Н ч элементами множества ~Рп , . Для / е Н ч определим модуль непрерывности

®(/, 0, := ¡¡ир{/(- + А) - /(■){ :\А\< г},

и структурные свойства функции / е Н,( ) охарактеризуем скоростью убывания к нулю модуля непрерывности граничных значений г -ых производных /(г)(г), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной с весом величины б)(/); г) .

Пусть Ф(х), х > 0 - произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что Ф(0) = 0. Используя Ф(х) в качестве мажоранты, введем в рассмотрение следующий класс аналитических функций

W¡r)(Ф,А) = | f е И?): 1J®(f(r);2t)

2 • Kt

1 + (ц - \)sin

2h

dt < Ф(h) ¡

где h e (0,2ж], r e N, 1 < < oo и ju> 1 - произвольное фиксированное число. Введём также обозначение

X • Ч | • K л П

(sinx\ := j sinx, если 0 < x <—; 1, если x > —

2. Пусть X - банахово пространство; S - единичный шар в нем; M - некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X; LB с X - n -мерное линейное подпространство;

Ln сX - подпространство коразмерности n; Л: X^LB - линейный непрерывный оператор. Величины

dn (M; X) = inf{sup{inf{|| f\ \е Ln}: f е M}: Ln с X}, dn(ШГ;X) = inf{sup{|f ||x : f е MíoLn}: Ln с X}, bn(ШГ;X) = sup{sup{^ > 0: sS oLn+1 с Ш}: Ln+1 с X}, Лп(M;X) = inf{inf{sup{| f -ЛГ\l: f е M}: ЛX с Ln}: Ln с X}

называют соответственно колмогоровским, гельфандовским, бернштейновским и линейным n -поперечниками. Перечисленные аппроксимативные характеристики монотонны по n и между ними имеют место неравенства (см., напр. [2] и [3])

dn (M' X ) Ъп(M;X) <d j<Л„(M;X).

dn (M; X)

(2)

Отметим, что если существует подпространство X*+1 ^ X, для которого

Ъп(ОТ; X) = 8ир{£ > 0: ^ п Сп+1 е ОТ},

то оно называется экстремальным для бернштейновского п -поперечника.

Подпространства Ьп,Е„,Ьп из пространства X, для которых соответственно достигается внешний инфимум в определении колмогоровского, гельфандовского и линейного п -поперечников, называются также эктремальными подпространствами для множества Ш .

Из результата работы [1] после некоторых простых вычислений можно получить следующее утверждение.

Теорема 1. Если при заданном ц > 1 и любых п, г е И, п> г, к е (0, л/2] мажоранта Ф (К) удовлетворяет условию

Ф( h)

>

Ф(л/ 2^(п - г)) 0 то при любых г е N справедливы равенства

sin(n - r )ht )

7Zt

1 + (ß2 -1)sin—

dt,

(3)

Ъп {ж;гГ(Ф;М);Hq) = dn №Г(Ф;И);Hq) =

-En-i(Wq( r)( Ф;Я) )

л

Aßa

-Ф

' л ^

n,r V

2ß(n - r)

(4)

где Ъп (•) - п -поперечник Бернштейна, йп (•) - п -поперечник Колмогорова,

М^ЧФ;^)^ := : / е Г?(Т)}

и := п(п — 1)...(п — г +1),п > г. Множество мажорант {Ф}, удовлетворяющих условию (3), не

пусто. Этому условию удовлетворяет, например, мажоранта Ф„ (и) = иа((Р), где

f Л21

/ n л W л а(и) = — tcos— (ß) ^ 2ß) J0 2ß

лt

1 + (ß -1)sin —

dt

и, в частности,

л

а(Х) =--1, lima(ß) = 1,

2

причём для всех ß е [1, да) выполняется неравенство (л / 2) -1 < a(ß) < 1.

q

Всюду далее символом Н (0 < р< 1, Н?1 = Нд) обозначим банахово пространство функций / е Л (ир ) , для нормы которых имеет место Ц/-р := || / (< х • Используя неравенство [4, с.49]

Еп-,(1)нч,р < РПЕп-,(1)нч, 1 < Ч < 0 < р < 1 (5)

и определение бернштейновского п -поперечника, распространим результат (3) теоремы 1 на пространство Н .

Теорема 2. Пусть п, геМ, п>г и мажоранта Ф при любом И е (0,7г/2] удовлетворяет ограничению (2). Тогда при всех 1 < ч < да, 0 < р < 1 и р > 1 имеют место равенства

Ъп ( Ж;г)(Ф;Р);Ир I = йп (Ж;г)(Ф;Р);На_р ) =

-Еп —г)( Ф;р) )я

Жр

Ара

-Ф

ч,р

' ж >

п,г \

2р(п - г)

(6)

Доказательство. Переходя к верхней грани по всем функциями / е (Ф,р) в неравенстве (5) получаем

Еп— (Ф,р)< рпЕп—1ц (Ф,р))

откуда и следует оценка сверху в (4):

жр

<—---Ф

н" Ара

' ж ^

п,г \

2р(п - г)

Ъп ( И?)(Ф; р); И, I < < ( Г")(Ф;р); И, ) < -р. Ф

п V Ч

Ч,р I п V ч

(г )/

ЧР

жр

п

ж

\

(7)

АРапг V 2Р(п - Г),

С целью получения оценки снизу, равной правой части (7) во множестве ~Рп о Нд р , введём в рассмотрение (п +1) -мерный шар полиномов

Г ^ М

:= 1 Рп е : ||рй

1Я„

Ж

Арапг V 2ра(п - г)

и докажем включение

+1 с Ж/ (Ф ,р) . Используя неравенство [3]

\\Pni <р~пк1„ р (1 < Ч <® , 0 <р<1) ,

а также посредством неравенства С.Н.Бернштейна и определения модуля непрерывности, легко доказать соотношение

®(р[г)^)ч < 2(яи(и -г>).ап,р_п |р

п 11н

(8)

в предположении, что ри е , с учётом ограничения (2) имеем

1} ), 2г)? 11 + (р2 -1)япЛ <

1

< 2ап,"п||РпЦ ($ш(п - г)Ш\

лг

1 + (р - 1)^/п —

Лг <

л ^ <—Ф

л

2р 12р(п - г)) 0

1

• | (5Ш(п - Г)Ш),

1 + (р2 - 1)^/п лг

Лг < Ф(Й),

откуда и следует включение £и+1 ^ Жг) (Ф, р) . Отсюда, согласно определению бернштейновского п-поперечника, получаем

Лп (Жг)(Ф;р);Н, > Ъя (Ж(г)(Ф;р);Н, >

> Ъп Н?,р]>

лр

4ра

-Ф

' л ^

п,г \

2р(п - г)

(9)

Требуемые равенства (4) следуют из сопоставления неравенств (7) и (6), чем и завершаем доказательство теоремы 2.

Имеет место следующее общее утверждение.

Теорема 3. Если при заданном р > 1, любых /геК, 0<к<л/2, мажоранта Ф (И) удовлетворяет ограничения (2), то и при любых й/еК, \ <с/ < да, 0 < р < 1 справедливы неравенства

= вир{|/ - Л^рЦ-: / е Жг) (Ф, р)} =

(10)

лрп

я ,р

г

л

• Ф

4р(п - г) ^ 2р(п - г)

Здесь лп (•) - любой из п -поперечников Ъп (•), Лп (•), Лп (•), Хп (•) , линейный полиномиальный оператор Лп_1г_г (/) определяется равенством

Лп-!,г-1,р(/,*) :=ЕС(/)*

+

к=0

1 +

р2("-к ч,

к=г

а

2п-к ,г

Ук,,

1 - (•

к - г

2п - к - г

)2 -1

С (/) ^

(11)

0

ч-р

nl 2р( n—r )

где n > r и yKr := (n - r)p J coskt cos(n — r)ptdt.

При этом: а) линейный полиномиальный оператор (11) является наилучшим линейным методом приближения класса ) (Ф, р) в метрике пространства Нд (1 < Ч < да , 0 < р < 1) ;

б) := 8рап{\,г,... ,гп} есть оптимальное подпространство для бернштейновского п -поперечника Ъп ((г)(Ф,р);Н? р);

в) Сп := 5раи{1, г, ..., гп-1} является оптимальным подпространством для колмогоровского п -поперечника ёп (г)(Ф,р);НЧрр\;

К ^)

г) LI := (У: f е И ,f (0),k = 0,1,...,n — 1} является оптимальным подпространством

для гельфандовского n -поперечника dn (Ж(г ^ Ф,р); H

я > р

д) Ли1г ^ р, определённый равенством (11), является оптимальным линейным методом (подпространством), реализующим линейный п -поперечник 5п ((г^Ф,р);Н? р

Результат, полученный в теореме 3, можно применить к задаче вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Тейлора си (/) на классах функций г)(Ф,р) , а именно имеет место следующая

Теорема 4. Для любых п, г е М, п> г; р > 1 и 1 < д < да справедливо равенство

L (Wг)(Ф;р)) = sup{| Cn(f ) |: f е ^г)(Ф,р)} = —^ Ф

4ра

' n_Л

2p(n — r)

n,r V

Отметим, что аналогичные результаты для классов функций, определяемых модулями непрерывности от производных по аргументу f(ar)(z) , получены в [4].

Поступило 20.02.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Айнуллоев Н, Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. - Матем. заметки, 1986, т.40, №3, с. 341-351.

2. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Издательство МГУ, 1976.

3. Pinkus A. и-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, 1985.

4. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники некоторых классов функций в пространстве Харди. - ДАН РТ, 2014, т.57, №2, с. 97-102.

о

М.Ш.Шабозов, Ф.Д.Давлатбеков*

ОИДИ МЕТОД^ОИ ХАТТИИ БЕ^ТАРИНИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ХАРДИ

Институти математикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, Донишго^и миллии Тоцикистон

^имати аники n -кутрхои баъзе синфхои функсияхои дар давраи вохидй дар фазой Хар-ди, ки кимати миёнаи модули бефосилагии хосилаи тартиби r -умашон бо функсияи вазнй ва мажоранта махдуд аст, ёфта шудааст. Барои ёфтани кимати аники n -кутрхои хаттй ва гелфандй, методи хаттии бехтарини наздиккунй сохт шудааст.

Калима^ои калиди: n -цутр^о - усули наздиккунии бехтарини хаттй - модули бефосилагй - мажоранта - фазои Харди.

M.Sh.Shabozov, F.D.Davlatbekov* ABOUT THE BEST LINEAR APPROXIMATION METHODS OF SOME CLASSES ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE HARDY SPACE

A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,

Tajik National University

The exact values n-diameters in some classes of analytical functions in a single circle are found in a metrics of Hardy's space, the average module of a continuity with weight of boundary r-derivatives values which majorized by the set function. For findings of exact values linear and the helfand of n-diameters is specified as the best linear methods by polynomials approximation.

Key words: n-widths - best linear approximation methods - the modulus of continuity - majorant -Hardy space.