О модифицированных категориях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

О МОДИФИЦИРОВАННЫХ КАТЕГОРИЯХ

БОНДАРЕНКО М. Ф, ДУДАРЬ З.В., ИВАНИЛОВ А.А., МАНИКИНВ.В, ШАБАНОВ-КУШНАРЕНКО Ю.П.

Понятие категории введено в 1945 году Маклейном и Эйленбергом. Как научная дисциплина теория категорий сформировалась к 60-м годам XX столетия. Она разрабатывает перспективные средства представления, анализа и синтеза алгебраических структур произвольного вида. К 80-м годам была осознана важность теории категорий для компьютеризации и информатизации, в частности, — для автоматизации программирования. В статье дается определение понятия модифицированной категории и формулируется задача разработки теории модифицированных категорий, открывающей путь к построению высокопроизводительных мозгоподобных ЭВМ параллельного действия.

1. Классическая категория

Вначале кратко охарактеризуем классическую категорию [1], после чего осуществим ее предикатную интерпретацию. В результате получаем предикатную категорию — один из частных случаев классической категории. Анализируя предикатную категорию, мы выявили в ней некоторую ограниченность, что дало повод для корректировки понятия классической категории. Произведя такую корректировку, мы получили модифицированную категорию, которая, как нам представляется, лучше подходит на роль отправного пункта построения теоретической базы мозгоподобных ЭВМ, чем классическая категория.

Сначала рассмотрим наиболее общее определение понятия классической категории — классическую безобъектную категорию. Его называют также классической абстрактной категорией [2, с. 44]. Оно ценно тем, что в нем достаточно удачно схвачена суть интуитивного понимания категории и, вместе с тем, в нем нет ничего сверх этого. Если исключить хотя бы одну из черт, указанных в этом определении, то от понятия категории ничего не остается. После такого исключения категория превращается в одну из известных алгебраических структур, охватывающих понятие категории. Охарактеризуем понятие классической безобъектной категории.

Пусть м — какое-нибудь множество. Его элементы, обозначаемые символами f, g, h,..., называются морфизмами. Пусть, кроме того, задано однозначное частичное соответствие fg = h с областью отправления м х M и областью прибытия м . Оно называется умножением морфизмов f и g . Морфизм h называется произведением морфизмов f и g . Умножение морфизмов ассоциативно: при любых f, g, h є M , для которых существуют произведения (fg)h, f(gh) є M, справедливо равенство

(fg)h = f(gh) . Пусть e — множество всех единичных морфизмов (E с M). Любой морфизм e є M называется единичным (или тождественным, или просто единицей), если он удовлетворяет следующим двум условиям: 1) для каждой единицы e є E существует произведение ee ; 2) при любых морфизмах f, g є M и любых единицах e, e'e E, для которых существуют произведения fe , e'g є M , выполняются равенства fe = f и e'g = g . Множество морфизмов M с единицами, удовлетворяющими перечисленным выше условиям, взятое вместе с умножением морфизмов, удовлетворяющим указанным выше условиям, называется классической безобъектной категорией к . Пишут M = MorK , f є M, f є MorK . MorK — это множество всех морфизмов категории к . Если f є MorK , то говорят, что морфизм f является K -морфизмом.

Этим определением молчаливо допускается существование в категории многих единиц. Именно наличие многих единиц (и только это) отличает категорию (понимаемую в наиболее общем смысле) от других известных алгебраических структур. Со школьной скамьи все мы привыкли к тому, что единица всегда одна. И она была бы одна, если б на множестве М умножение было принято не частичным, а всюду определенным. Существование многих единиц в категории и требование всюду определенности умножения морфизмов находятся относительно друг друга в непримиримом противоречии. Но если ослабить требования к категорному умножению морфизмов и принять его частичным, то уже только за счет этого появляется возможность введения в категории многих единиц. Единицы e и e' называются соответственно правой и левой для морфизма f є M, если fe = f и e'f = f . Из определения понятия категории логически следует, что для любого e є E справедливо равенство ee = e, и что для любого морфизма f є m существуют единственная правая и единственная левая единицы (которые могут отличаться друг от друга). Последнее утверждение называется категорным законом тождества. Таким образом, для каждого морфизма f є м существуют единственная правая единица e и единственная левая единица e', такие, что fe = e'f = f . Вместе с тем, для каждой единицы e є E найдутся такие морфизмы f и g (не обязательно единственные), что для них выполняются равенства fe = f и eg = g . Для любой единицы e є E в роли таких морфизмов можно взять f = g = e .

Так, определенную категорию можно рассматривать как некую разновидность алгебры. В роли ее носителя выступает множество морфизмов м, роль базисных элементов в этой алгебре выполняют единицы, а в роли единственной базисной операции (точнее — однозначного соответствия) выступает частичное умножение морфизмов. Любую алгебру, удовлетворяющую всем перечислен -

РИ, 2005, № 1

87

ным выше требованиям, будем рассматривать как безобъектную классическую категорию. Так, определенная категория представляет собой неполную алгебру. Не в каждой такой категории, действуя в различной последовательности умножением на единицы, можно получать любые морфизмы, имеющиеся в ее носителе. Неполные алгебры можно по-разному достраивать (доопределять), получая из каждой такой алгебры целое семейство различных полных алгебр. Описываемый здесь вариант определения классической категории — это самый общий (т.е. самый бедный свойствами) из всех известных нам. Несколько позже, кроме морфизмов, мы введем в классической категории еще и объекты, но пока они в ней отсутствуют. Именно поэтому только что рассмотренная категория названа безобъектной.

Оговорка о существовании произведений (fg)h и f(gh) в формулировке ассоциативности умножения морфизмов была бы излишней, если б умножение морфизмов было всюду определено. Но в определении понятия категории основателями теории категорий оно принято частичным. Как будет показано в этой статье, частичность умножения в определении категории вовсе не обязательна, умножение в ней может быть взято и всюду определенным. Этого можно достичь путем некоторого ослабления свойств категорных единиц. В классической категории произведение fg морфизмов f и g существует в том и только том случае, когда правая единица морфизма f совпадает с левой единицей морфизма g. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования произведения fg морфизмов f и g является наличие такой

единицы e, для которой fe = f и eg = g . Приведенные здесь свойства классической безобъектной категории, которые находятся за пределами ее определения, могут быть из него логически выведены. Объекты категории взаимно-однозначно связаны с ее единицами. Поэтому в категории с одной единицей можно ввести лишь один объект. Однако информатизация нуждается в таком варианте теории категорий, в рамках которого можно было бы одновременно рассматривать сразу много объектов. Ввиду этого появляется необходимость введения в алгебре, ориентированной на нужды информатизации (т.е. в категории), многих единиц.

единственным базисным элементом e є M , который называется единицей. Последняя характеризуется свойством: для любого f є м ef = fe = f (кстати, из него вытекает еще одно важное свойство единицы — ee = e, которое получаем, полагая f = e). Еще ниже располагается группа, определяемая как моноид с одноместной операцией обращения f-1 = g, которая характеризуется свойством: ff-1 = f-1f = e для любого f є M .

Классическую безобъектную категорию можно рассматривать как одно из возможных обобщений понятия моноида. В ней вместо операции (т.е. всюду определенного и однозначного соответствия) умножения, фигурирующей в определении моноида, использовано соответствие более общего вида — частичное умножение, с него свойство всюду определенности снято. Для некоторых пар f,g є M произведение fg в классической безобъектной категории может и не существовать. Требование единственности единицы тоже снято. Единиц в категории может быть много. Если потребовать, чтобы умножение морфизмов было всюду определено, то категория превратится в моноид. Действительно, предположим, что умножение в категории всюду определено и, вместе с тем, в ней имеются две отличающиеся друг от друга единицы e и e' (e ^ e'). Тогда должно существовать произведение e'e . Согласно равенству fe = f получаем произведение e'e = e'. Согласно же равенству e'f = f приходим к иному результату e'e = e. Но это невозможно, поскольку принято, что умножение обладает свойством однозначности для своих значений. Мы пришли к противоречию. Это значит, что при наличии, по крайней мере, двух единиц в категории последняя не может иметь всюду определенного умножения.

Категория беднее свойствами, чем моноид, поэтому она представляет собой обобщение понятия моноида. Ее естественно называть еще и квазимоноидом. Если б мы сняли требование всюду определенности умножения также и с группоида, полугруппы и группы, то получили бы обобщения и этих алгебр (назовем их соответственно квазигруппоидом, квазиполугруппой и квазигруппой). Алгебры с частичным базисным умножением в современной математике широко не используются, так что введение понятия классической категории с частичным умножением морфизмов представляет собой уход в сторону с магистрального пути развития математики. Рис.1 иллюстрирует сказанное.

Рассмотрим, какое место занимает безобъектная классическая категория в иерархии алгебр, сложившейся к настоящему времени в математике. На вершине этой иерархии располагается группоид — алгебра на носителе М со всюду определенным

умножением fg = h (f,g, h є M). Под ним располагается полугруппа, которая определяется как группоид с умножением, обладающим для любых f, g, h є M

свойством ассоциативности (fg)h = f(gh). Ниже находится моноид, определяемый как полугруппа с

Рис. 1

| Квазигруппоид J

| Квазиполугруппа j

Квазимоноид !

Квазигруппа

88

РИ, 2005, № 1

Итак, если мы хотим обобщить понятие моноида до понятия категории так, чтобы в нем вместо одной единицы могло появиться большее их число, и, вместе с тем, сохранить все свойства единицы, указанные в определении категории, то, переходя от моноида к категории, будем вынуждены ослабить требования к умножению морфизмов и сделать его частичным. Но, может быть, переходя от понятия моноида к понятию категории, следовало бы отказаться от многих единиц? Нет, так делать не следует. Это не имеет смысла, ибо тогда мы “с водой выплеснем и ребенка”: пришлось бы возвратиться к понятию моноида. Это значит, что понятие категории не состоялось бы: ведь в нем в таком случае не появилось бы ничего нового по сравнению с уже имеющимся понятием моноида. Волей-неволей приходится отказаться от требования всюду определенности умножения. Мы видим, что отказ от всюду определенности умножения в определении понятия категории — мера вынужденная. Введение частичности умножения не красит понятие категории. Оно выглядит менее удачным, поскольку добавляет к числу свойств, определяющих понятие категории, свойство, непопулярное в общей алгебре. Если б создателям теории категорий был известен способ избежать частичности умножения при сохранении многих единиц, вряд ли они им бы не воспользовались.

Оказывается, что такой способ существует: надо лишь несколько ослабить свойства единиц. Правда, после этого единицы перестают быть настоящими единицами в классическом понимании этого слова, они превращаются в нечто более общее, но зато таких “квазиединиц” теперь может быть много. Именно благодаря такому ослаблению понятия единицы, сфера действия понятия категории расширяется, в результате чего прикладное значение теории категорий для компьютеризации и информатизации, после замены классической категории на модифицированную, возрастает.

2. Цели и постановка задач

Данное исследование имеет две цели. Основная цель: сформулировать такое определение безобъектной категории, чтобы в нем наряду со свойством всюду определенности умножения допускалось существование многих квазиединиц. Такая категория будет называться модифицированной. Дополнительной целью является выяснение вопроса о том, как именно соотносятся между собой понятия классической и модифицированной категорий. Например, охватывается ли одно понятие другим?

Задачи, которые необходимо решить, чтобы достичь указанных целей, определим следующим образом. Сначала необходимо выполнить предикатную интерпретацию понятия категории, исходя из особой роли, которую в алгебре предикатных операций играет линейный логический оператор [6]. В полученной таким образом предикатной категории необходимо будет указать способ доопределения частичного умножения морфизмов до всюду определенного. После этого необходимо будет выделить

все свойства предикатной категории и сформировать абстрактное определение безобъектной модифицированной категории. Чтобы ясно увидеть различия в определениях классической и модифицированной категорий, нужно представить эти определения в такой форме, чтобы их тексты отличались только там, где имеются смысловые различия.

3. Категория с объектами

В приведенном выше определении классической безобъектной категории морфизмы были представлены пока очень схематично — лишь как бесструктурные элементы некоторого множества. Немного можно извлечь из такого, очень бедного, понятия категории. Такое общее понятие категории полезно разве что только при уяснении места понятия категории в иерархии существующих алгебр. Теперь понятия категории и морфизма мы конкретизируем. В процессе конкретизации ранее введенное понятие безобъектной категории обрастает дополнительными деталями и свойствами и в результате превращается в категорию с объектами [2, с. 40]. К морфизмам безобъектной категории K присоединяем объекты. Множество всех объектов категории к записываем в виде Ob в K или в виде ObK . Объекты обозначаем буквами A,B,C,... . Если A є ObK , то говорят, что A является к -объектом. Говорят, что f есть морфизм из объекта A в объект B , и пишут f:A ^ B или A —B . Объект A называется началом морфизма f , а объект b — его концом. Вместо термина «морфизм» также используется слово стрелка.

Как конкретно понимать термин «объект»? Пока-никак. Здесь объекты выражают просто какие-то бесструктурные элементы множества ObK — и больше ничего. Но все же всегда имеется невысказанная мотивировка введения понятия «объект». Ее можно обнаружить, если обратиться к какой-нибудь естественной интерпретации понятия объекта. Строго говоря, при принятом нами изложении теории категорий так делать нежелательно, ввиду того что при этом теряется весьма ценное качество предельной абстрактности термина «объект». Но без какой бы то ни было интерпретации трудно понять мотивировку введения понятия «объект». А это понимание очень важно для приложений теории категорий в области компьютеризации и информатизации. Приведем одну из наиболее употребительных интерпретаций понятия «объект». Важно подчеркнуть, что такая интерпретация вовсе не обязательна. Возможны и иные варианты интерпретации термина «объект». Прелесть абстрактной теории как раз в том и состоит, что она допускает множество разных способов практического использования, но сама до них не снисходит. Но если мы не выявим мотивировку введения абстрактной теории, то такая теория будет восприниматься просто как бессодержательная словесная эквилибристика, как «абстрактная чепуха», и стремление к ее практическому применению пропадет. Каждый

РИ, 2005, № 1

89

морфизм f є MorK будем конкретно представлять в виде некоторой функции f : A ^ B , отображающей множество A в множество в. Подчеркнем еще раз, что такой способ интерпретации понятия морфизма вовсе не обязателен, можно понимать его и иначе. Множество A понимаем как область определения морфизма f , множество B — как область значений морфизма f . Однако в другой интерпретации понятия категории объекты A, B, C,... не обязательно понимать как множества.

Каждой паре (A,B) объектов A,B є ObK ставится в соответствие некоторое, быть может и пустое, множество H K (A,B) морфизмов категории к • Возможен случай, когда многим разным морфизмам, например, f, g, h, поставлена в соответствие одна и та же пара объектов (A,B), т.е. f,g,h:A ^B . Такие морфизмы называются параллельными. А для какой-то другой пары объектов (C,D) в категории к вообще может не найтись ни одного морфизма f , такого что f : C ^ D . Вместо записи H к (A, B) также используются обозначения Hom к (A, B), MorK (A, B), K (A,B), а если это не приводит к двусмысленности, —то и более лаконичные записи H(A,B), Hom(A,B), Mor(A,B). Вместо записи f є H K (A,B) иначе пишут f : A ^ B или A —B . Вместо выражений «объект A є ObK » и «морфизм f є MorK » пишут «объект A є K » и «морфизм f е K » или еще проще: « K -объект A » и « K -морфизм f ». Для каждого морфизма f є MorK существует единственная пара объектов A и b , такая, что A,B є ObK и f є HK (A,B). Приписывание этого свойства морфизмам мотивируется тем, что при их интерпретации для каждой функции f естественно указывать ее область определения A и область значений в, иначе определение функции будет незавершенным. Пишут

A = domf (начало морфизма; в принятой нами интерпретации—его область определения), в = codf (конец морфизма; в нашей интерпретации — его область значений).

Запишем определение классической категории с объектами. Категория с объектами K состоит из множества морфизмовMorK и множества объектов ObK . Предполагается, что множестваMorK и ObK не пересекаются. Категория с объектами K характеризуется следующими пятью свойствами.

1) Каждой паре K -объектов a , B соответствует множество H K (A,B) морфизмов (быть может, даже пустое), включенное в MorK .

2) Для каждого морфизма f є MorK существует единственная пара A, B K -объектов, такая что f є H k (A,B).

3) В множестве MorK определена, вообще говоря, частичная, двуместная операция — умножение мор-

90

физмов; произведение fg морфизмов f : A ^ B и g: C ^ D определено лишь в тех случаях, когда B = C , т.е. когда конец морфизма f совпадает с началом морфизма g . В этом случае произведение fg есть к -морфизм из объекта A в объект D . Иначе говорят, что для объектов A, B,C є K определено отображение Hк (A,B) х Hк (B,C) ^ Hк (A, C). Знакх в данном случае обозначает декартово произведение множеств морфизмов. Морфизмы f , g категории к вида f:A ^ Ви g:B ^ C называются последовательными, а вида f:A ^ В и g:A ^ В — параллельными.

4) Умножение морфизмов ассоциативно (fg)h = f(gh) всякий раз, когда морфизмы (fg)h и f(gh) существуют. Иными словами, ассоциативность справедлива всякий раз, когда f:A ^ В , g:B ^ C , h: C ^ D . Таким образом, ассоциативность выполняется во всех тех случаях, когда она имеет смысл. Равенство (fg)h = f(gh) выражает категорный закон ассоциативности.

Закон ассоциативности можно наглядно выразить графически в виде категорной диаграммы, изображенной на рис. 2.

Последовательные

морфизмы

Любая категорная диаграмма образуется из объектов и стрелок (морфизмов), она представляет собой ориентированный граф с раскрашенными вершинами и дугами. В роли вершин графа в категорной диаграмме выступают объекты категории, а в роли дуг — ее морфизмы. Такого вида диаграммы широко используются в теории категорий. Они — главное средство наглядного представления внутреннего строения и свойств математических структур, связей между ними. Диаграмма, выражающая категорный закон ассоциативности, характеризует связи между любыми объектами a , В , C, D и морфизмами f , g, h. Эти связи выражают существо закона ассоциативности. В данном случае с помощью категорной диаграммы мы выразили один из законов теории категорий.

Категорные диаграммы делятся на замкнутые и разомкнутые. Разомкнутые диаграммы выражают формулы категорной алгебры, замкнутые — ее равенства. Диаграмма, выражающая категорный закон ассоциативности, относится к числу замкнутых. Замкнутые диаграммы называются иначе коммутативными. Коммутативные диаграммы харак-

РИ, 2005, № 1

теризуются тем, что результат действия морфизмов при их последовательном выполнении, указанном на диаграмме, получается одинаковым при движении по всевозможным путям диаграммы, если мы отправляемся от одной и той же точки диаграммы и приходим снова к одной и той же другой точке диаграммы. На языке коммутативных диаграмм выражаются общие связи между объектами и морфизмами. С помощью коммутативных диаграмм можно выражать свойства любых математических структур, даже законы самой теории категорий. Категорные диаграммы делятся на общие и частные. Общие диаграммы коммутативны для всех объектов и морфизмов данной категории. Общими коммутативными диаграммами выражаются свойства какой-либо конкретной категории. Частные категорные диаграммы относятся к конкретным объектам и морфизмам данной категории. Они выражают связи между ними и могут быть как замкнутыми, так и разомкнутыми. На рис. 3 приведен пример разомкнутой категорной диаграммы.

A

f

+-B

C

C

Рис. 3

В последние годы приобрело большую популярность объектное моделирование, в котором в качестве основного инструмента используются диаграммы, похожие на частные категорные диаграммы. Они тоже строятся из объектов и стрелок. С их помощью описывается архитектура информационных систем. Частным диаграммам противостоят общие, с их помощью описываются закономерности функционирования информационных систем. На рис. 4 приведен пример диаграммы работы банковской системы [3, с. 12].

буемой суммы денег; 11) ввод суммы денег ($20); 12) снятие денег со счета ($20); 13) проверка суммы ($20); 14) вычет снятой суммы денег из счета ($20); 15) выдача наличности ($20); 16)выдача чека.

На теорию категорий можно смотреть как на учение о категорной алгебре, которая задана на носителе MorK . На нем введены базисные элементы в виде тождественных морфизмов и базисная операция — умножение морфизмов. Категорная алгебра определена не полностью. В ней выделены лишь самые главные черты, а дорисовать ее можно различными способами. Категорная алгебра в этом похожа на булеву алгебру: это не одна, а целое семейство различных экземпляров категорных алгебр. Диаграмма, составленная из объектов и морфизмов некоторой категории, называется коммутативной, если произведение морфизмов вдоль любого пути по стрелкам диаграммы зависит только от начала и конца пути. Можно говорить о формулах, тождествах и уравнениях категорной алгебры, с помощью которых можно аналитически описывать категорные диаграммы. Замкнутые категорные диаграммы бывают двух видов — общие и частные. Общие описываются тождествами категорной алгебры, а частные — ее уравнениями. Примером общей замкнутой категорной диаграммы может служить диаграмма, выражающая закон ассоциативности

(fg)h = f(gh). Слева и справа от знака равенства стоят формулы категорной алгебры. Примером уравнения категорной алгебры может служить равенство fx = f , где f — фиксированный морфизм. Этому уравнению удовлетворяет лишь один из единичных морфизмов x = e данной категории (fe = f ). Разомкнутым категорным диаграммам соответствуют формулы категорной алгебры или системы таких формул. Например, диаграмме, изображенной на рис.

3, соответствует система формул fg и fh.

Стрелки выражают следующие операции: 1) получение карточки устройством чтения; 2) чтение номера карточки; 3) инициализация экрана; 4) открытие счета; 5) запрос регистрационного номера; 6) ввод регистрационного номера; 7) проверка регистрационного номера; 8) запрос транзакции (какую финансовую операцию выполнить?); 9) выбор транзакции (снять деньги); 10) запрос тре-

РИ, 2005, № 1

5) Для каждого объекта в є K существует морфизм eB :B ^ B, называемый единичным или тождественным морфизмом объекта в, такой что feB = f и eBg = g для любых морфизмовf:A^B и g: B ^ C . Тождества feB = f и eBg = g называются категорными законами тождества. Они выражаются следующей коммутативной диаграммой тождества (рис.5).

Для морфизмов f,g є MorK произведение fg существует в том и только том случае, когда f , g — последовательные морфизмы категории к .

4. Предикаты

Далее кратко охарактеризуем алгебру предикатов [4], т.е. именно ту алгебру, в терминах которой мы

91

будем в дальнейшем интерпретировать понятие категории. Возьмем какое-нибудь непустое множество U , элементы которого будем называть предметами. Само же множество U называется универсумом предметов. Возьмем, далее, m каких-нибудь непустых, необязательно различных подмножеств A1, A2,, Am универсума и . Декартово произведение S = Aj х A2 х...х Am множеств Aj, A2,, Am называется предметным пространством S с координатными предметными осями Aj, A2,, Am над универсумом U . Число осей m называется размерностью предметного пространства S . Вводим множество V = {x^x2, ...,xm} различных переменных xj, x2,, xm , которые называются предметными переменными пространства S . Множество V называется универсумом переменных пространства S . Значениями переменной x, (i = 1,m) служат элементы множества A, , так что x1 є A1 , x2 є A2,..., xm є Am . Множества A1, A2,, Am называются областями изменения переменных x1,

x2, ..., xm .

Если a1 є A1, a2 є A2,..., am є Am и x1 = a1, x2 = a2, ..., xm = am, то пишут (a1,a2, ...,am) є S и говорят, что предметный вектор (a^a2,..., am) принадлежит пространству S = A1 х A2 х... х Am . Элементы a1,a2,...,am вектора (a1,a2, ...,am) называются его компонентами (первым, вторым, ... , m -м ). Предметное пространство S можно рассматривать как совокупность всех векторов вида (x1,x2,...,xm), компоненты которых удовлетворяют условию a1 є A1, a2 є A2, ... , am є Am . Любое подмножество p пространства S называется отношением, образованным в (или иначе: заданным на) пространстве S . Отношение имеет размерность m . Говорят, что оно m -местно. Отношения, заданные на одном и том же пространстве S , называются однотипными. Тип отношения определяется набором переменных x1,x2, ...,xm и набором множеств A1, A2,..., Am . Отношение 0 , не содержащее ни одного вектора, называется пустым, отношение S , в котором имеются всевозможные векторы, — полным.

Предикатом, заданным на декартовом произведении A1 х A2 х ...х Am , называется любая функция P(x1,x2, ...,xm) = 4, отображающая декартово произведение A1 х A2 х ... х Am множеств A1, A2,..., Am в множество E = {0,1} . Символы 0 и 1 называются булевыми элементами, £ — множество всех булевых элементов. Переменная 4 є {0,1}, являющаяся значением предиката p , называется булевой. Предикат P(x1,x2, ...,xm) на A1 х A2 х ...х Am называется конечным, если все множества A1, A2,..., Am конечны, и бесконечным — в противном случае. Эта же терминология переносится и на соответствую-

щие предикатам отношения. Переменные x1,x2,...,xm называются аргументами предиката p .

Пусть L — множество всех отношений на S , M — множество всех предикатов на S . Между всеми отношениями множества L и всеми предикатами множества м, заданными на S , существует взаимно-однозначное соответствие. Отношение p из l и предикат p из м называются соответствующими друг другу, если при любых x1 є A1 ,

x2 Є A2 v.v xm Є Am

p( ) І1, ЄСЛИ (xi,x2, .. ,xm) Є P

p(x1,x2, ...,xm) = {

[0, если (x1,x2, ...,xm) g p.

Обратный переход от предиката p к отношению p осуществляется по правилу:

если p(xj,x2,...,xm) = 1, то (xj,x2,...,xm) є p;

если p(x1,x2,...,xm) = 0 , то (xpx2,...,xm) g p .

Множество всех векторов (x1, x2,..., xm), удовлетворяющих уравнению p(x1,x2, ...,xm) = 1, образует отношение p , которое называется областью истинности предиката p . Предикат p є м называется характеристической функцией отношения p є l . Алгеброй предикатов называется любая алгебра, заданная на носителе м . Операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания над предикатами определяются следующими равенствами: для любых

x1 Є A1 , x2 Є A2 , ... , xm є Am :

(p V Q)(x1,x2,...,xm) = p(x1,x2,...,xm) V , x2 ,..., xm);

(p A Q)(x1,x2,...,xm) = P(x1,x2,...,xm) A Q(x1, x2,...,xm);

(^P)(x1, x2 ,..., xm ) = ^(P(x1 ,x2,...,xm)).

Символы v, a, -1, стоящие слева от знака равенства, означают операции над предикатами, справа — операции над значениями предикатов, т.е. над булевыми элементами.

Предикаты любого типа можно записывать в виде формул. Тип конечных предикатов задаем, указывая множества V = {x1,x2,...,xm} и

a, = {a1i,a2i, ...,aki}, i = 1,m , ki — число элементов в множестве a, . Над носителем м вводим дизъюнктивно-конъюнктивную алгебру предикатов. В роли базисных элементов этой алгебры используем предикаты 0 и 1, а также предикаты xa узнавания предмета a по переменной x, , i = 1,m , a є A, :

a 11, если x, = a,

x; = <

[0, если x, Ф a.

Символ a в записи xa называется его показателем. В роли базисных операций в дизъюнктивно-конъюнктивной алгебре предикатов используются дизъюнкция и конъюнкция предикатов. Любой предикат P(x1, x2,..., xm) в этой алгебре можно записать

92

РИ, 2005, № 1

формулой в виде его совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ):

Р(х1,х2,...,хт) = ( V ) х^-хт .

(ai,a2,,am)eP

Выражения вида ха х22...хтт называются конституэнтами единицы предиката р. Запись

(a1,a2, ...,am) є Р под знаком v означает, что берется дизъюнкция всех конституэнт единицы х^ х22 ...хт°, показатели сомножителей которой удовлетворяют условию (a1;a2, ...,am) є Р , где р — отношение, соответствующее предикату Р(х1, х2, ...,хт). Это означает, что дизъюнктивно-конъюнктивная алгебра предикатов полна, т.е. что формулами этой алгебры можно записать любой предикат, а следовательно, можно выразить аналитически любое отношение произвольного типа.

5. Предикатная интерпретация классической категории

Выше мы рассмотрели понятия классической категории и предиката. Теперь обратимся к предикатной интерпретации классической категории. Получаемую в результате такой интерпретации категорию будем называть предикатной и снабдим ее именем Pred. Анализ предикатной интерпретации классической категории приводит к неожиданному и важному выводу: оказывается, что механизм логики не вписывается полностью в прокрустово ложе теории классических категорий, вырывается за ее пределы. Поэтому исходное понятие классической категории приходится “подправлять”, подгонять под запросы компьютеризации и информатизации. Такая подгонка приводит к понятию модифицированной категории. Поскольку исходное понятие теории категорий видоизменяется, то при этом изменяется и сама теория категорий. В результате получаем теорию модифицированных категорий, которая, как нам представляется, лучше соответствует характеру задач, решаемых в рамках компьютеризации и информатизации. Почему потребовалась такая модификация, т.е. ревизия, пересмотр определения понятия категории? Дело в том, что классическая теория категорий возникла задолго до того, как вошли в силу компьютеризация и информатизация. Она имеет собственные цели и задачи, никак не связанные ни с компьютеризацией, ни с информатизацией. Но сила и общность теории категорий оказались настолько большими, что она своим учением охватила значительную часть области компьютеризации и информатизации. Однако компьютеризация и информатизация имеют дело тоже с очень обширным предметом, который не охватывается полностью даже теорией категорий.

Выберем какой-нибудь универсум предметов U . В роли объектов A,B,C,... категории Pred используем произвольные подмножества универсума U . В роли множества Ob категории Pred берем систему всех подмножеств универсума U . В роли морфиз-

мов вида f : A ^ B категории Pred используем линейные логические операторы вида Ff (Р) = Q. Каждый такой оператор преобразует одноместные предикаты р в одноместные предикаты Q и выражается в виде:

Зх є A(Kf (х, у)Р(х)) = Q(y). (1)

В равенстве (1) предикаты р и Q — переменные. Предикат Р(х) задан на множестве A, предикат Q(y) — на множестве b . Предикат Р(х) на a рассматриваем как экземпляр объекта a , предикат Q(y) на в — как экземпляр объекта в. Таким образом, морфизм f : A ^ B преобразует экземпляры объекта а в экземпляры объекта в. Естественнее было бы в роли объектов брать не множества A, B, C,... элементов универсума, а множества всех предикатов Р(х), Q(y), R(z),..., заданных соответственно на множествах A, B, C,..., но это не обязательно. Поскольку между такими множествами существует взаимно-однозначное соответствие, то они взаимозаменяемы. Взяв множества предикатов в роли объектов, мы могли бы элементы этих множеств брать в роли экземпляров объектов. Недостаток такой интерпретации заключается в том, что конструкция объектов в предикатной категории без необходимости переусложняется.

Предикат Kf(x,y) называется ядром линейного логического оператора, он полностью определяет вид преобразования (1). Предикат Kf(x,y) фиксирован, он задан на A х B. Морфизм f вида (1) полностью определяется предикатом Kf(x,y). В роли множества Mor(A,B) всех морфизмов вида f : A ^ B берем систему всевозможных операций вида (1). В категории Pred каждому морфизму f є Pred взаимно-однозначно соответствует ядро Kf(x,y) преобразования (1). Каждый морфизм f : A ^ B категории Pred можно задать, указав соответствующий ему предикат Kf (х, y) на а х B . Множество Mor(Pred) получаем объединением всех множеств вида MorPred(A,B), где (A,B) — всевозможные пары множеств A, B с U , или же как совокупность преобразований вида (1) со всевозможными ядрами K(x,y), заданными на всевозможных декартовых произведениях а х B множеств A, B с U .

Примером ядра морфизма категории Pred может служить предикат

K(x,y) = (xa v xb)y1 v xd(y2 v y3) v xey3, (а)

заданный на декартовом произведении а х B множеств A = {a,b,c,d,e} и B = {1,2,3,4}. На рис. 6 изображен двудольный граф предиката K(x, y). Линейный логический оператор с этим ядром запишется в виде:

РИ, 2005, № 1

93

Q(y) = 3x e{a,b,c,d,e}(((xa v xb)y‘ v xd(y2 v y3) v

v xey3)P(x)). (6)

Определим, к примеру, реакцию Q(y) морфизма (6) на предикат

P(x) = xa v xb v xe

a

b

1

B

(в)

Рис. 6

По формуле (6) находим:

Q(y) = 3xe{a,b,c,d,e}(((xa vxb)y1 vxd(y2 vy3) v

v xey3)(xa v xb v xe)) = y1 v y3. (r)

Этот же результат можно получить также и графически (рис. 7). Для получения множества Q собираем вместе все те элементы y, которые связаны ребрами графа K(x, y) с элементами x, образующими множество р . В итоге получаем Q = {1,3} . Таким образом, морфизм (6) преобразует множество P = {a,b,e} в множество Q = {1,3} .

B

Переходим теперь к предикатной интерпретации произведения морфизмов. Определим морфизм f : A ^ B как операцию (1) Ff (P) = Q , а морфизм g: B ^ C — как операцию Fg (Q) = R , определяемую равенством:

3y є B(Kg(y, z)Q(y)) = R(z). (2)

Переменный предикат R(z) задан на множестве C, а фиксированный предикат Kg (y,z) — на b х C. Образуем операцию Fh(P) = R посредством суперпозиции операций Ff(P) = Q и Fg(Q) = R : Fh(P) = Fg(Ff (P)) = R. Подставляя (1) в (2), получаем выражение для преобразования Fh :

3y є B(Kg (y, z)(3x є A(Kf (x, y)P(x)))) = R(z), (3)

которое превращает предикат P(x) на A в предикат R(z) на C. После тождественных преобразований равенство (3) приобретает вид:

3x є A((3y є B(Kf(x,y)Kg(y,z)))P(x)) = R(z). (4)

Равенство (4) представляет собой линейный логический оператор. В роли его ядра выступает предикат

Kh(x,z) = 3y є B(Kf (x,y)Kg (y, z)) (5)

на A x C с аргументами x є A и z є C . Теперь преобразование (3) можно записать более кратко:

3x є A(Kh(x,z)P(x)) = R(z). (6)

Преобразование (6) будем понимать как морфизм h: A ^ C категории Pred. Его мы принимаем в роли произведения fg морфизмов f и g . Таким образом, fg = h.

Найдем, к примеру, произведение каких-нибудь двух морфизмов категории Pred. Находим Kh (x, z) графически (рис. 8).

Рис. 8

Двудольные графы ядер Kf (x, y) и Kg (y, z) морфизмов f и g изображены на рис. 8 слева. Они могут быть преобразованы в двудольный граф ядра Kh(x,z) произведения fg морфизмов f и g следующим образом. На первом этапе вводим горизонтальные связи (прочерчены пунктиром) между одноименными точками одинаковых множеств в, расположенных рядом в соседних графах Kf (x, y) и Kg(y,z). На втором этапе превращаем пару графов Kf (x, y) и Kg (y, z), которые мы соединили последовательно, в равносильный им один граф Kh (x, z). Для формирования ребер графа Kh(x,z) выявляем все пути от точек множества a к точкам множества C в цепочке графов Kf (x, y) и Kg (y, z). Каждому из таких путей ставим в соответствие ребро графа Kh (x, z). Полученный в результате этих действий граф Kh(x,z) изображен на рис. 8 справа.

То же самое ядро Kh(x,z) морфизма h можно получить для рассматриваемого примера также и аналитически, производя вычисления по формуле (5). Имеем: A = {a,b,c,d}; B = {1,2,3}; C = {5,6,7,8,9};

Kf(x,y) = (xa v xV v xc(y2 V y3); (д)

Kg(y,z) = y'z6 v y2(z6 v z7 v z9) . (е)

Отыскиваем предикат Kh:

94

РИ, 2005, № 1

Kh(x,z) = 3y є {1,2,3}(((xa v xV v

v xc(y2 v y3))(y1z6 v y2(z6 v z7 v z9))) =

= (xa v xb)z6 v xc(z6 v z7 v z9) v xc • 0 =

= (xa vxb)z6 vxc(z6 vz7 vz9) . (ж)

Мы получили то же самое ядро Kh (x, z), которое изображено на рис. 8 в виде двудольного графа.

Определим теперь реакцию рассмотренных в приведенном выше примере произведения мофизмов fg и равносильного ему морфизма h • Пусть, к примеру, P(x) = xa v xc • Сначала находим реакцию морфизма fg на предикат P(x). Вычисляем реакцию Q(y) морфизма f на предикат P(x) по формуле (1):

Q(y) = 3x є {a,b, c, d}(Kf (x, y)P(x)) =

= 3x є {a,b,c,d}(((xa v xb)y1 v v xc(y2 v y3))(xa v xc)) =

равенства DA(x,y). Каждому подмножеству a универсума U соответствует свой тождественный морфизм eA : A ^ A . Для каждого морфизма f : A ^ B категории Pred существует единственный правый тождественный морфизм e и единственный левый тождественный морфизм e', такие, что fe = f и e'f = f , причем e = eB и e' = eA • Любой тождественный морфизм e предикатной категории обладает свойством ee = e • Произведение fg морфизмов f:A ^ B и g:B ^ C в категории Pred всегда существует, причем domf = A и codf = C . Закон ассоциативности для умножения морфизмов в предикатной категории выполняется. Его справедливость можно наглядно продемонстрировать на двудольных графах. Присоединяем справа вто -рой двудольный граф к первому, а затем к полученной цепочке графов справа присоединяем третий граф. В результате получаем некоторый двудольный граф. Точно такой же граф получится, если присоединить справа ко второму графу третий, а затем полученную цепочку графов присоединить справа к первому графу.

= y1 -1 vy1 • 0 v (y2 v y3) -1 v 0 • 0 =

= y1 V y2 V y3 = Q(y). (з)

Вычисляем реакцию R(z) морфизма g на предикат Q(y) = y1 v y2 v y3 (и)

по формуле (2):

R(z) = 3y є {1,2,3}(Kg (y,z)Q(y)) =

= 3y e{1,2,3}((y'z6 v y2(z6 v z7 v z9))(y' vy2 v y3)) = = z6 -1 V (z6 V z7 V z9) • 1 V 0 -1 = z6 v z7 v z9. (к)

Итак: R(z) = z6 v z7 v z9. (л)

Теперь вычислим реакцию R(z) морфизма h по формуле (6):

R(z) =3x e{a,b,c, d}(Kh(x,z)P(x)) =

= 3x e{a,b,c,d}(((xa v xb)z6 v xc(z6 v z7 v z9)) л л (xa v xc)) = z6 • 1 v z6 • 0 v (z6 v z7 v z9) • 1 v 0 • 0 =

= z6 v z7 v z9. (м)

Получили совпадение реакций морфизмов fg и h, демонстрирующее их тождественность.

Введем, далее, тождественные морфизмы в категории Pred. В роли ядра тождественного морфизма eA : A ^ A в категории Pred принимаем предикат равенства DA (x, y) на A х A :

DA(x,y) = Vxaya . (7)

aeA

Приведем пример тождественного морфизма в категории Pred. Пусть A = {1,2,3}. По формуле (7) находим:

DA(x,y) = x‘y‘ v x2y2 v x3y3. (н)

Тождественных морфизмов в предикатной категории много. Их столько же, сколько предикатов РИ, 2005, № 1

В свете только что сказанного можно прийти к выводу, что предикатная категория подчиняется всем требованиям, предъявляемым к классической категории, и альтернативы этому выводу нет. Однако, если присмотреться повнимательнее, то можно обнаружить некоторые обстоятельства, дающие повод усомниться в этом. Равенствами (1)-(6) мы определили произведение fg морфизмов f и g в предикатной категории только для случаев, когда f:A ^ B и g:B ^ C . Вопрос о том, существует или нет произведение fg морфизмов f : A ^ B и g: C ^ D в общем случае, когда B ф C , остался пока без ответа. Однако вне зависимости от того, каким будет ответ на этот вопрос, никто нам не может запретить принять решение не образовывать произведения fg морфизмов f:A ^ Bиg:C ^ D во всех тех случаях, когда B ф C . Если так сделать, тогда мы получаем предикатную категорию, подчиняющуюся всем требованиям, предъявляемым к классической категории. Если окажется, что такого рода произведения морфизмов формировать невозможно, то это решение будет вынужденным. А если можно? Тогда откроется путь для иного, альтернативного определения предикатной категории, не вписывающегося в понятие классической категории.

Попытаемся ответить на поставленный вопрос. Для начала возьмем два тождественных морфизма eA:A ^ A и eB:B ^ B (A ф B). Из определения классической категории следует, что произведение eAeB не существует. А как обстоит дело в предикатной категории? Обратимся к конкретному примеру. Пусть A = {a,b,c,d}, B = {b,c,d,e} . Пробуем получить произведение eAeB морфизмов eA и eB графическим методом, описанным выше. (Аналитический метод применить невозможно, поскольку определения умножения морфизмов в математи-

95

ческих терминах для данного случая в предикатной категории мы пока не имеем). Оказывается, что графический метод успешно срабатывает, причем без каких бы то ни было осложнений, и дает в результате вполне определенное произведение морфизмов. На рис. 9 слева изображены двудольные графы ядер морфизмов eA и eB . Вводим горизонтальные связи между одноименными точками, но теперь уже не одинаковых, а различных множеств A и в, расположенных рядом в соседних графах,

помеченных символами eA и ев . Далее превращаем пару графов еА и ев, которые мы соединили последовательно, в равносильный им один граф, помеченный нами символом еАВ. В результате получаем произведение eAB = еАев . Граф eAB изображен на рис. 9 справа. Важно отметить, что полученный морфизм eAB не является тождественным.

А А в в A в

x y y z x z

a • *a a •

b - b

b •

c • *c c_ c c • #c

d

d

d*--------*d

Єа

e

ев

• e

Єав

Рис. 9

Ясно, что точно таким же способом можно получить произведение любых морфизмов f : А ^ в и g: C ^ D во всех тех случаях, когда в ф C . Соответствующий пример представлен на рис. 10.

x z

a • *5

h=fg

x

z

Рис. 10

Итак, мы получили четкий ответ на поставленный вопрос. Никаких запретов на образование произведения любых морфизмов в предикатной категории нет. Это значит, что умножение в ней можно считать всюду определенным. Этот факт, однако, не препятствует, если кому-то это будет угодно, считать умножение в предикатной категории частичным. Можно поступить и так и эдак. А это означает, что возможны два различных определения предикатной категории. Одно из них использует частичное умножение морфизмов, оно охватывается понятием классической категории. Такую предикатную категорию назовем классической.

Второе определение предикатной категории использует всюду определенное умножение. Оно не охватывается понятием классической категории. Такую предикатную категорию назовем модифицированной. Какой из вариантов предикатной категории следует предпочесть? Такую постановку вопроса мы считаем некорректной. Каждый из вариантов предикатной категории заслуживает внимания, может представлять интерес для теоретической разработки и практических приложений. Мы считаем также, что имеет смысл абстрагироваться от понятия модифицированной предикатной категории и сформировать в результате, как альтернативу общему понятию классической категории, общее понятие модифицированной категории. Имеет смысл развивать, кроме теории классических категорий, также и теорию модифицированных категорий.

Дадим теперь математическое определение умножения морфизмов в модифицированной предикатной категории. Тот же результат, который мы получили графически на произвольных графах (рис. 10), можно получить также и аналитически по следующей формуле:

Kh(x,z) = 3y є в п С (Kf(x,y)Kg(y,z)) . (8)

Здесь h = fg, f : A ^в , g:C^D, a, в, C, D-произвольно выбираемые подмножества универсума U . Предикат Kf (x, y) задан на a x в, предикат Kg (y, z) - на C x D , а предикат Kh(x,z) - на A x D . Определим произведение fg морфизмов f и g в модифицированной предикатной категории для примера, представленного на рис. 10. Принимаем А = {a,b, c,d} ; в = {1,2,3,4} ; C = {2,3,4,5} ,

D = {5,6,7,8,9} . Ядра морфизмов f и g записываются в виде:

Kf (x,y) = xay1 v xb(y1 vy2) v xc(y2 V y3 Vy4); (о)

Kg(y,z) = (y2 vy3)z6 vy3(z7 vz9)vy5z8 . (n)

Ядро Kh (x, z) произведения h = fg определяем по формуле (8):

Kh(x,z) = 3y є {2,3,4}(xay1 v xb(y1 v y2) v xc(y2 v

vy3 vy4))((y2 vy3)z6 vy3(z7 v z9) vy5z8) =

= (xb v xc)z6 v xc(z7 v z9). (р)

Как видим, результат расчетов по формуле в точности соответствует графу Kh (x, z), который был получен ранее графическим методом (см. рис. 10).

Нам осталось сравнить свойства модифицированной предикатной категории со свойствами классической. В классической категории умножение морфизмов частично, в модифицированной — всюду определено. В обеих категориях для каждого морфизма f существует единственный тождественный морфизм е , удовлетворяющий равенству fe = f , и единственный тождественный морфизм е’, удовлетворяющий равенству e'f = f . В обеих категориях

96

РИ, 2005, № 1

любой тождественный морфизм e удовлетворяет равенству ee = e . Понятие классической единицы, как оно представлено в моноиде, определяется следующим образом: единица e одна, и она обладает свойствами fe = f и ef = f при любом f . Как в классической, так и в модифицированной предикатных категориях понятие единицы несколько деформируется. В обеих категориях вместо одной появляется много единиц. В классической категории тождества fe = f и ef = f сохраняют силу для любой из единиц e и для любого морфизма f , но только тогда, когда произведения fe и ef существуют. В модифицированной категории произведения fe и ef существуют при любых e и f , однако равенства fe = f и ef = f выполняются не всегда. Все, что можно обнаружить в классической категории, можно наблюдать и в категории модифицированной. В модифицированной же категории область наблюдаемого шире, там можно обнаружить нечто такое, чего вообще нет в классической категории. Таким образом, в некотором смысле модифицированная категория является расширением категории классической.

6. Общая модифицированная категория

Перейдем теперь от частной модифицированной предикатной категории к общему понятию модифицированной категории. Дадим определение общему понятию модифицированной безобъектной категории.

Пусть задано множество м. Его элементы, обозначаемые символами f, g, h,..., называются морфизмами. Пусть, кроме того, задано однозначное и всюду определенное соответствие fg = h с областью отправления м х M и областью прибытия м . Оно называется умножением морфизмов f и g . Морфизм h называется произведением морфизмов f и g . Умножение морфизмов ассоциативно: при любых f, g, h є M справедливо равенство (fg)h = f(gh). Пусть, наконец, задано подмножество e множества M . Его элементы, называемые единичными морфизмами, определяются условием: при любых f, g є M существуют e, e'e E, для которых выполняются равенства fe = f и e'g = g . Множество морфизмов м с единицами, которые удовлетворяют указанному выше условию, взятое вместе с умножением морфизмов, удовлетворяющим указанным выше условиям, называется безобъектной модифицированной категорией к . Как и в классической категории тождественный морфизм e, удовлетворяющий условию fe = f , называется правым тождественным морфизмом морфизма f . Тождественный морфизм e', удовлетворяющий условию e'f = f , называется левым тождественным морфизмом морфизма f . Морфизмы e и e' для любых f и g получаются единственными.

Поучительно сравнить оба определения безобъектных категорий — классической и модифицированной. Имеется два отличия: в определении умножения морфизмов и в определении тождественного морфизма. Для классического определения категории используется частичное умножение, для модифицированного — всюду определенное. Мы знаем, что при использовании всюду определенного умножения морфизмов сохранить стандартное (как у моноида) определение единицы не удается по причине возникновения противоречия. И в модифицированной категории используется ослабленное определение единицы. Это уже не настоящая единица, а квазиединица. С виду определение тождественного морфизма остается как будто прежним: по-прежнему для любого морфизма f существуют единственный правый e и единственный левый e' тождественные морфизмы, удовлетворяющие условиям fe = f и e'f = f . В определении классической категории не сказано, что такие тождественные морфизмы единственные. Но это ничего не значит, поскольку эта единственность логически следует из определения классической категории. И для классической, и для модифицированной категорий это утверждение справедливо для любого морфизма f . Так где же отличия и ограничения на тождественные морфизмы? Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется предварительно переформулировать оба определения так, чтобы их тексты отличались только там, где имеются смысловые различия, и тогда станут ясно видны различия в определениях, и можно будет понять, с какой стороны что усилилось, а что ослабело.

Формулируем определение классической категории. Пусть м — множество всех морфизмов. Задано умножение морфизмов, представляющее собой однозначное, вообще говоря частичное, соответствие fg = h с областью отправления м х м и областью прибытия м . Умножение морфизмов ассоциативно: при любых f, g, h є м, для которых существуют произведения (fg)h, f(gh) є м , справедливо равенство (fg)h = f(gh) . Пусть e — множество всех единичных морфизмов (E с м). Для каждого e є E существует произведение ee є м . При любых f, g Є м и любых e, e'e E, для которых существуют произведения fe, e'g є м , выполняются равенства fe = f и e'g = g . Множество м , на котором задано описанное выше умножение морфизмов, все единичные морфизмы которого удовлетворяют перечисленным выше свойствам, называется безобъектной классической категорией к .

Формулируем определение модифицированной категории. Пусть м — множество всех морфизмов. Задано умножение морфизмов, представляющее собой однозначное и всюду определенное соответствие fg = h с областью отправления м х м и областью прибытия м . Умножение морфизмов ассоциативно: при любых f, g, h є м справедливо равенство

РИ, 2005, № 1

97

(fg)h = f(gh) . Пусть e — множество всех единичных морфизмов (E с M). При любых f, g є M существуют e,e'e E , для которых выполняются равенства fe = f и e'g = g . Множество m , на котором задано описанное выше умножение морфизмов, единичные морфизмы которого удовлетворяют перечисленным выше свойствам, называется безобъектной модифицированной категорией к .

Сравним тексты определений классической и модифицированной категорий. В определении классической категории имеются пять текстовых сегментов, которые отсутствуют в определении модифицированной категории, а в определении модифицированной категории имеются два текстовых сегмента, которые отсутствуют в определении классической категории. Все они подчеркнуты. Первый, второй и пятый текстовые сегменты в определении классической категории, а именно “вообще говоря, частичное”, “для которых существуют произведения (fg)h,f(gh) є M ”, “для которых существуют произведения fe,e'g є M ”, не обязательны. Их наличие вызвано лишь тем, что умножение не всюду определено. Формулировка каких бы то ни было свойств имеет смысл только для тех морфизмов, которые существуют. Поэтому без текстовых сегментов можно было бы и обойтись, но в данном случае напоминание о частичности умножения уместно, так как частичное умножение используется в математике не часто, и оно, как правило, непривычно для читателя. Это не условия, а лишь комментарии к ним. Третий же текстовый сегмент в определении классической категории “Для каждого e є E существует произведение ee є M ” выражает настоящее условие. Но это условие не является отличительным для определения классической категории, поскольку произведение ее существует и в модифицированной категории. Но там оно существует автоматически, лишь в силу всюду определенности умножения. Это условие непосредственно логически вытекает из определения модифицированной категории. Его можно было бы записать и в определении модифицированной категории, но так делать не принято, поскольку оно явно излишне. Первый текстовый сегмент в определении модифицированной категории “и всюду определенное” свидетельствует о том, что умножение морфизмов в модифицированной категории обладает более сильными свойствами, чем в классической. Четвертый текстовый сегмент “и любых” в определении классической категории и заменяющий его второй сегмент “существуют” в определении модифицированной категории свидетельствуют о том, что единицы в модифицированной категории обладают более слабыми свойствами, чем в классической. Итог сравнения определений классической и модифицированной категорий таков: при переходе от классической категории к модифицированной умножение морфизмов усиливается, а единицы ослабляются. Это значит, что классическая категория не является частным случаем модифицированной, а модифицированная категория не

является частным случаем модифицированной. Это разные алгебры, ни одна из них логически не следует из другой. Ни одну из них нельзя получить из другой в результате обобщения или конкретизации.

7. Заключение

Какое же место занимает модифицированная категория в иерархии общих алгебр? На этот вопрос отвечает схема, изображенная на рис. 11.

Рис. 11

Модифицированная категория располагается выше моноида, но ниже полугруппы. Она находится в ряду алгебр со всюду определенной главной операцией. Классическая категория, как и модифицированная, обобщает понятие моноида, но по-иному. Она не является частным случаем полугруппы. Ее введение можно рассматривать как уход в сторону с магистрального пути развития математики. Введение же модифицированной категории возвращает понятие категории в семью алгебр со всюду определенной главной операцией. Теперь открывается возможность разработки теории модифицированных категорий параллельно с теорией классических категорий. Может так случиться, что теория модифицированных категорий окажется интересным объектом для теоретических изысканий и важным средством для практических применений. Оказывается, что диаграммы теории модифицированных категорий после их предикатной интерпретации совпадают с логическими сетями мозгоподобных ЭВМ [5]. Это вселяет надежду на то, что теория модифицированных категорий станет со временем теоретической базой для построения мозгоподобных ЭВМ параллельного действия.

Заметим, что понятия классической и модифицированной категорий можно обобщить, в результате получаем алгебру, которая называется квазикатегорией. Из классической категории в ней используется ослабленное умножение морфизмов, а из модифицированной — ослабленные единицы. Положение квазикатегории в иерархии алгебр показано на рис. 11. Ниже приводится определение квазикатегории.

Пусть м — множество всех морфизмов. Задано умножение морфизмов, представляющее собой однозначное, вообще говоря, частичное, соответствие

98

РИ, 2005, № 1

fg = h с областью отправления m x M и областью прибытия m • Умножение морфизмов ассоциативно.: при любых f, g, h є M , для которых существуют произведения (fg)h, f(gh) є M , справедливо равенство (fg)h = f(gh) • Пусть e — множество всех единичных морфизмов (E с M) • Для каждого e є E существует произведение ee є M • При любых f, g є M существуют e, e'e E, для которых выполняются равенства fe = f и e'g = g . Множество м , на котором задано описанное выше умножение морфизмов, все единичные морфизмы которого удовлетворяют перечисленным выше свойствам, называется квазикатегорией к • Представляется, что теория квазикатегорий может выполнять роль теоретической базы для построения самосовершенствующихся мозгоподобных ЭВМ^

Научная новизна. Впервые введено понятие модифицированной категории Это алгебра, которая в иерархии общих алгебр с бинарной операцией располагается между полугруппой и моноидом^ Понятие модифицированной категории открывает путь к разработке новой теории Также впервые введено понятие квазикатегории как обобщение понятий классической и модифицированной категорий

Практическая значимость. Сделаны первые шаги на пути разработки теории модифицированных категорий • Эта теория призвана стать теоретическим фундаментом для построения высокопроизводительных ЭВМ параллельного действия нового поколения (или мозгоподобных ЭВМ [5])

Литература: 1. Голдблатт Р. Топосьь Кате горный анализ лотка Мл Мир, 1983^ 486 с 2. Маклейн С. Гомоло-

УДК 681,518

МОДЕЛИ И КРИТЕРИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ СЕТИ С ПОЗИЦИИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

САЕНКО В.И, ВАСИЛЕНКО М.В.____________

Рассматривается проблема формировании эффективных методов, позволяющих осуществить контроль состояния сети и оценить влияние на нее таких факторов, как информационные задачи. Предлагается модель системы и критерии функционирования сети с позиции обеспечения функциональности информационных задач^

1. Актуальность и описание проблемы

В настоящее время получение эффективных решений на предприятии во многом зависит от степени автоматизации решения различных информационных и функциональных задач • В большинстве

гая Мл Мир, 1966^ 543 с 3. Боггс У., Боггс М. UML и Rational Rose^ Мл ЛОРИ, 200L 590 с 4. Баталин А.В., Тевяшев А.Д., Шабанов-Кушнаренко Ю.П. О системном анализе информационных процессов // Радиоэлектроника и информатика^ 1998^ № 3^ С 102-110^ 5. Бондаренко М. Ф, Дударь З.В., Ефимова И.А., Лещинский В.А., Шабанов-Кушнаренко С.Ю. О мозгоподобных ЭВМ^ // Радиоэлектроника и информатика^ 2004• № 2^ С 89-105^ 6. Ротин И.М. Линейные и билинейные логические операторы и их применение в автоматизированных информационных системах^ Дисс на соиск уч^ стен канд^ техн наук Хл ХТУРЭ, 1994^ 103 с

Поступила в редколлегию 20Л6Л004

Рецензент: д-р теха наук, проф^ Хаханов В^И

Бондаренко Михаил Федорович, д-р теха наук, профессор, ректор ХНУРЭ^ Научные интересы: информатика, мозгоподобные ЭВМ^ Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр^ Ленина, 14, тел^ 43-30-53^

Дударь Зоя Владимировна, канд^ теха наук, профессор кафедры программного обеспечения ЭВМ ХНУРЭ^ Научные интересы: алгебраическая логика, модели языка Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр^ Ленина, 14, тел^ 702-14-46•

Иванилов Артем Александрович, аспирант кафедры программного обеспечения ЭВМ ХНУРЭ^ Научные интересы: логическая алгебра, логические сета Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр^ Ленина, 14, тел^ 702-14-4&

Маникин Вадим Владимирович, студент ХНУРЭ^ Научные интересы: логическая алгебра, логические сета Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр^ Ленина, 14, тел^ 702-14-44

Шабанов-Кушнаренко Юрий Петрович, д-р теха наук, профессор кафедры программного обеспечения ЭВМ ХНУРЭ^ Научные интересы: теория информатизации • Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр^ Ленина, 14, тел^ 702-14-44

случаев существует необходимость обеспечения непрерывного решения этих задач в сета При этом сеть рассматривается как сложная система, состояние которой во многом зависит от существующих в ней процессов • Каждый процесс требует определенных ресурсов сети и может быть связан с решением какой-либо информационной задача Рано или поздно наступает момент, когда этих ресурсов оказывается недостаточно • В этом случае качество работы сети ухудшается^ Одним из путей решения задачи, связанной с обеспечением определенного уровня функционирования сети, является своевременное выявление критического состояния сети или ее отдельных участков. Следовательно, решение любых задач, позволяющих осуществить прогноз состояния сети или оценить прогнозируемую нагрузку на сеть, представляется актуальным^

Проблема состоит в формировании эффективных методов, позволяющих осуществить контроль состояния сети и оценить влияние на нее различных возмущающих факторов^ Одними из таких факторов являются информационные задачи, решаемые в сета

РИ, 2005, № 1

99