Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в спутный поток Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И Т о м IX 197 8

УДК 532.525.2.011.5.032

РАСЧЕТ ВЯЗКОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ, ИСТЕКАЮЩЕЙ В СПУТНЫЙ ПОТОК

Б. Д. Ковалев, В. И. Мышенков

Предложен метод расчета начального участка вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в спутный поток. Метод основан на использовании уравнений Навье—Стокса, решаемых с помощью неявной разностной схемы расщепления. Проведены численные параметрические исследования и установлены закономерности влияния на параметры вязкой струи и ее конфигурацию числа М спутного потока, числа Ие, температурного фактора и неравномерности профиля скорости струи. Проведено сравнение численного решения уравнений Навье—Стокса с приближенным решением.

Задаче об истечении сверхзвуковой струи в спутный сверхзвуковой поток посвящено много работ как теоретических [1—5], так и экспериментальных [5—9], в которых решены многие вопросы взаимодействия двух газовых потоков и найдены основные закономерности изменения газодинамических характеристик. Большинство теоретических исследований основано на использовании модели идеального газа (уравнений Эйлера) и решении задачи Коши [1, 2].

Имеющиеся работы по исследованию истечения вязких струй в спутный поток также основаны на решении задачи Коши, но для упрощенной системы уравнений Навье —Стокса, близкой к модели типа пограничного слоя [4]. Такая постановка задачи позволила существенно продвинуться в исследовании вязкого-взаимодействия двух потоков и получить важные результаты. Однако подобное рассмотрение задачи имеет ряд недостатков, главным из которых является неопределенность в задании начальных условий. Для задачи об истечении струи идеального газа вопрос о задании начальных профилей газодинамических параметров является более или менее решенным, чего нельзя сказать о задаче об истечении струи вязкого газа. Поэтому при задании начальных условий для последней задачи обычно прибегают к различным упрощениям, например-к сглаживанию начальных профилей и др. Конечно, на больших расстояниях от среза сопла влияние неточности задания начальных данных ослабевает, и решение выйдет на свое асимптотическое значение, но на начальном участке струи это влияние может оказаться значительным. Кроме того, в такой постановке можно решать задачи истечения струи лишь в спутный сверхзвуковой поток, поскольку необходимым условием корректности задачи Коши является существование во всей, рассматриваемой области сверхзвукового значения продольной составляющей скорости.

В настоящей статье предлагается метод расчета истечения струи в спутный поток произвольной скорости, свободный от этих недостатков, поскольку он основан на решении задачи Дирихле, учитывающей и обратное влияние в течении. Для расчетов струй с большими степенями нерасчетности полную задачу следует решать, разбивая на части рассматриваемую область течения и получая

решения для каждой области последовательно. Поскольку этот прием при реализации на существующих вычислительных машинах может вызвать существенные затраты машинного времени, то там, где это возможно, целесообразно такую постановку задачи (задача Дирихле) использовать лишь на начальном участке взаимодействия струи с целью корректного получения начальных данных для задачи Коши.

1. Рассмотрим осесимметричную задачу истечения струи совершенного вязкого газа в спутный поток того же газа при условии, что параметры потока заданы на границах исследуемой замкнутой области: в плоскости среза сопла, на бесконечности по х, у (прямоугольные цилиндрические координаты) и на твердой поверхности (если она имеется).

Из-за наличия сложных диссипативных процессов задачу будем решать в рамках полных уравнений Навье—Стокса конечно-разностным методом установления с помощью неявной схемы расщепления [10], предполагая существование и единственность решения при достаточно гладких краевых условиях. Используемая система уравнений и разностная схема приведены в работе [11].

В качестве характерных параметров примем параметры струи на срезе сопла ра, иа, [хв, а в качестве характерного размера — радиус среза сопла га. Здесь р, и, (л—плотность, составляющая вектора скорости по х, коэффициент вязкости газа соответственно. Внутреннюю энергию на срезе сопла еа определим по формуле еа =!/*.(%—1)Мд, где у. — показатель адиабаты, Ма—число М на срезе сопла.

Решение задачи в силу осесимметричности течения будем искать в верхней части меридиональной плоскости х, у, в области, ограниченной слева плоскостью среза сопла и поверхностью а сверху—поверхностью достаточно удаленной от оси симметрии, чтобы там можно было задавать условия, адекватные условиям на бесконечности в спутном потоке (фиг. 1). Снизу область интегрирования ограничивается осью симметрии, на которой задаются условия симмет-д? ди де

ричности = -ду =1»=-^ =0 (V — составляющая скорости по у). С правой

стороны область ограничивается находящейся на достаточном удалении от среза сопла поверхностью £2, на которой задаются условия гладкого сопряжения типа д/ д*/ , .

-^ = 0, либо -^2 =0 (/=(р, и, V, е)). Положение поверхности определяется

из условия, чтобы возмущения от правой границы не искажали течения в окрестности среза сопла. На твердой поверхности, если она имеется в задаче, задаются условия прилипания потока и температура стенки 7*,^, == 300 К.

Начальные условия можно задавать довольно произвольно. В настоящих расчетах часть рассматриваемой области заполнялась параметрами струи, другая — параметрами, равными параметрам спутного потока.

2. Решение задачи истечения сверхзвуковой струи вязкого газа в спутный поток получено при х=1,4, числе Прандтля Рг = 0,71, числе М на срезе сопла Ма = 2, степени нерасчетности п — 10 для широкого диапазона изменения характерных параметров струи и спутного потока: О^М^^б, 50<Ие<;104, относи-

Ма=2; Ле^О3; п=10

7

V ¥

0,8 0,5

0,2

'02 0 2 0 2 4 у

Фиг, 3

х=1 Х=2,Ь Х=5,6

1 / С*

Ке=50 №*50 1 / Яе*50

V 4 103 ю х103 У/

/

У

тельной температуры струи Таса= Т^Т^, 1<;7'аСо^®> толщины Ьа вязкого слоя струи с косинусоидальным законом скорости 0,06<;8а<1. В спутном потоке толщина вязкого слоя с параболическим законом скорости во всех расчетах принималась равной 6^ = 0,125.

Рассматриваемая область течения содержала более 1 700 расчетных точек (42 X 41). В расчетах использовались неравномерные сетки, чтобы удовлетворить условиям корректной постановки задачи и выявить наиболее интересные особенности течения.

Влияние числа Мш спутного потока на параметры течения исследовалось при Ие = 103, Ма = 2, п — 10, Таоа= 1, толщине вязкого слоя на срезе сопла 8а = 0,25 в диапазоне 0<МЮ<6. Полученные на основании расчетов распределения газодинамических параметров в различных продольных и поперечных сечениях течения показывают четкое разделение области течения на основные подобласти, характерные для данной задачи: ядро струи, висячие ударные волны, ударные волны в спутном потоке, спутный поток и др. Наиболее четко особенности течения проявляются в распределении статической температуры. Повышение температуры в поперечном сечении потока (фиг. 2) вызывается возникающим в струе висячим скачком, ограничивающим первую „бочку“ струи. Дальнейшее повышение температуры с образованием экстремума обусловлено уже действием косой ударной волны в спутном потоке. С увеличением числа ■¡^>1 величина этого экстремума монотонно возрастает. Аналогичным образом в поперечных сечениях течения изменяется и распределение давления.

Из результатов расчета следует, что при дозвуковых скоростях спутного потока увеличение его скорости приводит к возрастанию длины первой „бочки“ струи и соответствующему изменению параметров в ней. При сверхзвуковых скоростях спутного потока увеличение М^, как известно [1,2], наоборот, сокращает длину .бочки“ и вызывает повышение в ней давления и температуры. Однако диаметр первой „бочки“ с увеличением числа М^., спутного потока монотонно уменьшается в исследованном диапазоне чисел М^.

Влияние числа Ие на истечение сверхзвуковой струи в спутный сверхзвуковой поток исследовалось при Ма = 2, Мга = 4, и = 10, Та(х=\, 8а —0,25 и числах 50 Не 10*. Как показали расчеты, наиболее резкое изменение параметров струи имеет место при больших числах Ие, когда действие сил вязкости проявляется в более узких областях. С уменьшением числа Ие изменение параметров течения становится более плавным, характерные размеры струи (первая „бочка“) сокращаются и при Не<102 бочкообразная структура струи исчезает совсем (фиг. 3)*. Вязкое взаимодействие при этом распространяется дальше от

* Результаты расчетов для Ие = 10* дают более резкое изменение параметров течения, чем для Яе «= 103, однако, чтобы не загромождать графики, на фигурах не приведены.

оси струи, образуя при малых числах Ие некоторую довольно однородную структуру уже на расстоянии Ъга от среза сопла. Лишь у кромки сопла на границе струи и спутного потока с уменьшением числа Ие появляется монотонно усиливающийся с числом Яе экстремум температуры и давления, обусловленный вязким взаимодействием. На больших значениях у в спутном потоке наблюдается лишь вызванное ударной волной изменение газодинамических параметров, область которого с уменьшением числа Ие увеличивается.

Реальные струи, истекающие в спутный поток, как известно, всегда имеют неравномерный профиль скорости на срезе сопла вследствие наличия пограничного слоя на стенке сопла. Правда, практически редко удается его определить с достаточной точностью. Поэтому представляет большой интерес исследовать влияние формы начального профиля струи (толщина вязкого слоя) на картину и параметры струйного течения. Эти исследования проведены для Ма=2, = 4,

Ие = Юз, п = ю, г

1 при изменении толщины вязкого слоя Ьа в диапазоне

0,06<5а< 1. Профиль продольной составляющей скорости и задавался от стенки сопла до Ьа в виде косинусоиды, а далее до оси струи полагался равномерным: ы= 1. При этом всюду в сечении среза сопла г;=0.

Из фиг. 4 видно, что изменение толщины вязкого слоя на срезе сопла существенно меняет картину струйного течения и его параметры (в некоторых случаях в несколько раз) во всей области взаимодействия на начальном участке струи. Увеличение толщины вязкого слоя 5а уменьшает характерные размеры струи (продольные и поперечные размеры первой „бочки*) и снижает интенсивность ударной волны в спутном потоке. Однако интенсивность висячего скачка уплотнения в струе при этом, как видно из фиг. 4, возрастает. Учитывая сказанное, при практических расчетах параметров реальной струи необходимо учитывать неравномерность действительного профиля струи на срезе сопла.

Большой практический интерес представляет исследование влияния относительной температуры струи Тадо на параметры струйного течения, поскольку реальные струи, истекающие в спутный поток, имеют всегда относительную температуру больше единицы. К тому же экспериментальные исследования этого влияния сопряжены зачастую со значительными техническими трудностями, а поэтому ограничиваются исследованием струйного течения при Таоо—1.

Исследование влияния относительной температуры струи было проведено для следующих характерных параметров течения: Ма=2, = 4, Не = 10а,

п= 10, 80 = 0,25 при изменении Таоо в диапазоне 1<7’а00<8, т. е. при фиксированной 7^ = 300 К температура струи на срезе сопла менялась в пределах 300 К < 7а<2400 К.

Расчеты показали, что с изменением Таоэ давлейие и число М на начальном участке струи меняется довольно мало, лишь при х > 5 заметно некоторое их расхождение (давление р растет, а число М падает с увеличением Таа0). Наи-

но и Т„

большие расхождения параметров течения наблюдаются у границы струи, здесь они не очень велики. Характерные размеры струи с изменением практически не меняются. Следует отметить некоторую немонотонность изменения параметров р и М при изменении температурного фактора с 1 до 2, что,

Мд-2; Яе-103; п=М

V

0,4

0,3

0,2

0,1

Х-І ’Л х=5,б

\ <?а-0,06 /■0,6 <8 =о,ов

\Г > и 0,06 о,в . 1

"ч У/У

1

V %о 0,8 0,6 О А о,г

Х‘ г X- / і я-.=3,6

S Та^“1 и 1 л Та^П

I

\ 2 V 2 2

\

8 , 8 V 8

Фиг. 4

Фиг. 5

вероятно, объясняется некоторым перетеканием тепла из зоны вязкого взаимодействия вследствие наличия больших отрицательных градиентов температуры ПРИ та«, = *•

Наибольшее влияние относительная температура струи оказывает на распределение плотности и температуры, поскольку изменение Тасо при п — const вызывает изменение плотности и температуры спутного потока. Эти различия, как видно из фиг. 5, тем больше, чем дальше рассматриваемая область отстоит от оси струи. На оси струи изменение плотности и температуры с 71 идентично изменению давления. Экстремальные значения температуры в области взаимодействия струи со спутным потоком с увеличением Таов убывают, а соответствующие значения плотности растут. Эта закономерность сохраняется на всем протяжении рассматриваемого участка струи.

Сравним полученные результаты с данными расчета струй идеального газа и результатами приближенного метода, заключающегося в формальном наложении на тангенциальный разрыв решения для идеального газа (границу струи) известного автомодельного профиля в слое смешения [12]. Такое сравнение проводилось для случая Ма = 2, Мсо = 4, я = 10, Тадо =1. Расчет струи идеального газа выполнен В. И. Усковым по методике работы [2].

Анализ полученных результатов показал, что нижней границей возможного применения приближенного метода расчета (при Ма = 2, = 4, п = 10) следует

считать число Re ¡г 500, поскольку при меньших числах Re слой смешения будет занимать всю область сжатого слоя, и такое приближенное рассмотрение струйного течения (течение идеального газа + слой смешения) утрачивает силу. При Re < 500 рассмотрение течения возможно только в рамках уравнений Навье— Стокса.

Сравнение решения задачи для идеального газа с наложенным на границу струи слоем смешения с решением задачи в рамках уравнений Навье—Стокса показывает удовлетворительное соответствие распределений продольной составляющей скорости в поперечных сечениях струи при Re = 103, особенно в окрестности среза сопла, что объясняется лучшей аппроксимацией задачи в этой области разностными уравнениями. Хорошее соответствие профилей скорости имеет место выше границы идеальной струи в области сжатого слоя спутного потока. Ниже этой границы струи (в области сжатого слоя струи) соответствие хуже— толщина слоя смешения получается меньше.

Сравнение профилей температуры, полученных этим методом (фиг. 6), показывает хорошее их соответствие во всей области течения, кроме области сжатого слоя за ударной волной в спутном потоке. Это расхождение вызывается, главным образом, диссипативными свойствами разностной схемы при прохождении ударной волны и недостаточным числом точек сетки в этой области. Кроме того, следует заметить, что экспериментальные распределения параметров в области сжатого слоя и ударной волны всегда получаются более плавными, а значения их не столь большими, как при расчетах с выделением скачков [1—3].

В этом смысле более точного описания явления с помощью уравнений Эйлера (модель идеального газа) добиться уже нельзя, тогда как посредством уравнений Навье—Стокса этого можно достигнуть, улучшив аппроксимацию задачи в областях наиболее резкого изменения ее параметров (например, увеличив густоту сетки), решая ее методом последовательного прохождения частично перекрывающихся областей и выделения отдельных подобластей. В известной мере эта методика близка к решению задачи типа Коши. Решение, от-

Т

1— уравнения Эйлера, задача .п

Коши [2J;

2—Яе = 10*, — автомод. профиль

3—Ке = 108, / и на границу дд

4—Ие=:500 струи из решения 1

5— Яе=103, уравнения Навье—

Стокса (настоящая работа); иут

8—Ке=104, уравнения Навье— токса (упрощенные), задача Коши, густота сетки увеличена

вдвое (настоящая работа) д

Фиг. 6

1 2 J 4- у

9 —Ученые записки № 3

129

меченное на фиг. 6 точками, которое было получено нами в рамках аналогичного подхода (задача Коши для упрощенных уравнений Навье—Стокса) с увеличенным вдвое числом расчетных точек в слое смешения, наглядно демонстрирует возможности указанной методики. Однако вопрос о сглаживании сильных разрывов (ударных волн) остается. Дело в том, что при небольших числах Ие < 10‘ и степенях нерасчетности л >100 местные числа Ие на ударных волнах будут малыми, а сами ударные волны достаточно протяженными, поэтому замена их поверхностями разрыва становится неправомерной. Не случайно во многих экспериментальных работах, например [6, 7], наблюдается довольно плавное и меньшее по величине, чем в случае идеального газа, изменение параметров течения во фронте ударной волны. Поэтому представляется, что здесь также более правомерно рассмотрение задачи в рамках уравнений Навье—Стокса (или их упрощенной модификации—задачи Коши) при условии хорошей аппроксимации задачи во всей области.

Авторы выражают благодарность Ю. А. Демьянову за ряд полезных замечаний при выполнении настоящей работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аверенкова Г. И., Ашратов Э. А., Волконс-

кая Т. Г., Дьяконов Ю. Н., Егорова Н. И., Мельников Д. А., Р о с л я к о в Г. С., Усков В. И. Сверхзвуковые струи идеального газа. Ч. 1, 2, изд-во МГУ, 1970.

2. Дьяконов Ю. А., Усков В. И. Расчет сверхзвуковых смуй идеального газа методом сеток. „Труды НИИ механики МГУ“, 1970, № 5.

3. Аверенкова Г. И., Ашратов Э. А., Волконская Т. Г. Исследования параметров осесимметричных недорасши-

ренных струй идеального газа. В сб. „Вычислительные методы и программирование“, изд-во МГУ, вып. 15, 1970.

4. Бондарев Е. Н., Горина А. Н. Решение задачи о сверхзвуковой ламинарной струе в спутном потоке разностным методом. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1968, № 4.

5. Глотов Г. Ф., Жохов В. А., Куканов Ф. А., К у к а-

н о в а А. И., С о и н о в А. И. Исследование течений с газовыми

струями. Обзор БНТИ ЦАГИ № 290, 1969.

6. Авдуевский В. С., Иванов А. В., КарпманИ. М., ТрасковскийВ. Д., ЮделовичМ. Я. Течение в сверхзвуковой вязкой недорасширенной струе. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 3.

7. Авдуевский В. С., Иванов А. В., К а р п м а н И. М., Трасковский В. Д., Юделович М. Я. Влияние вязкости на течение в начальном участке сильно недорасширенной струи. „ДАН СССР“, т. 197, № 1, 1971.

8. В о л ч к о в В. В., Иванов А. В., К и с л я к о в Н. И., Ребров А. К., Сухнев В. А., Шарафутдинов Р. Г. Струи низкой плотности за звуковым соплом при больших перепадах давления. ПМТФ, 1973, № 2.

9. Шарафутдинов Р. Г. Исследование структуры недорас-ширенных струй низкой плотности с помощью пучка электронов. Диссертация на соиск. уч. степ. к. физ.-мат. н., Новосибирск, Институт теплофизики СО АН СССР, 1969.

10. Березин Ю. А., К о в е н я В. М., Я и е н к о Н. Н. Об одной неявной схеме расчета течения вязкого теплопроводного газа. В сб. „Численные методы механики сплошной среды“, т. 3, № 4, 1972.

11. Ковалев Б. Д., Мышенков В. И. Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IX, № 2, 1978.

12. Вулис Л. А., Каш ка ров В. П. Теория струй вязкой жидкости. М., „Наука“, 1965.

Рукопись поступила З/У 1977 г.

меченное на фиг. 6 точками, которое было получено нами в рамках аналогичного подхода (задача Коши для упрощенных уравнений Навье—Стокса) с увеличенным вдвое числом расчетных точек в слое смешения, наглядно демонстрирует возможности указанной методики. Однако вопрос о сглаживании сильных разрывов (ударных волн) остается. Дело в том, что при небольших числах Ие < 101 и степенях нерасчетности я>100 местные числа Ие на ударных волнах будут малыми, а сами ударные волны достаточно протяженными, поэтому замена их поверхностями разрыва становится неправомерной. Не случайно во многих экспериментальных работах, например [6, 7], наблюдается довольно плавное и меньшее по величине, чем в случае идеального газа, изменение параметров течения во фронте ударной волны. Поэтому представляется, что здесь также более правомерно рассмотрение задачи в рамках уравнений Навье—Стокса (или их упрощенной модификации—задачи Коши) при условии хорошей аппроксимации задачи во всей области.

Авторы выражают благодарность Ю. А. Демьянову за ряд полезных замечаний при выполнении настоящей работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аверенкова Г. И., Ашратов Э. А., Волконс-

кая Т. Г., Дьяконов Ю. Н., Егорова Н. И., Мельников Д. А., Р о с л я к о в Г. С., Усков В. И. Сверхзвуковые струи идеального газа. Ч. 1, 2, изд-во МГУ, 1970.

2. Дьяконов Ю. А., Усков В. И. Расчет сверхзвуковых свдуй идеального газа методом сеток. „Труды НИИ механики МГУ“, 1970, № 5.

3. Аверенкова Г. И., Ашратов Э. А., Волконская Т. Г. Исследования параметров осесимметричных недорасши-

ренных струй идеального газа. В сб. „Вычислительные методы и программирование“, изд-во МГУ, вып. 15, 1970.

4. Бондарев Е. Н., Горина А. Н. Решение задачи о сверхзвуковой ламинарной струе в спутном потоке разностным методом. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1968, № 4.

5. Глотов Г. Ф., Жохов В. А., Куканов Ф. А., К у к а-

н о в а А. И., С о и н о в А. И. Исследование течений с газовыми

струями. Обзор БНТИ ЦАГИ № 290, 1969.

6. Авдуевский В. С., Иванов А. В., КарпманИ. М., ГрасковскийВ. Д., ЮделовичМ. Я. Течение в сверхзвуковой вязкой недорасширенной струе. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1970, № 3.

7. Авдуевский В. С., Иванов А. В., К а р п м а н И. М., Трасковский В. Д., Юделович М. Я. Влияние вязкости на течение в начальном участке сильно недорасширенной струи. „ДАН СССР“, т. 197, № 1, 1971.

8. В о л ч к о в В. В., Иванов А. В., К и с л я к о в Н. И., Ребров А. К., Сухнев В. А., Шарафутдинов Р. Г. Струи низкой плотности за звуковым соплом при больших перепадах давления. ПМТФ, 1973, № 2.

9. Шарафутдинов Р. Г. Исследование структуры недорас-ширенных струй низкой плотности с помощью пучка электронов. Диссертация на соиск. уч. степ. к. физ.-мат. н., Новосибирск, Институт теплофизики СО АН СССР, 1969.

10. Березин Ю. А., К о в е н я В. М., Я н е н к о Н. Н. Об одной неявной схеме расчета течения вязкого теплопроводного газа. В сб. „Численные методы механики сплошной среды“, т. 3, № 4, 1972.

11. Ковалев Б. Д., Мышенков В. И. Расчет вязкой сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IX, № 2, 1978.

12. Вулис Л. А., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости. М., „Наука“, 1965.

Рукопись поступила 31V 1977 г.