О многомерном аналоге алгоритма Кули-Тьюки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.677

А. В. Старовойтов

О МНОГОМЕРНОМ АНАЛОГЕ АЛГОРИТМА КУЛИ-ТЬЮКИ*

Представлено применение рекуррентных последовательностей ортогональных базисов на п -мерный случай

для вывода формул варианта быстрого п -мерного преобразования Фурье, использующего

2п -1

-Ып ^2Ж комп-

лексных умножений и пМп^2^ комплексных сложений, где N = 2"' - число отсчетов по одной из осей.

Ключевые слова: пространство сигналов, последовательность ортогональных базисов, многомерное дискретное преобразование Фурье.

Рекуррентные последовательности ортогональных базисов в пространстве сигналов хорошо изучены [1] и имеют многочисленные приложения, в том числе для получения формул быстрого преобразования Фурье.

В данной работе обобщение рекуррентных последовательностей ортогональных базисов на п-мерный случай применяется для вывода формул варианта быстрого п-мерного преобразования Фурье (пБПФ), использую-2п -1

щего ———N ^2Х комплексных умножений и

пЫ" комплексных сложений, где N = 2" - число

отсчетов по одной из осей (известный в литературе, см., например [2]). Этот вариант пБПФ содержит меньшее число операций комплексного умножения, чем обычно применяемый, в котором многомерное преобразование Фурье осуществляется повторным применением одномерных БПФ (см., например, [3; 4]).

При построении п-мерных реккурентных последовательностей ортогональных базисов мы придерживаемся схемы изложения, предложенной в [1] для одномерного случая.

Пространство периодических и-мерных сигналов. Для

полноты изложения мы приводим определения и основные утверждения из теории многомерных сигналов, которые будем использовать далее.

Определение 1. При фиксированном N будем называть п-мерным периодическим сигналом периодическую, с периодом N по каждой переменной, комплекснозначную функцию целочисленного аргумента.

Вместе с операциями сложения двух сигналов х х2:

У( у) = х1( у) + х*2 (у) и умножения сигнала х на комплексное число с:

У( у ) = с • х( у),

где х(/) - отсчет сигнала х в точке у е 2п, множество сигналов С"„ становится линейным комплексным пространством. Нулевым элементом в CN является сигнал

О такой, что О(у) = 0 при всех у е 2п. Введем в C; скалярное произведение и норму:

<х, У> = X х(У)У(У),

УеВп( N) \ 1/2

Определение 2. Единичным п-мерным периодическим, с периодом N по каждой переменной, импульсом назовем сигнал 8"к такой, что 8"к ( у) = 1, если каждая ко -ордината вектора у делится на N и 8"к(у) = 0 в противном случае.

Для единичного импульса справедливы следующие утверждения, вытекающие сразу из определения.

1. 5^(у„..., уп) = 5;(Ц !,...,!;„!);

2. 5^ (у^.у ) = 5^ (у;) •... ^ (уп);

3. Для х е CN справедливо равенство

х(у )= X хЦ^ (у - t) (1)

1еВп ( N )

при любом у е Вп (N).

2 л/

Пусть ехр(-----------). Тогда справедлива лемма 1:

N

у ,1)

N

(2)

1еВп (N)

где (у, t) - скалярное произведение векторов у и t.

Равенство (2) проверяется непосредственно.

Определение 3. п-кратным дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называется отображение ^ :CnN ® , сопоставляющее с сигналом х сигнал X

со значениями

X(у) = X х(Ф„(и\ у е Вп(N).

tеBn (N)

Отметим, что для ДПФ справедлива формула обращения

х« = ^ X Х (у) -1

,(у ,t)

!! х !!= <х, х>'

где Вп (N) - множество целочисленных векторов из [0, N - 1]п .

уеВп ( N )

и равенство Парсеваля: если X = ^ (х), У = ^ (у), то

< ^ у> = ^ <х ,У >.

Рекуррентные последовательности ортогональный базисов. Положим N = 2", Nn = 2!-у, Дп = 2Г-1. Построим рекуррентную последовательность базисов /0, /1, ..., /, где / - t -й базис, состоящий из ^ сигналов / (к), к е Вп (N). Значение сигнала / (к) в отсчете у = (Л,...,у„), у е Вп(Ы) будем обозначать, как /(к;у).

Обозначим через В1п (N) множество целочисленных векторов из [0, ^- 1]п, а через В2п (N) множество целочисленных векторов из [0, Дп - 1]п. Определим последовательность ортогональных базисов следующим образом:

* Работа поддержана грантом РФФИ 07-01 -00326.

п

/о( k; j) = SN (j - k) =

= SN(Л -kt)SN(j2 -k2)...SN(j„ -k„),k, j e 5^;

fv (/1 + S1Av + P1Av+1> l2 + S2Av +

+p2Av+1, /я +аиDv + p„Dv+1) =

1 1 (li + °'-

(3)

'A„ )

=1-1

w;

1 N -1 X/<:

jevv(q:)

q1=0 qn=0

X revv (Л-)

< X (k) fv (k = <fv (/1 + P1Av+1> — ln + Pn Av+ Л X (/1 + P1Av+1, + p'n Av+1)) =

A -1 A -1 7 /.rev (q.)

Av +1 1 Av +1 1 Z-J i v i

= < X ... X wA=+1

fo(q1 + P1Av+1, ..., qn + PnAv+1),

q1=0 qn=0

хХ-Д + 2Д+ тА, ..., /„ + 2Дурп + тиДV),

где Р = (Р1,..., Рп) е В;(N); I = (/;, ..., /п) е Ви2(N); с,, равно 0 или 1 при всех 1 = 1,п; V = 1,5.

Для изучения свойств рекуррентной последовательности базисов полезно использовать понятие реверсной перестановки [1].

Пусть у - целое число из множества J = {0,1, ...,2” -1} представимо в двоичной системе в виде у”-12”-1 +... + у12 + у0 где у1 =0,1 для всех 1 = 0,...,V-1. Вектор (у”-1,...,у;,у0)2 будем называть двоичным кодом числа у. Сопоставим с числом у число у; е J, которое задается двоичным кодом (у0, у;,..., у”-1)2. Перестановка геу„(у) = у; множества J называется реверсной. Для реверсной перестановки справедливы равенства:

2геу„ -;(д) = геу„ (д);

2геу„-1( д) + 1=геу„ (Д „ + д). (4)

Используя реверсную подстановку, легко показать,

что

X (/1 + РА+1,..., 4 + РпД V+1) =

п

\+1-1 \+1-1 X1,-V (д, }

= X... X ™Д=+1 />(д + РlДv+l,..., ди+РпДV+l),

где р = (Р1,..., Рп) е ВП( N) , I = (/1,..., /и) е В2( N) ,

V = 1,..., 5 .

В частности, при V = 5 имеем

V!- Дv+1 -1 X/':ГeУv (9,}

X ... X "Д=+1 /0 (д1+р1дV+l,..., д’п + рпДv+l )> =

д1=0 д'„=0

п

Дv+1-1 \+1 -1Дv+1-1 Дv+1-1 X1,Геуп (д, )-/'<IeУv (д,)

= X... X X!]... X 4+1 х

д1=0 дп=0 д1=0 д' =0

х 5^ (д1- д!+(Р1- р1 )Дv+l,..., ди - д'+(ри - рП А+1

Аргументы единичного импульса 5"„ по модулю не превосходят N -1. При р1 = р' при некотором t аргументы отличны от нуля при всех д1, д' е 0 : Дп+; -1,

1 = 1,..., N, поскольку ! -д' !< Дv+1 -1. Значит,

</V (к), /V(к')> = 0 при Ру * Р'у.

Пусть ру = р у. при всех у =1,..., п, тогда

п

Д -1 Д -1 / (/• -/• )геу (д.)

^+1 1 ^+1 1 ^ , 1 у 1

< /п (к), /V (к • )> = X... X ^^:+1 =

q1=0 qn=0

Xq;

= X... X "С = ^ 1 ,..., ).

д1=0 дп=0

Из последней формулы заключаем, что скалярное произведение < /V (к, /у (к' )> отлично от нуля только при ру = р ', /,. = /• при всех 1, у =1,п . В последнем случае !! /,(к1,...,ки)!!= Дv+l...Дv+l =2ИV при всех

к1,..., кп = 0: N -1. Теорема доказана.

Применение последовательности ортогональный базисов к быстрому дискретному преобазованию Фурье.

Пусть х(у) = х(у;, ...,уп) е , у е Вп(N). Сопоставим с сигналом х(у) сигнал х0(у) = х(геУ"(¿Х^деу,(уи)) и разложим х0 (у ) по базису / :

х0=2П7 X xv(k ) fv(k I

2 keB (N)

(5)

х5 N( у! - gl,..., уя - ди ) = "м0 .

Теорема 1. При каждом V = 0,..., 5 система сигналов /у = /у (к), к е Вп (N), ортогональна и Ц / (к)Ц2 = 2ИV.

Доказательство. Пусть п = 0 . Тогда

</>(к), /0(к' )> = X 5^ (у - к) •5'^ (у - к).

уеВп ( N)

Последняя сумма может быть отлична от нуля только в том случае, когда к = к', а в остальных случаях она равна 1, и теорема доказана.

Пусть теперь V = 1,5 . Возьмем к,к’ е Вп(N), которые представим в следующем виде:

к = ^ ..., к„ ) = (/1 + Р;^ ..., + Рп

к=(к; ,..., кп)=(/;+р; д V+1,..., ^+рП Дv+l)^ где / = (/;,..., /п) и /' = (// ,..., /') принадлежат Ви2(N), а Р = (Р;,..., Рп) и р' = (р; ,..., р’п) принадлежат В^). Тогда

где 2^7 - нормирующий множитель. Домножим обе

части равенства (5) скалярно на /, (/), для некоторого / e Bn (N). Тогда

< *0> /v (/)) = xv (/),

xv (k)= X x0(j) /V (k) =

jeBn ( N)

= X x(rev,(j1). ...,revi(jn))fv(k;j)

jeBn ( N)

и коэффициенты xn (k) в (5) определены.

В частности, при v = 0 имеем из (1)

Х0(k) = X x(revf(у!),...,

jeBn (N)

revs (jn )SN (j - k) = x(revs (k1),..., revs k)). (6)

Из рекуррентных соотношений (3) имеем:

xv(/j + 8Д, + ptAv+1,ln +5ИDv + pnДv+1) =

= <X0, /v (l1 +d1Av + P1AV+1, ..., ln + dnAv + pnAv+1)) = n

1 1 XS (/i +SiAv)

= X- X 4+1 x

"1=0 Tn =0

X< ^ /v-1(l1 + 2AvP1 ft1Av, ..., ln + 2AvPn ftn Av )) =

(7)

1 1 X(l,- + SAv)

= X... X WT+1 Xv

X(l1 + 2Avp1 + тД,,..., ln + 2Avpn + tnAv),

где p = (p1,..., pn) є ^(W), l = (і1, ..., ln) є B2(W):

v = 1,..., 5,a ct1;.„,стп равно 0 или 1.

Так как

xs(k) = x(kx,..., k,) =

-X

, ki rev5 (і)

= X X(reV5 (j1),..., rev5 (jn)) • W

ІєЬп (W)

n

^ -Xkiii

= X x(і)Ww'=° = X(k),

ІєВп (W)

где k є Bn (N), то коэффициенты x5 (k) определяют компоненты спектра сигнала x на основном периоде.

Из (6) и (7) получаем реккурентную схему для вычисления спектра сигнала x є CnW :

x0(k) = x(rev5(kj,..., rev5(kn));

xv (l1 +S1Av + p1Av+1> .... ln +snAv + pnAv+1) =

1 1 Xt ^-V

= X... X wc x

(8)

Б(ст) = 5 (0,0) = / (0,0) + / (1,0) + / (0,1) + / (1,1) =

= (/ (0,0) + / (1,0)) + (/ (0,1) + / (1,1)) = 5* + 5*; Б(ст) = 5 (1,0) = / (0,0) - / (1,0) + / (0,1) - / (1,1) =

= (/ (0,0) - / (1,0)) + (/ (0,1) - / (1,1)) = 5* + 5*; 5з(ст) = 5 (0,0) = / (0,0) + / (1,0) - / (0,1) - / (1,1) =

= (/(0,0) + /(1,0)) - (/(0,1) + /(1,1)) = 5* - 5*; ад = 5 (0,0) = / (0,0) - / (1,0) - / (0,1)+/ (1,1) =

= (/(0,0)-/(1,0))-(/(0,1)-/(1,1)) = 5* -54, где 5* = /(0,0) + /(1,0); 5* = /(0,0) - /(1,0);

5* = /(0,1) + /(1,1); 5* = /(0,1) - /(1,1).

Для вычисления 5*, 1 = 1, 2, 3, 4 требуется применить четыре сложения (вычитания), а для вычисления всех значений 5 требуется восемь таких операций, и утверждение леммы верно.

Пусть утверждение леммы верно при г = к, т. е. для произвольной функции g ^) все значения функции

5 (с^..., ск ) = X (о(-1)<а,°, t

где t = (^,..., tk), вычисляются за 2 • 2 сложений (вычитаний).

Рассмотрим г = к +1.

5 (с^ ..., ст*+1) =

= ^... 'X / (А,..., Ь+1) • (-1)У1+-+Ск+А+! =

^=0 tk+1=0

= ¿..X / (А,..., ^ ,0) • (-1)с1<1+-+сА +

¡;=0 1к=0

+^... X / (А,..., Ч ,1) • (-1)с11

о,t +...+ о. t, + о.

хху-1(/1 + 2Дvp1 +x1Дv, ..., /п + 2Д„ри +хиДv),

где Р = (Р;,..., Рп) е В'(N), / = (/;,..., /„) е В2(N),

V = 1,..., 5 и ст;,..., сти равны 0 или 1.

Найдем теперь число операций комплексного сложения и умножения, необходимых для нахождения спектра сигнала по схеме (8).

Лемма 2. При некотором г даны векторы t = ^;,...,tг) и с = (с;,..., сг), где t¡,с, е0,1. Тогда вычисление всех значений некоторой функции

5 (с) = X/ ^)(-1)<s,t> t

требует г^ 2г сложений (вычитаний).

Доказательство. Для доказательства применим индукцию по г.

Пусть г = 2. Тогда

5 (с) = 5 (ст;, СТ2) = XX/(tl, t2) • И)“11 +C2t2 =

^1 :0t2 =0

= / (0,0) + / (1,0)(-1)с; +

+/(0,1)(-1)с2 + / (1,1)(-1)с1+с2.

Обозначим

Введем обозначения:

S(о1, 02 , .... 0k ,0) = S1(°1, 02. .... 0k ) =

оt +...+ о, t.

= X... X / (t1,..., tk ,0) • (-1)01t1

t1=0 tk =0

+X...X / (t1,..., tk ,1) • (-D01t1+

t1 =0 tk =0

=X... X (/(t1,..., tk ,0)+/ (t1,..., tk ,1)) • (-1)

о A +■■■+ h.

S(01,02,...,оk,1) = S2(01,02,..., Ok) =

=X... X / (t1,..., tk ,0) • (-D01t1+

о t +...+ 0,t,

-X... X / ,і) • (-і)”1'1

?1=о гк=0

= X...Х</('і, •••> ,0) - /('і, •••, Ч,і)) • (-і)”1'1"•

¡1=0 'к =0

Определим, сколько требуется операций сложения (вычитания) для вычисления ^ и Б.

Обозначим /+ ('і,..., 'к) = /('і,..., 'к,0) +

+ /('і,..., 'к,і), /-('і,..., 'к) = /('і, 'к,0)-/('і= ■■■= 'к,і) •

Для в^гчисления всех значений /+ требуется 2к сложений

и для вычисления Б = X —X/ + ('і, •••, 'к ) • (-і)”і'і+ . + ”к'к

требуется к2к согласно индукционному предположе- Число комплексных произведений вида (11) равно нию. числу всевозможных векторов х = (х;,..., ти), где

Тогда общее количество операций сложения (вычита- х, е 0,1, т. е. 2п -1, так как при г = 0 имеем произведения) для вычисления 5 составит к2к + 2к. Такое же ко- ние действительных чисел. Так как параметр уе1:5, век-личество операций необходимо для Б2. торы / = (/;,..., /п) и р = (р;,..., рп), где

Поэтому определение всех значений 5 требует р1 =0,1,..., ^ -1 (N = N/2п), /1 =0,1,..., Дv -1

(к + 1)2к+1 сложений (вычитаний), что и требовалось до- (Д у = 21'-1), то общее количество комплексных умноже-

казать. м 2п -;

,1'< ~ V-1 \п ,п.П Х 1

Теорема 2. Реккурентная схема вычисления спектра ний равно s(2v '2 ) •(2 1) 2n W log2W ■

сигнала x є CW (W = 25)

2 2"

Найдем количество комплексных сложений в алгорит-x0(k) = x(revs(kj,..., revs(kn);

ме. При фиксированном v* и

xv(/1 + °A + P1Av+p ..., ln +snAv + PnAv+1) = = (C ..., /n*),P* = (P^ ..., P*„) имеем

1 1 Xt-(‘i +°/Av) (9) x*(/1* +S1A v* + PlAv*+1,•••, ln* +sn Av* + P* Av*+1) =

= Ю-Ю-С X 1 1 X (/* +*,<)

'Г° 'n=0 = XXwX x (12)

X xv -1 (/1 + 2An P1 +'1Av ,•••, ln + 2AvPn +'nA v X “0 t=0 Av*+1

1n

2n -1 n, Jr ~ xx * 1 (/* + 2P,*A +t1A *,..., /* + 2n*A +t A ,).

требует 2n N log2N комплексных умножений и v 11 1 v 1 v n n v n v

nN" log2N комплексных сложений.

Доказательство. Вначале найдем число комплексных умножений. Комплексные умножения производятся толь-

Из (10) следует, что для вычисления (12) нам требуется вычислить выражения

X* * * * *

/(х) = "Г°, ; х* ;(/1 + 2Р;Дп +X1ДV*, К + 2РА +хп

XV +1 V -1 __

х/(//+п,-Дv) которые зависят только от х = (х;,..., хп), где х, е 0:1.

ко при умножении на w;:0 . Определим, сколько Тогда (12) можно представить как

требуется произведений (9) при заданных параметрах х*(/* + 3Д* + рхДу*+1,..., /* + зпД^ + р*Д=

п*,/* = (/*,..., /*) и р* = (р*,..., р**). Для этого рассмотрим произведения

t .а.

+а. AvV)

1 1 X"'

= X...X(-і)"0 • /(т).

X xvV-1(lV + 2 p*Av +t1AvV, ..., l* + 2 pi A v +tn AvV),

Теперь из леммы 2 для вычисления

x^l- fs-Avv + pA*+i, ..., l* +Sn AvV + pi a vv+i) потребуется n2n комплексных сложений.

где 0. є 0,1. Так как параметр пє 1: s , векторы l = (l1,..., ln) и

Заметим, что p :(pl,■■■, pn), где p. ^Л^.^ W -1 (Wv = W/2v),

Zt. (l. + о .A *) 7 t7. ft .о .A *

'y' ' v*' ' ' ' ' v*

Av*fi n n

Xv* Xt'0'Av* X™ X"'7*

= wA=0fi • wA=0fi =(-1) '0 • "C-

т. е. произведение

n

X"'(/0+ai Av*

/1 = 0,1,..., Дv -1 (Дп = 21'-1), то общее количество комплексных сложений (вычитаний) равно

N -;

(10) 5(—• 2п )' • ('2') = nNnlog2 N. Теорема доказана.

Библиографические ссылки

і. Малоземов В. Н., Машарский С. М. Основы дискретного гармонического анализа. Ч. 2. СПб. : НИИ мате-Ждг*+і л матики и механики, 2003.

хх^Д* + 2рХ +хіДуі,..., I* + 2р*Ду +хиДу.) 2. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка мно-

при фиксированных (определенных) параметрах гомерныхсигналов : пер. с англ. М. : Миp, і988.

v ,l =(li,..., ln) и p =(pi,..., pn) можно заменить на комплексное произведение

n

Xt'lV

WA^0f1 • xv*-1(l1 + 2p-Av ."A- h + 2pnAv +tnДvV), (11)

3. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М. : Мир, 1989.

4. Опенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов : пер. с англ. ; под ред. С. Я. Шаца. М. : Связь,

X™

поскольку величина (-1)' 0 может принимать значения только ±1.

X

A. V. Starovoytov

ABOUT MULTIDIMENSIONAL ANALOG OF ALGORITHM OF COOLEY-TUKEY

In this article, recurring sequences of orthogonal basis in n-dimensional case has being applied for express of

2n -1

formulas of the n-dimensional fast Fourier transformation, which using ---Nn log N complex multiplication and

2n 2

nNn log2N complex addition, where N = 2s - number of counting on one of the axis.

Keywords: space of signals, orthogonal basis sequence, multidimensional discrete Fourier transform.

© Старовойтов А. В., 2010

УДК539.21:537.86

С. С. Аплеснин, А. И. Москвин

МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ, ИНДУЦИРУЕМЫЙ ОРБИТАЛЬНЫМ УПОРЯДОЧЕНИЕМ ЭЛЕКТРОНОВ

Исследована взаимосвязь орбитального порядка и температуры образования спонтанного магнитного момента, постоянной решетки, корреляционных функций орбитальных и магнитных моментов между ближайшими соседями в непрерывной модели Потса для ряда параметров электрон-решеточного и спин-решеточного взаимодействия. Найдено изменение диэлектрической проницаемости и орбитальных корреляционных функций во внешнем магнитном поле.

Ключевые слова: диэлектрическая проницаемость, магнитоэлектрический эффект, электрон-решеточное взаимодействие, орбитальный и спиновый момент.

Исследование мультиферроиков, в которых сосуществует хотя бы два из трех параметров порядка: магнитный, электрический или кристаллографический [1], является актуальной задачей, так как описывает возможность с помощью электрического поля управлять магнитными свойствами материала и, наоборот, осуществлять модуляцию электрических свойств магнитным полем. В перспективе такие материалы могут найти широкое техническое применение в качестве сенсоров, датчиков, устройств записи-считывания информации. Если в спиновой электронике запись информации происходит путем преобразования намагниченности в электрическое напряжение, то в мультиферроиках связь между магнитной и электрической подсистемами проявляется через магнитоэлектрический эффект [2; 3].

Твердые растворы 03X^11^8 можно отнести к классу мультиферроиков [4]. В области температур Т = 230 К обнаружена корреляция между упругой, магнитной и электрической подсистемой. Это подтверждается следующими фактами: найдено изменение угла наклона постоянной решетки, сдвиг пика поглощения рамановской моды, зависимость от предыстории температурного поведения намагниченности и сопротивления при «отжиге» в магнитном поле, нелинейной зависимостью вольт-амперной характеристики в магнитном поле, и наличие максимума в изменении диэлектрической проницаемости во внешнем магнитном поле от температуры [5]. На взаимодействие между электрической, магнитной и уп-

ругой подсистем при температурах Т = 120 К указывает также образование ферромагнитного порядка, максимум по температуре относительного изменения диэлектрической проницаемости, измеренной во внешнем магнитном поле и в отсутствие поля [6], аномалия коэффициента теплового расширения решетки.

Предполагается, что замещение ионов марганца кобальтом приводит к перераспределению электронной плотности между 0 - и ^-состояниями. Конкуренция кулонов-ского взаимодействия между электронами, расположенными на одной орбитали и между орбиталями, совместно с изменением интегралов перескока приводит к упорядочению электронов на определенных орбиталях и к орбитальному магнетизму. В результате перераспределения электронной плотности меняется упругая энергия и под действием электрон-фононного взаимодействия индуцируются связанные моды колебаний ионов.

Цель работы состоит в установлении взаимосвязи между магнитной, электрической и упругой подсистемами и определении тенденций изменения параметров решетки, величины корреляционных функций орбитальных и спиновых моментов в зависимости от параметра электрон-решеточного и спин-фононного взаимодействия.

Модель взаимосвязи электронной и упругой подсистем. Для интерпретации полученных результатов в твердом растворе ^Мп^ [5; 6] необходимо рассматривать взаимосвязь электронной и кристаллической струк-