Методы представления и преобразования сигналов в базисе обобщенных функций Крестенсона Текст научной статьи по специальности «Математика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл ид ФС 77 - 30569. Государственная регистрация N304-21100025. ISSN 1994-0406

Методы представления и преобразования сигналов в базисе обобщенных функций Крестенсона

77-30569/372760 # 03, март 2012

Сюзев В. В., Савельев А. Я., Гудзенко Д. Ю.

УДК 519.216.1/2

МГТУ им. Н.Э. Баумана v.suzev@bmstu.ru

Вычислительная и функциональная эффективность решения многих задач цифровой обработки сигналов спектральными методами существенно зависит от используемых систем базисных функций [1]. Поскольку ортогональных систем базисных функций существует неограниченное множество, то выбор рационального базиса является сложной теоретической и прикладной проблемой. В этих условиях особенно полезными могут оказаться параметрические базисные функции, содержащие в своей структуре один или несколько изменяемых параметров, влияющих на их свойства. Известным и важным примером таких базисов служит класс комплексных экспоненциальных функций Виленкина-Крестенсона [2], управление свойствами которых осуществляется с помощью вариации основания используемой системы счисления. Обобщение этих функций на многоосновную систему счисления (систему счисления с переменным основанием) и применение дополнительных способов их переупорядочения значительно расширяет ассортимент возможных базисных систем, среди которых можно искать базис, в наибольшей степени удовлетворяющий условию решаемой задачи обработки. В данной статье рассмотрены известные и новые методы формирования таких базисных систем и их основные свойства, а также оригинальные скалярные алгоритмы быстрого преобразования Фурье на их основе.

Пусть р1, р2, ..., рп есть целые положительные числа, принятые в качестве оснований системы счисления, и целые числа к и г, задающие номер и аргумент обобщенной функции Крестенсона (ОФК) Ж(к, г), на интервале N = р1 р2...рп записаны в виде

1 = Ё ¡тРоР -Рп-1 = Рп-хРп-2 •••РlIn + ••• + Р2М + М + к ,

т=1 п

к = Ё ктРоР1 •••Рт-1 = Рп-хРп-2 •РА + ••• + Р2Рк3 + Рк2 + К

где Р0 = 1, а 1т и кт являются т-ми разрядами позиционного представления чисел I и к (к1 и к1 - младшие разряды) и лежат в диапазоне [0, Рт -1] • Тогда ОФК можно представить следующим выражением [3]:

Ж (к, I) = ехр( ] 2жЁ—), I = 0,1, •••, N -1. (2)

т=1 Рт

где 7 = V-! . Эти функции можно выразить и через произведение дискретных

2пк I

комплексных экспоненциальных функций (ДЭФ) ехр(7-) :

Рт

Ж (к, I) = П ехр(72к|т) = , 1т, кт = 0, 1,-, Рт -1 (3)

т=1 Рт т=1

где принято ЖР = ехр(у ^^^

Рт

Записанные таким образом ОФК обладают рядом интересных свойств. Приведем основные из них.

1. ОФК являются комплексными функциями с единичным модулем и фазой

п к I

в(к, I) = 2пЁ т т . Вычитая из фазы целое число 2п, можно получить ОФК с

т=1 Рт

минимальными фазами.

2. В ОФК переменные к и I равноправны, поэтому, если поменять их местами, функция не изменится, т.е.

Ж (к, I) = Ж (I, к )• (4)

В этом проявляется свойство двойственности ОФК относительно своих аргументов, которое приводит к симметричности матрицы значений ОФК.

3. Среднее значение любой ОФК, кроме нулевой, равно нулю, т.е.

1 N-1

- Ё Ж (к, I) = 0, к * 0. (5)

N 1=0

Действительно,

N-1 N-1 п п N-1 п Р1 -1 Р2-1 Рп -1

ёж (к, I)=ЁП К:1т =ПЁК:1т =П ЁЁ-ЁЖ^ • (6)

I=0 г=0 т=1 т=1 г=0 т=1 г1 =0 гг =0 гп =0

Но при кт * 0

Pm-1

rk.

ZWkmim = 0

Pm

поэтому при k Ф 0, когда хотя бы один разряд km Ф 0, все произведение (6) будет равно

нулю. Следовательно, выражение (5) справедливо.

Среднее значение нулевой ОФК равно единице, т.к. W (0, i) = 1 и

1 N-1 - £1 = 1.

4. Произведение двух любых ОФК дает другую ОФК:

W (k, i)W (Л, i) = W (a, i), (7)

где

a = k (+){р}Л, (8)

а произведение двух любых ОФК, одна из которых является комплексно-сопряженной, так же принадлежит ОФК:

W (k, i)W* (Л, i) = W(a, i), (9)

где

a = k (-){р}Л. (10)

В выражениях (8) и (10) (+){р} и (-){р} означают операции поразрядного модулярного сложения и вычитания, выполняемые по правилам:

a = (k ±Л) (modрД

a2 = (k2 ±Л) (modP2), (11)

ап = (кп ±Лп) (тоё рп).

Доказательство первого утверждения вытекает из следующих соотношений:

ж(к, о • ж(я, о=\\<ш:ш•пжЛ =пК'в жЛ =

ш=1 у=1 в=1

= П\ш(рв+Лр)гр =ПКв = Ж (а,г'). в=1 в в=1 "

Вывод второго утверждения можно получить аналогичным образом, если учесть, что

Ж * (Л, г) = ПЖРгЛ,гг.

7=1 Г

Данное свойство отражает мультипликативность ОФК. В силу своей двойственности ОФК обладают мультипликативностью как по индексу к, так и по индексу г, т.е. являются дважды мультипликативными функциями. 5. Мощность любой ОФК равна 1:

1 N-1

Р =1 (к ,г)ж* (к ,г) = 1. (12)

N г=0

m

I |2

Действительно, Ж (к, г)Ж * (к, г) = Ж (к,г) = 1 и поэтому формула (12) справедлива.

6. ОФК являются ортогональными функциями, т.к.

1 N-1

- ЁЖ (к, г)Ж * (Л, г) = 0, к фЛ. (13)

N г =0

Для доказательства этого свойства сначала воспользуемся свойством мультипликативности в виде (9) и запишем сумму в (13) так:

1 N-1 1 N-1

- Ё ж (к, г )Ж * (Л, г) = - Ё ж (а, г).

^ г=о ^ г=о

Из этого выражения следует, что взаимная мощность двух ОФК с номерами к и X равна среднему значению ОФК с номером а, определяемым соотношением (10). Но при к Ф Л номер а = к(-){р}Л не равен нулю и среднее значение такой ОФК будет равно нулю (см.

(5)).

7. Система из N ОФК будет полной системой на интервале [0, Ы). Это следует из того, что в этом случае к системе нельзя будет добавить ни одной новой функции, которая была бы ортогональной одновременно ко всем остальным функциям системы.

Таким образом, N ОФК образуют полную ортонормированную

мультипликативную комплексную дискретную базисную систему {Ж(к,г)}, пригодную для спектрального представления любых решетчатых сигналов ограниченной мощности. Пара ДПФ в базисе ОФК

1 N-1

х(к) = - Ё х(/)Ж* (к, г),

™ г=0 N-1

х(г) = Ё X (к )Ж (к, г),

к=0

(14)

а равенство Парсеваля

1 N-1 N-1

N Ё х 2(0 = Ё X (к) х' (к ), (15)

г=0 к=0

где X* (к) - комплексно-сопряженная к X(к) величина.

Так как ОФК являются дважды мультипликативными функциями, то для их спектров справедливы все общие свойства, приведенные в работе [2]. В частности, выполняются теоремы о модуляции, сдвиге, свертке, корреляции и умножении сигналов. При этом, поскольку операция мультипликативности совпадает с операцией поразрядного сложения или вычитания по переменным модулям, то и операция обобщенного сдвига в этом базисе понимается в этом же смысле. Такие же операции должны быть использованы здесь и при записи обобщенных сверток и корреляций. Энергетические спектры в базисе ОФК инвариантны к такому обобщенному сдвигу.

ДПФ в базисе ОФК можно записать и в матричной форме.

х = — Ц * х, N

х = ЦХ,

где матрицы прямых (Ц ) и комплексно спряженных (Ц*) значений ОФК имеют вид:

Ц = [П Ж^ ], Ц' = [П Ж-кт'т ].

X X Рт X X Рт

т=1 т=1

Эти матрицы значений ОФК являются матрицами с полными фазами. Вычитая в них из степеней Ж числа, кратные N, получим матрицы значений с минимальными фазами. Матрицы значений ОФК Ц и Ц* будут симметрическими и унитарными. Они содержат действительные и комплексные элементы, причем комплексные попарно сопряжены. Нулевая строка и нулевой столбец этих матриц состоят только из единичных элементов.

Для ОФК по аналогии с функциями Виленкина-Крестенсона (ВКФ) и функциями Уолша [2] можно вести понятие ранга Я, равного числу ненулевых разрядов кода номера функции к. Номер к функции или спектра ранга г можно тогда обозначить в виде к (Я = г) . При г =1 в разложении к будет только один значащий разряд. Совокупность таких номеров можно записать так:

т-1

к (Я = 1) = ктР0 Р1...Рт_1 = к т П Ря , кт = 1,2 - Рт ~ 1 т = 1 2 П

Я=1

Так как здесь используется только одна переменная с индексом, то ее можно заменить на простую переменную / и тем самым упростить запись:

т-1

к (Я = 1) = /иЦ Ря, М = 1,2, ..., Рт -1; т = 1,2,..., п.

Я=1

т-1

Если значение / (или кт) равно 1, то номер к = П Ря и принадлежит следующему

я=1

множеству значений: {1, Р1, р1 р2, ..., р1 р2 ... Рп-1} . Соответствующие ему функции

т-1 2 п

Ж (П Ря,') = еХР(/ 'т) (16)

Я=1 Рт

и зависят только от значения своего аргумента. Таким свойством обладали обычные функции Радемахера в системах Уолша и обобщенные функции Радемахера в системах ВКФ [2]. По аналогии эти функции так же можно считать обобщенными функциями Радемахера Я(^,г) для системы счисления с переменным основанием. Тогда

2П

Я(п -т +1,') = ехри—'т) = Ж'рт, т = 1, 2, ..., п . (17)

Рт

При введении обозначения функции Радемахера учтено, что с увеличением ее номера число точек изменения ее значений должно возрастать. Очевидно, что в полной системе ОФК (2) содержится только п обобщенных функций Радемахера и любая ОФК (2) может быть выражена через их произведение:

Ж (к, г) = П Ж^ = П [Я(и - т +1, /)]*". (18)

т=1 т=1

Пример 1. Построить систему ОФК для N=6 прямым методом и с помощью функций Радемахера.

Решение. В этом случае N = 2 • 3 . Поэтому примем р1 = 2, а р2 = 3 . Тогда числа к

и г запишутся в виде г = г1 + 2г2 = (г2г1) и к = к1 + 2к2 = (к2к1) , где г1, к1 = 0; 1, а

г2, к2 = 0; 1; 2 . Значения г и к в десятичной системе и системе с основаниями 2 и 3 сведем в

табл. 1.

Таблица 1

г; к 0 1 2 3 4 5

(г2г1); (к2 к1) 00 01 10 11 20 21

В соответствии с формулой (3) ОФК в этом случае записываются следующим образом:

гк?г?

Ж (к, г) = Ж,кЛЖТ2 = (-1)кЛ • Ж3 Подставляя сюда все значения разрядов, получим систему из шести ОФК, которую

представим в виде следующей матрицы значений с минимальными фазами:

=

1 1 1 1 1

-1 1 -1 1 -1

1 ж3 ж3 Ж32 Ж32

-1 ж3 -Ж1 Ж32 -Ж32

1 Ж32 Ж32 Ж3 Ж1

-1 Ж32 -Ж32 Ж3 -Ж,1

(19)

Элементы Ж3 и Ж32 имеют следующие значения:

Ж1 =-1/2 + Щ32 =-1/2-^

Теперь вычислим ОФК с помощью функций Радемахера. В соответствии с выражением (18) они будут равны:

Я(2,г) = ж'р1 = Щ1 = {1, -1,1, -1,1, -1},

Я(1,г) = Щр2 = ЖЗ1 = {1,1, Жз1, Щ31, Щ32, Щ32}. После этого, пользуясь формулой (18), выразим все ОФК через эти функции: Щ (0, г) = 1; Ж (1, г) = Ж (01, г) = Я(2, г); Ж(2, г) = Ж(10, г) = Я(1, г);

Ж (3, г) = Ж (11, г) = Я(2, г) Л (1, г); Ж (4, г) = Ж (20, г) = Я2 (1, г); Ж (5, г) = Ж (21, г) = Я(2, г) Л2 (1, г). Вычисление по этим формулам приводит к той же матрице значений ОФК (19).

Возможен еще один способ вычисления приведенных ОФК. Он следует из матричной интерпретации выражения (3) в виде кронекеровского произведения соответствующих матриц ДЭФ:

(20)

Ш = Б хБ х ... хБ

Р1Р2... Рп Р1 Р2 Рп

где

Б = Ж^т }.

(21)

Поскольку такая система ОФК может быть выражена с помощью кронекеровского произведения, то ее можно назвать системой ОФК-Кронекера. В частном случае, при р1 = р2 = ... = рп = р она переходит в систему ВКФ-Адамара [2].

Пример 2. Вычислить матрицу ОФК кронекеровским способом для условия предыдущего примера.

Решение. В этом случае

ш = Ш

'' 6 '' 2-3

Б2 х Б3,

где

Б

1 1 1 -1

Поэтому

Ш =

Б Б,

б2

Б

Ж1 б2

Ж2 б2

Б 2

Ж Б 2 ж Б

~1 1 1 '

Бъ = 1 Ж/ ж2

1 ш32 ж/

1 1 1 1 1

-1 1 -1 1 -1

1 Ж1 Ж1 Ж2 Ж2

-1 Ж1 -Ж1 Ж2 -Ж32

1 Ж32 Ж2 Ж1 Ж1

-1 Ж32 -Ж2 Ж1 -Ж1

(22)

Матрицы (19) и (22) совпадают.

Кронекеровская система является только одной из возможных полных базисных

п

систем, использующих ОФК. На основе функций ехр(](ктгт / рт)) можно построить

т=1

целое семейство базисов с симметрическими и унитарными матрицами, число которых зависит от конкретной величины N. Причем возможностей для организации базисных систем здесь больше, чем в ВКФ.

Можно отметить, кроме рассмотренных, по меньшей мере еще два способа построения таких базисов. Первый способ основывается на использовании формул (2), (18) или (20) для всех возможных комбинаций сомножителей в произведении р1р2 ... рп

для N. Если все сомножители рт разные, то он позволяет получить п! различных

базисных систем ОФК-Кронекера.

Пример 3. Построить все системы ОФК-Кронекера для N=6.

Решение. В этом случае возможны два варианта разложения N=6 на множители: N = 2 • 3 и N = 3 • 2 . Для первого варианта система ОФК-Кронекера получена и приведена в предыдущих примерах. Для второго варианта имеем

ш = Ш

'' 6 '' 32

Б3 х Б2.

Поэтому

Ш =

А А

А

3

А

1 1 1 1 1 1

1 Ж1 Ж32 1 Жз Ж32

1 Ж32 Ж3 1 Ж32 Ж31

1 1 1 -1 -1 -1

1 Ж3 Ж32 -1 -Ж31 -Ж32

1 Ж32 Жз -1 -Ж32 -Ж3

(23)

Полученная матрица (23) отличается от матрицы (22).

Второй способ формирования базисных ОФК-систем состоит в перестановке строк и столбцов любой матрицы ОФК-Кронекера, полученной первым способом, по закону определенной замкнутой операции над индексами к и г ОФК (напомним, что замкнутой считается такая операция над индексом, результат которой, изменяя порядок следования значений индекса, не меняет самого диапазона его изменения, т.е. результирующий индекс пробегает те же значения, что и исходный, но в другой последовательности). Такими операциями являются, например, инверсия кода индекса и кодирование Грея индекса, обобщенные на случай многоосновной системы счисления. Рассмотрим эти операции.

Если число к в многоосновной системе счисления представляется выражением (1),

то инверсное ему число к в этой же системе счисления записывается следующим образом:

к = ]^кп+1-тМ0М1 ... Ып_1 (24)

т=1

где

Мт = Рп+1-т , М0 = Рп+1 = 1 Обобщенная инверсия, как и двоичная, и р-ичная инверсии, сводится к записи разрядов кода числа к в обратном порядке. Однако веса разрядов в многоосновной системе, где диапазоны изменения разрядов кт в общем случае не совпадают, должны быть изменены

по закону (24). При р1 = р2 = ... = рп = р обобщенная инверсия переходит в р-ичную

инверсию и инверсное число к имеет более привычный вид записи:

к = £ кп+\-трШ 1 . т=1

Пример 4. Найти инверсные значения целочисленного индекса, принадлежащего диапазону [0,6).

Решение. В этом случае 6=2- 3, поэтому р1 = 2, а р2 = 3. В системе счисления с основаниями 2 и 3 числа к и к будут иметь следующий вид: к = (к2к1) = 2к2 + к1, к = (к1к2) = 3к1 + к2 . Их значения в различных формах записи приведены в табл. 2.

Таблица 2

к 0 1 2 3 4 5

(к 2 К) 00 01 10 11 20 21

(кА) 00 10 01 11 02 12

к 0 3 1 4 2 5

(< к2 >< к1 >) 00 01 11 10 20 21

< к > 0 1 3 2 4 5

Код Грея < к > числа к в многоосновной системе счисления вычисляется по следующему алгоритму: <кт >= (кт + кт+х) (modpm), m = 1,2,..., n; кп+х = 0, который

отличается от соответствующего алгоритма в системе счисления с одним основанием только использованием различных модулей при формировании разрядов кода.

Пример 5. Найти значения кода Грея для индекса к предыдущего примера. Решение. Так как в этом случае p1 = 2, p2 = 3 , то < к1 >= (к1 + к2) (mod 2), а

< к2 >= к2 (mod 3). Результаты расчетов по этим формулам приведены в табл. 2.

Рассмотренные операции позволяют получить новые полные ортонормированные мультипликативные системы ОФК. Для этого необходимо в матрице любой известной системы ОФК осуществить сначала перестановку строк, а затем - столбцов (можно и наоборот) по закону этих операций. В результате будут получены новые симметрические и унитарные матрицы ОФК. Перестановка только строк или только столбцов исходной матрицы приводит к несимметрическим результирующим матрицам.

Продемонстрируем процесс формирования симметрических матриц на конкретных примерах.

Пример 6. Построить матрицу ОФК из матрицы ОФК-Кронекера (19) с использованием операции обобщенной инверсии индексов.

Решение. В соответствии с данными табл. 2 произведем следующее переупорядочение матрицы (19): первую строку перемещаем на место второй, а вторую -на место четвертой, третью - на место первой, четвертую - на место третьей, а нулевую и пятую строки оставляем на своих местах. В результате получается следующая промежуточная матрица:

1 1 1 1 1

-1 Ж, -Ж,1 Ж,2 -Ж,2

-1 1 -1 1 -1

1 Ж,2 Ж,2 Ж,1 Ж,1

1 Ж,1 Ж,1 Ж,2 Ж,2

-1 Ж,2 -Ж,2 Ж,1 -Ж,1

Эта матрица несимметрическая. Для получения из нее симметрической матрицы необходимо выполнить аналогичные перестановки её столбцов. Тогда будет получена следующая итоговая матрица:

=

1 1 1 1 1

-Ж,1 -1 Ж,2 Ж, -Ж,2

-1 -1 1 1 -1

Ж,2 1 Ж,1 Ж,2 Ж,1

Ж,1 1 Ж,2 Ж,1 Ж,2

-Ж,2 -1 Ж,1 Ж,2 -Ж,1

(25)

Эта матрица ОФК является симметрической и отличается от исходной.

Пример 7. Построить матрицу ОФК из той же матрицы ОФК-Кронекера (19) с использованием кодирования Грея.

Решение. В соответствии с данными табл. 2 в этом случае процедура перестановок существенно проще: нулевые, первые, четвертые и пятые строки и столбцы остаются на месте, а вторые и третьи меняются местами. В итоге получается следующая матрица ОФК:

Ж6 =

1 1 1 1 1

-1 -1 1 1 -1

-1 -Ж, Ж, Ж,2 -Ж,2

1 Ж, Ж, Ж,2 Ж,2

1 Ж,2 Ж,2 Ж, Ж,

-1 -Ж,2 Ж,2 Ж, -Ж,

(26)

Эта матрица так же симметрическая и по структуре не совпадает ни с матрицей (19), ни с матрицей (25).

Результаты приведенных примеров показывают, что все матрицы, полученные различными способами, отличаются друг от друга по структуре, хотя и обладают одинаковыми общими свойствами. Это говорит о том, что рассмотренные способы не подменяют друг друга и являются инструментом для построения новых полных ортонормированных и мультипликативных базисных систем.

Перейдем теперь к синтезу алгоритмов быстрого преобразования в базисе обобщенных функций Крестенсона (БПК). Вариантов построения БПК существует еще больше, чем быстрых преобразований в базисе ВКФ, поскольку возможно образование значительно большего числа систем ОФК. В качестве примера приведем методы синтеза БПК только для ОФК-систем Кронекера.

Остановимся сначала на случае представления числа отсчетов сигнала в виде произведения двух сомножителей: N = p,p2, где p, и p2 являются целыми

положительными числами. Преобразуем одномерный массив x(i) в двумерную таблицу x(il,i2) с помощью подстановки i = i, + pi (i, = 0, 1, ..., p, -1; i2 = 0, 1, ..., p2 -1) . Эта подстановка соответствует представлению величины i в позиционной системе счисления с основаниями p1 и p2 при числе разрядов n = 2. Тогда прямые ДПФ в базисе ОФК (14)

без нормирующего множителя 1/ n можно записать так:

X(k) = £1 £ x(i + p )W*(k, (i + pi) / N) = £ £ x(i, z*2)W* (k, (i1 + pi)/ N).

i\ =0 i2 =0 i\ =0 i2 =0

Рассмотрим спектральные составляющие с номерами, изменяющимися по такому же закону, что и номера отсчетов, т.е. с k = k1 + p1k2, k1 = 0, 1, ..., p, -1; k2 = 0, 1, ..., p2 -1:

X(k, + pk) = X(k,, k2) = £ £ x(i, i2)W" (k, + plk2,(il + pi)/N). (27)

ij=0 i2 =0

Используя свойства позиционных кодов в системе с переменным основанием, можно записать, что

i + M = i (+){p} M , k1 + Ak2 = k1 (+){p} p1Z2 , (28)

где (+){p} является, как и ранее в выражении (8), обозначением операции поразрядного

суммирования по переменному модулю. Тогда в соответствии со свойствами мультипликативности и двойственности ОФК выражение (27) можно преобразовать к виду

X(k,,k2) = £ W*(k,,i, /N)W*(p\k2,i\ /N) £ x(i,i2)W*(k!,pi /N)W*(pkpi /N).

ij =0 i2 =0

Дальнейшее упрощение этого выражения зависит от значений приведенных в нем ОФК. Чтобы их получить, воспользуемся записью ОФК в виде формулы (2). Тогда имеем

ki + о • оч Pi P2

W* (k,, i, / N) = exp[- j2п(^ + — )] = W' (k,, il / p) = W-kl,

W*(piki,il /N) = exp[^^/'2n(-°-iL + = 1,

Pi P2

W*(к,,Pi2 /N) = exp[-j2n(+ = l,

Pi P2

W* ( Pi к2, Pii / N) = exp[-j2n(— + = W'fo, /'2 / P2) = Wp^2.

Pi P2 2

Учитывая эти соотношения, получим следующую запись общего спектра сигнала:

X(kl + М2) = X(kl,к2) = £[X x(ii,Î2WP2k2'2]WPlklh, kl = 0, l, ...,Pi -1; k2 = 0, l, ...,P2 -1. (29)

il =0 i2 =0

Полученное выражение представляет собой алгоритм БПК для случая разложения N на два множителя.

Его можно записать в более удобной для вычислений форме, если обозначить внутреннюю сумму в выражении (29) в виде двумерной величины

P2 -l

q(ii, к2 ) =X x(ii, h)Wpk22h, ii = 0, l, .., Pi -1; k2 = 0,l, ..., P2 -1. (30)

i2 =0

Тогда полный спектр будет равен

X(ki + PA) = X(ki,k2) = £q(ii,k2)WPlklil, ki = 0, l, ..., p, -1. (3l)

ij=0

Последовательность действий в таком алгоритме такова: сначала одномерный сигнал преобразуется в двумерную таблицу x(i, , i2 ) размерностью p, х p2 , после чего с помощью p2 -точечных ДПФ по каждой из её строк вычисляется таблица промежуточных данных {q(il, k2)}, из которой затем путем выполнения p,-точечных ДПФ по всем её столбцам формируется таблица искомых спектральных коэффициентов {X(k,, k2)}.

Переход от одномерных массивов к двумерным таблицам и обратно осуществляется по правилам взаимосвязи одномерных и многомерных индексов. Поскольку в этом алгоритме БПК отсчеты сигнала и спектра по строкам соответствующих таблиц располагаются с прореживанием, то он является алгоритмом с прореженным порядком следования отсчетов сигнала и спектра (алгоритмом первого типа).

Для БПК (29) число комплексных сложений АБ и умножений МБ равно:

Л = P1P2 ( Pi + P2 - 2) = n (Pi + P2 - 2) , (32)

Мб = P2(Pi -1)2 + Pi(P2 -1)2. (33)

В последней оценке числа умножений учтено, что умножения на единичные значения элементов матрицы ДЭФ, расположенные в её нулевой строке и нулевом столбце, являются тривиальными. Исключение из алгоритма умножений на другие тривиальные

значения ДЭФ приводит к оптимизированным вариантам БПК. Для них оценка числа умножений еще более уменьшается.

Пример 8. Записать алгоритм БПК-Кронекера для N = 6.

Решение. Пусть р1 = 2 и р2 =3. Тогда массив сигнала х(г') превращается в

таблицу х(^, г'2) = х(' + 2г'2), /1 = 0, 1; г'2 = 0, 1, 2 :

х (0) х (2) х(4) х(1) х(3) х (5)

Алгоритм вычисления двумерного спектра X(к1,к2) в соответствии с общим алгоритмом (29) будет выглядеть так:

Х(к1,к2) = £[£х(/1,12)Жъ-к2'2}(-1)к\ кх = 0, 1; к2 = 0, 1, 2,

г1 =0 г2 =0 - к,г, _ г л\кл

где учтено, что Ж2 11 = (-1) 11 = (-1) Л. Промежуточные величины

2

q(il, к2) = £ х(/„ гЖк2'2

г2 =0

и алгоритм БПК:

X(к„к2) = £q(il,к2)(-1)к1 = q(0,к2) + q(1, к2)(-1)к

г'! =0

Дальнейшую последовательность действий можно представить в виде следующих двух этапов.

Этап 1. Расчет промежуточных величин:

q (0, к 2) = х(0,0) + х (0,1)Ж3- к2 + х(0,2)Ж3-2кг = х(0) + х (2)Ж,- к2 + х (4)Ж,- 2кг,

q(1, к2) = х(1,0) + х(1,1)Ж- + х(1,2)ЖТ2^2 = х(1) + x(3)Ж3- к2 + х(4)Ж,- 2к2. Принимая к2 = 0, 1 , 2, получим

q (0,0) = х (0) + х (2) + х (4),

q (0,1) = х (0) + х (2)Ж,-1 + х (4)ЖГ2,

q (0,2) = х (0) + х(2)ЖГ2 + х (4)Ж,-1, q (1,0) = х(1) + х (,) + х (5), q(1,1) = х(1) + x(3)Ж3-1 + х(5)Ж,- 2, q (1,2) = х(1) + x(3)Ж3- 2 + х(5)Ж,-1. Таблица этих промежуточных величин будет иметь следующий вид:

> (0,0) q (0,1) q (0,2)" _ q (1,0) q (1,1) q (1,2) _

Этап 2. Расчет искомого спектра:

X (0, к2) = д(0, к2) + д (1, к 2), X (1, к2) = g(0, к2) - д (1, к2),

поэтому при к2 = 0,1,2

X (0,0) = q (0,0) + q (1,0), X (1,0) = q (0,0) - q (1,0),

X (0,1) = д (0,1) + д (1,1), X (1,1) = д (0,1) - д (1,1), X (0,2) = д (0,2) + д (1,2), X (1,2) = д (0,2) - д (1,2). Этим значениям соответствуют итоговые таблицы

X (0,0) X (0,1) X (0,2)" X (1,0) X (1,1) X (1,2)

^(0) X (2) X (4) X (1) X (3) X (5)

В алгоритме выполняются 18 сложений и 8 умножений. Расчет по формулам (32), (33) дает 18 сложений и 11 умножений. Меньшее число реальных умножений связано с тем, что используемое в данном примере 2-точечное ДПФ выполняется без умножений. Сигнальный граф этого алгоритма приведен на рис. 1а.

Х(0) Х(0) •

Х(2) х(1)

Х(4) х(2) •

Х(1) х(3)

Х(3) х(4) •

Х(5) х(5)

а)

б)

Рис. 1. Сигнальный граф полного БПК-Кронекера первого (а) и второго (б) типа для N=9

Если в свою очередь один из сомножителей р1 или р2 также раскладывается на два множителя, то приведенный алгоритм рекурсивно можно применить и для быстрого вычисления р1 -точечных или р2 -точечных ДПФ. Это повлечет за собой дополнительное прореживание сигнала и спектра и, в конечном итоге, к дополнительному сокращению объема вычислений. В общем случае при

N = ПРт ,

т=1

одномерные массивы х(г) и X(к) с помощью подстановок

г = + р/2 + • • • + рр • • • рп= (+){р}р/2(+){р} • • • (+){р}рр • • • р—, ]

к = к1 + рк2 + • • • + рр • • • рп-Хкп = к1 (+){ р} р1к2 (+){ р} • • • (+){ р} рр • • • рп-Хкп , I

(34)

где ¡т, кт = 0,1,..., рт-1, преобразуются в многомерные таблицы х(/1,¿2,...,гп) и X(к1,к2,...,кп) , связь между которыми устанавливает следующее аналитическое выражение:

Х(к1,к2,...,кп) = £1»р* Х»^2... Ё х(/1,¿2...,гп)Жр-'пкп, кт = 0,1,...,Рт -1;т = 1,2,...,п. (35)

¡1 =0 ¿2 =0 ¿п =0

Это и есть полный алгоритм БПК-Кронекера с прореженным порядком следования отсчетов сигнала и спектра, содержащий (п -1) уровней прореживания. Реализация полного алгоритма БПК потребует выполнения

Л = N&рт -п), МБ = N£(рт -1)2/рт (36)

т=1 т=1

сложений и умножений. Некоторые из этих умножений могут оказаться тривиальными. Их исключение из алгоритма позволяет еще больше оптимизировать его.

В алгоритмах БПК-Кронекера (29) и (35) можно поменять последовательность суммирования и порядок следования индексов, в результате чего будут получены другие модификации БПК, обладающие такими же реализационными характеристиками. В частности, если порядок следования индексов и сумм изменить на обратный, что приведет к обработке транспонированных таблиц сигнала и спектра, то можно получить второй тип алгоритма БПК-Кронекера с естественным порядком следования отсчетов сигнала и спектра. Для N = р1 р2 такой алгоритм имеет следующий вид:

Х(к2, кх) = £[£ х(/*2, ¿1)Шр;1к1]Жр;2к2, к2 = 0,1,..., р2 -1; к, = 0,1, ..., р -1, (37)

¿2 =0 г1 =0

а для N = р1 р2...рп он представляется следующим образом:

X(кп , кп-!..., к, ) = Ё1 ^ Ё1 . . . Ё х(1п , 4-1, • • •, ¿1) * ,

¿п =0 ¿п_1 =0 =0

(38)

кп-т+1 = 0, 1 ..., рп-т+1 - 1; т = ^ ^ П.

Пример 9. Записать алгоритм БПК-Кронекера второго типа для N=6. Решение.Примем р1 = 2, р2 = 3 .Таблица сигнала х(/2, ¿1) = х(2/2 + ¿1), ¿2 = 0, 1, 2;

¿1 = 0, 1 имеет следующий вид

" х(0) х(1)" х(2) х(3) , х(4) х(5)_

а алгоритм БПК выглядит так: Х(2к2 + к,) = Х(к2,к,) = £[£х(¿2,¿1)(-1)гА]»3-г2к2 = £^к^-^2 , к2 = 0, 1, 2; к = 0, 1,

¡2=0 г1 =0 ¿2 =0

где

д(/2, К) = х(/2,0) + х(/2,1)(-1)Л Этап 1. Расчет промежуточных величин д(/2,к1):

д(0,0) = х(0,0) + х(0,1) = х(0) + х(1); д(1,0) = х(1,0) + х(1,1) = х(2) + х(3); д(2,0) = х(2,0) + х(2,1) = х(4) + х(5); д(0,1) = х(0,0) - х(0,1) = х(0) - х(1); д(1,1) = х(1,0) - х(1,1) = х(2) - х(3); д(2,1) = х(2,0) - х(2,1) = х(4) - х(5).

Они образуют таблицу

д(0,0) д(0,1) д(1,0) д(1,1) д(2,0) д(2,1)

Этап 2 . Расчет спектра X (к):

X (0,0) = д(0,0) + д(1,0) + д(2,0), X (1,0) = д(0,0) + д(1,0)^-1 + д(2,0)^-2, X (2,0) = д(0,0) + д(1,0) Ж3-2 + д(2,0) Ж3-1, Результирующие таблицы имеют вид:

"X (0,0) X (0,1)" X (1,0) X (1,1) X (2,0) X (2,1)

X (0,1) = д(0,1) + д(1,1) + д(2,1), X (1,1) = д(0,1) + д(1,1) ^3-1 + д(2,1) , X (2,1) = д(0,1) + д(1,1) + д(2,1) .

X (0) X (1)" X (2) X(3) X (4) X (5)

Сигнальный граф этого алгоритма приведен на рис. 1 б. По сложности он совпадает с алгоритмом первого типа.

В выражении для N порядок сомножителей можно изменить. Это приводит к БПК для других систем ОФК, отличных от систем Кронекера.

Таким образом, полученные результаты, включая методы формирования различных базисных систем на основе обобщенных функций Крестенсона в системах счисления с переменными основаниями, их свойства и быстрые алгоритмы вычисления спектра, составляют теоретическую основу для решения проблемы выбора оптимального базиса для широкого круга задач обработки сигналов (фильтрации, распознавания, сжатия, кодирования и т.п.) в условиях действия жестких ограничений на вычислительную сложность алгоритмов обработки. Особенно перспективным может оказаться применение этих базисов для исследования {р} -линейных систем и {р} -стационарных случайных

процессов, использующих обобщенный временной сдвиг в виде поразрядного модулярного сложения с различными модулями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Залманзон Л.А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. - М.: Наука, 1989. - 496 с.

2. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. - М.: Сов. радио, 1975.- 208 с.

3. Власенко В.А., Лаппа Ю.М., Ярославский Л.П. Методы синтеза быстрых алгоритмов свертки и спектрального анализа сигналов. - М.: Наука, 1990. - 180 с.

electronic scientific and technical periodical

SCIENCE and EDUCATION

_EL № KS 77 -3()56'J..VaU421100025. ISSN 1994-jMOg_

Methods of presentation and basis signal transformation in generalized Christenson functions

77-30569/372760 # 03, March 2012

Syuzev V.V., Savel'ev A.Ya., Gudzenko D.Yu.

Bauman Moscow State Technical University

v.suzev@bmstu.ru

The authors consider methods of synthesis and basic properties of various discrete basis systems of generalized Christenson functions in polybasic number systems, as well as the original scalar method of constructing fast algorithms for analyzing the spectrum in these bases. Theoretical results are illustrated with concrete examples.

Publications with keywords: signal, spectrum, multi-number system, the fast Fourier transform Publications with words: signal, spectrum, multi-number system, the fast Fourier transform

References

1. Zalmanzon L.A. Preobrazovaniia Fur'e, Uolsha, Khaara i ikhprimenenie v upravlenii, sviazi i drugikh oblastiakh [Fourier, Walsh, Haar's transforms and their application in management, communications and other areas]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 496 p.

2. Trakhtman A.M., Trakhtman V.A. Osnovy teorii diskretnykh signalov na konechnykh intervalakh [Fundamentals of the theory of discrete signals on finite intervals]. Moscow, Sov. radio Publ., 1975. 208 p.

3. Vlasenko V.A., Lappa Iu.M., Iaroslavskii L.P. Metody sinteza bystrykh algoritmov svertki i spektral'nogo analiza signalov [Methods of synthesis of fast algorithms for convolution and spectral analysis of signals]. Moscow, Nauka Publ., 1990. 180 p.