CC BY
22
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 514.132^514.763.8
О МЕТРИЧЕСКОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО
Н.Г. Кои,овей,ко, В. В. Лычагии,
Аннотация
В дашгой работе мы находим необходимые и достаточные условия метрической эквивалентности. то есть эквивалентности относительно группы Ли изометрий. для функций, заданных па плоскости Лобачевского.
Ключевые слова: (плоскость Лобачевского, метрическая эквивалентность, джеты. дифференциальный инвариант, изометрии.)
1. Введение. Постановка задачи
В данной работе мы находим необходимые; и достаточные условия метрической эквивалентности функций, заданных на плоскости Лобачевского.
В качестве плоскости Лобачевского Ь2 мы выбираем модуль Пуанкаре. Таким образом, плоскость Лобачевского рассматривается здесь как верхняя полуплоскость К+, снабженная метрикой
^ ¿х2 + dу2 © = -'——
у2
Структурной группой для геометрии Лобачевского является группа сохраняющих ориентацию изометрий. Эта группа изоморфна проективной специальной линейной группе
РБЬ2(Ш) = ^(М)^,
а преобразования, входящие в эту группу, суть дробно-линейные преобразования вида:
ах + Ь
сг +
где матрица
аЬ с d!
е ^
Алгебра Ли инфинитезимальных изометрий плоскости Ь2 изоморфна алгебре в^К) и порождена векторными полями:
А = дх, В = (ж2 - у2)Зх + 2худу, Н = 2хдх + 2уду,
которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
[Н, А] = -2А, [Н, В] = 2В, [А, В] = Н.
Отметим, что действие группы Ли РБЬ2 (К) та плоскости Лобачевского 1,2 явля-
2
„ ¿х А ¿у П = -^.
у2
Скажем, что две гладкие функции / /2, заданные в некоторой области плоскости Лобачевского, метрически эквивалентны, если найдется такой элемент д е РБЬ2(Ш), что
/2 = /1 о д-1
в области определения.
Описание классов метрически эквивалентных функций мы проводим в два этапа. Сначала мы находим условия метрической эквивалентности функций на формальном уровне (то есть на уровне то-джетов функций). Это достигается описанием алгебры в[2(М)-дифференциальных инвариантов на плоскости Лобачевского (см. [1]). После этого мы сводим задачу метрической эквивалентности к проблеме разрешимости системы дифференциальных уравнений конечного типа, откуда и получаем условия метрической эквивалентности для класса регулярных функций.
2. Алгебра метрических дифференциальных инвариантов
Обозначим через 1к (Ь2) многообразие к-джетов функций, заданных на плоскости Лобачевского Ь2.
Каждая изометрия д е Р5Х2(М) продолжается (см. [2]) до диффеоморфизма
д(к) : 1 к(Ь2) ^ 1к (Ь)
пространства к-джетов.
Аналогично, каждая инфинитезимальная изометрия X е £[2 (К) продолжается до векторного поля X(к) па многообразии к-джетов (см. [2]).
Гладкая функция I, заданная та многообразии 1к (Ь2), называется метрическим дифференциальным инвариантом порядка < к, если
I = I о д(к)
для всех изометрий д е Р5Х2 (К).
Поскольку группа Р^Ь2(М) связна, то последнее условие эквивалентно тому,
что
А(к) (I ) = В(к) (I ) = Н (к)(1 ) = 0. Соответственно полную производную (см. [2])
V е ТО(Ь2)) ® £(Ь2)
назовем инвариантным метрическим дифференцированием, если V коммутирует с продолженным действием группы изометрий, то есть
[V, А(то)] = [V, В(то)] = [V, Н(то)] = 0.
Отметим, что в случае плоскости Лобачевского, наличие Р^Ь2(М)- инвариантной метрики и инвариантной симплектической структуры позволяет построить по каждому метрическому дифференциальному инварианту I два инвариантных дифференцирования.
Первое из них, которое мы обозначаем через V/, отвечает градиенту I относительно метрики ©, а второе, которое мы обозначаем 7/, соответствует гамиль-тонову полю с гамильтонианом I относительно инвариантной симплектической формы П.
Более формально конструкция этих дифференцирований выглядит следующим образом.
56
Н.Г. КОНОВЕНКО, В.В. ЛЫЧАГИН
Пусть / £ СТО(Ь2) - гладкая функция на плоскости Лобачевского, а Я^ С Jк((Ь2)) - график ее ^-джета. Обозначим через I/ значения дифференциального инварианта I па функции /, то есть
I/ = I£ С^).
Пусть также V/,/ - ограничение полного дифференцирования V/ на Я™. Тогда V/,/ совпадает с градиентом функции I/ относительно метрики ©, или
V/\© = ¿I,
где 3 : СТО(Ь2) ^ П1^ТОЬ2) - оператор полного дифференцирования [2]. Аналогично, определим дифференцирование 7/ формулой
7/= ¿I.
Инвариантность этих дифференцирований непосредственно вытекает из РЯЬ2 (К) -инвариантности © и П.
Координатное представление этих дифференцирований выглядит следующим образом.
Пусть (х, у, и, п\,..., иа,...) - канонические координаты в пространстве дже-тов. Тогда указанные выше дифференцирования имеют следующий вид:
V 2 (¿I 3 + ¿I 3 1 У \3х 3х 3у 3у
2 (¿I 3 ¿I 3
^1 У \3у 3х 3х 3у 3 3
где через — и —— обозначены полные производные относительно х и у соответ-3х 3у
ственно.
Используя инвариантные дифференцирования 7/, определим скобку па алгебре дифференциальных инвариантов:
^^ ] = И ^),
где I и J - метрические дифференциальные инварианты.
Отметим, что скобка [I, J] также является метрическим дифференциальным инвариантом.
Из приведенных рассуждений непосредственно вытекает следующий результат.
Теорема 1. Алгебра метрических дифференциальных инвариантов на плоскости Лобачевского является пуассоновой алгеброй относительно скобки:
I 2 ( 31 3J 3J 31
3у 3х 3у 3х
Используем теперь построенные инвариантные дифференцирования для описания алгебры метрических дифференциальных инвариантов. Прежде всего заметим, что функция
и : J0(L2) = Ь2 х К ^ К
является метрическим дифференциальным инвариантом порядка пуль.
Поэтому мы имеем два инвариантных дифференцирования:
2 / ! ! V« = у М1— + М23-у аж ау
2 / ! !
7« = У М2---«1-т
аж ау
Применяя дифференцирование V« к инварианту м, получаем метрический дифференциальный инвариант первого порядка:
11 = ^(м) = у2( М + м2).
Более того, как нетрудно видеть, метрические дифференциальные инварианты 10 = м и 11 = V«(u) порождают дифференциальные инварианты порядка не выше, чем 1.
Применяя инвариантные дифференцирования V« и 7« к инварианту 1-го порядка 11, мы получаем два метрических дифференциальпых инварианта 2-го порядка:
12(1) = ^(Л) = 2у4(2и1М2М12 + м^ц + м2м22) +2у3(и2и1 + и;]),
12(2) = 7«(11) = 2у4(и1и2иц + и2и12 + и2М12 - и1и2и22) - 2у3и1(и2 + и2).
Из соображений размерности следует, что должен быть еще один дифференциальный инвариант 2-го порядка ^(2), функционально независимый с ^2(1)-
Для того чтобы найти этот инвариант, заметим, что оператор Лапласа Д = = —у2 (д^ + ду) является инвариантным относительно группы изометрий Р5Х2(К), поэтому дифференциальный оператор в полных производных
д = — ^
у у !ж2 !у2
коммутирует с продолженным действием группы изометрий.
В частности, этот оператор также переводит метрические дифференциальные инварианты в себя. Поэтому функция
12(3) = Д (и) = — у2(и11 + М22 )
является метрическим дифференциальным инвариантом второго порядка, а дифференциальные инварианты 10,12(1), 12(2), 12(3) порождают все дифференци-
2
ет, что справедлив следующий результат.
Теорема 2. Алгебра метрических дифференцинвариантов на плоскости Лобачевского порождена базисными инвариантами 10 = м и 12(3) = —у2(м11 + м22), а также всеми их инвариантными производными вдоль V« и 7«.
3. Изометрическая эквивалентность функций
Гладкая функция / е Сто(]2), заданная в некоторой области плоскости Лобачевского, называется регулярной, если значения 1о,/, дифференциальных инвариантов 1о и 11 на этой функции в этой области независимы:
Л = 0.
58
Н.Г. КОНОВЕНКО, В.В. ЛЫЧАГИН
В противном случае, то есть если dJo,f A dJi,f = О, функция f называется сингулярной.
Иначе говоря, функция f сингулярна, если она является решением дифференциального уравнения
fX + fy2 = y-V(f )
для некоторой функции у.
f
ются функциями Jo,f и J\j. Тем самым функция f удовлетворяет системе дифференциальных уравнений 2-го порядка:
J2(1) = A(Jo, Jl),
J2(2)= B(Jo,Ji), (1)
J2(3) = C(Jo, Jl).
Выразив вторые производные u из этой системы уравнений, мы приходим к эквивалентной системе уравнений
2 2 2 2 2 2 u2
uii = cy u 2 (u 2 + ui ) + b(ui - u 2 ) + auiu 2 +--,
У
2 / 2 2 n a / 2 2N ui
ui2 = -cy uiu2(ui + u2 ) — - (ui - u2 ) + 26uiu2--, (2)
2 y w
2 2 2 2 2 u2
u22 = cy ui (ui + u2 ) — b(ui — u22) — auiu2--.
y
Последняя система является системой конечного типа, а размерность простран-
33 является системой фробениусова типа.
f
группы изометрий эффективно и из соображений размерности следует, что это действие транзитивно. Иначе говоря, в этом случае любые два решения переводятся друг в друга пзометрпей плоскости Лобачевского.
Суммируя сказанное, приходим к следующему результату.
Теорема 3.
A. Класс PSL2(R) -эквивалентности регулярных функций на плоскости Лобачевского определяется функциями, A, В C, задающими зависимость метрических инвариантов 2-го порядка J2(1), J2(2), J2(3) через инварианты Jo, Ji.
B. Функции A, В C, задающие класс метрической эквивалентности, не про-
2
(2)
типа.
Summary
N.G. Konovenko, V.V. Lychagin. On Metric Equivalence of Functions 011 t.lie Lobaclievski Plane.
We find necessary and sufficient. conditions for functions t.o be équivalent, wit.li respect, t.o t.lie isomet.ry group of t.lie Lobaclievski plane.
Key words: different.ial invariants, invariant, dérivations, Lobaclievski plane, isomet.ry.
Литература
1. Клейн, Ф. Сравпителыюе обозрение повейших геометрических исследований // Об основаниях геометрии. 1872. С. 399 434.
2. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.
Поступила в редакцию 15.09.09
Коновенко Надежда Григорьевна ассистент кафедры высшей математики Одесской национальной академии пищевых технологий. E-mail: kunuvenku Qukr. net
Лычагин Валентин Васильевич доктор физико-математических паук, профессор Института математики и статистики. Университет г. Тромсо. Норвегия. E-mail: lychagin Qmath. uit. no
