О приведении уравнений Монжа-Ампера к уравнению Эйлера-Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 4

Физико-математические пауки

2009

УДК 514.763.85

О ПРИВЕДЕНИИ УРАВНЕНИЙ МОНЖ А - АМПЕРА К УРАВНЕНИЮ ЭЙЛЕРА ^ПУАССОНА

А.Г. Куши,ер

Аннотация

В работе приводятся необходимые и достаточные условия контактной эквивалентности уравнений Мопжа Ампера уравнению Эйлера Пуассона.

Ключевые слова: контактные преобразования, формы Лапласа.

Введение

Уравнение Монжа Ампера имеет следующий вид:

ЛУхх + 2БуХу + С\у + В(уххVyy - у2Ху) + Е = 0, (1)

где Л, Б, С, П и Е - функции от независимых переменных х, у, неизвестной функции V = v(x, у) и ее первых производпых vx, vy. Далее мы полагаем, что функции Л, Б, С, П и Е принадлежат классу С

Класс уравнений Монжа Ампера выделяется из уравнений второго порядка тем, что он замкнут относительно контактных преобразований и содержит квазилинейные уравнения.

Этот факт был известен еще Софусу Ли, который в серии работ [1 3] рассматривал проблему классификации гиперболических уравнений Монжа Ампера и которую в современных терминах можно обобщить следующим образом:

Найти классы, эквивалентности уравнений Монжа Ампера относительно псевдогруппы, контактных преобразований.

Сам Софус Ли сформулировал условия приведения гиперболических уравнений Монжа —Ампера к волновому уравнению vxy = 0 при наличии у них двух промежуточных интегралов. Напомним, что промежуточным, интегралом уравнения Монжа Ампера называется дифференциальное уравнение первого порядка, каждое решение которого является решением данного уравнения Монжа Ампера.

Заметим, что не все уравнения Монжа Ампера обладают промежуточными интегралами. Поэтому результаты Ли применимы не ко всем уравнениям Монжа Ампера, а только к тем из них, которые такими интегралами обладают. Кроме того, проверка наличия промежуточных интегралов у общего уравнения Монжа Ампера, а тем более их построение, является непростой задачей. Доказательства полученных результатов Ли так и но опубликовал.

В 1978 г. В.В. Лычагин [4] предложил геометрическое описание широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях. Если размерность многообразия равна двум, то этот класс совпадает с классом уравнений Монжа Ампера (1).

Основная идея Лычагина заключается в представлении уравнений Монжа Ампера и их многомерных аналогов дифференциальными формами на пространстве 1-джетов функций на гладком многообразии М.

Преимуществом такого подхода пород классическим является редукция порядка пространства джетов: используется более простое пространство 1-джетов JXM вместо пространства 2-джетов J2M, в котором, будучи уравнениями второго порядка. ad hoc должны лежать уравнения Монжа Ампера (см. [5]).

Такая интерпретация уравнений Монжа Ампера позволила по-новому взглянуть на проблему их классификации и послужила толчком к появлению множества работ других авторов.

В частности, в 1983 г. В.В. Лычагиным и В.Н. Рубцовым [6] была решена проблема приводимости невырожденных уравнений (1) к уравнениям Монжа Ампера с постоянными коэффициентами в случае, когда коэффициенты A, B, C, D, E не зависят от переменной v. Такие уравнения они назвали симплектическими.

A, B, C, D, E

функции, то локальным симилектическим преобразованием оно может быть приведено к квазилинейному виду, то есть к виду (1), где D = 0.

Кроме того, они нашли условия, при которых снмплектнческне уравнения при-

A, B, C,

D, E

нения локально эквивалентны волновому уравнению vxy = 0, а эллиптические — уравнению Лапласа vxx + vyy = 0.

Впоследствии Д.В. Туницкий сиял требование независимости коэффициентов

v

Ампера к уравнениям с постоянными коэффициентами в общем виде [7].

Задача эквивалентности снмплектнческнх уравнений Монжа Ампера была решена B.C. Кругликовым [8] и нами [9]. а для уравнений переменного типа нами [10].

Проблема приведения невырожденных уравнений Монжа Ампера к линейным уравнениям

± vyy = a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y) (2)

v

XX -1- иуу

была решена нами в серии работ [11 13], а в работах [14 18] были построены различные линейные нормальные формы для уравнений Монжа Ампера гиперболического, эллиптического и переменного типов. В частности, были найдены условия приведения уравнений Монжа —Ампера к уравнениям вида (2), где о = Ь = 0, а также к телеграфному уравнению

и уравнению Гельмгольца

«XX + Vyy = КУ + /(х, у), К е М \{0}.

В наших работах [11-13] были построены две дифференциальные 2-формы А+ и А_, которые являются инвариантами уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований. Примечательно, что коэффициенты этих форм, вычисленных для линейных гиперболических уравнений, представляют собой классические инварианты Лапласа к и Н [19, 20]. Поэтому формы А+ и А_ были названы формами Лапласа.

Подробный обзор и новые результаты по классификации уравнений Монжа Ампера можно найти в работе [21] и монографии [22].

В настоящей работе мы приводим необходимые и достаточные условия, при которых уравнение Монжа Ампера контактно эквивалентно уравнению Эйлера-Пуассона:

а в ар

Уху = —;— «X +--;— Уу - ---—V. (3)

х + у х + у (х + у)2

Здесь а, в G R. Решение этой задачи будет сформулировано в терминах форм Лапласа.

1. Операторы и уравнения Монжа — Ампера: подход Лычагина

Пусть M - двумерное гладкое многообразие и J1M - пространство 1-джетов гладких функций на M. Каждая дифференциальная 2-форма ш G i2( J1M) может рассматриваться как нелинейный дифференциальный оператор

Дш : CTO(M) ^ i2(M),

действующий па функцию v G (M) по следующему правилу [4]:

Д (v) = W|j1(v)(M). (4)

Здесь ji(v)(M) С J1M - график 1-джета функции v, ш|j1(v)(M) _ ограничение дифференциальной формы ш на этот график.

Оператор Дш называется оператором Монжа - Ампера, а соответствующее уравнение Еш = (Дш (v) = 0} - уравнением Монжа - Ампера.

Гладкое многообразие 1-джетов J1M, dim J1M = 5, снабжено естественной контактной структурой, задаваемой распределением Картана:

C : J1M э а ^ C(a) С Ta(J 1M),

или дифференциальной 1-формой Картана U, которая в стандартных локальных координатах qi, q2, u, pi, p2 на J1M имеет следующий канонический вид:

U = du — P1dq1 — P2dq2.

Подпространство C(a) = kerUa касательного пространства Ta(J 1M) называется подпространством Картана [5].

Диффеоморфизм ф : J1M ^ J1M, сохраняющий распределение Картана, называется контактным. Соответственно, векторное поле X на J1M называется контактным, если LX(U) = AU для некоторой функции А [5]. Здесь LX(U) -UX

X

ей f = U(X), которая называется производящей функцией контактного векторного поля X. Поэтому контактное векторное поле с производящей функцией f обозначают X f.

J1 M

гообразии распределения Картана и поэтому порождающие нулевые дифференциальные операторы, образуют идеал во внешней алгебре i* (J1M). Обозначим этот идеал через

I* = 0Is, где Is С is eJ 1M).

s>0

В силу обобщения теоремы Лепажа [23], этот идеал порожден дифференциальными формами вида

U Л а + dU Л в,

где а и в _ некоторые дифференциальные формы.

Элементы фактор-модуля i2 (J 1M) /I2 называются эффективными 2-форма-

1

Пусть ш - дифференциальная 2-форма на J1M. Отвечающую ей эффективную форму мы будем обозначать ше, то есть ше = ш mod 12.

Пусть Xi - контактное векторное поле с производящей функцией 1. В каждой точке a G J1M касательное пространство TaJ 1M распадается в прямую сумму

TaJ 1M = (Xi,a>eC (a).

Это разложение позволяет отождествить эффективные формы с дифференци-Ji M

Опродолим действие контактных диффеоморфизмов на уравнениях Монжа Ампера.

Пусть ф - контактный диффеоморфизм на J1M. Тогда ф* сохраняет модуль I2 и поэтому определяет отображение эффективных 2-форм:

ф* : ш mod I2 ^ ф*(ш) mod I2.

ф*

ф* (ше) = ф* (ш)е.

ф

Монжа-Ампера, положив ф(Е2) = Еф*(Ше).

Два уравнения Монжа-Ампера ЕШ1 и Е22 назовем локально контактно эквивалентными в точке a G J1M, если существует такой локальный контактный диффеоморфизм ф некоторой окрестности Oa этой точки, что ф(а) = a и ф(ЕШ1) =

= ЕЫ2 .

В терминах дифференциальных форм это означает, что (ф*(ш1))е = Нф(ш2)е для некоторой функции Нф G CTO(J 1M), Нф(а) = 0.

Ji M

Ограничение дифференциала формы Картана на подпространство Картана C(а) невырождено и определяет та нем симплектическую структуру Qa

Определим ассоциированное с формой ш поле итераторов Л2 , действующих на C

ЛшXJ = X J ш. (5)

Здесь X - векторное поле го распределения Картана.

Функция Р^ш) G C(J 1M), определяемая равенством

РДш)П Л П = ш Л ш, (6)

ш

Квадрат оператора Л2 скапяреп и

Л2 + РЦш)=0. (7)

Пусть ш - эффективная дифференциальная 2-форма. Уравнение Е2 называется гиперболическим,, параболическим или эллиптическим, в точке a G J1M, если ифаффиан в этой точке РДш) - отрицательный, нулевой или положительный соответственно.

Если в точке a G J1M пфаффиан меняет знак, то соответствующее уравнение называется уравнением переменного типа в этой точке. Если Pf^)(a) = 0, то уравнение называется невырожденным в точке a. Если для уравнения Еш пфаф-

ш

так, чтобы Pf(ш) = — 1 в гиперболическом случае или РДш) = 1 в эллиптическом. Оператор Л2 , отвечающий нормированной форме ш, мы будем обозначать Л.

Таким образом, для гиперболических уравнений нормированный оператор порождает на подпространстве Картана структуру почти произведения (А^ = 1), а для эллиптических уравнений - комплексную структуру (А^ = — 1).

Собственные подпространства оператора А двумерны и порождают два распределения С+ и С_ на 11М, которые мы будем называть характеристическими. Пересечение первых производных этих распределений порождает одномерное распределение I, трапсверсальпое распределению Картана [24].

Таким образом, для гиперболических уравнений в каждой точке о е 11М ка-

1

трех подпространств:

Та(1 ХМ)= С+(о) © 1 (о) ©С_(о), (8)

и гиперболическое уравнение Монжа- Ампера порождает на пространстве 11М

набор из трех распределений Р = (С+,1,С_). Такая структура является частным

случаем структуры г-кратного почти произведения [21].

Невырожденное уравнение Монжа Ампера мы называем регулярным, если (к)

производные С± , к = 1, 2, 3, характеристических распределений также являются распределениями.

3. Формы Лапласа

Обозначим распределения С+, 1, С_ через Рь Р2, Р3 соответственно. Пусть Вг = В(Рг) - модули векторных полей из распределения Рг, г = 1, 2, 3.

Формула (8) влечет за собой разложение в прямую сумму модуля дифференциальных 1-форм па 11М:

П1^ хМ) = П1'0'0 © П0'1'0 © П0'0'1. (9)

Здесь П1'0'0 - модуль дифференциальных 1 -форм на 1 1М, аннулирующихся на распределениях Р2 и Р3. Остальные слагаемые в (9) определяются аналогично. Определим тензорные поля д® к типа (2,1) па 1 1М следующим образом:

<£к(Х,У) = —Р® РX, РкУ], (10)

где Р2 : В(1 1М) а В2 - проектор та распределение р, к, в = 1, 2,3, в = к (см. [13]).

Построенные тензорные поля позволяют определить дифференциальные 2-формы, ассоциированные с уравнением Монжа Ампера.

Пусть А, В е П2 ® В - тензорные поля типа (2,1) на 11М. Здесь П2 = П2(1 1М) и В = В(1хМ).

В силу естественного вложения

П2 ® В ® П2 ® В А П1 ® П1 ® В ® П1 ® П1 ® В

тензорное произведение А ® В можно рассматривать как элемент пространства

Т = П1 ® П1 ® В ® П1 ® П1 ® В.

Пусть - операция свертки элемента пространства Т по индексам г и г = = 3, 6, ] = 1, 2, 4, 5. Тогда композиция С6 о С3 действует в пространство тензоров П1 ® П1:

С о С4 : Т а П1 ® П1.

Прямые вычисления показывают, что

(А, Б}^ = С6 о ® - ® 1(А)) (И)

является внешней дифференциальной 2-формой на 71М. Операцию (•, мы называем операцией косой свертки.

Замечание 1. Па разложимых тензорах, то есть на тензорах вида а ® X и в <8> У, где а, в € О2 и X, У € В, скобка (•, имеет вид:

(а ® X, в <8> У V = (У] а) Л (X]в).

Формы Лапласа определяются как косые свертки тензорных полей д® к :

А- = («М' д2,э)^ и А+ = (я!^ «Ь)^ • (12)

Дифференциальные 2-формы (12) являются основным инструментом при классификации уравнений Монжа Ампера и называются формами Лапласа уравнения Монжа Ампера [11 13]. По построению формы Лапласа являются инвариантами уравнений Монжа Ампера относительно контактных преобразований. Например, для уравнения

«ху = / (х,у,У,Ух,Уу )

эти формы имеют вид:

А- =/р2Р2 (/р1 ¿21 л ¿м - ¿21 Л Ф2) +

(/и - Р2/р2П + /Р1 /Р2 - Р2/р1 /Р2Р2 - //Р1Р2 - /92Р2 ) ¿21 Л ^2, А+ =/Р1Р1 (/р2¿22 Л ¿м - ¿22 Л ¿Р1) +

(-/и + Р1/Р1П - /Р1 Ур2 + Р1 Ур2 /Р1Р1 + //Р1Р2 + /Ч1Р1 ) ¿21 Л ¿22.

Замечание 2. Если вместо скобки (11) рассмотреть скобку (А, Б}5 = 2С6 о С4(1(А) ® 1(Б) + 1(Б) ® 1(А)), то мы получим симметрическую билинейную форму.

4. Скалярные дифференциальные инварианты гиперболических уравнений

Пусть А+ и А- - формы Лапласа для гиперболического уравнения Еш . Допустим, что для уравнения Монжа Ампера выполняются следующие усло-

1) обе формы Лапласа не обращаются в нуль в точке а € 71М;

2) А- Л А- = А+ Л А+ = А- Л А+ =0.

Из условия 2) следует, что формы Лапласа являются внешним произведением дифференциальных 1-форм

А+ = г+п- Л п+ и А- = г- Л п-

Здесь г+ и г- - некоторые функции, п+ € П1'0'0 и п- € П0'0'1 (см. [11]).

Дифференциальные 1-формы п± определены с точностью до умножения на функцию и порождают два 4-мерных распределения } и } на 71М.

Помимо условий 1) и 2) допустим, что эти распределения вполне интегрируемы и формы Лапласа замкнуты.

Тогда для любого векторного поля 2 го распределения I производные Ли равны нулю:

Ьг (А±) = = 0.

У

С+2) П С_. Так как

У|П+ =0 и У|п- =0,

У|А+ =0 и У | А_ 0.

В силу замкнутости форм Лапласа это означает, что производные Ли этих форм

У

Ьу (А±) = У | ¿А± = 0.

Аналогично получаем, что производные Ли от форм Лапласа вдоль любого

(2)

векторного поля X из распределения С_ П С+ также равны нулю.

Таким образом, производные Ли от форм Лапласа вдоль каждого векторного поля из вполне интегрируемого трехмерного распределения , П_} равны нулю.

Это означает, что формы Лапласа являются дифференциальными формами на расслоении интегральных многообразий распределения т0 есть они

имеют вид:

А+ = Ф+(д, Н)йд Л ¿Ни А_ = Ф_(д, Н)йд Л ¿Н, (13)

где д и Н - первые интегралы распределений С+(2) и С_(2) соответственно. Функции Ф+ и Ф_ те обращаются в нуль в точке а.

Теорема 1. Функции

= Ф+ ¿н1п|Ф+1 " = Ф_¿н1п|ф_|

являются инвариантами уравнения Монжа Ампера относительно контактных преобразований.

Доказательство. Пусть Еш и Е^ - два уравнения Монжа - Ампера, удовлетворяющие перечисленным выше условиям. Пусть эти уравнения локально контактно эквивалентны, то есть

(ф*(ш))е =

для некоторого контактного преобразования ф. Здесь Н0 - некоторая функция. Тогда

ф* (А±) = А± (14)

или

Ф*(А±) = Ат. (15)

Без ограничения общности можно считать, что выполняется (14). Действительно, если имеет место (15), то, умножив форму ш на —1, мы получим (14). Тогда д = а(д) и Н = в(Н), где а и в ^ некоторые функции, такие, что а'в' = 0. Пусть Ф - одна го функций Ф+ или Ф_. Тогда

ф*(ф & Н))= Ф(д,н)

а '(д)в'(Н)'

Учитывая, что

т_ ФФдН - фдФН 7 = Ф3 '

мы получаем:

ф*(,7) = 7.

Замечание 3. Для линейных уравнений вида

уХу = а(ж, у)«х + Ь(х, у)«у + с(ж, у)«,

дифференциальный инвариант совпадает с дифференциальным инвариантом д, найденным Л.В. Овсянниковым [20].

5. Уравнение Эйлера — Пуассона

Следующая теорема задает необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности уравнений Монжа Ампера уравнению Эйлера Пуассона.

Теорема 2. Гиперболическое регулярное уравнение Монжа Ампера локально контактно эквивалентно уравнению Эйлера-Пуассона

а в ав

Vxy — Vx I Vy , . с)

x + y ж + y (x + y)2

в точке a0 G J1M тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) обе формы Лапласа не обращаются в нуль в точке a0 G J1M и замкнуты;

2) Л_ Л Л_ — Л+ Л Л+ — Л_ Л Л+ — 0;

3) распределения F(n_) и F(n+) вполне интегрируемы;

4) аЛ_ + вЛ+ — 0;

5) дифференциальный инвариант J+ — const — 0. Доказательство. Для уравнения (16) формы Лапласа имеют вид

ав

Л+ — — ---ггdqi Л dq2 и Л_ — --r^dqi Л dq2.

(qi + q2)2 (qi + q2)2

Поэтому

7 2 7 2

J+ — — и J_ — 7r ав

Таким образом, условия теоремы являются необходимыми.

Условия 1) 3) теоремы означают (см. [11]), что уравнение Монжа Ампера локально контактно эквивалентно линейному уравнению

vXy — a(x, y)vx + b(x, y)vy + c(x, y)v + g(x, y). (17)

В силу условий 4) и 5) теоремы инварианты

— k — 1 d2 ln h

Р h q h dxdy

этого уравнения постоянны, причем q — 0 [20].

По теореме Овсянникова (см. [20, с. 123]) уравнение (17) заменой переменных приводится к уравнению (16). □

■V, а, в G R, (16)

6. Уравнение Хантера — Сакстона

В качество приложения теоремы 2 рассмотрим уравнение Хантера Сакстона. возникающее в теории жидких кристаллов [26]. Это уравнение гиперболического типа, н оно имеет следующий вид:

vtx = vvxx +

где к - некоторая константа.

Ему отвечает эффективная дифференциальная 2-форма

w = 2udq2 Л dpi + dqi Л dpi — dq2 Л dp2 — 2Kpidqi Л dq2

(18)

и оператор

в базисе

1 2u 0 0

0 —1 0 0

0 —2KP2 1 0

2kp2 0 2u —1

d д д

—

d д д

л- = я--+ Р^' Т~ = я--+ Р2ТГ'

dqi dqi du dq2 dq2 du

д dpi'

д dp2

(19)

модуля D (C).

Выберем следующий базис модуля векторных полей на JiM:

д д 2 д

Xi = ---+ pi^- + KPi^—,

д^ ди др2

дд

X2 = я--+ и-—,

др! др2

дд Z = ди +(2 к —1 pi дР2,

д 2 д д д Yi = д--+ kPi д----+ (p2 — upi) ,

дд2 дp1 д^ ди

Y дp2

и дуальный ему базис модуля дифференциальных 1-форм:

«i = dqi + udq2, «2 = dpi — Kpidq2, в = du — pidqi — p2dq2,

ei = dq2,

в = dp2+ (1 — 2к) pidu+ (к—1) p2dqi+ (2к — 1) pip2dq2 — udpi.

Векторные поля Xi, X2 в первом базисе образуют базпс модуля C+, а поля Yi,Y2 - базис модуля D(C_).

Тензорные инварианты (10) для уравнения (18) имеют следующий вид:

q23 = — (pidqi Л dq2 + dq2 Л du) ® ( + pi ^ + ^ )

д

д

д

д^

^p2 у

q32 = 2( к — 1) («pfdqi Л dq2 + Kp2dq2 A du —

d

— dpi Л du — pidqi Л dpi — P2dq2 Л dpi) <g) ——,

dp2

/ d d \ q2i = (dqi Л dpi — «p^qi Л dq2 + udq2 Л dpi) <g) f dU + (2 K — 1) pi dp-) '

4зз = Л ¿р2 + (1 — 2к)Л ¿и + (1 — к)Л ¿42 — «¿^2 Л ¿р^ ®

ди + (2 к -1) Р1 ар2у

Формы Лапласа для уравнения Хантера Сакстона имеют вид:

А_ = —¿^2 Л ¿Р1, А+ = 2 (1 — к) ¿^2 Л ¿р1.

Поэтому уравнение (18) удовлетворяет условиям теоремы 2. Контактное преобразование

= К^2 + —, ^2 = 42, и = и — Р19Ь Р1 = 91Р2, Р2 = Р2 — К91Р2-р1

переводит форму ш в форму

ш = ^Л¿р — Л¿Р2 + Г2(2к — ^ + , п 2ип ,2) ^Л

V К^2 — (к^2 — ^1)2/

которой отвечает линейное уравнение

2к — 1 1

uQiQ2 = 7;-^Т— Т7>-77^2 U

^ ^ Qi — KQ2 (Qi — KQ2)2

Последнее уравнение масштабным преобразованием

41 = 42 = —к^2

переводится в уравнение Эйлера Пуассона.

Замечание 4. Другое контактное преобразование, переводящее уравнение Хантера Сакстона в уравнение Эйлера Пуассона, было найдено О.И. Морозовым [25].

Summary

A.G. Kushner. On Reduction of Monge Ampere Equation to Euler Poisson Equation. We solve tlie problem of local contact, equivalence of Monge Ampere equation to Euler Poisson equation.

Key words: contact transformations, Laplace forms.

Литература

1. Lie S. Ueber einige partielle Differential-Gleichungen zweiter Orduung // Math. Ann. 1872. V. 5. P. 209 256.

2. Lie S. Begründung einer Invarianten-Theorie der Berulirungs- Transformationen // Mat.li. Ann. 1874. V. 8. P. 215 303.

3. Lie S. Classification und integration von gewöhnlichen different.ialgleichuugen zwischen x,y, die eine Gruppe von Transformationen gestatten // Math. Ann. - 1888. - V. 32. -P. 213 281.

4. Лычагии B.B. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, Л' 5. С. 273 276.

5. Виноградов, A.M., Красильщик И.С., Лычагии В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. 336 с.

6. Лычагии В.В., Рубцов В.Н. О теоремах Софуса Ли для уравнений Мопжа Ампера // Докл. АН ВССР. 1983. Т. 27, Л» 5. С. 396 398.

7. Туиицкий Д.В. О контактной линеаризации уравнений Мопжа Ампера // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60, № 2. С. 195 220.

8. Кругликов B.C. О некоторых классификационных задачах в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры и обобщенные уравнения Мопжа Ампера // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 11. С. 61 74.

9. Кушнер А.Г. Уравнения Мопжа-Ампера и e-структуры // Докл. РАН. - 1998. -Т. 361, Л» 5. С. 595 596.

10. Kushner A.G. Symplectic geometry of mixed type equations // Lycliagin V.V. (ed) The Interplay beet.ween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Mat.li. Soc. Transí. Ser. 2. 1995. V. 167. P. 131 142.

11. Кушнер А.Г. Контактная линеаризация невырожденных уравнений Мопжа Ампера // Изв. вузов. Матем. 2008. 4. С. 43 58.

12. Кушнер А.Г. Контактная линеаризация уравнений Мопжа Ампера и инварианты Лапласа // Докл. РАН. 2008. Т. 422, Л» 5. С. 597 600.

13. Kushner A.G. A contact linearization problem for Monge Ampère equations and Laplace invariants // Acta Appl. Math. 2008. V. 101, No 1 3. P. 177 189.

14. Кушнер А.Г. Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Мопжа Ампера // Матем. заметки. 1992. Т. 52, Л» 5. С. 63 67.

15. Кушнер А.Г. Приведение гиперболических уравнений Мопжа Ампера к лилейным уравнениям с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. 2008. Т. 423, Л' 5. С. 609 611.

16. Кушнер А.Г. Нормальные формы для уравнений Мопжа Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца // Геометр1я, тополопя та ïx застосувапя. Збфпик Праць In-ту математики HAH Украши. 2009. Т. 6, 2. С. 91 122.

17. Кушнер А.Г., Маи;>к;осова E.H. Симплектическая классификация гиперболических уравнений Мопжа Ампера // Proceedings of the International Geometry Center. 2008. V. 1, No 1 2. C. 41 70.

18. Kushner A.G. On contact equivalence of Monge Ampere equations to linear equations with constant coefficients // Acta Appl. Math. 2009. Online First: DOI 10.1007/ S10440-009-9447-z.

19. Laplace P.S. Recherches sur le calcul intégrais aux différences partielles // Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris. - 1773. - T. 23(24). - P. 341-402.

20. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.

21. Kushner A.G. Classification of Monge Ampère equations // Differential Equations: Geometry, Symmetries and Integrability. Proceedings of the Fifth Abel Symposium, Tromso, Norway, June 17 22, 2008 / Eds. B. Kruglikov, V. Lycliagin, E. St.raume. 2008. P. 223 256.

22. Kushner A.G., Lychagin V. V., Rubtsov V.N. Contact geometry and nonlinear differential equations. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. xxii^496 p.

23. Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка // Усп. матем. пуак. 1979. Т. 34, Л' 1. С. 137 165.

24. Lychagin V. V. Lectures on geometry of differential equations. Rome: La Sapienza, 1993. V. 1,2.

25. Muruzuv O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter-Saxton equation and the Euler Poisson equation. Preprint arXiv: mat.h-ph/0406016. 2004. P. 1 3.

26. Hunter J.K., Saxtun R. Dynamics of director fields // SIAM J. Appl. Math. 1991. V. 51, No 6. P. 1498 1521.

Поступила в редакцию 27.07.09

Кушнер Алексей Гурьевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики и информатики Астраханского государственного университета и научный сотрудник Института проблем управления РАН, г. Москва. Е-шаП: kushneraQmail.ru