О методике решения задач с помощью геометрических преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

ABOUT THE METHOD OF SOLVING TASKS BY MEANS GEOMETRIC TRANSFORMATIONS

12 3

Ostanov K. , Mamirov B.U. , Aktamova V.U. (Republic of Uzbekistan) Email: [email protected]

1Ostanov Kurbon - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF PROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS; 2Mamirov Berdiyor Ulugbekovich - PhD, Teacher, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 3Aktamova Vasila Uktamovna - Lecturer, DEPARTMENT OF NATURAL AND SCIENTIFIC DISCIPLINES, SAMARKAND INSTITUTE OF VETERINARY MEDICINE SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: in the process of teaching geometry, an important place is given to the formation of spatial representations of students, therefore solving geometric problems, especially solving construction problems. Methods for solving such problems are diverse, one of the effective ways to solve construction problems are methods that use geometric transformations. This article discusses two such methods: the symmetry method and the parallel transfer method. In addition, by the example of the construction tasks, the stages of solving such problems are indicated: analysis, construction, proof, and research. Keywords: geometry, method, symmetry, figure, transformation, parallel translation, triangle, trapezium, angle.

О МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

1 2 3

Останов К. , Мамиров Б.У. , Актамова В.У. (Республика Узбекистан)

1Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент кафедра теории вероятностей и математической статистики; 2Мамиров Бердиёр Улугбекович - PhD, преподаватель, кафедра математического анализа, Самаркандский государственный университет; 3Актамова Васила Уктамовна - преподаватель, кафедра естественных и научных дисциплин, Самаркандский институт ветеринарной медицины, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в процессе обучении геометрии важное место отводится формированию пространственных представлений учащихся, решению геометрических задач, особенно решению задач на построение. Методы решения таких задач разнообразны, одним из эффективных способов решения задач на построение являются методы, использующие геометрические преобразования. В этой статье рассматривается два таких метода: метод симметрии и метод параллельного переноса. Кроме того, на примере задач на построение указаны этапы решения таких задач: анализ, построение, доказательство и исследование. Ключевые слова: геометрия, метод, симметрия, фигура, преобразование, параллельный перенос, треугольник, трапеция, угол.

European science № 4 (46) ■ 58

1. Метод симметрии. Требуемая для построения фигура может иметь симметрические точки относительно прямой или точки. В этом случае необходимо выполнить симметрическое преобразование относительно прямой или точки [1].

Пример 1. Пусть нам дан угол АВС и внутри точка О. Требуется провести прямую, делящую в точке О отрезок его между сторонами данного угла.

Решение. Анализ. Предположим, что задача решена и MN-искомая прямая (рис. 1).

Рис. 1. Решение примера 1

Принимаем точку О как центр симметрии. Тогда точки М и N будет симметричным относительно точки О. Пусть прямая А'В' симметрично прямой АВ относительно точки О. Так как точка М является точкой, симетричной точке Ы, принадлежащей прямой АВ, то прямая А В' должна проходить через точку М. Таким образом, точка М должна быть точкой пересечения прямых ВС и А В'.

Построение.

1) Построим прямую АВ симметричной прямой А Вотносительно точки О (для этого найдем точку А' симметричной точке А и точку В' симметричной точке В относительно точки О);

2) Найдем точку М пересечения прямых ВС и А В' и ее соединим с точкой О. Тогда прямая МЫ будет искомым прямым. Доказательство вытекает из анализа и построения и поэтому его не приводим.

Исследование. Из анализа и построения видно, что задача всегда имеет только одно решение.

2. Метод параллельного переноса. При параллельном переносе некоторые отдельные части искомой фигуры параллельно переносится с целью для получения новой фигуры, допустимой к построению [2].

Пример 2. Построить трапецию по ее основаниям и диагоналям.

Решение. Анализ. Допустим, что задача решена и построена трапеция АВСВ(рис.2). Диагональ BD так параллельно переносим, чтобы его вершина В совпала с вершиной С. Тогда у А АСD известны все стороны: две - диагонали трапеции, третья сторона - сумма его оснований.

Построение.

1) По условиям задачи сначала построим треугольник

ЛСБь

2) Построим точку D (АО- известная сторона трапеции);

3) Через точку С проведем прямую, параллельную прямой СОь Они пересекаются в точке В. Построенная трапеция АВСО имеет данные основания и диагонали. Доказательство вытекает из анализа и построения.

59 ■ European science № 4 (46)

в С

Рис. 2. Решение примера 2

Исследование. Задача имеет решение только, в том случае когда выполняются условия \dl-d2\<a+b <dj+d2, здесь a, b- основания трапеции, dl и d2 - диагонали трапеции. Тогда ADl =a+b, AC=dl , CDl=d2. Условия вытекает из неравенства треугольника.

Список литературы /References

1. Заславский А.А. Геометрические преобразования. М.:МЦНМО, 2004. 86 с. 2-е изд., стереотипное.

2. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. М.: МЦНМО, 2004. 312 с.: ил.

European science № 4 (46) ■ 60