CC BY
43
Пусть В — оператор умножения на функцию р Е (0, го), причем В и е > 0 такие, что
e||p|U < min |Ai+i - Ai|/2 = |Ax - Aq|/2 = 3/2,
i
где ||p||ro = essentialsup |p(t)|. Тогда оператор C(e) = A + eB — самосопряженный, имеет простой
спектр и ядерную резольвенту в H.
Пусть n = 10, m = 20, a = 1, функция p(t) = exp(—t)(t3 — 2t2 + 3t — 1), а e = 1. Поэтому e||p|U < 3/2, h = e/m = 0.05.
Действуя по аналогии с предыдущими примерами, получим
AQ (1) « A020 = 1.62001614319061257051596195543, xq(1) « Х_20(10,1) = —0.052640007616461352878265389744t+ +0.012732364063459791135650944933t2 — 0.00204673650450553741374697814182t3+ +0.00044652270392081656185756789t4 — 0.00007473792690780671519384085169t5+ +0.00000756682745671286932390335t6 — 0.00000045535437726594010067173277tr+
+0.00000001594769598859182470616Г - 0.29901461822146940812316361 ■ 10
-9 ,9
+0.230941905674454297781■10-11 ■ t10 + 0.768981445312051871432936928070,
:= ||C(1)X_ (10,1) - Ao20(10,
< 0.0223.
Описанный метод обладает достоинством: его нетрудно реализовать на практике, используя компьютерные математические пакеты, а контролировать методом невязок.
Библиографический список
1. Дородницын А. А. Избранные научные труды: в 2 т. ральных уравнений с дополнительными главами ана-Т. 1. М.: ВЦ РАН, 1997. 396 с. лиза. М.: Наука, 1981. 384 с.
2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математиче-
4. Смирнов В. И. Курс высшей математики: в 5 т. Т. 2. М.: Наука, 1967. 656 с.
ский анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001.
382 с. 5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
3. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интег- М.: Гос. изд-во ТТЛ, 1953. 468 с.
УДК 517.5
МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ
А.А. Нурмагомедов
Дагестанский государственный педагогический университет, Махачкала, кафедра прикладной математики E-mail: [email protected]
В работе исследуются асимптотические свойства многочленов pn(t), ортогональных с весом Atj на произвольных сетках, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1,1]. А именно установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании n вместе с N асимптотическое поведение этих многочленов близко к асимптотическому поведению многочленов Лежандра. Кроме того, исследованы аппроксимативные свойства сумм Фурье по этим многочленам.
Ключевые слова: многочлен, ортогональная система, сетка, вес, весовая оценка, асимптотическая формула, приближение.
Polynomials, Orthogonal on Non-Uniform Grids A.A. Nurmagomedov
Dagestan State Pedagogical University, Makhachkala, Chair of Applied Mathematics E-mail: [email protected]
Asymptotic properties of polynomials pn (t), orthogonal with weight Atj on any finite set of N points from segment [-1,1] are investigated. Namely an asymptotic formula is proved in which asymptotic behaviour of these polynomials as n tends to infinity together with N is closely related to asymptotic behaviour of the Lasiandra polynomials. Furthermore are investigated the approximating properties of the sums by Fourier on these polynomials.
Key words: polinomial, ortogonal system, set, weight, weighted estimate, asymptotic formula, approximation.
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время интерес к теории многочленов, ортогональных на дискретных системах точек, сильно возрос, она получила интенсивное развитие и нашла многочисленные приложения. Большая часть этих приложений приводит к задаче об асимптотических свойствах и весовых оценках ортогональных многочленов. В прикладных и теоретических исследованиях часто применяются разложения в ортогональные ряды. При этом приходится решать следующую промежуточную задачу: для заданной функции / = /(х) из того или иного класса и выбранной ортонормированной системы п} требуется оценить отклонение частичной суммы Бп(/) = Бп(/,х) ряда Фурье функции / по системе {^п} от самой функции /.
Приведенная задача хорошо известна и детально изучена для многих классических ортонормиро-ванных систем. В частности, в работах [1, 2] было исследовано поведение частичных сумм Фурье -Якоби £Ш'в(/) порядка т функции / е С[—1,1]. Доказано, что при Л = тах(а,в} > — 1/2 норма оператора частичных сумм Фурье - Якоби растет со скоростью 0(тЛ+1/2). Тем не менее, оставался ряд классических ортонормированных систем, часто применяемых на практике в качестве базисов, для которых указанная задача почти не была исследована. Это многочлены, ортогональные на сетках.
Основной причиной того, что задача о приближении функций суммами Фурье по ортогональным на сетках многочленам оставалась не решенной, явилось отсутствие исследований по асимптотическим свойствам самих ортогональных многочленов дискретной переменной. И здесь следует заметить, что исследованию этой задачи посвящены многочисленные работы И. И. Шарапудинова. Например, в работе [3] исследован вопрос о сходимости частичных сумм Фурье - Чебышева (/) порядка п < N — 1 к функции / е С[— 1,1] при п = 0(Н1/2). В частности, доказано, что при п = 0(Н1/2) норма оператора £п>н = Бп^(/) в С[—1,1] имеет порядок у Бп^ ||= 0(п1/2).
И по аналогии с этими работами мы также исследовали асимптотические свойства многочленов, ортогональных на произвольных сетках, и аппроксимативные свойства сумм Фурье по этим многочленам.
Пусть Тн = (tj— дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [—1,1] : —1 = ¿0 < ¿1 < ... < -1 < = 1.
Через
Рк(¿) = рк(¿; Тн) (к = 0,1,..., N — 1) (0.1)
обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке Тн в следующем смысле (0 < п,т < N — 1):
N-1
(Рп ,Рш) = ^ Pn(tj )Рш(. )Д. = ¿пш, (0.2)
.7=0
где = ¿7+1 — ¿7, з =0,1,..., N — 1. Для определенности будем считать, что старший коэффициент многочлена рп (¿) положителен, т.е.
РпС0= кп¿п + Ьп-11п-1 + ••• + Ьо, кп > 0. (0.3)
Ниже нам понадобиться обобщение на интегральные метрики известного неравенства В. А. Маркова для производных алгебраических многочленов. А именно пусть дп(Ь) — произвольный алгебраический многочлен степени п, 0 < г < п. Тогда имеет место [4, 5] оценка
i 1
,2r
У (¿) & < с(г)п2 у 1Яп(¿)| я, (0.4)
-1 -1
где с(г), с(а, в),..., с(а, в,..., 7) — положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров, вообще говоря, различные в разных местах. Через кг мы обозначим наименьшую константу в неравенстве (0.4), т. е.
1 ( Л
Kr = inf
qn
} ár\t) -1
1 :
n2r / |qn (t)| dt -1
где нижняя грань берется по всем алгебраическим многочленам #п(*) степени п, не равными нулю тождественно.
Далее, пусть Рп(*) — ортонормированный многочлен Лежандра,
5м = тах А*,. (0.5)
0<,<М -1 -1
В данной работе установлена: 1) асимптотическая формула
Рп (*) = Рп(£) + иП)м (*),
в которой для остаточного члена ип,м(*) при 1<п<а5—1/2 (0 < а < {(1 — Ь)/(4к1)}1/2, 0 < Ь < 1) имеет место оценка
!\ -1/2
2) весовая оценка
/ _ \ —
|рп(0|<с(а,&)(4/2п3/2 + 1) + (-1<*<1).
Здесь следует заметить, что аналогичные результаты нами были получены в работе [6] в случае, когда конечная последовательность многочленов {рк(^)}М-01 образует ортонормированную систему на
множестве Хм = {а^}^1' гДе хз = ^ = 0,1,..., ЛГ — 1.
, 2 3) оценка: для функции Лебега
N-1 Ln,N (*) = ^ ,=0
А,
(*)рк ) ,=0 к=0
при п = 0(5-1/5) равномерно относительно —1 < * < 1 справедливо неравенство
(*) < с(а, Ь)п1/2.
1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
Мы здесь приведем некоторые сведения о многочленах Якоби и Лежандра. Определим многочлены Якоби Р^ (*) (п = 0,1, 2,...) с помощью обобщенной формулы Родрига:
(_1)п 1 ап
п v ; 2пп! Щ <ИпХ К '
где а, в — произвольные действительные числа, = 1 — *2, к(*) = к(*; а, в) = = (1 — *)а(1+. Если а, в > —1, то многочлены Якоби образуют ортогональную систему на [—1,1] с весом к(*) в следующем смысле:
1
у к(*)рпа,в (*)рт,в (*) а* = ^ 5пт, 1
где
^ _ 2а+/?+1Г(п + а + 1)Г(п + /3 + 1) п' ~ п!(2п + а + /3+1)Г(п + а + /3 + 1)
и, следовательно, ^ п 1 (п =1, 2,...).
Ниже нам понадобятся следующие свойства многочленов Якоби [7]: - производная
= (п + а + ¡3 + 1)г оа+
<ИГ п и
где (а)0 = 1, (а)^ = а(а + 1)... (а + V — 1);
= (0 < г < п), (1.1)
Изв. Capar, ун-та. Нов. сер. Z011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 2 весовая оценка (-1 < t < 1)
/ __/ _ i \ —/з—i
< с(а,13) í VT^t + -J iVT+t + -j , (1.2)
в частности
у/п\Р£>13{Ь)\ < с(а,13) (1 (0 < £ < 1 — п-2) , (1.3)
< с(а, (3)па+^ (1 -п~2 < I < 1) ;
- симметрия
и) = (-1)п рпв'а(^);
- равенство
СЙМ = ^¿тт^'М - '"^Л1 - ^
Одним из частных случаев многочленов Якоби при а = в = 0 являются многочлены Лежандра, ортогональные с единичным весом к(£) = 1 на сегменте [-1,1] :
1
2П + 1 г
2 I Рп{^)Рт{^) dí — ¿пт?
-1
для которых, в частности, неравенство (1.2) имеет вид
Pn(t)\ <С + - . (1.5)
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Здесь мы докажем некоторые утверждения, которые нам понадобятся в дальнейшем. Лемма 2.1. Пусть функция /(¿) непрерывно дифференцируема на [-1,1], —1 = < ¿1 < ... < < -1 < = 1, Д^- = ¿¿+1. — ^, з =0,1,..., N — 1. Тогда имеет место следующее равенство:
1 N-1
I f (t) dt = £ f (tj)Atj + rN(f), _1 j=0
в котором для остаточного члена ты (/) имеет место оценка
1
|ты(/)|< ¿ы | |/'(х)| йх. (2.1)
-1
Доказательство. Мы имеем
1 ы-1 г: + 1 [ /(¿) ^ = £ [ /(¿) (2.2) -1 : Далее, воспользовавшись формулой Тейлора, мы можем записать
tj+l г
J f(t) dt = j
f (tj) + / f '(x) dx
j t
bjj^-bj
dt = f (tj )Atj + / / f '(x) dx dt =
¿j+i
= f (tj)Atj + [ (tj+1 - x)f'(x) dx. (2.3)
¿3 + 1 3 + 1
Поскольку (см. (0.5)) / (£5+1. — х)/'(х) 6х < 5М / |/'(х)| 6х, то из (2.2) и (2.3) мы находим
1
М-1
1
/(г) бг = £ /&+ ГМ(/),
5=0
где
IГМ (/)| =
N -1 31
^ / (г5 + 1 — х)/'(х) 6х
5=0
N-1 ¿3+1
< 5м / |/'(х)| 6х = 5м / |/'(х)| 6х.
^=о Л
1
Лемма 2.1 доказана.
Лемма 2.2. Для нормированного многочлена Лежандра Рп{1) = д/(2п + 1)/2Рп(£) имеет место следующая формула:
N-1
ЕР^П & ^ =1 — Гп,М,
5=0
б которой
|Гп,М I < с5мп 1п(п + 1).
2п +1
Доказательство. Полагая /(£) = Р2(£) = —-—Р2(£)> воспользуемся леммой 2.1. Тогда
М-1
1 = [ Р^) 61 = ^ Р^)Д*,- + ГП)М,
_о
где гп,М = гМ(РП) и, стало быть,
5=0
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Км| < 6м {РПШ'
бг = 25м
{РЖ
6г.
1
Далее, в силу (1.1)
{РЖ = {р^)У = (2п+1){рп(^т = {2п+1)2{п+1)Рп(1)Р1Л(1).
2
Поэтому в силу весовой оценки (1.2) ((1.5)) получим
{РпШ'\ < с(п+1)
2
Отсюда, в свою очередь, имеем
{Р2(£)У (И<с(п + 1) I ^а/ 1 — I2 + ^ <И < с(п+ 1)1п(п + 1).
(2.7)
(2.8)
Сопоставляя (2.6)-(2.8), приходим к оценке (2.5). Лемма 2.2 доказана.
Лемма 2.3. Пусть к15Мп2 < 1/4.Тогда для ортонормированного многочлена (0.3) имеет место следующая формула:
РП(г) ¿г = 1 + Яи,м,
1
в которой
I ЯщМ I <
4к15М п2 1 — 4к15М п2
(2.9) 33
1
1
1
1
1
Доказательство. В силу леммы 2.1
1
IРП(*) йг =5] )Д*3 + , (2.10)
-1 3=0
где Лп>м = (р^) и, стало быть, в силу (2.1)
1
|Дп,м| < бм I |{РПШ\ 61. (2.11)
-1
Далее, из неравенства (0.4) следует, что
1 1
J КРПСОЦ йг < 4к1 и2! у(г) йг. (2.12)
-1 -1
Сопоставляя (2.11) и (2.12), получим
1
|Яп,м| < 4К1 бми2 !р2п(г) йг. (2.13)
-1
Кроме того, из (2.10) и (2.13) следует, что
1 1 JР2(г) йг < 1 + 4к1бми2 !РП(г) йг. (2.14)
-1 -1
Если теперь к1 бми2 < 1/4, то из (2.14) получаем
1
-1
А теперь из (2.13) и (2.15) непосредственно следует оценка (2.9). Лемма 2.3 доказана.
Лемма 2.4. Пусть кп — старший коэффициент многочлена рп(г), а \п — старший коэффициент многочлена Лежандра Рп(г). Тогда
1 к 1
т-л г 9,1/9. (2.16)
1 + обnn ln(n + 1) " An _ (1 - AkiSnn2)1/2 Доказательство. Нетрудно заметить, что если Pn(t) = AnPn(t), то
X2 =
n1
fPn2(t) dt 1
где Рп(г) — многочлен Лежандра с единичным старшим коэффициентом. Если рп(г) — многочлен из последовательности (0.1), то
*» = тгг2-' (2-17)
3=0
где рп(г) — многочлен из последовательности (0.1) с единичным старшим коэффициентом. Далее, в силу (2.4), (2.5) и (2.17) получим:
кп2 1 1 1
> ->
An j pn(t, j E1 ^(tj)j 1+06Nn ln(n+1)
j=o j=o
Отсюда, в свою очередь, следует левая часть неравенства (2.16). Чтобы доказать правую часть этого неравенства, мы воспользуемся интегральным неравенством Коши - Буняковского. Тогда получим:
k 1 ( 1 \VV 1 V/2 1
^ = / Pn(t)Pn(t) dt<[ fn(t) dt / Pl{t) dt <
An J \J yj -nw-i - (1 _ 4Xi¿n „2)1/2-
Лемма 2.4 доказана.
3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ Pn (t)
Здесь мы получим асимптотическую формулу для многочленов pn(t), ортонормированных на Tn в смысле (0.2).
Теорема 3.1. Пусть 0 < b < 1, 0 < a < {(1 _ Ь)/(4к1 )}1/2 и 1 < n < aó—1/2. Тогда имеет место асимптотическая формула:
Pn (t) = Pn(t) + Vn,N (t), (3.1)
где для остаточного члена un,N (t) которой справедлива оценка
_ i
vn,N(t)| < с(а,&)4/2п3/2 (лД^ + 2 • (3-2)
Доказательство. Оценим следующий интеграл: 11 111 J {Un,N(t)}2 dt = у {Д (t) _ pn(t)} dt = J Pn2(t) dt _ 2 y Pn (t)pn (t) dt + y рп (t) dt = /1 + /2 + /3. -1 -1 -1 -1 -1
Ясно, что ii = 1, /2 = -2-^-. А в силу (2.15) /3 = 1 + —тогда
An 1 _ 4k1ónn2
1
ir rni^ C^Nn ln(n +1) 4к1 óN „2 ^ , , 2 /О OA
J Mt)] dt - l+rfwn]n(,,. + l) + 1 - ibis* K C(a'■ m
-1
Из неравенства (3.3), используя теорему 7.71.1 [7], легко получить утверждение теоремы 3.1. Сопоставляя (3.1), (3.2) с (1.5), мы приходим к следующему утверждению.
Теорема 3.2. Пусть 0 < b < 1, 0 < a < {(1 _ Ь)/(4к1)}1/2 и 1 < n < aó—1/2. Тогда существует постоянная c(a, b) > 0 такая, что
/ i \ -1/2
|pn(i)|<c(a,&)(4/2n3/2 + l) J (~l<t<l). (3.4)
4. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ ЛЕБЕГА СУММ ФУРЬЕ ПО МНОГОЧЛЕНАМ p«(t)
Пусть C[—1, 1] — пространство непрерывных на отрезке [—1,1] функций f (t) с нормой
и f ||=| f ||c[-i,i]= -ma|11 f (t) |,
Pn — пространство алгебраических многочленов степени n, En(f) = min || f — qn ||c[-1 1] — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами степени n.
Через Sn,N (f) = Sn,N (f, t) обозначим частичную сумму n-го порядка ряда Фурье функции f(t)
n л л N-1
по системе {pk(t)}^1, т.е. Sn,N(f) = Е ffcPfc(t), где f = £ f(tj)pk(tj)Atj.
k=0 j=0
Рассмотрим задачу об оценке отклонения частичной суммы Sn,N(f) ряда Фурье функции f по системе {pk(t)}^!-1 от самой функции f при t е [—1, 1] и n, N ^ го. Положим
N-1
Ln,N(t) =5] |Kn,N(t,tj)| Atj, (4.1)
j=o
n
Kn,N (t,tj ) = £ pk (t)Pk (tj). (4.2)
k=0
Как известно, задача об оценке величины |f(t) — Sn,N(f,t)| с помощью неравенства Лебега
|f (t) — Sn,N (f,t)| < (1+ Ln,N (t))En (f) (4.3)
сводится к задаче об оценке функции Лебега Ln,N(t). Имеет место следующее утверждение.
/1 _ ь \ 1/2
Теорема 4.1. Пусть / е С[—1,1], 0 < b < 1, 0 < a < ( ——j , n = 0(ó^1//5). Тогда справедливо неравенство (—1 < t < 1)
Ln,N(t) < c(a, b)n1/2.
Доказательство. Пусть 0 < t < 1 — 4n—2. Функцию Ln,N(t), определяемую равенством (4.1), разобьем по следующей схеме:
Ln,N (t) = | Kn,N (t,tj ) | Atj + I Kn,N (t,tj ) | Atj +
— 1<í3- <-1/2 -1/2<tj <yi
+ J] | Kn,N(t, tj) | Atj + J] | Kn,N(t, tj) | Atj = A + A + A3 + A, (4.4)
yi<tj <У2 У 2 <tj <1
Vi3*2 Vi3*2
где yi=t--, y2 =t-\--.
n n
Чтобы оценить A1, воспользуемся формулой Кристоффеля - Дарбу (n < N — 2):
= тг~~~ ■ ^^^(4-5)
к=о кп+1 1
где кп — старший коэффициент многочлена рп(¿). Далее, пользуясь, с одной стороны, тем, что для старшего коэффициента Лп ортонормированного многочлена Лежандра Рп(¿) имеет место неравенство
п < с, а с другой стороны, в силу неравенства (2.16) мы имеем
А
n+1
kn An kn/An , 1+ ¿Nn ln(n +1) , w ..
Дп = T- = T-T-77- < С------< С(Ь 1 +SNnlli(П+ 1 <
kn+1 An+1 kn+1 / An+1 (1 — 4K1ÓN n2)1/2
< c(b) + SNn2 • < c(a, b). (4.6)
Из n = 1/5) следует n + 1 = 1/5). Кроме того, если 0 < t < 1 — 4n—2 и —1 < tj < —1/2,
то --- < 2. Отсюда и в силу (4.2), (4.5), (4.6) находим
|t — tj |
А = | Kn,N (t,tj) | Atj < |Kn,N (t,to)|Ato + J] | Kn,N (t,tj) | Atj +
— 1<tj < — 1/2 —1<tj < —1+4n-2
+ J] | Kn,N(t,tj) | Atj < c(a,b) [| pn+1 (t)pn(to) | + | Pn(t)pn+1 (to) |] Ato +
— 1+4n-2<tj < — 1/2
+c(a, b) (| pn+1(t)pn(tj) | + | pn(t)Pn+1 (tj) |) Atj +
— 1<t,' < —1+4n-2
+c(a, b) J] (| p3n+1(t)p9n(tj) | + | pn(t)pn+1 (tj) |) Atj = A1o + An + A12. (4.7)
—1+4n-2 <t3- < — 1/2
Оценим A1o. В силу (0.5), (3.4) при n = 1/5) имеем (to = —1)
Аю < c(a,b) [|Pn+1(t)|n1/2 + |pn(t)|(n + 1)1/2] Ato < 36 Научный отдел
< с(а, Ь)и1/2 [|рп+1(г)| + |Рп(г)|]бм < е(а,6)ибм < с(а, Ь)и-4 -1 -
получаем (и = 0(б^1/5)):
Если -1 < з < -1 +4и-2, то 2 - 4и-2 < 1 - з < 2, 0 < 1 + 3 < 4и-2. Тогда в силу (3.4)
-1/5
Ап < с(а,Ь) ^ (| рп+1&) | л/1 + Ь +
-1<^ <-1+4п-2
1
-1/2
+| Рп (г) |
1
и + 1
-1/2
)ДЗ <
< с(а,ь) [|Рп+1 (г)|и1/2 + |Рп(г)|(и + 1)1/2] Е дг
3<
-1<^ <-1+4п-
< с(а, Ь)и1/2 [|рп+1 (г)| + |Рп(г)|] и-2 < с(а, Ь)и-1
(4.9)
Если же -1 + 4и-2 < 3 < -1/2, то (3/2) < 1 - з < 2 - 4и-2 < 2 и 4и-2 < 1 + з < 1/2
2
2
Следовательно,
А12 < с(а,Ь) [|Р>п+1 (г)| + |Рп(г)|] X] (1 + з)-1/4Дз <
п | 3
-1+4п-2<^- <-1/2
-1/2
< с(а,Ь) [|РЗп+1 (г)| + |Рп(¿)|] у (1 + т)-1/4йт < С(а,Ь)ш1п{(1 - ¿)-1/4, и1/2}.
-1+4п-2
Сопоставляя (4.7)-(4.10), находим
А < с(а, ь) ш1п{(1 - г)-1/4, и1/2}. Теперь оценим А2. Пользуясь (4.2), (4.5) и асимптотической формулой (3.1), получаем:
Рп+1(г)Рп (з) - Рп (г)Рп+1 (3)
А < с(а, Ь) Е
-1/2<*3- <У1
г - г
ДЗ =
= с(а,ь) Е |{(рРп+1 (г) + ип+1,м (г))(рРп (3) + ип,м (3))
-1/2<^з <У1
-(рРп(г) + ип,м(г))(рРп+1 (3) + ип+1,м(з))}/{г - 3}|Дз <
-Рп+1(г)рЭп (гз ) - -Рп (г)р3п+1 (гз )
< с(а,Ь) Е
I -1/2<^ <У1
£ -¿з
Д3 +
+
-1/2<*3- <У1
-Рп+1 (г)ип,м (з)
г - 3
Дз + Е
-1/2<*з <У1
-Рп (з )ип+1,м (г)
¿-3
+
-1/2<*з <У1
+ Е
-1/2<*з <У1
ип+1,м (г)ип,м (3 )
* "3
Д3 + Е
-1/2<*з <У1
-Рп (г)ип+1,м (з)
£ - 3
Дз +
ДЗ+
-Рп+1 (з )ип,м (г)
£ - 3
Д3 + Е
-1/2<*з <У1
ип,м (г)ип+1,м (3 )
г - з
Дг л =
= А21 + А22 + А23 + А24 + А25 + А26 + А27. Займемся А21. Пользуясь тождеством (1.4) при а = в = 0, можем записать
Рп+1 (г^п (з ) - Pn(í)Pn+1 (¿з ) = (1 - з ^'"(З )Pn (г) - (1 - (3).
Тогда учитывая, что Рп(3 = л/(2п + 1)/2Рп(£), в силу (1.3), (1.5) имеем
2и + 1
-4.21 < с(а, &) - Е
-о <^'<2/1
(1 - з^."(з)Pn(г) - (1 - í)Pn1'0(г^п(¿з)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
Дгз < с(а,ь)(1 - г)-1/4х
и
2
(1 - tj )1/4
-b<tj<y 1
t - tj
Atj + c(a, b)(1 - t)1/4
-i <tj<yi
(4.13)
Далее, в силу неравенства (1 - tj )1/4 < (1 - t)1/4 + (t - tj )1/4 получаем:
A21 < c(a, b)
At
E йт + с1-')"1'4 E
Atj
-2 <tj<yí
-ñ<tj<yi
< c(a, b)
У1
dr t - т
y 1
+ (1 -1)
_t)-1/4
dC
-1/2
-1/2
(t - C)3/4
(t - tj)3/4
<
<
< c(a, b)
ln
Vl^í2
+ ln(3/2) ) + (1 - t)-1/4(t + 1/2)1/4
<
< c(a, b) [ln(n + 1) + n1/2] < c(a, b)n1/2.
(4.14)
А так как для —1/2 <tj <t — л/1 — t/i
то
4? < c(a, b)
-é<t¿<yi
t-t,
У1
< c(a, b)
dr
<
-1/2
< c(a, 6) ^ln ^ + ln 0 < c(a, 6) ln(n + 1).
Из (4.13)-(4.15) имеем
A21 < c(a, b)n1/2.
(4.15)
(4.16)
Для —1/2 <tj<t — л/l — t2/n имеем t — tj < 1 — tj. Отсюда и в силу (1.5) ((1.3) при a = 0), (3.2)
при n = 0(<5—1/5) получаем
Л22 < с(а, 6)4/2^3/2(1 " t)~1/4 V (1 , tj)"1/4 < b)STn2 V
—' t — tj —'
-1/2<tj <yi
У1
<c¿1/2 2 f _^_
-1/2
Atj
-1/2<tj <y1
(t - tj)5/4
<
< c(a, b)ó]/2n5/2 < c(a, b).
Аналогично доказываются следующие оценки (n = O(<5-1/5)) :
A2i < c(a, b) (i = 3, 5, 6).
(4.17)
(4.18)
Далее, в силу (3.2) при n = 1/5) находим
A24 < c(a, b)^vn3(1 - t)-1/4 J]
(1 - tj)-1/4
-1/2<tj <y1
t tj
Atj < c(a, b)5vn7/2
Atj
-1/2<tj <y1
(t - tj )5/4
<
< c(a,b)5vn7/2
dr
< c(a, b)5vn4 < c(a, b)n 1.
-1/2
(t - т)5/4
(4.19)
Такую же оценку допускает и A27. Отсюда и из (4.12), (4.16)-(4.19) при n = O(<5-1/5) получаем
A < c(a, b)n1/2. (4.20)
х
n
Теперь оценим А3. В силу (3.4), (4.2) при п = 0(5—1/5) имеем
п
А = £ |Кп,м)IА*, <Е^(*)| |Рк)|А*, <
<У2 к=0 У1 <У2
< с(а, Ь) Е I Рк(*) | Е (1 — ,)-1/4А*, < с(а, Ь) Е | Рк(*) |
<У2
к=0
к=0
У2 ~ У1
(1 " Ы1/4
е(а,Ь)Е |Рк (*)|
<с(а,Ь)(1 — *)-1/4п
к=0
1 -
(1 — *)1/2
п(1 —
1 _ 1 1+1 1 п\ 1-1
< с(а,Ь). (4.21)
Перейдем к оценке А4. В силу (3.1), (4.2), (4.5) и (4.6) при п = 0(5—1/5) мы находим
Рп+1 (*)Рп (*, ) — Рп (*)Рп+1(*7 )
А4 = с(а, Ь) ^^
<1
А*, <
< с(а, Ь){ ^
<1
Рп+1 (*)Рп (, ) — Рп (*)Рп+1 (*, )
* -
+
+
У2<^' <1
Рп+1 (*)ип,м (*, )
*
+ Е
<1
Рп (*, )ип+1,м (*)
+
<1
+ Е
У2<^3 <1
ип+1,м (*)ип,м (*, )
* -
+ Е
* -
Рп (*)ип+1,м (*, )
* -
-Рп+1 (*, )ип,м (*)
+ Е
У2 <1
ип,М (*)ип+1,М )
У2 <1
*
А*,- +
А, +
А, } =
= А41 + А42 + А43 + А44 + А45 + А46 + А47. Рассмотрим А42. В силу (1.5), (3.2) при п = 0(5—1/5) имеем
А42 < с(а,Ь)5М/2п3/2(1 — *)-1/4 Е
и -I
А*,- +
(4.22)
+с(а, &)4/2^3/2(1 - г1/4 Е (1тЧ1/4*,+
— *
+с(а,Ь)5М/2 п3/2 (1 — *)-1/4 Е
п1/2 Л, - л(1) , л(2) , л(3) £ • — £ 3 ~ 42 42 42 '
(4.23)
Если у2 < < (1 + *)/2, то 1 — > — *. Тогда для А.42 при п = 0(5м±7°) получаем
-1/5
¿42 < с(а, Ь)5^п2 Е
А*,
= с(а, Ь)5р}П2 Е
У2<«3.<Ш
<
1+* 2
+ 1 ) < с(а,Ь)5М/2п2
¿т
(т — *)5/4
<
< с(а,Ь)5М/2п2п1/2 < с(а, Ь).
(4.24) 39
Изв. С арат, ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 2 Если же (1 + Ь)/2 < Ьз < 1 — п—2, то 1 — Ьз < Ьз — Ь. Тогда для А42 имеем
1—п
-2
42) < с(а, ЪШп2 V , < с(а, [ , <
42 - ; * А, (1-^)5/4 - ^ ' ] м ] (1 -т)5/4 -
2 - J-
< е(а, Ь)^1^2п2
< е(а,Ь). (4.25)
Далее, для а432> имеет место оценка
Ь3 — Ь
1-п-2<г: <1 3 1—п-2<г,- <1
Отсюда и из (4.23)-(4.25) выводим
А42 < е(а,Ь). (4.26)
Аналогично доказываются следующие оценки:
< е(а,Ь) (г = 3,5,6). (4.27)
Перейдем к рассмотрению сумм А44 и А47, остановившись для определенности на А44. В силу (3.2) при п = 0(5—1/5) имеем
(1 +.) —1/4
А44 < с(а,Ь)6кп3( 1 - £)"1/4 1 ^ —+
+с(а, &)^п3(1 - О"1/4 +
— г7- - г 3
-П-2 ^
п1/2
+с(а, Ь)5]уп3(1 — £)_1//4 ^ ^Д^А^+А^+А^. (4.28)
1-п-2< г:< 1
Ьз — Ь
Для у2 < ¿з < (1 + Ь)/2 имеем 1 — Ьз > Ьз — Ь. Следовательно, по аналогии с (4.24) получаем:
1+* 2
4*4 < с(а, ^ _^)5/4 < с(а, Ь)6мп7/2 ^ (т_^5/4 <
У2<Ь<2 У2
< с(а, &)5^п1/2 < с(а, &)п-1. (4.29)
Поскольку 1 — Ьз- < Ьз- — Ь для (1 + Ь)/2 < Ьз < 1 — п 2, то
а2} < с(а, ^ (1 _^)5/4 <
1—п-2
——^^ < с(а, < с(а, &)п-1. (4.30)
1+1
2
(3)
Далее, для А44 имеет место оценка
А44 < с(а, V —-—< с(а,Ь)5мп6 V А^-<
—' Ьз — Ь —'
а,о)дмп - э — о)д]\[71
1-п-2<г,< 1 3 1-п-2<:< 1
< е(а, п4 < е(а, Ь)п—1. (4.31)
2 <": <
Сопоставляя (4.28)-(4.31), получаем:
А44 < с(а, Ь)п-1. Совершенно аналогично доказывается, что
А47 < с(а, Ь)п-1.
Оценим А41. Аналогично тому как была установлена оценка (4.17), находим
А41 < с(а, Ь)
2п + 1 х -
2 ^
У2<^ <1
(1 — ¿7 )Рп1,0(^7 )Рп (¿) — (1 — ¿)Рп1,0 (¿)Рп (¿7 )
Д*7 <
(4.32)
(4.33)
< с(а, &)(1 -
+с(а, Ь)(1 — ¿)1/4
< с(а, Ь)((1 — ¿)—1/4 + £
У2<^' < 1 — п 2 7
1-п-2< и< 1
. - £
У2<^ <1 —п-2 7
1-п-2< 1
¿7 — £
+
<
^ (1 — ¿7 )1/4 Л ^^ (1 — ¿7) —1/4
У2 <tj <1 —п
ДЛ
-2 ¿7 — *
y2<tj <1 —п
-2 ¿7 — *
1-п-2< 1
7 - t
Е
Д^
1-п-2< 1
¿7 - t
- , л(2) , л(3) , л(4)
/ — 41 + 41 + 41 + 41 5
где
4? < с(а, &)п5/2 £ А^7 < с(а, ^п1/2, < с(а, Ь) / < с(а, Ь) 1п(п + 1),
1-п-2< 1
т-^
1— п-
АЙ)<с(а,6) £ ^ ^ ^ =сМ) £
(1
у2<^- <1 —п-2 7
- г
¿7 — t
Е
Д7
^ & - ¿)5/4 3 — 2
+ Е
Д +
Д^
(1 — ¿7 )5/4
<
< с(а, Ь)
1±1
2
1 — п
+
(т — ¿)5/4 J (1 — С )5/4
1+1
2
< с(а, Ь)п1/2.
Далее, в силу неравенства (1 — ¿7)1/4 < (1 — ¿)1/4 + (¿7 — ¿)1/4 получаем:
4? < с(а, Ь)
£
— ^
У2<^' <1 —п-2 7
£
Д^
у2<^- <1 —п-^ 7
-2 (¿7 — ¿)3/4
<
< с(а, Ь)
1 — п
т - г
1 — п
+ (1—¿)
-¿)—1/4
(С — ¿)3/4
< с(а, Ь) |ь(п + 1) + п1/2] < с(а, Ь)п1/2.
Следовательно, А41 < с(а, Ь)п1/2. Отсюда сопоставляя (4.22), (4.26), (4.27), (4.32), (4.33), мы выводим (п = 0(5—1/5))
А4 < с(а, Ь)п1/2. (4.34)
Собираем оценки (4.11), (4.20), (4.21), (4.34) и, сопоставляя их с равенством (4.4), находим
(¿) < с(а, Ь)п1/2,
(4.35)
где 0 < ^ < 1 — 4п—2, п = 0(5—1/5).
1
2
4
У2<Ь<Щ
2 <-j <
2
2
Перейдем к случаю, когда 1 - 4и 2 < г < 1. Чтобы оценить (¿) при 1 - 4и 2 < г < 1, разобьем сумму в правой части равенства (4.1) по следующей схеме:
Ln,N (t)= Е |Kn,N (t,tj )| Atj + Е |Kn,N (t,tj )| Atj +
-1<tj<-1/2 — 1/2<í¿< 1 — n 2
+ E | Kn,N (t, tj) | Atj = B1 + B2 + B3.
1-n 2 <í,< 1
(4.36)
При 1 - 4и-2 < г < 1 имеем 1 - г < 4и-2. Следовательно, из (1.5) вытекает оценка ^(г) < си1/2. Учитывая это неравенство, суммы В1 и В2 оцениваются совершенно аналогично тому, как это было сделано для А1, А2 и А3. Это дает при и = 0(б-1/5)
B < о(а, b)n1/2, B2 < о(а, b)n1/2. Что касается B3, то воспользовавшись оценкой (3.4), имеем
вз = £
1-n 2 < í,< 1
(t)pk (tj )
k=0
Atj < c(a, b) E
1-n 2 <í,< 1
k=0
Atj <
(4.37)
< о(а, b)n2
1-n 2 <í.,< 1
Atj- < о(а, b).
Из (4.36)-(4.38) получаем (n = O(6—1/5)):
Ln,N (t) < о(а, b)n1/2, (1 - 4n—2 < t < 1)
(4.38)
(4.39)
Сопоставляя (4.35) и (4.39), убеждаемся в справедливости теоремы в случае, когда 0 < г < 1. Далее, посредством аналогичных рассуждений, такую же оценку можно получить и для случая, когда -1 < t < 0. Теорема 4.1 доказана полностью.
Из (4.3) и теоремы 4.1 непосредственно вытекает следующая теорема.
Г Т 1/2 -1/5
Теорема 4.2. Пусть / е С[— 1,1], 0 < Ь < 1,0 < а < < > ,п = ). Тогда равномерно
относительно -1 < г < 1 справедлива оценка
| /(г) - (/,*) |< с(а,Ь)Еп(/)и1/2.
Из теоремы 4.2 и теоремы Джексона вытекает следующее утверждение.
Теорема 4.3. Пусть / е Ыр^М, ± < 7 < 1,0 < & < 1,0 < а < {^У^ = 0(5М1/5). Тогда справедлива оценка || / - £п,м(/) ||< с(а, Ь, 7, М)(и + 1)1/2-^.
Выражаю глубокую признательность профессору И.И. Шарапудинову за постановку задачи и помощь в ее реализации.
Библиографический список
1. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Функция Лебега сумм Фурье - Якоби // Вестн. Ленингр. ун-та. 1968. Вып. 1. С. 11-13.
2. Бадков В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье - Якоби // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, вып. 6. С. 1263-1283.
3. Шарапудинов И.И. О сходимости метода наименьших квадратов // Мат. заметки. 1993. Т. 53, вып. 3. С. 131-143.
4. Даугавет И. К., Рафальсон C.З. О некоторых нера-
венствах для алгебраических многочленов // Вестн. Ленинград. ун-та. 1974. № 19. С. 18-24.
5. Конягин C. В. О неравенстве В. А. Маркова для многочленов в метрике Ь // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1980. № 145. С. 117-125.
6. Нурмагомедов А. А. Об асимптотике многочленов, ортогональных на произвольных сетках // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2008. Т. 8. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 28-31.
7. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.
