CC BY
54
МЕХАНИКА
УДК 539.3
С. М. Бауэр, А. С. Типясев
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ ВНУТРИГЛАЗНОГО ДАВЛЕНИЯ ПО МЕТОДУ МАКЛАКОВА
1. Введение
Одним из основных методов измерения внутриглазного давления (ВГД), по-прежнему, остается метод Маклакова, который заключается в измерении диаметра следа после нагружения глаза грузом определенной массы с плоским основанием. Математическая модель измерения ВГД по методу Маклакова, учитывающая свойства склеры и роговицы, описана в работе [1]. При этом глазное яблоко моделируется двумя сферическими сегментами. Составная оболочка заполнена несжимаемой жидкостью. Так как модуль упругости роговицы много меньше модуля Юнга склеры, роговица моделируется мягкой оболочкой.
В реальности форма глаза при миопии и гиперметропии (близорукости и дальнозоркости) имеет отклонения от сферической. В связи с этим в данной работе и склера, и роговица моделируются сегментами более общей формы — эллипсоидальными. Исследуется, как может меняться ВГД при изменении формы роговицы и склеры.
2. Постановка задачи
Рассмотрим деформацию оболочки вращения относительно вертикальной оси, которая в ненагруженном состоянии имеет форму двух соединенных сегментов эллипсоидов вращения (рис. 1.) Отношение длин вертикальной и горизонтальной полуосей сегмента, представляющего склеру (на рисунке снизу) составляет величину kis. Отношение длин вертикальной и горизонтальной полуосей сегмента, представляющего роговицу (на рисунке сверху) составляет величину kir (здесь и далее индекс 0 соответствует величине, относящейся к недеформированной оболочке, 1 соответствует оболочке, растянутой только начальным внутренним давлением, 2 — значение величин после нагружения роговицы грузом).
Аналитическое решение задачи строится на использовании уравнений безмоментной теории оболочек, так как роговица, по-прежнему, рассматривается как мягкая оболочка, а склера при деформации подвергается лишь незначительному растяжению.
© С. М. Бауэр, А. С. Типясев, 2008
Рис. 1. Модель оболочки.
Деформация и кривизна оболочки в направлении r = const обозначаются как £х и рх соответственно, а в направлении х = const — как £r и pr. Выразим £х, рх, £r и pr через r(^) и ф(ф):
ro cos(^)
cos(^)
(1)
£r =
r0 sin(^)i/sin (y>) + k0 cos2(^>)
— 1, pr = — ^ySiniV’)-
Выпишем формулы равновесия элемента оболочки в направлении нормали и меридиана х = const:
Pr (^)£r Ы + РхЫехЫ =
P(1 - v) 4Ы _ £х((Р) - £r(^)
Eh
rJ(^)
r(^)
(2)
Здесь V, Е и Н — коэффициент Пуассона, модуль Юнга и толщина соответствующего сегмента оболочки, а р — внутреннее давление жидкости. Величина внутреннего давления после нагружения оболочки грузом р легко находится по формуле
p
4mg
7:сР ’
где т — масса груза, д — ускорение свободного падения, ! — диаметр круга — зоны контакта груза и роговицы.
Подставляя (1) в (2), получаем разрешимую систему дифференциальных уравнений.
Далее исследуем форму деформации отдельно роговицы и склеры. Как и в работе [1], начальное давление находится из условия равенства диаметров зоны контакта роговицы и склеры (¿2) и условия постоянства внутреннего объема оболочки, т. е. уменьшение объема роговичного сегмента приравнивается к увеличению объема склерального сегмента.
При исследовании формы деформации эллипсоидальной оболочки вращения (склеры) при повышении внутреннего давления жидкости выявлено, что в первом приближении оболочка сохраняет форму эллипсоида, при этом формулы, описывающие этот
r
£
х
r
r
эллипсоид, имеют следующий вид:
ко s — 1 + (kis — 1)
6 -
R
1 + 1
Ро(1 — Vs)
0s
1 Po(l - Vs)
Ru Eshs
1
2k?s
Разрешая эту систему уравнений, несложно получить и прямые зависимости
k1s(k0s? R0s ) и R1s(k0s? R0s ) •
Решение уравнений равновесия роговицы численными методами производится при помощи пакета Mathematica 4.0. На промежутке (f 0r, f ir) имеем следующие граничные условия:
r{<p0r) = L2, r{ifir) = ф{<Р1г) =
На промежутке (fir,п/2) имеем ф = п/2, pr = 0, рх = 0, и исходная система упрощается до одного уравнения и решается со следующими граничными условиями:
/п\ d
г{-2) =0, г(<р1г) = -,
значение величины r'(fir) берется из решения на предыдущем промежутке.
3. Полученные результаты
Проведена широкая серия расчетов. Выявлено, что при любых механических и геометрических свойствах глаза исследуемое начальное внутриглазное давление тем меньше, чем больше вытянута роговица вдоль передне-задней оси глаза при равных зонах контакта груза и роговицы. При изменении к\г от 0.95 до 1.05 расчетные результаты отличались на величины порядка 1 мм.рт.ст.
Рис. 2. Зависимости величин внутриглазного давления от диаметра зоны контакта груза и роговицы.
2Eshs
1
Графики расчетов для нижеприведенных параметров глаза представлены на рис. 2. Модули Юнга склеры и роговицы 8 и 1.6 МПа соответственно. Коэффициенты Пуассона 0.45. Толщины стенок склеры и роговицы 1 и 0.5 мм соответственно, = 11 мм, кхя = 1, К\г = 8 мм.
Литература
1. Бауэр С. М., Любимов Г. А., Товстик П. Е. Исследование напряженного состояния роговицы живого глаза человека методом фотоупругости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005, №1. С. 24-39.
Статья поступила в редакцию 18 мая 2007 г.
