О напряженно-деформированном состоянии внешней оболочки глаза Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Е. В. Краковская

О НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ ВНЕШНЕЙ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА*

1. Введение

Исследованию напряженно-деформированного состояния оболочки глаза, находящейся под действием внутриглазного давления (ВГД), посвящено много работ. Внешняя оболочка глаза — корнеосклеральная оболочка — состоит из роговицы и склеры. Обе эти оболочки в первом приближении можно считать сферическими. Склера занимает 93% оболочки, и поэтому в первых работах оболочка глаза рассматривалась как сферическая и в расчет принимались только свойства склеральной оболочки. Однако в некоторых случаях, когда важно понять, например, как изменяется напряженно-деформированное состояние внешней оболочки глаза после рефракционных операций, меняющих толщину или кривизну роговицы, необходимо учитывать, что в передней части фиброзная капсула переходит в роговицу, оболочку существенно отличающуюся по механическим свойствам от склеры.

Одной из первых работ, в которой внешняя оболочка глаза рассматривалась как сопряженные сферические оболочки разного радиуса, была публикация [1], посвященная исследованию напряженно-деформированного состояния роговицы методом фотоупругости. Аналитические расчеты в ней выполнялись согласно теории тонких изотропных оболочек [2]. Авторами получены графики, характеризующие напряжения в роговице при разных соотношениях модулей упругости роговицы и склеры. При этом всегда полагалось, что модуль упругости роговицы больше, чем модуль упругости склеры. В настоящее время накоплено больше экспериментальных данных, позволяющих сделать вывод о том, что роговица существенно мягче склеры [3, 4]. Согласно [4] модуль упругости склеры (Е\) в пять раз больше модуля упругости роговицы (£2); Е.Н.Иомдиной получено, что модуль упругости склеры в три раза больше модуля упругости роговицы.

В данной работе исследуется деформация роговицы, сопряженной со склерой при различных соотношениях Е1/Е2. В первой модели роговица и склера предполагаются однородными и изотропными. Проведено сравнение аналитических результатов и численных, полученных в прикладном пакете А^УБ. Вторая модель используется для решения задачи о деформации роговицы и склеры как трансверсально-изотропных сопряженных оболочек под действием ВГД. Приводятся результаты, полученные методом конечных элементов (МКЭ) в прикладном пакете А^УБ.

2. Аналитическое решение задач

Напряженно-деформированное состояние изотропной однородной оболочки может быть описано уравнениями В. В. Новожилова [2] в сферических координатах (^ — угол, образуемый нормалью к срединной поверхности с осью оболочки, в — угол, определяющий положение точки на соответствующем параллельном круге). В случае осесимметричной деформации дифференциальные уравнения в комплексных усилиях для

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00250).

© Е. В. Краковская, 2008

сферической оболочки имеют вид

N N2 л ~

-r+-Í-icAN

1 dN1 ctg в ~ ~ ic dN

й-ж + ir№ - Л« + W1Í = °'

N = N + N2,

Лг, = ЛГ, -

С 1 — (U,2

N2 = N2 —

i М\ — ¡-1M2 с 1 — /X2

где с = /?/д/12(1 — /х2); 9-ВГД, ДЖ = 1/Д2 • d2N/dв2 + сХёв/Н2 ■ dN/dв; N2 -усилия; Ы\, М2 — моменты, возникающие в оболочке; Н, Д, ц — толщина, радиус, коэффициент Пуассона оболочки соответственно.

Рис. 1. Сферическая оболочка.

Решение системы (1) для незамкнутой оболочки получено методом асимптотического интегрирования [2] и имеет вид

_____________ D.

Рi = \/(3(1 — L42))\ ~j~(@ ~ 0о), hi

hi

Ci

\/12(1 — A4*2)

n[ •* — — у ctg 6(((Ai — Bi) cos fa — (Ai + Bi) sin/3i)e /3s +

+ (( —A¿ + B¡) cos pi + (—A- + B'i) sin/i;,)e/3s)) + ,

Nf'1 = (Ai cos Pi - Bi sin Pi)e~'3i + (Ai cos p.t + Bi sin pi)e'3i +

M(i) = —Ci((Bi cos pi + Ai sin ¡3i)e-e + (Bi cos в — Ai sin e¿)ee¿), M

(i)

pi M

(1)

'it’*'*'1 = TTT— ( (Aj COS Pi — Bi sin Pi)e '3i +

Ei hi

$(i)

Ri

-(( i

+ 1 1 iRi

Q( = N((i)tge, u(i) = C; sin в,

(2)

Ri q(1 pi)

+A- cos Pi + Д- sin Pi)e,3i) + ~~t l"w - C¿ cos в,

- ' W ' ^ 7

-— (((A.¿ -\- B.¿) cos pi+

+ (Ai — Bi) sin pi)e * + ((Ai + Bi) cos в + (—Ai + Bi) sin pi)e *),

где Q 1 —перерезывающая сила, w — нормальный прогиб оболочки, u — перемещение в меридиональном направлении, $ — угол поворота нормали; во — угол, определяющий край оболочки; Ri, hi, Ei, pi —радиус кривизны, толщина, модуль упругости, коэффициент Пуассона оболочки соответственно; индекс 1 означает принадлежность к склере, индекс 2 — к роговице. При этом, система (2) используется для склеры при Ai = Bi = 0, а для роговицы — при Ai = Bi =0. Для склеры константами интегрирования являются A1, B1, Cí, а для роговицы — A2, B2, C2. Следует учесть, что константы C1 и C2

фиксируют начало отсчета осевого смещения оболочек. В нашем случае эти константы

С = С2 = о.

На линии сопряжения оболочек (см. [5]) выполняется шесть условий непрерывности перемещений, момента, усилий и угла поворота:

и(1) =

д(11}

мР = м12),

и(2) сов 7 — т(2) вт 7,

= ^(2) сов 7 + Ж(2) вт 7,

N

(1)

1

-,(1)

лг(2) .-.(2) .

N1 сов 7 — вт 7,

т

^(1) = #2)

т(2) сов 7 -

- и(2) вт 7,

(3)

здесь 7 — угол между касательными к оболочкам 1 и 2 (рис. 1).

Уравнение для усилий и перерезывающей силы выполняется автоматически, при выполнении остальных условий. Для нахождения неизвестных коэффициентов интегрирования А1, В1, А2, В2 решается система (3) совместно с соответствующими равенствами для обеих оболочек (2).

3. Полученные результаты

Расчеты проводились при следующих параметрах: Д1 = 12 мм, Н1 = 0.5 мм, М1 = М2 = 0.4, Е1 = 14.3 МПа; Д2 = 8 мм,Н2 = 0.42 мм, Е2 = 1.43 МПа, радиус основания роговицы а =10 мм. Рассматривалось нормальное внутриглазное давление (15 мм.рт.ст.) и повышенное (30 мм.рт.ст.).

В таблице 1 представлены значения прогиба т(2) в центре роговицы, сопряженной со склерой, полученные аналитически по формулам (2) и (3) для различных значений толщины роговицы и соотношений модуля Юнга склеры и роговицы Е1/Е2. Толщина роговицы и прогиб в таблицах представлены в мкм (1 мм = 1000 мкм).

Таблица 1. Аналитическое решение для изотропных оболочек

Давление q = 15 мм.рт.ст. д = 30 мм.рт.ст.

Толщина, Н 420 520 620 420 520 620

Е2 = Е\ /3 18.2 14.8 12.4 36.4 29.6 24.8

Ег = Е\/Ъ 30.3 24.6 20.6 60.7 49.3 41.3

В таблице 2 представлены значения прогиба т(2) в центре роговицы, сопряженной со склерой, полученные с помощью МКЭ в программе Л^УБ для различных значений толщины роговицы и соотношений модуля Юнга склеры и роговицы Е1/Е2.

Таблица 2. Численное решение для изотропных оболочек

Давление д = 15 мм.рт.ст. д = 30 мм.рт.ст.

Толщина, Н 420 520 620 420 520 620

Е2 = Е-1 /3 17.2 13.2 10.4 34.5 26.5 21.6

Е2 = Е\/Ъ 31.1 24.8 21.5 62.2 49.9 43.1

Результаты расчетов при различных соотношениях модулей упругости показывают, что чем тоньше роговица, тем больше ее прогиб и чем меньше модуль упругости роговицы по отношению к склере, тем также больше ее прогиб. Значения численных и аналитических результатов различаются не более, чем на 16%.

Согласно экспериментальным данным [3] модуль упругости склеры и роговицы в направлении толщины Е'i в десятки раз меньше, чем в тангенциальном направлении Ei. В связи с этим оболочку глаза в некоторых задачах можно рассматривать и как мягкую оболочку. Модель мягкой корнеосклеральной оболочки глаза представлена в

работе [6], однако при оценке изменения напряженно-деформированного состояния роговицы после рефракционных операции необходимо учитывать и изгибные деформации. В связи с этим задача о деформации сопряженной трансверсально-изотропной сферической оболочки под действием внутреннего давления решена методом конечных элементов. В расчетах предполагалось Е' i = Е^20 и Е' i = Е^50, для модуля сдвига в плоскости перпендикулярной плоскости изотропии принято ^ = 6^/20 и = ^/50, где Gi = Е^2/(1 + — модуль сдвига в плоскости изотропии. Задача решалась при

тех же геометрических параметрах, что и задача для изотропных оболочек. Значения прогиба роговицы в центре для сопряженной задачи и>4г представлены в таблице 3.

Таблица 3. Решение для анизотропных оболочек

Давление q = 15 мм.рт.ст. q = 30 мм.рт.ст.

Толщина, h 420 520 620 420 520 620

E'i = Ei/20 и G'i = Gi/20

Е2 = Ei/3 546 480 4248 1093 961 848

Е2 = Ei/5 751 652 569 1504 1304 1128

E'i = Ei/50 и Gi = Gi/50

Е2 = Ei/3 1079 884 734 2150 1762 1461

E2 = Ei/5 1489 1207 982 2973 2412 1963

Сравнение результатов для изотропной (w(2)) и трансверсально-изотропной (wtr) сопряженных оболочек показывает, что анизотропия существенно влияет как на величину, так и на форму прогиба роговицы.

Литература

1. Волков В., Вяземский С., Малышев Л., Мамаева О., Павилайнен В., Саулгозис Ю. Исследование напряженного состояния роговицы живого глаза человека методом фотоупругости // Известия Академии Наук Эстонской ССР, серия Физика-Математика. 1988. Том 37. Вып. 1. С. 76-84.

2. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.

3. Иомдина Е. Н. Механические свойства тканей глаза человека // Современные проблемы биомеханики. Вып. 11. Изд-во МГУ, 2006. С. 183-200.

4. Srodka W., Asejczyk M., Kasprzak H. Influence of IOP on the geometrical and biomechanical properties of the linear model of the eye globe-effect of the optical self adjustment // Proceed. of 13th Conference of the European Society of Biomechanics. 2002. P. 723.

5. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 196 с.

6. Абушек Г. В. Напряженно-деформированное состояние сопряженной мягкой сферической оболочки, предварительно нагруженной внутренним давлением. Вестник СПбГУ. 2008. №1. С. 85-92.

Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.