О максимальных подгруппах полной линейной группы над полем рациональных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 12-14

УДК 519.46

О МАКСИМАЛЬНЫХ ПОДГРУППАХ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Н. А. Джусоева, В. С. Дзигоева, В. А. Койбаев

Строится класс максимальных подгрупп полной линейной группы О = ОЬ(п, к(х)) степени п над полем рациональных функций П = к(х) с коэффициентами из поля к нечетной характеристики, содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т(р), связанный с радикальным расширением К = П( Пр) степени п основного поля П = к(х), где р — неприводимый многочлен в к[х].

Ключевые слова: промежуточные подгруппы, максимальные подгруппы, нерасщепимый максимальный тор, трансвекция.

Настоящая статья посвящена построению класса максимальных подгрупп полной линейной группы О = ОЬ(н, к (ж)) степени п над полем рациональных функций П = к (ж), с коэффициентами из поля к нечетной характеристики, содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т(р), связанный с радикальным расширением К = ^р) степени п основного поля П = к (ж), где р — неприводимый многочлен в к [ж].

Сформулируем основной результат работы. Элементы матриц тора Т = Т(р) порождают некоторое подкольцо К(р) поля к (ж). Пусть К^ — подкольцо р-целых дробей рациональных функций (т. е. рациональных функций, у которых знаменатели свободны от р). Тогда К(р) С К^. Через обозначим сеть, у которой выше главной диагонали стоит идеал рК^, а на главной диагонали и ниже — К^. Далее, О(ст^) — сетевая группа [1].

Теорема. Для произвольного неприводимого многочлена р группа ТО(ст^) является максимальной подгруппой полной линейной группы О = СЬ(п, к(ж)), не содержащей БЬ(п, к(ж)).

С каждым вектором ж = (ж1, ж2, ...,жп) £ \ 0 связана невырожденная матрица С (ж), элементы которой вычисляются по формулам

(С(ж))у = (ж*+1-'' 3 ^ г;

1ржга+»+1—, 3 > г + 1.

С каждой матрицей С = С (ж) = (су) связана обратная матрица С-1 = С (у) = (сУ), у = (у1,..., уп) £ где у» = , причем С^ — алгебраическое дополнение элемента сц матрицы С = С (ж).

В работе рассматривается унитальное подкольцо К(р) поля П, порожденное элементами ж»уу, ржгу5:

К(р) = (ж»уу, ржг ys: г + 3 ^ п + 1, г + 5 > п + 1, ж £ \ 0) йп§,

© 2010 Джусоева Н. А., Дзигоева В. С., Койбаев В. А.

О максимальных подгруппах полной линейной группы

13

¿п — р — неприводимый многочлен степени п над полем П [2]. Тогда вг = 9г-1, 1 ^ г ^ п, образует базис радикального расширения К = П( ^р), 9 = ^р, поля К = П(9) над П. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(р), который является образом мультипликативной группы поля К = П( ^р) при регулярном вложении в О = ОЬ(п,к). В выбранном базисе тор Т = Т(р) определяется как матричная группа

Т = Т(р) = {С(х) : ж £ Пп \ 0}.

С промежуточной подгруппой Н, Т ^ Н ^ О, содержащей трансвекцию, связаны модули трансвекций (г = з)

Лц = Лгз (Н) = {а £ П: ^ (а) £ Н, г = з }

и их кольца множителей

Кгз = Егз (Н) = Кц Л) = {А £ П: АЛц С Лц}.

Очевидно, что Лц являются подгруппами аддитивной группы П+ поля П (Кгг-модули). Положим Лг = Лг1, 2 ^ г ^ п. Тогда [3, лемма 2.7.1] справедлива формула

Лг. = 1 Лг+1—, ,]<Ц %гг [рЛп+г+1-^, з > г + 1-

Положим Л1 = рЛп и рассмотрим сеть а = (ац) = а(Л1, Л2,..., Лп), которую мы называем сетью, ассоциированной с подгруппой Н.

Элементы матриц тора Т = Т(р) порождают подкольцо К(р) поля П. Пусть К — промежуточное подкольцо, К(р) С К С П. Через ад обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал рК, а ниже диагонали — К, а через ад — сеть, у которой на главной диагонали и ниже стоит К, а выше — рК. Пусть, далее, Е(ад) — подгруппа, порожденная всеми трансвекциями из сетевой группы О(ад).

Доказательство нашей теоремы основано на следующей лемме.

Лемма [4, теорема 1]. Пусть Н — подгруппа полной линейной группы О = ОЬ(п, П), содержащая нерасщепимый максимальный тор Т = Т(р). Предположим, что сеть о, ассоциированная с подгруппой Н, совпадает с сетью ад. Тогда произведение ТЕ (ад) является группой и справедливы включения

ТЕ (ад) < Н < N (ад),

где N (ад) = NQ(E(аR)) — нормализатор элементарной подгруппы Е (ад) в группе О = ОЬ(п, к). Для нормализатора N (ад) справедливо равенство

N (ад) = ТО(ад).

Литература

1. Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семинаров ЛОМИ РАН.—1976.—Т. 64.—С. 12-29.

2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд.—М.: Наука, 1985.—503 с.

3. Койбаев В. А. Подгруппы группы ОЬ(2, к), содержащие нерасщепимый тор.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.—183 с.—(Итоги науки. ЮФО. Сер. мат. моногр.)

14

Джусоева Н. А., Дзигоева В. С., Койбаев В. А.

4. Койбаев В. А., Шилов А. В. О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—2010.—Т. 375.—C. 130-139.

Статья поступила 14 октября 2010 г.

джусоева нонна анатольевна

Северо-Осетинский государственный университет

им. К. Л. Хетагурова, ассистент каф. алгебры и геометрии

РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46

E-mail: [email protected]

Дзигоева Валентина Созрыкоевна Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент каф. алгебры и геометрии РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]

Койбаев Владимир Амурханович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, зав. каф. алгебры и геометрии РОССИЯ, 362040, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; Южный математический институт, вед. науч. сотр. РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

ON MAXIMAL SUBGROUPS OF THE GENERAL LINEAR GROUP OVER RATIONAL FUNCTIONS FIELD

Dzhusoeva N. A., Dzigoeva V. S., Koibaev V. A.

We construct a class of the maximal subgroups of the general linear group G = GL(n, k(x)) of degree n over a field of the rational functions k(x) with coefficients in a field k of odd characteristic, containing non-split maximal torus associated with the radical extension of the basic field k(x).

Key words: intermediate subgroups, maximal subgroups, non-split maximal torus, transvection.