Модули трансвекций в надгруппах нерасщепимого максимального тора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 3, С. 3^8

УДК 512.5

МОДУЛИ ТРАНСВЕКЦИЙ В НАДГРУППАХ НЕРАСЩЕПИМОГО МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА1

Н. А. Джусоева, В. А. Койбаев

В работе изучаются модули траисвекций и кольца множителей подгрупп полной линейной группы С = СЬ(п, к) степени п над полем к, содержащие нерасщепимый максимальный тор Г = Т(с1), связанный с радикальным расширением к( \/~3) степени п основного поля к нечетной характеристики (минизотропный тор). Получен полный список из 2 • соотношений ([•] — целая часть числа)

модулей траисвекций. Доказано, что все кольца множителей совпадают между собой, и модули траисвекций являются идеалами кольца множителей. При этом предполагается, что основное поле к является полем частных области главных идеалов.

Ключевые слова: надгруппы, промежуточные подгруппы, нерасщепимый максимальный тор, трансвекция, модуль траисвекций.

Настоящая статья продолжает работы 3. И. Боревича и авторов [1-5] и посвящена исследованию траисвекций в подгруппах полной линейной группы О = ОЬ(п, к) степени п над полем к, содержащих нерасщепимый максимальный тор Т = Т ((I), связанный с радикальным расширением к( степени п основного поля к нечетной характеристики (минизотропный тор). В работе получена исчерпывающая информация о модулях траисвекций, определенных промежуточной подгруппой Н, Т(I) ^ Н ^ О. Точнее, получен полный список соотношений (и их число) модулей траисвекций, определенных промежуточной подгруппой. Доказано, что все кольца множителей совпадают между собой, а модули траисвекций являются целыми идеалами кольца множителей.

к

идеалов Л, I £ Л I — произведение различных (неассоциированных) простых элементов из Л. Говорят, что подгруппа Н «богата трансвекциями», если она содержит элементарные трансвекции ¿у(а) = е + аеу, а £ к, а = 0 на всех позициях (г,з): г = С промежуточной подгруппой Н связаны модули траисвекций (г = ])

Л^ = Лу (Н) = {а £ к : ^ (а) £ Н}

и их кольца множителей

Яц = Ягу (Н) = Ягу (Лгу) = {А £ к : АЛу С Аз }.

Очевидно, что Лгу являются подгруппами аддитивной группы к+ по л я к (Яу-модули). Сформулируем основной результат работы.

© 2014 Джусоева Н. А., Койбаев В. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 13-01-00469. Результаты настоящей статьи были получены в рамках государственного задания Минобрнауки России.

4

Джусоева Н. А., Койбаев В. А.

Теорема. Пусть Н — промежуточная подгруппа, Т = Т(й) ^ Н ^ О = ОЬ(и, к), содержащая элементарную трансвекцпю. Положим А = Ai1 = (Н), г = 2,...,и. Тогда

1) Подгруппа Н богата трансвекцпями, при этом имеет место формула

4* = ( Л*+1-' (1)

уйЛп+1+1-з, > г.

2) Пусть и ^ 3. Модули Aj, г = 2,..., п, подгруппы H связаны соотношениями:

AiAj с/ * + ^ ^ П + 1; (2)

г + э^п + 3.

Число соотношений «верхней» и «нижней» части формулы (2) совпадает и равно

([ ] _ целая часть числа). Число всех соотношений, задаваемых формулой (2) равно

3) Пусть Ajj являются А-модулями (т. е. Л с кц для всех г = j). Тогда все кольца множителей совпадают между собой: кц = Я, причем Aij — целый идеал кольца К, Aij с Я 1 ^ г = j ^ и.

Замечание. В формулах (2) отсутствует случай, когда г + j = и + 2. Это связано с тем, что по формуле (1) модули Aj и Aj при г + j = и + 2 расположены симметрично относительно главной диагонали (и коммутаторная формула (3) не работает).

Следствие. Пусть Н — промежуточня подгруппа Н, Т ^ Н ^ О, содержащая

Н

трансвекций А^, колец множителей Кц подгруппы Н справедливы утверждения 1)-3) теоремы.

Напомним, что согласно критерию Эйзенштейна хп — й — неприводимый многочлен степени п над полем к. Этот многочлен определяет радикальное расширение к (\/71) степени п основного поля к. Образ мультипликативной группы поля к (^/71) при регулярном вложении ее в группу автоморфизмов п-мерного пространства К = к( \/~д,) является нерасщепимым максимальным тором Т = Т(й) (минизотропный тор). Если зафиксировать естественный базис е» = 6г~1, 1 ^ г ^ п, радикального расширения К = к(\>гс1), в = поля К = к(в) над к, то группа автоморфизмов изоморфна полной линейной группе О = ОЬ(и, к), а тор Т = Т(й) представляет собой матричную группу

Т = Т{(1) = {с( х) = (сц) : х = (хъх2,...,хп) £ кп \ 0},

где

с

Хг+1—, j ^ г;

dxn+i+l-j, j ^ г + 1.

В работе приняты следующие обозначения: п = (12 ... и) — цикл длины и, (п) — матрица-перестановка, элементы которой определяются формулой: (п)ц = где

6Г8 — символ Кронекера; для ж = ег = (0,1,0,... , 0) положим с = с(ег) € Т; е — единичная матрица порядка и; ец — матрица, у которой на позиции (г, j) стоит 1 £ к, а на остальных местах нули; Ьц (£) = е + — элементарная трансвекция £ £ к, г = j^ [х,у] = хух-1у-1 — коммутатор элементов х, УТор Т = Т(й) содержит матрицу с, которая является элементом порядка и (по модулю скалярных матриц, сп = й-е). Точнее, матрица с является циклом длины и, а именно, она

совпадает с матрицей-перестановкой (п) (за исключением позиции (1, п), С1П = I). Но так как мы пользуемся только «цикличностью» матрицы с, то (тор Т содержит скалярные матрицы) можно считать, что промежуточная подгруппа Т ^ Н ^ О содержит матрицу-перестановку (п).

Следующее утверждение очевидно.

Лемма 1. Пусть п = (12 . . . п) — цикл длины п, далее, а = п5, 1 ^ з ^ п — 1. Тогда порядок |а| элемента а равен

I I п

М =

(п, з)

где (п, з) = ПОД(п, з), причем этот порядок совпадает с наименьшим ш, для которого ат(1) = 1: |а| = ш1п{ш : ат(1) = 1}.

Предложение 1. Пусть а = пк-1 = (12 ... п)к-1, 2 ^ к ^ п. Тогда переменные Хк в матрице с = (с^-) = с(ж) (ж соответственно модули А^) находятся на позициях (а(г),г), 1 ^ г ^ п. Точнее,

\Хк, п ^ а(г) > г; . ГЛь п ^ а(г) > г;

сс(г)г > , /.ч . , Л<т(г)г > , , , . ,

I (хк, а(г) < г ^ п, I (Лк, а(г) < г ^ п.

< Доказательство вытекает из формулы (1) и того, что а(г) — г = к — 1 при а(г) > г и а(г) — г = к — п — 1 при а(г) < г >

Предложение 2. Пусть а = пк-1 = (12 ... п)к-1, 2 ^ к ^ п. Предположим, что а2(1) = 1 (что эквивалентно согласно лемме 1 тому, что д =| а |= 2, или а2 = (1))- Тогда

Л^(1),1 Л1,^-1 (1)Л^-1 (1),^-2 (1)Л^_2 (1),^-3 (1)

(1),СТ-(9-1) (1) Лст-(9-1) (1),СТ-9 (1) С Л^(1),1 .

< Доказательство вытекает из последовательного применения коммутационной формулы (3) (здесь используется условие а2(1) = 1) и предложения 1. >

|а| = 2 п = 2ш

к—1=ш

Предложение 3. Пусть п нечетно, или п = 2ш, к = ш +1. Тогда

!Ч+1 С Лк,

где д = |а|, а = пк-1, причем 4 ^ д — 1.

< Доказательство вытекает из предложений 1 и 2, при этом нужно заметить, что а(1) = а-(«-1) (1) = к, а-«(1) = 1 Л^д = Л,_(,_1)(1)>ст-в(1) = Лк. >

Из предложения 3 непосредственно вытекает следующее предложение. Предложение 4. Пусть п нечетно, или п = 2ш, к = ш + 1. Тогда Лк — целый идеал кольца Я = Я(Лк), Лк С Я = Я(Лк).

Следующее предложение легко выводится из упражнения 4 [7, с. 92].

кЛ

далее, Я — промежуточное подкольцо Л С Я С к. Тогда, Я является также областью главных идеалов, причем Я = Б-1Л, где Б — мультипликативная система, порожденная множеством простых Рд:

Рц = 1р€Р: З^еЯ, (а,Ъ) = 1,

6

Джусоева H. А., Койбаев В. А.

где P — множество всех простых кольца Л.

Лемма 2. Пусть n — четно, n = 2m ^ 4. Тогда Am+i Ç R(A2).

< Имеем A2Am+i Ç Am+2, dAm+2Am+i Ç A2, откудa d(Am+i)2 Ç R2 = R(A2). Следовательно, Am+1 Ç R(A2). >

Лемма 3. Пусть A — Л-модуль, A Ç k, R(A) — кольцо множителей модуля A. Пусть, далее, Ri — промежуточное подкольцо, Л Ç Ri = 5—1Л Ç k. Тогда

1) если A Ç Ri, то R = R(A) Ç Rb-

2) если rRi Ç A Ç Ri (r G Ri ), то R = R(A) = Rb

< 1) Пусть T = (A)ring — подкольцо поля k, порожденное модулем A (ясно, что T также является Л-модулем). Очевпдно, что T Ç Ri (так как Ri — кольцо). Далее, очевидно, что R = R(A) Ç R(T), причем, так как T — кольцо, то T Ç R(T) и T —

R(T) Л T Л

R(T) = T = Ç Rb Отсюда (так как T Ç Ri) S2 Ç Si и R = R(A) Ç R(T) =

S-iЛ Ç = Ri.

2) Согласно 1) мы имеем R = R(A) Ç Rb Далее, так как A Ç Ri, то rRiA Ç r Ri Ri Ç rRi Ç A, откуда rRi Ç R(A) и, следовательно, rRi Ç R(A) Ç Ri. Так как R(A) —кольцо с 1 и Л Ç R(A), (A — Л-модуль), то R(A) = Но так как rRi Ç R(A) = S-^, то

Si Ç S3 Ri Ç R(A). И вновь го 1) мы имеем Ri = R(A). >

Предложение 6. Пусть n = 2m k = m + 1. Тогда Am+i — целый идеал кольца R = R(Am+i ), Am+i Ç R = R(Am+i )•

< Согласно (2) и лемме 2 мы имеем

A2 ■ Am Ç Am+i Ç R = R(A2). (*)

Далее, согласно предложению 4 A2, Am — целые идеалы колец R(A2) и R(Am) соответственно, Л Ç R(A2), R(Am) Ç k. Согласно предложению 5 R(A2) = S_ R(Am) = Smi^- Тогда согласно (*) Sm Ç S2 и A2 ■ Am — идеал кольца R(A2). Следовательно, из (*) и предложения 5 мы имеем

rR(A2) Ç Am+i Ç R(A2).

Таким образом, согласно лемме 3 мы имеем R(Am+i) = R(A2) и, в частности, Am+i Ç R = R(Am+i ). >

< Доказательство теоремы. 1) Этот пункт теоремы вытекает из [3, 6]. 2) Из коммутаторного соотношения

[tir(a), irj(в)] = tij(ав), i = j, i = r, r = j, (3)

следует включение

Air ■ Arj Ç Aij. (4)

С помощью включения (4) и формулы (1) рассмотрим возможные случаи и соответствующие им соотношения:

j < r < i Ai+i_r Ar+i-j Ç Ai+i_j, (5)

r < j < i dAi+i_r An+r+i-j Ç Ai+i_j, (6)

j < i < r dAn+i+i_r Ar+i_j

Ç Ai+i_j, (7)

i < r < j dAra+j+i-r Ara+r+i_j С Ara+j+i-j, (8)

r < i < j Ai+i_rAra+r+i_j С Ara+i+i_j, (9)

i < j < r Ara+i+i_rAr+i_j С Ara+i+i_j. (10)

Положив в формуле (5) s = i+1-r, t = r+1-j в формуле (9) s = i+1-r, t = n+r+1-j; в формуле (10) s = n + i + 1 — r, t = r + 1 — j, тогда мы получим первую (верхнюю) часть формулы (2). Положив в формуле (6) s = i + 1 — r,t = n + r + 1 — j;b формуле (7) s = n + i + 1 — r, t = r + 1 — j; в формуле (8) s = n + i + 1 — r, t = n + r + 1 — j, тогда мы получим вторую (нижнюю) часть формулы (2). Число соотношений, определяемых формулой (2) вычисляется несложно.

3) Если n = 2, то доказательство теоремы вытекает из [1, 2]. Поэтому мы будем предполагать, что n ^ 3. Из предложений 4 и 6 следует, что — целый идеал кольца Rk = R(Ak), Ak С Rk = R(Ak), 2 ^ k ^ n. Из (2) мы имеем

A2 ■ A С Ai+i, 2 ^ i ^ n — 1.

Отсюда в силу предложения 5 (так как Aj — целый идеал кольца Rj) следуют включения: R2 С R3 С ... С Rn. Аналогично, из (2) мы имеем

An ■ Aj С Ai_i, 3 ^ i ^ n,

а потому Rn С Rn_i С ... С R2. Отсюда R2 = R3 = ... = Rn. >

Литература

1. Воревич 3. И., Койбаев В. А. О кольцах множителей, связанных с промежуточными подгруппами для квадратичных торов // Вестн. СПбГУ.—1993.—Т. 1, № 2.—С. 5-10.

2. Воревич 3. И., Койбаев В.А., Чан Нгок Хой. Решетки подгрупп в GL(2,Q), содержащих нерас-щепимый тор // Зап. науч. семинаров ПОМИ.—1991.—Т. 191.—С. 24-43.

3. Джусоева Н. А. Сетевые кольца нормализуемые тором // Труды ИММ УрО РАН.—2013.—Т. 19, № 3—С. 113-119.

4. Джусоев а Н. А., Койбаев В. А. Максимальные подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений дедвкиндовой области // Зап. науч. семинаров ПОМИ.—2002.—Т. 289.—С. 149-153.

5. Койбаев В. А. Подгруппы группы GL(2,Q), содержащие нерасщепимый максимальный тор // Докл. АН СССР.-1990.-Т. 312, № 1.-С. 36-38.

6. Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Алгебра и анализ.—2009.—Т. 21, № 5.—С. 70-86.

7. Лент С. Алгебра.^М.: Науки. 1968. 572 с.

Статья поступила 16 июня 2014 г. Джусоева Нонна Анатольевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, ассистент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Россия, ул. Ватутина, 46 E-mail: djusoevanonnaOrambler.ru

Койбаев Владимир Амурхаиович

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

заведующий кафедрой алгебры и геометрии

РОССИЯ, 362025, Россия, ул. Ватутина, 46;

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,

ведущий научный сотрудник отдела функц. анализа

РОССИЯ, 362025, Россия, ул. Маркуса, 22

E-mail: [email protected]

8

, bi<yci'(>na H. A., KoM6aeB B. A.

TRANSVECTION MODULES IN THE OVERGROUPS OF A NON-SPLIT MAXIMAL TORUS

Dzhusoeva N. A., Koibaev V. A.

The aim of this article is to investigate the modules of transvections and rings of multipliers subgroups of the general linear group G = GL(n, k) of degree n over a field k, containing non-split maximal torus T = T(d), associated with a radical extension of k( ^fd) of the degree n of the ground field k of an odd characteristic (minisotropic torus). We find a full list of 2 • [(-^rp-)2] relations ([•] — integer part) of the modules of transvections. We prove that all ring of multipliers coincide, and all modules transvections are ideals of the ring of multipliers. All results were proved by the assumption that the ground field k is the field of fractions of a principal ideal domain.

Key words: overgroups, intermediate subgroups, non-split maximal torus, transvection, module transvections.