CC BY
13
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 519.157
О максимальных неразделённых подмножеств
Зуев Ю.А.1*
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 05. С. 160-167.
Б01: 10.7463/0517.0001215
Представлена в редакцию: 14.04.2017 Исправлена: 28.04.2017
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
семействах
1965730 а^уапЛюци :МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Семейство подмножеств конечного множества называется максимальным неразделённым, если пересечение любых двух подмножеств семейства не пусто и к семейству невозможно добавить ни одного подмножества с сохранением данного свойства, т.е. для любого не входящего в семейство подмножества в семействе найдётся подмножество, имеющее с ним пустое пересечение. В статье установлено взаимно однозначное соответствие между максимальными неразделёнными семействами «-элементного множества и монотонными самодвойственными булевыми функциями от п переменных. Используя это соответствие и полученные ранее А.А. Сапоженко оценки для числа монотонных самодвойственных булевых функций, получена асимптотика для числа максимальных неразделённых семейств подмножеств п-элементного множества.
Ключевые слова: максимальное неразделённое семейство, монотонная самодвойственная булева функция
Введение
Подмножества конечного множества с операциями дополнения, пересечения и объединения образуют булеву алгебру и являются важнейшим предметом изучения в дискретной математики. Оценка мощности семейств подмножеств с заданными ограничениями на пересечения играют важную роль в информатике, помехоустойчивом кодировании и криптографии. Возникающие здесь задачи представляют и чисто комбинаторный интерес и являются предметом изучения на протяжении уже длительного времени.
Простейшим нетривиальным ограничением, которому должно удовлетворять семейство подмножеств, является отсутствие в семействе пары подмножеств с пустым ограничением. Такие семейства будем называть неразделёнными. Классическим результатом здесь является полученная в 1961 году теорема Эрдёша, Ко и Радо [1], согласно которой максимальное число I -элементных подмножеств п -элементного множества с попарно непустыми пересечениями при условии, что I < п/2, равно С'~\, и этот максимум достигается в том и только в том случае, когда берутся все подмножества, содержащие некоторый фиксированный элемент.
Данный результат многократно обобщался в различных направлениях. Большое число задач, посвящённых данной проблематике, было поставлено в работе Эрдёша и Клейт-мена [2]. А. Д. Коршуновым в работах [3] и [4] найдена асимптотика для числа неразделённых семейств подмножеств и-элементного множества. Предметом изучения настоящей работы являются максимальные неразделённые семейства, т.е. такие семейства, к которым невозможно добавить ни одного нового подмножества, не нарушив свойства неразделён-ности. Основным достигнутым здесь результатом является получение асимптотики для числа таких семейств.
В основе используемого в настоящей работе подхода лежит описание семейств подмножеств на языке булевых функций. С помощью булевых функций неразделённые семейства подмножеств характеризуются особенно изящно и просто. В работе показано, что максимальные неразделённые семейства подмножеств находятся во взаимно однозначном соответствии с монотонными самодвойственными булевыми функциями. Это позволяет для оценки их числа использовать результаты А. А. Сапоженко [5], относящиеся к числу монотонных самодвойственных функций.
Связанные с булевыми функциями неопределяемые в данной статье такие понятия, как булева функция, монотонная булева функция, самодвойственная булева функция, широко известны. При необходимости их определения можно найти, например, в книгах [6],
[7], [8].
1. Определения и вспомогательные результаты
Дадим основные определения, которые будут широко использоваться в дальнейшем.
Определение 1. Семейство подмножеств п -элементного множества А называется неразделённым, если пересечение любых двух подмножеств семейства не пусто.
Определение 2. Неразделённое семейство называется максимальным неразделённым, если к нему невозможно добавить ни одного подмножества, не нарушив условия не-разделённости.
Таким образом, в теореме Эрдёша, Ко и Радо речь идёт о максимальных неразделённых семействах подмножеств заданной мощности. В настоящей работе будут исследоваться максимальные неразделённые семейства без условия равномощности подмножеств семейства. Такие семейства обладают определённой симметрией, и их изучение представляет комбинаторный интерес.
Определение 3. Семейство подмножеств п -элементного множества А называется полностью неразделённым, если пересечение всех подмножеств семейства не пусто.
Основным аппаратом, используемым в настоящей работе для изучения таких семейств, будет аппарат булевых функций. Основанием для этого является то, что 2 семейств подмножеств п -элементного множества находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с 22 булевыми функциями от п переменных, при котором харак-
теристический вектор подмножества является единичным набором булевой функции (набором, на котором булева функция принимает единичное значение).
Определение 4. Семейство подмножеств п -элементного множества и булева функция от п переменных называются соответствующими друг другу, если единичные наборы булевой функции являются характеристическими векторами подмножеств семейства.
Сформулируем теперь на языке булевых функций два несложных результат, связанный с полностью неразделёнными семействами.
Лемма 1. Булева функция, соответствующая максимальному неразделённому семейству подмножеств, является монотонной.
Доказательство. Максимальное неразделённое семейство вместе с каждым принадлежащим ему подмножеством содержит и каждое содержащее его подмножество. Поэтому соответствующая семейству булева функция является монотонной.
Лемма 2. Единственными максимальными полностью неразделёнными семействами подмножеств п -элементного множества А являются п семейств, задаваемые булевыми функциями
Доказательство. Пересечение всех подмножеств семейства, по определению, не пусто. Оно состоит из единственного элемента, некоторого а е А, так как в противном
случае семейство можно было бы расширить, добавив к нему некоторое собственное подмножество пересечения. А это противоречит условию максимальности. Поэтому семейство состоит из всех подмножеств, содержащих элемент а, а значит оно задаётся монотонной булевой функцией Х .
2. Основной результат
Установленное соответствие между семействами подмножеств и булевыми функциями позволяет дать характеризацию максимальных неразделённых семейств на языке булевых функций.
Теорема 1. Семейство подмножеств конечного п -элементного множества А является максимальным неразделённым в том и только в том случае, если соответствующая семейству булева функция является монотонной самодвойственной.
Доказательство. Покажем, что максимальному неразделённому семейству Е соответствует монотонная самодвойственная булева функция. Если В е Е и С ^ А, то С е Е вследствие максимальности семейства Е . Поэтому соответствующая семейству Е булева функция является монотонной. Далее, если В е Е, то В & Е вследствие неразделённости семейства Е . Если же В & Е и С с В, то С & Е вследствие максимальности семейства Е . Следовательно, В е Е, так как В имеет непустое пересечение с любым подмножеством, не лежащим внутри В . Поэтому соответствующая семейству Е булева функция яв-
ляется самодвойственной. Таким образом, соответствующая семейству Г функция принадлежит классу М о £ монотонных самодвойственных булевых функций.
Пусть теперь соответствующая семейству Г булева функция является монотонной и самодвойственной. Покажем, что семейство Г является максимальным неразделённым. Пусть В е Г . В силу самодвойственности В £ Г, а в силу монотонности С с В ^ С £ Г . Если же С <х В , то С пересекается с В . Поэтому В пересекается со всеми остальными подмножествами семейства, т.е. семейство Г является неразделённым. Покажем его максимальность. Пусть В £ Г, тогда в силу самодвойственности В е Г, и В невозможно включить в Г , так как В и В не пересекаются. Теорема полностью доказана.
Любая самодвойственная функция имеет 2п 1 единичных наборов. Поэтому из теоремы 1 немедленно вытекает отмеченный в [2] результат.
Следствие 1. Любое максимальное неразделённое семейство подмножеств п -элементного множества состоит из 2п 1 подмножеств.
3. Число максимальных семейств
Вопрос о максимальных неразделённых семействах подмножеств рассматривался Эрдёшем и Клейтменом в работе [2], и были приведены оценки числа таких семейств. Согласно [2] число максимальных неразделённых семейств подмножеств п -элементного
с?2] (1+0(1)) . 0с[п/ 2] (1+о(1>)
п 4 у 7/ Т* и» ЛгЧТТ-ТТТО 11РАТ ) п V 4
множества не меньше чем 2Т п и не больше чем 2
Приведём на языке булевых функций намеченное в [2] доказательство этих соотношений. Верхняя оценка сразу вытекает из полученной ранее Клейтменом [9] асимптотики
А * * ~ С2] (1+0(1))
логарифма числа монотонных булевых функций, число которых есть 2 п .
Нижняя же оценка получается конструктивно. В случае чётного п рассматривается класс монотонных самодвойственных функций, равных единице на всех наборах с большим чем п/2 числом единиц, и равных нулю на всех наборах с меньшим чем п/2 числом единиц. На слое п/ 2 функция определяется следующим образом. Из среднего слоя выбирается множество Q всех наборов, имеющих единицу в первом разряде. Мощность множества Q равна половине от мощности слоя = ^п^22 ¡7. Берётся произвольное подмножество этого множества Р с Q, и функция полагается равной единице на наборах множества Р и наборах, противоположных наборам множества Q \ Р . На остальных наборах среднего слоя функция полагается равной нулю. Полученная таким образом функция является, как легко проверить, монотонной и самодвойственной. Данная конструкция
> су2] (1+0(1)) А „
позволяет получить 22 п таких функций.
В случае нечётного п = 2к +1 конструкция выглядит следующим образом. На всех наборах с большим чем к +1 числом единиц функция полагается равной единице, а на всех наборах с меньшим чем к числом единиц - нулю. Из слоя к выбирается множество
1
Q всех наборов, имеющих единицу в первом разряде. Берётся произвольное подмножество этого множества Р с Q, и функция полагается равной единице на наборах множества Р , наборах слоя к +1, противоположных наборам множества Q \ Р , и всем наборам слоя к +1, имеющим единицу в первом разряде. На остальных наборах двух средних слоёв функция полагается равной нулю. Данная конструкция также позволяет получить
оС/2] (1+о(1)) „ А „
2 2 п монотонных самодвойственных функций.
Таким образом, для числа семейств оставалась неизвестной даже асимптотика логарифма. Эрдёшем и Клейтменом [2] было предположено, что нижняя оценка является более точной и правильно отражает асимптотику логарифма числа семейств, но этот вопрос оставался открытым.
А. А. Сапоженко в работе [5] (теорема 7) была установлена асимптотика для числа монотонных самодвойственных функций. Также как и установленная несколько ранее А. Д. Коршуновым [10] асимптотика числа монотонных булевых функций, она задаётся при чётных и нечётных п ^ ж двумя различными формулами.
Опираясь на теорему 1 и результат А. А. Сапоженко, оказывается возможным указать точную асимптотику для самого числа максимальных неразделённых семейств подмножеств, существенно уточнив таким образом приведённые в [2] оценки. Так как число максимальных неразделённых семейств подмножеств совпадает с числом монотонных самодвойственных булевых функций, то справедлива следующая оценка для числа максимальных семейств.
Следствие 2. Число максимальных неразделённых семейств подмножеств п -элементного множества при нечётных п ^ ж асимптотически равно
С |>+1)/2 ( л
2 п-1 ехр V +у2-у},
где
V, = С^)/2 ^2-(и+3)/2 + (п2 - 2п)2-п-6 ^ „2 = С^-1)/2 (2-(п-1)/2 + (п2 - 2п)2-п-2)
V — П(п-1)2П2 О-п-1
1 = Сп-1 С(я-1)/22 ,
а при чётных п асимптотически равно
Г'п/2
2 п-1 ехр^; + ^-/}
где
V; = С(п"+2)/2 (2-(и+2)/2 + (п2 - 2п)2-п-5) V, = с(п-2)12 (2-(п+2)2 + (п2 - 2п) 2-п-5)
2Г^2 о-и-2
— ГЧп+2)/2^2 ~ / = Сп-1 Сп/2+12
Приведённые формулы позволяют, в частности, легко выписать асимптотику для логарифма числа исследуемых семейств, подтвердив тем самым гипотезу Эрдёша и Клейт-мена .
Следствие 2. Число максимальных неразделённых семейств подмножеств п -
1 су2] (1+0(1))
элементного множества при n ^ œ есть 2
2
Заключение
Описание семейств подмножеств конечного множества на языке булевых функций с использованием полученных в области булевых функций результатов позволило существенно уточнить результат Эрдёша и Клейтмена о числе максимальных неразделённых подмножеств конечного множества и подтвердить высказанную ими гипотезу. Это показывает плодотворность использованного в настоящей работе подхода к изучению семейств подмножеств конечного множества, опирающегося на естественное взаимно однозначное соответствие между семействами подмножеств и булевыми функциями, и позволяет надеяться на получение с его помощью дальнейших результатов в этой области.
Список литературы
1. Erdös P., Chao Ko, Rado R. Intersection theorems for systems of finite sets // Quarterly J. of Mathematics. 19б1. Vol. 12. No. 1. Pp. 313-32G. DOI: 1G.1G93/qmath/12.1.313
2. Erdös P., Kleitman D. J. Extremal problems among subsets of a set // Discrete Mathematics. 1974. Vol. 8. No. 3. Pp. 281-294. DOI: 1G.1G16/GG12-365X(74)9G 14G-X
3. Коршунов А.Д. Число k-неразделённых семейств подмножеств n-элементного множества k-неразделённых булевых функций. Ч. 1. Случай чётных n и k=2 // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2003. Т. 10. № 4. С. 31-б9.
4. Коршунов А.Д. Число k-неразделённых семейств подмножеств n-элементного множества (k-неразделённых булевых функций от n переменных). Ч. 2. Случай нечётных n и k=2 // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2005. Т. 12. № 1. С. 12-7G.
5. Сапоженко A.A. О числе антицепей в многослойных ранжированных множествах // Дискретная математика. 1989. Т. 1. Вып. 2. С. 110-128. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/rus/dm/v1/is/p11G (дата обращения 22.05.2017).
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: учеб. пособие. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2001. 384 с.
7. Белоусов А.И., Ткачёв С.Б. Дискретная математика: учебник. 5-е изд. М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 743 с.
8. Зуев Ю.А. По океану дискретной математики: от перечислительной комбинаторики до современной криптографии. В 2 т. Т. 1: Основные структуры. Методы перечисления. Булевы функции. М.: URSS, 2012. 273 с.
9. Клейтмен Д. О проблеме Дедекинда: число монотонных булевых функций // Кибернетический сборник. Новая серия. 1970. Вып. 7. С. 43-52.
1G. Коршунов А.Д. О числе монотонных булевых функций // Проблемы кибернетики. 1981. Вып. 38. С. 5-1G8.
Science ¿Education
of the Bauman MSTU
On Maximal Non-Disjoint Families of Subsets
i *
Yu.A. Zuev1,
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 05, pp. 160-167.
DOI: 10.7463/0517.0001215
Received: 14.04.2017
Revised: 28.04.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
*
. 9S51. jQa-gyandexju :Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: maximal non-disjoint family, monotone self dual Boolean function
The paper studies maximal non-disjoint families of subsets of a finite set. Non-disjointness means that any two subsets of a family have a nonempty intersection. The maximality is expressed by the fact that adding a new subset to the family cannot increase its power without violating a non-disjointness condition. Studying the properties of such families is an important section of the extreme theory of sets. Along with purely combinatorial interest, the problems considered here play an important role in informatics, anti-noise coding, and cryptography.
In 1961 this problem saw the light of day in the Erdos, Ko and Rado paper, which established a maximum power of the non-disjoint family of subsets of equal power. In 1974 the Erdos and Claytman publication estimated the number of maximal non-disjoint families of subsets without involving the equality of their power. These authors failed to establish an asymptotics of the logarithm of the number of such families when the power of a basic finite set tends to infinity. However, they suggested such an asymptotics as a hypothesis. A.D. Korshunov in two publications in 2003 and 2005 established the asymptotics for the number of non-disjoint families of the subsets of arbitrary powers without maximality condition of these families.
The basis for the approach used in the paper to study the families of subsets is their description in the language of Boolean functions. A one-to-one correspondence between a family of subsets and a Boolean function is established by the fact that the characteristic vectors of subsets of a family are considered to be the unit sets of a Boolean function. The main theoretical result of the paper is that the maximal non-disjoint families are in one-to-one correspondence with the monotonic self-dual Boolean functions. When estimating the number of maximal non-disjoint families, this allowed us to use the result of A.A. Sapozhenko, who established the asymptotics of the number of the monotone self-dual functions in 1989. The asymptotics, obtained in this way for the number of maximal non-disjoint subsets, confirmed the earlier Erdos' and Kleitman's hypothesis about the asymptotics of the logarithm of this number.
The results reached show that the approach using the description of families of subsets in the language of Boolean functions is fruitful. This approach could be further developed when used to study the maximal k-non-disjoint families where the intersection of any k subsets is nonempty.
References
1. Erdos P., Chao Ko, Rado R. Intersection theorems for systems of finite sets. Quarterly J. of Mathematics, 1961, vol. 12, no. 1, pp. 313-320. DOI: 10.1093/qmath/12.1.313
2. Erdos P., Kleitman D. J. Extremal problems among subsets of a set. Discrete Mathematics, 1974, vol. 8, no. 3, pp. 281-294. DOI: 10.1016/0012-365X(74)90140-X
3. Korshunov A.D. The number of k-non-disjoint families of a set with n elements (k- non-disjoint Boolean functions). Pt. 1. The case of even n and k=2 // Diskretnyi Analiz i Issledovanie Operatsii [Discrete Analysis and Operations Research], ser. 1, 2003, ser. 1, vol. 10, no. 4, pp. 31-69 (in Russian).
4. Korshunov A.D. The number of k-non-disjoint families of a set with n elements (k- non-disjoint Boolean functions of n variables). Pt. 2. The case of odd n and k=2. Diskretnyi Analiz i Issledovanie Operatsii [Discrete Analysis and Operations Research], ser. 1, 2005, vol. 12, no. 1, pp. 12-70 (in Russian).
5. Sapozhenko A.A. On the number of antichains in multilayer ranked sets. Diskretnaya Matematika [Discrete Mathematics and Applications], 1989, vol. 1, iss. 2, pp. 110-128. Available at: http://mi.mathnet.ru/rus/dm/v1/is/p110, accessed 22.05.2017 (in Russian).
rd
6. Yablonskij S.V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku [Introduction to discrete mathematics]. 3 ed. Moscow: Vysshaia shkola Publ., 2001. 384 p. (in Russian).
7. Belousov A.I., Tkachev S.B. Diskretnaia matematika [Discrete mathematics]: textbook. 5th ed. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2015. 743 p. (in Russian).
8. Zuev Yu.A. Po okeanu diskretnoj matematiki: ot perechislitel'noj kombinatoriki do sovremennoj kriptografii [Over the Ocean of discrete mathematics: from counting combinatorics to present-day cryptography]. In 2 vol. Vol. 1: Osnovnye struktury. Metody perechisleniia. Bulevy funktsii [Bases structures. Ways of counting. Boolean functions]. Moscow: URSS, 2012. 273 p. (in Russian).
9. Kleitman D. O probleme Dedekinda : chislo monotonnykh bulevykh funktsij [On Dedekind's problem: the number of monotone Boolean functions]. Kiberneticheskij sbornik [Cydernetics. New ser.], 1970, iss. 7, pp. 43-52 (in Russian).
10. Korshunov A. D. O chisle monotonnykh bulevykh funktsij [On the number of monotone Boolean functions]. Problemy Kibernetiki [Problems of Cybernetics], 1981, iss. 38, pp. 5-108 (in Russian).
