Асимптотика логарифма числа множеств, (k,l)-свободных от сумм, в группах простого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

В.Г. Саргсян1

АСИМПТОТИКА ЛОГАРИФМА ЧИСЛА МНОЖЕСТВ, (&,/)-СВОБОДНЫХ ОТ СУММ, В ГРУППАХ ПРОСТОГО ПОРЯДКА*

Подмножество А элементов группы С называется (к, ¿)-свободным от сумм, если х\ + ... ... + Хк — Хк+1 — ■ ■ ■ — Хк+1-1 не принадлежит множеству А для любых х\,..., Хк+1-1 £ А. Получена асимптотика логарифма числа множеств, (к, I)-свободных от сумм, в группах простого порядка.

Ключевые слова: множество, свободное от сумм, характеристическая функция, гранулированное множество.

1. Введение. Пусть G - множество с определенной на нем операцией сложения. Подмножество А С G называется (к,1)-свободным от сумм, если уравнение xi + ... + Xk — yi — ■ ■ ■ — yi = 0 не имеет решения в множестве А. Множество, (2,1)-свободное от сумм, называется просто свободным от сумм. Семейство всех подмножеств А С G, (к,1)-свободных от сумм, обозначим через SFkj(G). Для натуральных чисел тип обозначим через [т, п] множество натуральных чисел х, таких, что т ^ х ^ п.

В 1988 г. П. Камерон (P. Cameron) и П. Эрдеш (P. Erdos) [1] предположили, что SF2ii([l,n)) = = 0(2п/2). В частности, они доказали, что существуют константы cq и сл, такие, что |£-F2,i([|n/3],7i])| ~ Со2п!2 для четных п и |5F2,i([[n/3],n])| ~ с\Т112 для нечетных п. В [2] и [3] доказано, что п])| < п/2 (здесь и далее логарифмы берутся по основанию два). Б. Грин (В. Green) [4], A.A. Сапоженко [5] нашли асимптотику для |5^2д([1, п])|.

Группу вычетов по простому модулю р обозначим через Zp. В 2002 г. В. Лев (V. Lev) и Т. Шон (Т. Schoen) [6] доказали, что если р — достаточно большое простое число, то справедлива оценка

2L(P-2)/3J (р _ i)(i + 0(2~eiP)) < \SF2A(Zp)\ < 2"/2 ■■>'.

где г 1 и — положительные константы.

В 2005 г. Б. Грин (В. Green) и И. Ружа (I. Ruzsa) [7] получили асимптотику логарифма числа множеств, свободных от сумм, в абелевых группах. В частности, они доказали, что для любой абелевой группы G порядка п

log\SF2tl(G)\~n(G),

где fl(G) — максимальный размер множества, свободного от сумм, в группе G.

В 2009 г. A.A. Сапоженко [8] доказал следующую теорему.

Теорема 1. Для любого а € { —1,1} существует константа са, такая, что для любого е > 0 существует натуральное число N, такое, что для любого простого р вида р = a (mod 3), такого, что р > N, выполняются неравенства

к №,i(z„)| <1 + g

" l)2№-2)/3J

Вместе с тем интенсивно рассматривались обобщения проблемы Камерона-Эрдеша. В частности, речь шла о числе множеств, (k,l)-свободных от сумм. В 1996 г. Н. Калкин (N. Calkin) и А. Тейлор (A. Taylor) [9] доказали, что существует константа С^, к ^ 3, такая, что |5^д([1, п])| не превосходит С^*-1)"/*. В 1998 г. Ю. Билу (Yu. Bilu) [10] доказал, что |ЗД+и([1,п])| = (1 + о( а Н. Калкин (N. Calkin) и Дж. Томсон (J. Thomson) [11] доказали, что существует константа C^j,, к ^ 4/-1, такая, что SFktl([ 1, п]) не превосходит В 2000 г. Т. Шон (Т. Schoen) [12] получил

асимптотику для ^¿^([l, п])| при некоторых ограничениях на к,1. В 2003 г. В. Лев (V. Lev) [13] получил верхнюю оценку для ^¿^([l, п])|. До настоящего времени не рассматривался вопрос о числе 1где G — группа. Целью настоящей работы является получение оценки числа \SFkj(Zp)\.

1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: [email protected]

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 10-01-00768-а.

Теорема 2. Пусть р — простое число. Тогда выполняются неравенства

2L(p-2)/(*+0J(p_ i)(i + o(2-Cp)) < |SFkJ(Zp)\ sC 2р/(*+0+(*+«-з)+<г(р)? (!)

где С - положительная константа, и е{р)/р ^ 0 при р оо.

При достаточно больших р из (1) вытекает асимптотика числа \og\SFkj(Zp)\.

2. Определения и вспомогательные утверждения. Пусть R — множество действительных чисел. Тогда если /¿: 7.р —г />'. / fr {1,..., т) И X £ Zр. положим

(/l * • • • */то)(ж) = Е ... Е /1(ж1).../т-1(жт-1)/т(ж-Ж1 - ... -Xm-l)-

X\£ZP xm-i£Zp

Пусть

л®) =

yezp

и для всякого 4 С и любого d € Zp \ {0} положим А4 = {da (mod р) : а € А}. Функция /(ж)

называется преобразованием Фурье функции /, а А^ назовем растяжением множества А. Покажем, что ^

(/l * • • • * /ш)(ж) = fl(x)... fm(x).

Действительно,

(/l *^fm)(x) = Y1 (/1 * • • • * fm)(y)e27riM^ =

yezp

= E E ••• E /l(2/l) •••/m-l(ym-l) •/т(У - У1 -•••-ym-l)x

yi£Zp Уш — l £Zp

x e27r¿ p ... e27™—~ • e27™ p

yi£Zp ym-l&Zp

. (у — — ... — Уm_1 )ж ___

X E - У1 - • • • - ym-i) • p = fi(x)... fm(x). (2)

yeZp

Пусть Ai,..., Am — непустые подмножества группы Zp, а ХАх (х), ■ ■ ■, Хагп (х) — характеристические функции соответственно множеств Ai,...,ATO. Тогда {хАг * ... * ХАт)(х) — это количество наборов (xi,... ,хт) G Ai х ... х Ат, таких, что х = x,i + ... + хт (modp). Положим Sh,m{Ai, • • •, Лп) = {х € Zp : (х.Аг * ... * ХАт)(х) ^ h}, где h > 0. Пусть далее Аг + ... + Ат = = {xi + ... + хт (mod р) : xi G Ai,... ,хт G Ат}. Для любого i через %А обозначим множество А+... + А.

4-V-'

i

Если А — множество, (k,l)-свободное от сумм, в группе Zp, то (kA+(l—i)Ap_i)niA = 0для любого

i € {1,...,/}. Последнее эквивалентно тому, что 0 ^ кА + 1Ар_ 1. Нам понадобятся два утверждения из теории сложения множеств. Везде в дальнейшем предположим, что к, I — произвольные натуральные числа, такие, что к ф I (mod р) и к > I.

Теорема 3 [14]. Пусть Ai,... ,Ат — непустые подмножества группы Zp. Тогда

\Ai + ... + Ат\^ min(p, |Ai| + ... + |АТО| - (m - 1)).

Теорема 4 [15]. Пусть Ai, А2 — непустые подмножества группы Zp. Тогда

|Si)2(Ai,A2)| + ••• + 1^,2(^1,^2)! > t ■ m\n{p,\Ai\ + \А2\ -t),

где t < min(|Ai|, |A2|).

Из теорем 3, 4 вытекают следующие два утверждения.

Теорема 5. Пусть Ai,... ,Ат — непустые подмножества группы Zp. Тогда

|5i)m(Ab ..., Ат)\ + ... + |St)TO(Ai,..., Ат)| ^ t • min(p, |Ai| + ... + |АТО| - t - т + 2), где t < min(| Ai I,..., |ATO|).

Доказательство. Предположим, что \Ai\ = min(|Ai|,..., |АТО|). В силу теоремы 4 имеем

|5i)2(Ai, (А2 + ... + Ато))| + ... + |5t)2(Ai, (А2 + ... + Ато))| ^ t • min(р, |Ai| + |А2 + ... + Ато| - i), (3)

где t < \Ai\.

С другой стороны, в силу теоремы 3 имеем

\А2 + ... + Am\ > min(P, + • • • + - (т - 2)). (4)

Подставив (4) в (3) получим, что

|Si)TO(Ai,...,ATO)| + ... + |St)TO(Ai,...,ATO)| ^

^ |5i)2(Ai, (А2 + ... + Ато))| + ... + | St,2(Au (А2 + ... + Ато))| ^ t • min (р, |Ai| + ... + |АТО| - t - т + 2). Теорема доказана.

Лемма 1. Пусть Ai,..., Ат —непустые подмножества группы Zp и h ^ min (|Ai |,...,\Ат |). Тогда

\Sh,m(Ai,..., Ат)\ ^ min(р, |Ai| + ... + |АТО| - т + 2) - 2(hp)1/2.

Доказательство. Заметим, что |<5i,TO(Ai,..., Ат)\ ^ |,S,-)TO(Ai,..., Ат)\ для i ^ j. Тогда если выберем h ^ i ^ min(|Ai|,..., |АТО|), то в силу теоремы 5 имеем

t • min(р, | Ai I + ... + I Am I - t - m + 2) <

< |5i,TO(Ab ..., Am)\ + ... + |5t)TO(Ai,..., Am)\ ^hp + t- |5ft)TO(Ai,..., Am)\.

Полагая t = {hp)1!2, получим

min(p, |Ai| + ... + |ATO| - m + 2) - 2(hp)1/2 <

sC min(p, |Ai| + ... + |ATO| - m - (hp)l/2 + 2) - (hp)l/2 sC |Shtm(Au ..., Am)\.

Лемма доказана.

3. Доказательство теоремы 2. В [16] доказано, что существует подмножество А0 с У.,,. которое (к, 1)-свободно от сумм и представляет собой арифметическую прогрессию с разностью 1 и мощности |_(р — 2)/(к + /)] + 1. Заметим, что если А — множество, (к,1)-свободное от сумм, в группе Ур. то число растяжений всех его подмножеств дает нижнюю оценку. Очевидно, что число всех подмножеств множества А равно 2'л'. а число всех множителей й € Ур \ {0} равно (р — 1). Заметим, однако, что

растяжения разных подмножеств могут совпадать. Например, растяжения В4 и (Вр- 1)р_а всегда совпадают.

Теорема 6 [6]. Пусть А' — подмножество последовательных элементов группы Ур и |А'| < < р/3 + 1. Тогда

[ва: ВС A', d € Zp\ {0}}| = 2l-4'l(l - 2

)(p^l) + 0(p225l-4'l/6).

3.1. Нижняя оценка. Пусть р — достаточно большое простое число. Тогда если в теореме 6 выбрать А! = А0, то с учетом того, что ^ 1/2, получаем

21(Р-2)/(*+1)1{р _ 1)(1 + 0(2~Ср)) <

где С — положительная константа. Нижняя оценка доказана.

Пусть Ь — натуральное число. Группу Ур разобьем на интервалы «Т^ = {гЬ + 1,..., (г + 1 )Ь}, [р/Ь\ — 1, = Ь, и положим 7 = \ У «/¿. Ясно, что | </| ^ Ь. Множество А С2Р называется

г

Ь-гранулированным (см. [17]), если для некоторого й € Ур \ {0} множество А^ является объединением нескольких интервалов «/¿.

Лемма 2. Пусть А С имеет мощность ар; £1,£2,£з — положительные действительные числа, а Ь, т и п — натуральные числа, такие, что

р> ЫЦт + п)Ьу а . (5)

Тогда существует подмножество А' С Zp со следуют,ими свойствами: (г) |А\А'| _

(й) 1%2р)™+"-1,то+п(Х-4', • • ■тХачХ-Т?—, • • -iX-Tr—) \ (тА + пАр_ i)| < е3р;

(ш) А' является Ь-гранулированным.

Доказательство. Пусть х £ Zp ъ ха(х) — преобразование Фурье характеристической функции ха множества А. Тогда

£i(x) = Е XA(v)e™f = Е

yezp УеА

Определим 8 равенством 8 = 4:~(т+п)£™-+п£™'+п~1 ^/2а-(та+п)+з/2^ где £2Ъ£з — из неравенства (5). Положим D = {г ф 0 : |хд(г)| ^ Необходимо найти q G Zp \ {0}, такое, что функция

1 ь-1

г \

9{Х)=21^1 Ъ е Р

з=-(ь-1)

удовлетворяет неравенству

\Шх)\\1-д(х)т+п\^6р (6)

для всех х € Zp. Неравенство (6) очевидно имеет место для х = 0, так как д(0) = 1, а также в случае, когда |хд(ж)| ^ поскольку д(х) € [—1,1]. Итак, необходимо найти q, такое, что неравенство (6) выполнено для всех х € -С. Оценим величину 1 — д(х). Обозначим через (¿) расстояние £ от ближайшего целого числа. Воспользуемся тем, что 1 — соз(27г£) ^ 2ж2 {¿)2. Имеем

(Г

Из (7) следует, что

\ха(х)\\1 ^д(х)т+п| < (т + п)|ха(ж)||1 - д(х)\ < 8(т + n)L2 {qx/p)2 \ха(х)\. Заметим, что если неравенство

1 ( 8р

(qr/p) <

^/8(m + n)L \|хл(г)1

выполняется для всех г € -С, то неравенство (6) тоже выполняется. В силу принципа Дирихле такое q существует, если

Покажем, что неравенство (8) является следствием условия (5). Действительно, в силу равенства Парсеваля имеем

р_1(Е1^(г)12+ Е 1х^)12) = Еь(*)12 = «р- (9)

Из (9) следует, что

Е^и2^«/. (ю)

Полагая |1)| = я, с использованием (10) получаем, что

п2 \ «/2

г£В

Отсюда следует, что правая часть неравенства (8) удовлетворяет неравенству

(у/8(т + п)ьу(ц < ЫЧт + ^Ьа^Ч-^в-^у.

гев

8р

(Н)

Положим Ь = уЗ^т + пУЬа1/4^ 1/'2. При Ь 4 5 < 1/е функция (Ья 1!4у возрастает по я, поскольку Ье-1/4 > е1/4.

С другой стороны, из (10) имеем в82р2 ^ ар2, а значит, в < а/52. Отсюда следует, что

(у/8(т + п)Ьа1/45-1/28~1/4у < (у/8(т + п)Ь)а^\

Полагая 8 = е™'+пе™^11'-1 е1/2а;-(™+")+3/2; получаем, что существует д, такое, что неравенство

(6) выполняется. При этом будем считать д = 1 (этого можно добиться выбором соответствующего растяжения множества А).

Множество А' определим как объединение интервалов «/¿, таких, что |АП </¿1 ^ £\Ь/2. Нетрудно видеть, что если вместо А взять Ар_ 1, мы получим А! И3 определения следует, что А! является ¿-гранулированным.

Теперь докажем пункт (г). Пусть х € А \ А', тогда либо х & 3, либо |А П 3^| ^ £\Ь/2, где х € Зх- Так как для любого % количество точек х € А \ А' не превосходит £\Ь/2, то можно оценить |А\ А'| < е1Р/2 + Ь <: е1Р.

Докажем пункт (й). Определим следующие две функции Хл((^) и Хг(^):

= Щ(ха * ХР){Л) = щ\А П (Р + й)\,

Х2{й) = щЫ^ * ХрШ = щ\^П(Р + й)\, где Р = Ч — <— О.....~ !}• Заметим, что хТ(ж) = ха(х) • д(х) и хЦх) = ХТ^О») • д(х). В силу

равенства Парсеваля и равенства (2) имеем

У2\(ХА*...* \д * * • • • * ХТ"—- (XI * • • • * XI *Х2 * • • • * Хг)(^)|2 =

р — 1

:р-1 |(0(Ж)Г(Х~(Ж)Г^(№)Г(Б(Ж)Г

\т*)\т~1 Х~(х)П\1^(9(х)Г^\]2 Е 1Г4(Ж)|2. (12)

Из (6), (9), (12) и того, что |хл(ж)| ^ ар, |х^--:(ж)| ^ ар, получим, что

р—1

У" К*-4 * ••• *Х.4 *Х-Г"' * ••• *Х-Г~~")(с0 - (XI * ••• *Х1 *Х2 * ... *хг)(й)|2 < —' ^^^^^ -^р—1 -^р—1

< ( |хл(ж)| |1 - (5(Ж))ТО+П| ) а2(™+«)-Зр2(т+п)-3 ^ ^(т+пЬЗ^т+п)-! _ (13)

Если й € А' {й € А' ]), то существует интервал длины Ь, который содержит й и, следовательно, содержится в интервале [<1—(Ь—1),..., й+{Ь—\)\. Ясно, что интервал [<1—(Ь—1),..., й+{Ь—\)\ содержит минимум £\Ь/2 точек из А (Ар_ 1). Из определения хЛ^) (хг(сО) следует, что хЛ^) ^ £1/4 (хг(^) ^ /4), и для всех й £ Zp справедливы следующие неравенства: Хл((^) ^ £1Ха>{^)/А и Хг(^) ^ —/4.

ар-1

Отсюда получаем, что для всех й £ Zp

(XI * • • • * XI * Х2 * • • • * Х2Ш ^ еТ+П(ХА> * • • • * ХА> * Х77— * • • • * Х77— )(й)/4то+п,

4-V-' 4-V-' 4-V-' Лр-1 Лр-1

и если

(ха> *...*ХА>* х~ * • • • * Х~т > (е2 Руп+п~\ (14)

4-V-'

* '

га ^

п

ТО

(XI * • • • * XI * Х2 * ... * Х2М >

* У N.__'

V V

ТО П

Покажем, что число удовлетворяющих неравенству (14) элементов й € Zp, таких, что

(х.4 * • • • * х.4 * хт-; *■■■* хт~:)(а) = °>

N. ^ У р — 1 р — 1

невелико. Семейство таких элементов обозначим через В. Заметим, что для всякого ё € В

£2(то+п)£2(то+п-1)^2(то+п-1)

| (х.4 * ... * х.4 * * • • • * )(<*)" (XI * ... * XI, * Х2 * • • • * Х2) (Й) |2 ^ ~-242(то+п)-•

то " то п

п

(15)

Из (13) и (15) следует, что

42(то+п)а2(то+п)-3^2

^ 2(то+п) 2(то+п-1) Р ^ £зР' £1 е2

Лемма доказана.

3.2. Верхняя оценка. Заметим, что всегда существует такое г, что

\А\^р/(к + 1)г}\^21>^к+11 (16)

Последнее вытекает из следующей леммы.

Лемма 3 [18]. Пусть п,т — целые числа, 1 ^ т ^ п. Тогда

< (еп^ \i ) ^ V т,

Из леммы 3 вытекает, что если выбрать г, удовлетворяющее условию

е • (к + I) ^ 2г/г, (17)

то утверждение (16) будет справедливо.

Теперь предположим, что А € и ^ р/(к + 1)г, где г удовлетворяет условию (17).

В силу леммы 2 выберем положительные действительные числа Е\, £2, £3 и — натуральное число, удовлетворяющие условию (5). По этой же лемме существует подмножество А' С Zp, имеющее свойства леммы. Будем подсчитывать количество множеств, (к, 1)-свободных от сумм, в группе Хр. подсчитывая количество пар [А', А). В силу утверждения (ш) леммы 2 очевидно, что

количество выборов А' Пусть А' задано. Рассмотрим два случая: ^ р/(к + I) и < р/(к + I).

В первом случае в силу утверждения (й) леммы 2 (с п = к, т = I — \) имеем

\s(£2p)k+l-2,k+i-i(XA>, ■ ■ ■тХачХ-ТТ—, ■ ■ чХ-ТГ—) \ (кА+ (I - l)Ap_i)| < £3р.

к 4---'

г-i

Так как А является (к, 1)-свободным от сумм в группе Zp, что то же самое, что (kA+(l — l)Ap_i)OA = 0, получим, что

\А\ ^ Р - \S(£2p)t+>-2,k+l-l(XA>, • • ■тХАЧХ-Т?—, • • -iX-Tr—) I + £ЗР-

к 4---'

г-i

В силу леммы 1 имеем

\^(£2Р)к+1~2,k+i—i(ха' 1 ■ ■ ■ ,ХА',Х-77—, • • ■ ^ min(P, (к + I- 1)|А'| - к - I + 3) - 2((e2p)fc+,_2p)1/2.

к 4-V-'

г-i

При условии |А'| ^ р/(к + I) получим

\S(£2p)k+l-2,k+l-l{XA', ■ ■ ■ ,ХА> iX-jr" 1 ■ ■ ■ 5 Х^Т—") I

к 4---'

г-i

^ min(p, (к + I- 1)|А'| -к-1 + 3) - 2 (ef+l~2)l2)p{k+l-l)l2 >

2(к + 1- 1 )р/(к + 1)- 2(4*+,"2)/V*+'~1)/2 - (к + I- 3),

откуда следует, что

|А| < р/(к + l) + е(*+'-2)/у*+1-1)/2 + £зР + {к + 1_^

Итак, для заданного А' если |А'| ^ р/(к +1), то

количество выборов А sC 2p/(k+l)+k+l-3 ехр (с ^(fc+«"2)/2p(fc+«-3)/2 + ез i0g(l/er3)) р) •

Теперь рассмотрим случай, когда |А'| < p/(k+l). В силу утверждения (г) леммы 2 имеем |А\А'| ^ £\р, откуда получим, что |А| ^ p/(k + I) + £\р.

Итак, для заданного А' если |А'| < р/(к + I), то

количество в

ыборов А <: 2p^k+l^

ехр (Се 1 log(l/ei)p).

Итак, применяя лемму 2 с параметрами L = 1 + |_1/е_|, log(l/ei) = £3 log(l/e3) = е и е2 = х

Xp(3-k-l)/k+l-2^ ПОЛуЧИМ; чт0

\SFktl(Zp)\ ^2p^k+l^k+l~3^pK

Верхняя оценка доказана.

Автор выражает признательность своему научному руководителю профессору А.А. Сапоженко за постановку задачи и внимание к этой работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cameron P. J., Erdos P. On the number of sets of integers with various properties // Number Theory. Proc. First Conf. Can. Number Th. Ass. / Ed. by R.A. Mollin. Berlin: de Gruyter, 1990. P. 61-79.

2. Alon N. Independent sets in regular graphs and sum-free subsets of abelian groups // Israel J. Math. 1991. 73. P. 247-256.

3. Calkin N.J. On the number of sum-free set // Bull. London Math. Soc. 1990. 22. P. 141-144.

4. Green B. The Cameron-Erdos conjecture // Bull. London Math. Soc. 2004. 36. N 6. P. 769-778.

5. Сапоженко А. А. Гипотеза Камерона-Эрдеша // Докл. РАН. 2003. 393. № 6. С. 749-752.

6. Lev V. F., Schoen Т. Cameron-Erdos modulo a prime // Finite Fields Appl. 2002. 8. N 1. P. 108-119.

7. Green В., Ruzsa I. Sum-free sets in abelian groups // Israel J. Math. 2005. 147. P. 157-188.

8. Сапоженко А. А. Решение проблемы Камерона-Эрдеша для групп простого порядка // ЖВМиМФ. 2009. 49. № 8. С. 1-7.

9. Calkin N. J., Taylor А. С. Counting sets of integers, no к of which sum to another //J. Number Theory. 1996. 57. P. 323-327.

10. Bilu Yu. Sum-free sets and related sets // Combinatorica. 1998. 18. P. 449-459.

11. Calkin N. J., Thomson J. M. Counting generalized sum-free sets //J. Number Theory. 1998. 68. P. 151-160.

12. S с ho en T. A note on the number of (k,l)~ sum-free sets // Elect. J. Combin. 2000. 7. P. 1-8.

13. Lev V. F. Sharp estimates for the number of sum-free sets // J. Reine Angew. Math. 2003. 555. P. 1-25.

14. Nathanson M. B. Additive number theory: Inverse problems and the geometry of sumsets, Graduate Texts in Mathematics. 165. Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer-Verlag, 1996.

15. Pollard J. M. A generalization of the theorem of Cauchy and Davenport // J. London Math. Soc. 1974. 8. N 2. P. 460-462.

16. Bier Т., Chin A. Y.M. On (к,I)-sets in cyclic groups of odd prime order // Bull. Austral. Math. Soc. 2001. 63. P. 115-121.

17. Green В., Ruzsa I. Counting sum-sets and sum-free sets modulo a prime // Studia Sci. Math. Hungarica. 2004. 41. P. 285-293.

18. Сапоженко А. А. Проблема Дедекинда и метод граничных функционалов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.

Поступила в редакцию 12.09.11

BOUNDS FOR THE NUMBER OF (fc, /)-SUM-FREE SETS IN A CYCLIC GROUP OF PRIME ORDER Sargsyan V. G.

A subset A is called (k, Z)-sum-free if the sum of any k elements of A does not equal the sum of any I elements of A. Proved are bounds for the number of (k, Z)-sum-free sets in a cyclic group of prime order.

Keywords: sum-free set, characteristic function, granular set.