CC BY
11Переходя в неравенствах к нижнему и верхнему пределам и устремляя ¿> к бесконечности, получаем утверждение теоремы 2.
Доказательство теоремы 3. Действуя по схеме доказательства теоремы 1, в случае а < 2 получим
P,,2«(w + i)<7l-i J -г=/М dx fj
1-е
Г В 2 / и _ _
(и - у - А5)~- Ф -у-- ) д (у) dy (1 + 7(и)), и -»• оо.
J-в \ <т
В случае а = 2 имеем при и —> оо оценку
х /дф(" "„ М]я(у)<1у(1 + 1(к)).
Как и в теореме 1, доказываем, что двойная сумма, деленная на одинарную, экспоненциально убывает к нулю при и —> оо. В завершение доказательства воспользуемся леммой работы [4].
Лемма 2. Пусть д (х), х € [а, В] , — оо < а < В < оо, — ограниченная функция, которая к раз непрерывно дифференцируема в точке В. Кроме того, <7® (В) = 0 для I < к и д^ (В) ф 0. Тогда при и —> оо имеет место равенство
в
I д (х) Ф (и - х) (1х = (-1)* д{к) (В) и"^Ф (и - В) (1 + о (1)).
а
Авторы приносят искреннюю благодарность научному руководителю В. И. Питербаргу за постоянную поддержку и помощь в написании данной работы, также авторы благодарны рецензенту за ценные замечания, которые позволили существенно улучшить содержание статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Piterbarg V.I. Asymptotic methods in the theory of Gaussian processes and fields // AMS Transl. Math. Monogr. Vol. 148. Providence, R.I., 1996.
2. Hiisler J., Piterbarg V.I., Rumyantseva E. V. Extremes of Gaussian processes with a smooth random variance // Stochast. Processes and Appl. Vol. 121. Elsevier BV, Netherlands, 2011.
3. Питербарг В.И., Румянцева Е.В. Экстремумы гауссовских процессов со случайными параметрами. Деп. в ВИНИТИ РАН № .",7! 152007. М., 2007.
4. Piterbarg V.I., Stamatovich S. On maximum of Gaussian non-centered fields indexed on smooth manifolds.Weier-strass-Institut fur Angewandtre Analysis und Stochastic. Preprint N 449. Berlin, 1998.
Поступила в редакцию 16.11.2015
УДК 517.9
О ЛИНИЯХ УРОВНЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С НЕКОТОРЫМИ АБЕЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
В. В. Фуфаев1
В работе исследована геометрия линий уровня гармонических функций, представляющих собой вещественные части некоторых абелевых интегралов. Гармонические функции рассматриваемого вида возникают при изучении асимптотики решений дифференциаль-
1 Фуфаев Владимир Владимирович — ассист. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: fufaev vvQyandex .ru.
ных уравнений второго порядка, а указанные линии уровня связаны с распределением собственных значений несамосопряженной задачи Штурма—Лиувилля и с расположением траекторий семейств соответствующих квадратичных дифференциалов.
Ключевые слова: эллиптический интеграл, квадратичный дифференциал.
The localization of level lines of harmonic functions representing real parts of certain abelian integrals is studied in the paper. Harmonic functions of such form appear in the the study of asymptotics of solutions to second-order differential equations; the corresponding level lines relate to the distribution of eigenvalues of a non-selfadjoint Sturm-Liouville problem and to position of trajectories of the corresponding quadratic differentials.
Key words: elliptic integral, quadratic differential.
1. Введение и формулировка результатов. Работа посвящена изучению структуры линий уровня гармонических функций, представляющих собой вещественные части эллиптических интегралов вида
где — полином третьей степени с вещественными коэффициентами, а Л — комплексный па-
раметр; здесь в подынтегральном выражении выбирается однозначная ветвь корня в плоскости с выходящими из нулей (¿(г) — А разрезами, которая в дальнейшем указывается явно в зависимости от вида (¿(г). Рассматриваемый круг вопросов касается, по существу, исследования глобальной структуры траекторий некоторых квадратичных дифференциалов (см. [1]), т.е. кривых, на которых — А) 2 > 0. Эллиптические интегралы указанного типа играют роль фазовых (см. [2, 3]) при изучении асимптотического поведения решений уравнения
с малым параметром е > 0, а соответствующие ортогональные траектории возникают при рассмотрении квазиклассической локализации собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля с нулевыми условиями на концах отрезка [А, В]. Отметим, что подобные задачи являются модельными при исследовании устойчивости плоскопараллельного течения жидкости с профилем скорости Q(z) в пределе исчезающей вязкости (см. [4]).
Структура римановой поверхности многозначной аналитической функции, обратной к Q(z), определяет в случае уравнения (2) геометрию асимптотического распределения собственных значений задачи Штурма-Лиувилля, локализованных в полуполосе П := {Л = a+ib: а € Q([A, В]), Ъ < 0}. Их предельная при е 4- 0 конфигурация представляет собой одномерный комплекс К, концевыми вершинами (вершинами степени 1) которого могут являться значения функции Q(z) в ее критических точках или точках Am В (см. [5]). Ребра комплекса К задаются соотношениями Re S (а, /3] А) = 0, где а и /3 — корни уравнения Q(z) = А или концы отрезка [А, В]. С топологической точки зрения основные качественные эффекты обнаруживаются уже для полиномов Q(z) третьей степени. В настоящей работе рассматриваются два в определенном смысле типичных представителя данного семейства Q(z) = z3 ± z в случае В = —А = 1. Некоторые свойства глобальной структуры траекторий соответствующих квадратичных дифференциалов исследовались в [6] в связи с измеренными слоениями (measured foliations).
В обоих рассматриваемых здесь случаях риманова поверхность функции Q_1(A) состоит из трех листов с двумя точками ветвления второго порядка каждая, а ее однозначные ветви А), вводимые ниже, выделяются условиями а:^(+0) = гк и = к, где к = —1,0,1. Отметим,
что указанные потенциалы двойственны относительно соответствия, порожденного преобразованием z I—У iz , и как следствие связаны соотношениями ск^(Л) = для значений Л, расположенных в правой полуплоскости С+. Ввиду симметрии предельного комплекса относительно мнимой оси достаточно ограничиться рассмотрением его части, принадлежащей полуполосе П+ = П п с+ и оси Ж_.
Для Q(z) = z3 -¡- z обозначим предельный комплекс через К+, его ребра описываются (см. [5]) с помощью интегралов
(1)
геу" (z) + (Q(z)-X)y(z)=0
(2)
ветви а;11(Л) и aJ(A) определены неоднозначно. С учетом этого в дальнейшем будем надлежащим образом (по непрерывности) выбирать их предельные значения на том или ином берегу разреза. Комплекс К+ симметричен относительно оси Ж, его концевыми вершинами являются значения Q(±l) и точка Л = —2г/Зл/3 бифуркации корней aJ(A) и а;11(Л). Он имеет вершину iß степени 4, из которой выходят лежащие на мнимой оси ребра iß + Ж_ и [iß, —2г/Зд/З] и симметричные относительно Ж боковые ребра Г и —Г. Имеет место
Теорема 1. Линия уровня Г := {Л € П+: Re{+(A) = 0 }, представляющая собой график гладкой функции b = f(a) с производной ¡'{а) < 1 /л/3, а € (0,2), пересекает, вещественную ось под углом 7г/6 и лежит в треугольнике с вершинами —lij^fb, —2г(2 — л/3), 2. Точка пересечения ГПЖ_ = iß допускает, локализацию ß € (—0,68; —0, 62), а, функция Rer?+(A) обращается, в нуль на луче Ж_.
Множество Г состоит из тех значений параметра Л, при которых траектория квадратичного дифференциала i(\ — Q(z)) dz2 с началом в aJ(A) проходит через точку В = 1. Ключевым элементом доказательства теоремы 1 является следующее
Утверждение 1. Величина Rе{+(а + г&) возрастает по Ъ < 0 при фиксированном, а € [0,2], причем 9Rе (а + ib) / db > 0 для, а + ib € П+. Функция Rer]+(a + ib) возрастает по а € [—2,2] при фиксированном b < 0 так, что дКег]+(а + ib)/da > 0 для а + ib € П \ [0, —2г/3д/3]-В случае Q(z) = z3 — z рассмотрим аналитические в П эллиптические интегралы
г (Л) := ¿>(oCi(A), —1; Л), г?"(Л) := ^(al^A), a0"(A); Л),
в терминах которых описывается (см. [5]) соответствующий предельный комплекс К~. Он представляет собой симметричный относительно Ж граф с двумя концевыми вершинами — точками Л = ^2/3^3 бифуркации пар корней а0 (Л) и а:±1(А) соответственно и одним простым циклом, содержащим сдвоенную вершину Q(±l) = 0.
Утверждение 2. Величины Re{~(A) и Rer?-(A) возрастают в П+ по b при фиксированном, а так, что 9Re{~(A )/db >0 в dRer]~(X)/db > 0; линии уровня Re{~(A) =0 и Rer?~(A) = 0 в П+ являются графиками функций b = /i(a) и b = /г(а)- Величина Re ({"(А) — г?~(А)) в П+ возрастает по а при фиксированном Ъ, причем 9Re ({"(А) —г]~(Х))/да > 0, линия уровня Re{-(A) = Rer?-(A) представляет собой график функции а = /з (6). Линии уровня
Ti := {А € П+: Re£~(A) = 0, Rer?"(A) > О},
Г2 := {А € П+: Rer?"(A) = 0, Re£-(A) > О},
Г3 := {А €П+: Re£~(A) =Rer?"(A) < 0}
задают ребра комплекса К~ в П+ и имеют единственную точку сочленения Л — вершину степени 3. Наконец, предельный граф содержит вершину iv степени 3, из которой выходит ребро iv + Ж_, а также Гз и симметричное ему ребро —Гз. Локализацию и взаимное расположение ребер Гj описывает Теорема 2. Кривая Ti, соединяющая, точки 0 и А = р + iß, принадлежит углу arg А € (—7г/6, —7г/9), где f[{a) < 0; а € (0, р). Участок линии уровня содержится, в угле —57г/6 < arg (А — 2/Зл/з) < —2-/г/3 и соединяет Л и 2/Зл/З так, что /2(а) > 0; а € (р, 2/3л/3), а участок Гз соединяет, Л с точкой iv, причем f^(b) > 0; b € {v,ß). Кроме того,
р € (0,223; 0, 283), ß € (-0,1475; -0,104), v € (-0, 464; -0,425).
Кривая Ti расположена выше линии уровня Г2 := {А € П+ : Rer?-(A) = 0, Re{-(A) < О}, а Г2 — выше Ti := {А € П+ : Re{-(A) = 0, Rer?-(A) < О}. Линия Гз лежит ниже Г2; а ее продолжение Гз := {А € П+: Re{-(A) = Rer?-(A) > 0} — правее Ti и левее Г2.
Предельный комплекс К естественным образом связан деформацией с комплексом для соответствующей спектральной задачи на оси (см. [7]). Родственные геометрические структуры возникают при изучении периодической задачи, для которой в работах [8] и [9] найдены правила квантования собственных значений и описано взаимное расположение соответствующих предельных спектральных кривых.
2. Случай Q(z) = z3-hz. Риманова поверхность функции, обратной к Q(z) = z3-hz, состоит из трех листов с двумя точками ветвления При этом функция Q(z) однолистно отображает
множество л/Zlmz > a/(Rez)2 + 1 на плоскость с разрезом 2г/3д/3 + Ж+, а множества \/3Iniz <
д/(Г1е,г)2 + 1, Г1е г ^ 0 — на плоскость с разрезом —2г/3л/3+Ж+. В соответствии с этим однозначные ветви а^(\),к = 0, ±1, функции а(Л) = выделяются условиями а^(+0) = гк в плоскости
Сд с разрезом — 2г/3л/3 + Ж+.
Для определения ветви функции (1) в плоскости Сг с разрезами а11(Л) + Ж_, ск^Л) + Ж_, + Ж+ выделим ветвь корня л/С}^) — А с помощью формулы
УШ^А = (Мг, Л)/2) ,
где (р(г, А) := а^ (г —(¿^(А)) +arg (-г — ск^Л)) +arg (-г — ск^(Л)). Необходимую в дальнейшем информацию о ветвях ск^(Л) и свойствах симметрии эллиптических интегралов £+(А), Л) содержит
Лемма 1. При А € П \ [0, —2г/3д/3] справедливы неравенства
1та:+(А)>1, 1тск11(А) < 0, 1та:+(А)<0, НеаГ^А) < 0 < Неа^А) (3)
и соотношения ___
«^(-А) = -а+(А), а+(-Л) = -а+(А), (4)
|+(Л) = 5,(а11(-А), -1; —А), г?+(-А) = (5)
Свойства функции (¿(г) как отображения (разветвленного) накрытия используются для доказательства (3). А именно заметим, что ^ 0 при 1т г € [0, л/3(11е,г)2 + 1], стало быть, такие г не принадлежат полному прообразу <5_1(П). Поскольку а^(+0) = г, то отсюда получаем 1та^(А) < 0, к = —1,0, и Ьиа^А) > 1 для А € П \ [0, —2г/3\/3]. Далее, Ыес^А) > 0 и соответственно Кеа11(А) < 0, так как ск^+О) = 0, а состоит из луча и кривых 1т г = ±л/3(11е г)2 + 1, 11е,г < 0. При этом корни уравнений = А и = —А симметричны относительно Ж, откуда ввиду (3) получаем (4).
Для проверки (5) заметим, что <р(—И, —А) = 7Г — (р(г, А) в силу (4). В частности, это выполнено для точек отрезков 1] и [ск11(—А), —1] с параметризациями а^~(А)(1—и ск11(—А)(1—в)—в,
где в € [0,1]. Выбирая указанные отрезки в качестве путей интегрирования в (1), получаем первое из соотношений (5). Аналогично при доказательстве второго соотношения для ?у+(А) в качестве пути интегрирования выбирается отрезок [а^А),ск11(А)].
Доказательство утверждения 1. Для А = а + гЬ, где а € (0, 2] и Ь < 0, установим положительность производной
Жее+(А)_ /#+(А)\ I'1 Пг \
дЬ \ ) \2 У«+(Л) л/Я{г)-\)'
Если г € (йт ско~(Л), ско~(Л)), то Г1е — А) < 0, откуда <р(г, А) € (7г/2, 37г/2) ввиду (3). Аналогично <р(г, А) € (—7г/2, 7г/2) для г € а^(А) + М+ и А) € (—тг/2, 37г/2) при г € (1 + йт ско~(Л), 1). Интегрируя функцию — А)-1/2 вдоль ломаной 1 + йта^А)] и [1 + йта^А), 1], получаем 1т(£+(А))' < 0.
Покажем, что величина 11е£+(А) также возрастает по Ь при а = 0. Предварительно заметим, что (¿(г) взаимно однозначно отображает кривую г(в) := в — г^/О^вУЗв, > 0, на луч —2г/3\/3 + Ж_, а для ломаной [—г/л/З, 0] и [0,1] имеем € [—2г/3л/3, 0] и [0, 2]. Отсюда в случае Ь < —2/Зл/З получаем <р(г,гЪ) € (0, 7г/2] для указанной ломаной и (р(г(з),1Ь) = 7г/2, в € (0, 11е а^(гЪ)). Интегрируя функцию {С}^) — А)-1/2 вдоль упомянутых кривых и учитывая, что а^ г'(в) € (—7Г/2, 0), устанавливаем положительность величины (Же^+{гЪ)/(1Ъ. Аналогично, полагая := 0) в случае Ь € (—2/3\/3, 0), получаем (Ж,е{+(г&)/(й) > 0, так как € (гЬ, 0] и [0,2], если г € и [0,1]. Таким образом, величина 11е£+(А), доопределенная в П+ по непрерывности, возрастает по Ь при фиксированном а.
С учетом монотонности, установив ниже неравенства 11е£+(—0,62г) > 0 > 11е£+(—0, 68г), получим, что существует значение /л € (—0, 68; —0, 62), для которого 11е£+(г/х) = 0. При Ь < —2/Зл/З рассмотрим интеграл
/•Ые а^ (Л)
Ие - г/л/з, <4(гЬ); гЬ)=- ^/Щ^ЩгЩ(1т/(,?)) (1в.
Jo
Ввиду монотонности функции гС^^г^)) имеем Нескд/—0, 62г) < 0,36 и 11е о^/—0, 68г) > 0,4, так как 1т С}(х(0, 36)) < —0, 62 и 1т С}(х(0, 4)) > —0, 68. Фиксируя разбиение отрезка [0; 0, 36] с шагом 0, 04 и оценивая на отрезках разбиения и на отрезке [0, 36; 11е ад/А)] монотонную величину 1СЦ(г(8)), получаем
Ыеб^ — г/л/3, ско(—0,62г); —0,62г) <0,018, 11е £"( - г/л/З, ао(-0,68г); -0,68г) > 0,006.
Аналогично, оценивая Ие 5(0,-г/л/3; ¿Ь) и Кеб*(0,1;гЬ), имеем 11е£+(—0,62г) > 0 > 11е£+(—0,68г).
В завершение доказательства утверждения 1 покажем, что функция IIег?+(А), А € П\[0, —2г/ЗуЗ возрастает по а при фиксированном Ь. Положим А) := а^/А),? — — 1) и заметим, что
д~а ~ 6 { с1\ ) ~ 6 ^Уо А)) ^) '
Здесь А), А) =2 А)+а^(,г(5, А) —а^(А))+7г, 8 € (0,1), следовательно, ввиду включения
А) — а+(А)) € (—7г,0) имеем 7г/4 + а^г^, А) — А), А)/2 € (—тг/4,7г/4), и, стало быть,
гМег]+{а + 1Ъ)/да > 0 в П \ [0, -2г/Ъу/Ъ\.
Утверждение 1 используется для локализации линии уровня Г: устанавливая (см. доказательство теоремы 1) положительную знакоопределенность 11е£+(А) на интервале (2,—2г(2 — л/3)) и отрицательную — на промежутке (—2г/\/3, 2), в силу теоремы о неявной функции получаем, что нуль-линия уровня вещественной части эллиптического интеграла 11е£+(А) в П+ является графиком гладкой функции и лежит в треугольнике с вершинами — 2г/\/3, —2г(2 — \/3), 2.
Доказательство теоремы 1. Установим отрицательность величины 11е£+(А(£)) при параметризации А(£) = 2 — ¿ег7Г/6,£ € (0,4/л/3), интервала (—2г/\/3, 2). Имеем
Д1е£+(А(;0) _ _Ке /е^А'Ср Г1 (1х \ _ Ке (г^Д (1 \
^ ~ " 6 \ 2 ]а+(т) ^/Щ^Щ) ~ 6 \ 2 Л 3^(5,^ + 1^1 '
где ¿) := ао~(А(£) + (2 —А(£))з), 8 € (0,1). В самом деле, ¿) — ад/А)) € (0, Зтг/2) в силу того,
что а— А) € (—37г/2,0) при а^(,г — ск^/А)) € (—тг/2,0), откуда получаем ¿), А(£)) =7г/6
ввиду (3), стало быть, А'(¿)(<5(-г(«, ¿)) — А(£))-1/2 = — е"1"/12^)-1/2. Поскольку а^ (Зг2^^) + 1) 1 € (0,7г), то (Пе{+(А(£))У < 0 и, таким образом, 11е{+(А(£)) < 0 согласно £+(2) = 0.
Покажем, что 11е{+(А) > 0 для А € £ := В случае параметризации г (в) =
(2веш/6 — г)/л/3, в € (0,1), промежутка (—г/л/3,1) выполнено а^((5(<г(з)))' <= (—7г/6,7г/6), поэтому в силу теоремы о конечном приращении, учитывая (3), имеем (р(г(з),\) € (—7г/6,7г/6) для А € £ и в € (Нессц-(А), 1). Выбирая в £+(А) в качестве пути интегрирования отрезок [а^/А), 1] с [—г/л/3,1], получаем указанную знакоопределенность.
Ввиду утверждения 1 величина 11е£+(а + гЬ) возрастает по Ь при фиксированном а, значит, линия уровня Г является графиком гладкой функции Ь = /(а) и расположена между промежутком (—2г/\/3,2) и кривой £. Как следствие кривая Г пересекает М в точке А = 2 под углом 7г/6 и содержится в полосе гЬ + ег7Г/61К, —2/л/3 < Ь < — 2/3\/3. При доказательстве утверждения 1 также было показано, что 11е{+(—0,62г) > 0 > 11е{+(—0,68г), значит, Г пересекает Ж_ в точке г/х, где ц € (-0,68;-0, 62).
Уточним оценку сверху для /(а) и ее производной. При Ь € (—2/\/3, — 2/3\/3), в частности при Ь = —0,62, у луча ¿6 + ег7Г/61К-|- и кривой ^ в силу включения £ (—7г/6,7г/6) существует
единственная точка пересечения Для А(¿,6) = гЬ + ¿ег7Г/6, £ € (0,2И,е Л^/л/3), составляя путь интегрирования в £+(А(£, 6)) из участка г (г, ¿) = а^(г\ь + (1 — г) , 6)), г € (0,1), кривой 6))
и отрезка [«¿"(Аь), 1], будем иметь
(Же£+(\(г,Ь)) / глД Г1 у-1!2 (1т Г1 е7™/12 \
^ ~ е\~.1о 3 г2(г,1) + 1 " УКе«+(ль) ¿Т^СФ)) - А^,6)=у > '
поскольку в первом слагаемом а^ (Зг2(г, ¿) + 1) 1 € (0,7г), а во втором 1р(г(в), А(£, Ъ)) € (—7г/6,7г/6). Суммируя сказанное выше, получаем, что 11е£+(А) в П+ положительна для А € а + {/(а) + ег7Г/6К-|_,
а € (0,2), значит, в силу утверждения 1 указанные лучи лежат выше Г, откуда /'(а) < 1/л/З. Далее зафиксируем Ь = —0,62 и заметим, что 11е{+(А(£, &)) > 0, если £ € (0,2Г1е Аь/л/З), ввиду положительности величины IIе£+(г&). Кроме того, 11е£+(А) > 0 для А € £, значит, указанная знакоопределенность имеет место и на интервале (2, —2г(2 — л/3)), так как он лежит выше промежутка А(£, Ъ) и участка кривой при в € (11е а^Аь), 1).
Завершим доказательство, показав, что Нег?+(А) = 0 на луче Ж_. В силу (5) и непрерывности г]+(А) при 1т А ^ — 2/3\/3 выполнено IIег?+(г&) = 0, если Ь ^ — 2/3\/3. Далее, функция двулистно отображает отрезок [0, —г] на [0, — 2г/3\/3], стало быть, для Ь € (0, —2/Зл/З) предельные значения функций о;110(А) при приближении А слева и справа к гб являются мнимыми. Выбирая в качестве
пути интегрирования для г?+(А) отрезки ¿6) := ^(гбгЬ 0) + (а!1(г6 ± 0) — ск^гб ± 0))«, в € [0,1], получаем, что IIег]+(гЬ ± 0) = 0, так как еш/4^/С2(г±(8,1Ь)) — гЬ € М. Таким образом, 11ег?+(А) однозначно доопределяется по непрерывности на отрезке [0, — 2г/3\/3] так, что 11е г?+(А) = 0 на луче Ж_.
3. Случай <5(г) = г3 — г. Риманова поверхность функции, обратной к (¿(г) = г3 — г, состоит из трех листов с двумя точками ветвления При этом функция С,) (г) однолистно отображает
область 3(11е г) < (1т г) +1 на плоскость с разрезами ±2/3\/3 ±М, а области 3(11е г) > (1т г) +1, 11е,г ^ 0, — на плоскость с разрезом =р2/Зл/З + М=р. В соответствии с этим однозначные ветви А), к = 0, ±1, функции а(Х) = А) определяются условиями ск^(0) = к в плоскости С а с разрезами ±2/3\/3 ± М_|_.
Лемма 2. Справедливы неравенства
Кеа!1(А) < —1/л/з < Нессц (А) ^ 0, 11еа:]~(А) > 1 при А € П+ \ {0,2/Зл/З}, (6) ЬюС^А) < 0 < 1т скц (А) < л/|1т А| + 2 при А € П+. (7)
Для проверки (6) воспользуемся свойствами (¿(г) как отображения накрытия. А именно поскольку Ке<5(г) < 0 при 11е,г € (0, л/3(1тг)2 + 1), то такие значения г не лежат в <5_1(П+ \ {0}). Отсюда получаем Кеа^(А) ^ 0, к = —1,0, и Кеа^(А) > 1, если А € П+ \ {0}, так как а^(0) = 1. Кроме того, Ке<5(-2) > Я{— 1/л/З) = 2/Зл/З для 11е,г ^ —1/л/З и (1т,г)2 > 3(11е,г)2 — 1, следовательно, Кеа_1(А) < —1/л/З < 11еа:0 (А) в случае
А <е П+ \ {2/3\/3}. Неравенства (7) справедливы, поскольку множество 1т Я (г) ^ 0 задается неравенством (3(11е,г)2 — (1т г)2 — 1)(1т,г) ^ 0, стало быть, 1та^1(А) < 0 < 1т«д (А) при А € П+. Наконец, имеем д\тС}(х+ гу)/ду < 0 при \х\ < 1/л/З, а в силу (6) выполнено Нессц (А) € (—1/л/З, 0], следовательно, 1тац (А) < л/|1т А| + 2, так как 1т (<2(ж + гу) — А) < 0 при х € (—1/л/З, 0] и у = д/|1т А| + 2.
Ветвь функции (1) в плоскости Сг с разрезами ск11(А) + Ж_,о;д (А) + Ж+,а||~(А) + Ж_ выделяется с помощью формулы
УЩ^А = У|д(г)-А| ехр (х1р(г, А)/2),
где ф(г, А) := —аС^А^+а^^ —а:д (А)) + а^(,г —а^(А)). Для исследования нуль-линий уровня вещественных частей эллиптических интегралов 11е£-(А) и Пег?-(А) вводятся в рассмотрение кривые £0 := {Я(г0>0}ПП+и4 := {Я(г±(з)),8 > 0}ПП+, где г0(з) := -1 + « - г«(1 + 2«/3)/л/3 и -г±(з) := —1/д/З ± 5 ±гstg7г/8. Непосредственной проверкой устанавливается Лемма 3. Кривые £± являются графиками возрастающих функций, причем
а^(А - 2/Зл/З) € (-Зтг/4, -2тг/3), « arg(A - 2/Зл/З) € (-5тг/6, -Зтг/4), А € £+.
Кривая £о в полосе 11е А € (0; 0, 283) представляет собой график убывающей функции и расположена между лучам,и е-иг/9М+ и е-иг/6М+. Точки пересечения £± с £о и лучом, е_г7Г/6М+ лежат, в прямоугольнике
{0, 223 < 11е А < 0, 283; -0,1475 < 1т А < -0,104}.
Локализация точек пересечения проводится следующим образом: поскольку
11е <2(2+(0, 358)) > 0, 223, 1т <2(г+(0, 358)) < -0, 223 tg тг/6,
то точка пересечения лежит правее линии 0, 223+Ж. В силу монотонности и взаимного
расположения рассматриваемых кривых все указанные точки пересечения лежат правее этой линии. Остальные оценки устанавливаются аналогично.
Далее будет использоваться тот факт, что линии уровня 11е(5(ж + гу) = а при а € (0, 2/3-\/3) в левой полуплоскости допускают параметризацию х € (—оо, а!1(а))и(о;д (а), 0).
Ввиду однолистности в третьем квадранте кривая х — гл/{С}{х) — а)/Зх, х € (—оо, а!1(а)),
взаимно однозначно отображается на луч а + Ж_, стало быть, величина 1тС£(х) монотонна вдоль указанной кривой. Аналогично кривая х + гл/{С}{х) — а)/Зх, х € (о;д(а),0), взаимно однозначно отображается на луч а + Ж_, вдоль нее величина 1тС£(х) монотонна.
Доказательство утверждения 2. Установим для Л = а + гЬ € П+ положительность величин
дЯет]-(А) „ /е^/4 /"ао(Л) ¿г \ Жег?"(Л) т /е^/4 Го(л) йг \ = Ке —— / —. , -—- = 1т 1 ' 1
да \ 2 ■1»-_1(х) - А у ' дЪ \ 2 Уа=1(А) л/Щг)^Х) '
Для этого в первом случае в качестве пути интегрирования выбирается ломаная (а~1(А), 11е а!1(Л)]и и[Кео;11(Л),Кео;д (Л)]и[Кео;д (Л),о;д (Л)). Тогда на вертикальных отрезках Ке(<5(г;) —А) < 0, откуда А) € (7г/2,3"7г/2) в силу (6), (7), а на горизонтальном 1т(<5(<г) — А) > 0, значит, ф{х,\) € (0,7г), и, таким образом, сШег]~(Х)/да < 0. Аналогично во втором случае в качестве пути интегрирования выбирается ломаная с вершинами а!1(А), —1/\/3 + йш а!1(А), —1/\/3 + Ита^(А) и а^(А). Так же устанавливается, что
ЖеГ(А) _ (е™/4 [ Г1+!1ша=1(А» Г1 \ (к \
дЬ ~ Ш V 2 У«=1М 1-1+г1та=1(Л) } у/СЦг)-\)
Же(Г(А)-Г?"(А))_ /еш/4 | Леа-(А) ,«-(А) 1 ^ \
д~а — К'е ^ 2 \У_1 +Укеа-(Л)| >0'
Положим А) := а!1(А(1 — §)), в € (0,1), и в дальнейшем будем использовать представление
с%~(А) _ е^/4А Г1 (д(ф,А)) -А)-1/2^ _ е~^4УА Г1 в'1/2
й\ ~ 2 У0 Зг2(в,А)-1 2 У0 Л) -1'
где гр(г(з, А), А) € (7г/2,7г) ввиду (6), (7), откуда получаем А)) — А)-1/2 = е~ш/2л/\в-1/2,
причем 11е \/А > 0.
Ниже будет показано, что
(а) функция Пег?-(А) положительна для А € и отрицательна при А €
(б) величина 11е£-(А) в П+ отрицательна при А € е-г7Г/61К-|- и положительна для А € £о~,
(в) разность 11е{-(а + ¿6) — Кег]~(а + ¿6) положительна для Ь < 0, а = 2/3,л/3, а при а = 0 убывает по Ъ, обращаясь в нуль в точке ги, где V € (—0, 464; —0, 425).
Тогда ввиду установленной знакоопределенности Ж,е £ ~ (А)/дЪ согласно теореме о неявной функции будет существовать гладкая функция (а), такая, что 11е£-(а + 1$\(а)) = 0 при а € (0, 2/Зл/З), причем точки а + ifl(a) заключены между лучом е-г7Г/61К-|- и кривой £о. Аналогично линия уровня Пег?-(А) = 0 является графиком гладкой функции Ь = /г(а) и заключена между £±, причем /з(а) > 0 ввиду знакоопределенности сШег]~(Х)/да < 0. Наконец, линия 11е£-(А) = Пег?-(А) выходит из точки ги и представляет собой график гладкой функции а = /з (6). (а) Покажем, что при А € выполнено
11егГ(А) = 11е (5'(о;11(А), — 1/л/З; А) + 5(—1/л/З, «д (А); А)) > 0.
Положим Ф+^) := С}(г+(8)) и р+ := Кескд (А) + 1/л/З- Выберем отрезок х+(1р+), £ € [0,1], в качестве пути интегрирования для ¿>(—1/л/З, а^ (А); А), тогда
5(-1/^3,«0"(А); А) = е-/4 [ ^Ф'|(0- =
причем аргумент подынтегрального выражения совпадает с функцией А) — 7г/4, значе-
ния которой принадлежат интервалу (—37Г/4, 37г/4) ввиду (6), (7). Поскольку 1т Ф+(0)/Ф" (0) = —л/3^(7г/8) < 0, имеем ■0(,гц_(£р+), А) — 7г/4 е (—37г/4,0) и, стало быть, Ыей^—1/л/З, скд (А); А) > 0. Для 5'(о;11(А), — 1/л/3; А) в качестве пути интегрирования выберем ломаную [ск!1(А),/?] и [/?, —1/\/3], где /3 = 2_(|Ке а!1(А) + 1/\/3|). Ввиду леммы 3 и монотонности величины 1т<5(<г) вдоль линий уровня Ке<5(г) = а кривая расположена выше луча ,г_(]£_|_) = и для г € [/?, —1/л/З] с имеем А) € (—7г,7г/4), а в случае г € (а!1(А),/3) с ск11(А) + Ж_ выполнено Ке(<5(-г) — А) > 0, откуда получаем ф(г,Х) £ (—7г/2,7г/2), значит, Г1е 5(а11(А), — 1/л/З; А) > 0, и, стало быть, Пег?-(А) > 0, А € Аналогично устанавливаем, что Пег?-(А) <0, А € (б) Для А(£) = € (0,4/9), имеем
dt V 2 Уо 3<z2(s, A(i)) - 1 I '
где arg (3z2(s, А(t)) — l) € (0,7г), откуда Re (£~(A(t))) < 0, и поскольку {"(0) = 0, то Re£"(A(i)) < 0. Покажем, что Re{~(A) > 0 в случае А € ¿о- Обозначим Фо(з) := Q(zo(s)) и ро := ReaI1(A) + 1,
тогда
гро _
Г (А) = -е^/4 / у/ф0(з)-х^(з) ds = J о
»1
'фо(Фо) - Фо(ро) ¿оОо)
--е ^о(0) yo V^o(0)(i-l)y ф,(0Ы;_1} "4(0)-^ причем arg (г'0(Ьро) / z'q(0)) £ (—7г/3,0). Аргумент выражения
Фо(Фо) - Фо(ро) fz'0(tpo)\2 = Л Ф^О)^"1^ - 1) Л , ^'¿(0)tpo\
7>(с\\ )
2
ф{,(о)ро(<-1) V4(o)7 ш{,(о)(<-1) V 4(о) У
совпадает с ip(z0(tp0), А) - 57г/6 + arg (z'0(tp0) / z'o(0))2 £ (—37г/2, 77г/6), где ip(z0(tp0), А) € (0, 27т) ввиду (6), (7). Оценивая коэффициенты при степенях рсь получаем, что мнимая часть указанного выражения положительна, значит, его аргумент принадлежит интервалу (0,7г), и, таким образом, Re{~(A) > 0.
(в) Для А € 2/Зл/З + Ж_ выполнено Re({~(A) — г]~(А)) > 0, так как Re(Q(,z) — А) ^ 0 и Im(Q(-z) — А) > 0 при z £ (ckq (А),Reckq (А)] U [RecKg (А), — 1], и, значит, tp(z, А) € [7г/2,7г) ввиду (7). Если А = ib, Ъ < 0, то в силу леммы 2 и симметрии Q(—z) = —Q(z) имеем ckq (А) € Ж+, кроме того, Q(z) £ (А, 0] U [0, 2/Зл/З] при z £ (ckq (Л), 0] U [—1,0], откуда tp(z, А) € (0,7г/2], а следовательно,
dRe(r{ib)-V-{ib)) =_lm(^l(f + П(гЬ)\ dz ^ < о
дЬ Ш \ 2 ЦУ_! Уо J ^Q{z)-ib))
Оценивая Re5(—1,0; А) и ReS^ö(А), 0; А) таким же образом, как в случае Q(z) = z3 + z, устанавливаем, что Re5(a:o(—0, 464г), —1; —0, 464г) > 0 > Re S(ao(—0, 425г), — 1; —0, 425г), поэтому v £ (-0,464;-0, 425).
Доказательство теоремы 2. Покажем, что в П+ линии уровня Re£~(A) = 0 и Rer?-(A) = 0, являющиеся в силу утверждения 2 графиками гладких функций a+i/i(a) и 0+2/2(0), а £ (0, 2/3л/3), имеют единственную общую точку. Как было установлено при доказательстве утверждения 2, кривая b = fi(a) лежит выше луча e_m/6R-|- и ниже ¿о, а кривая b = /2(0) — выше I- и ниже причем /2(а) > 0. Покажем, что в области Q с П+, лежащей выше e-m/6R-|- и £_, положительна производная
ЖеГ(А) = Re fdC(А)\ =Ref e-^VX f1 s~1/2 ds \
да \ dX J \ 2 J0 3z2(s, А) — 1
тогда в силу теоремы о неявной функции для Л = а + ifi(a) € Q получаем f[(a) < 0. Поскольку при этом /х(2/Зл/З) < 0, /г(О) < 0 и /i(0) = /2(2/Зл/3) = 0, то линии уровня а + ifi(a) и а + ¿/2(a) имеют в 11 ! единственную точку пересечения Л = р + г/х, которая лежит в области, ограниченной лучом e_OT'6R-|- и кривыми £± и £q. Ввиду локализации точек пересечения указанных кривых (см. лемму 3) выполнено 0, 223 < р < 0, 283, —0,1475 < ¡л < —0,104.
Для А € Q установим включение arg (3z2(s, А) — l) € (0,7г/6), А € Q, s € (0,1), из которого будет следовать положительность производной сШе£~(Х)/да. Предварительно непосредственным вычислением доказываются неравенства Re (3z2 — 1) > 0 и 0 < Im (3z2 — 1)/Re (3z2 — 1) < 1/\/3 при Rez € (—1, — 1/л/З) и Imz € ((Rez + l/\/3) tg7г/8, 0). Покажем, что эти включения справедливы при z € a;I1(Q) с учетом монотонности величины Im Q(z) вдоль линий уровня ReQ^) = а. Поскольку кривая Q(—1 + Ж_) П П+ расположена ниже луча e-m/6R-|-, то точки Q(z) при z € а;11(П+), Rez < —1, также лежат ниже луча e-ra"/6R-|-, откуда ввиду (6) получаем Rea;I1(A) € (—1, — 1/л/З); аналогично устанавливается, что Ima;I1(A) € ((Rea;I1(A) + 1 /л/3) tg vr/8, 0). Поэтому при А € Q имеем arg (3(aI1(A))2 —l) € (0,7г/6), a согласно лемме 3 кривая — график возрастающей функции, откуда получаем (0, А) С Q, следовательно, arg (3z2(s, А) — l) € (0,7г/6), и, значит, производная сШе£~(Х)/да положительна.
Таким образом, точка пересечения нуль-линий уровня Re£~(A) = 0 и Re г?-(А) = 0 единственна, а ввиду утверждения 2 и леммы 3 кривая Г1 является графиком убывающей функции b = fi(a), а € (0,р), где /i(a) € (—a tg 7г/6, — a tg 7г/9), а Г2 — график возрастающей функции b = /2(a), а € (р, 2/3л/3)5 где &rg (я + 2/2(0) — 2/3\/з) € (—Ьтт/6, — 2-/г/3). При этом Г1 лежит выше Г2, а Г2 —
выше Г1. Далее уточним расположение кривых Г3 и Г3. Между Г1 U Г2 и Г1 U Г2 знаки функций Re£~(A) и Re г?-(А) различны, а выше кривой Г1 U Г2 имеем Re£~(A) > 0, стало быть, кривая Гз лежит ниже Г1 иГг, а кривая Гз расположена правее Г1 и левее Г2. При этом, как было показано в ходе доказательства утверждения 2, линия уровня Гз является графиком функции а = /3(6) и выходит из точки iv, где v € (—0, 464; —0, 425).
В завершение доказательства покажем, что /3(6) > 0, b € откуда будет следовать, что
Гз представляет собой график возрастающей функции и лежит ниже Г2. Действительно, в силу положительности выражения 9Re(£-(A) — rj~(X))/да, установленной в доказательстве утверждения 2, линия Гз соединяет точки iv и Л, а из отрицательности величины 9Re(£-(A) —r]~(X))/db при А = а + ib, а € (0; 0, 283) и b < min(/i(a), /2(a)) будет следовать, что /3(6) > 0, b € (г/, /л).
Предварительно непосредственным вычислением проверяется, что кривая Q([—1 + 0,12г;0,12г]) расположена выше £+ в полосе а € (0;0, 27) и отрезка а — га tg 7г/9, a € [0, 27; 2/3\/3], значит, выше кривой a+i min(/i(a), /2(a)). Ввиду монотонности величины Im Q(z) вдоль линий уровня Re Q(z) = а имеем ImaiQ (А) > 0,12 для указанных А. В случае z = {—1 + еот/5М+} П {0,12г + R_} и /3(А) = Rez + ïImaiQ (А) имеем Im/3(A) > Imz, откуда получаем ReQ(-2) > ReQ(2) > 0,283 при z € (z, /5(A)]. Стало быть, точка /3(А) расположена между отрицательными корнями уравнения ReQ(^ + щ) = а при фиксированном у = Ima^ (А), значит, Re(Q(-z) — А) > 0 для z € [/3(A), ckq (А)). Следовательно, имеет место tp(z, А) € (—тт/2,7Г/2), если z € Çz, /3(А)]и[/3(А), ckq (A)) ввиду (6),(7). Аналогично tp(z, A) € (0,87г/9) для z € (—1,2), так как ImQ(z) > 0, ReQ(-2) > 0 и /i(a) < —atg7r/9. Таким образом, интегрируя функцию (Q(z) — А)-1/2 вдоль ломаной (—1,2] U [z, /3(A)] U [/3(A), ckq (А)), получаем, что величина 9Re(£-(A) — rj~(X))/db отрицательно знакоопределена.
Автор приносит благодарность С. А. Степину за постановку задачи и внимание к работе. Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 16-01-00117-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962.
2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.
3. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М.: Мир, 1965.
4. Drazin P. G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.
5. Степин C.A., Фуфаев В.В. Метод фазовых интегралов в задаче квазиклассической локализации спектра // Докл. РАН. 2015. 462, № 3. 283-287.
6. Hubbard J., Masur H. Quadratic differentials and foliations // Acta Math. 1979. 142, N 1. 221-274.
7. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. 4, № 2. 267-277.
8. Есина А.И., Шафарсвич А.И. Условия квантования на римановых поверхностях и квазиклассический спектр оператора Шрёдингера с комплексным потенциалом // Матем. заметки. 2010. 88, № 2. 229-248.
9. Esina A.I., Shafarevich A.I. Semiclassical asymptotics of eigenvalues for non-selfadjoint operators and quantization conditions on Riemann surfaces // Acta Polytechn. 2014. 54, N 2. 101-105.
УДК 517.518.43
ИНТЕГРИРОВАНИЕ БАНАХОВОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ХААРА С БАНАХОВОЗНАЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Показано, что для любого банахова пространства каждый всюду сходящийся ряд Хаара с коэффициентами из этого пространства является рядом Фурье-Хаара в смысле интеграла типа Хенстока относительно двоичного дифференциального базиса. В то же время сходимость почти всюду ряда Фурье-Хенстока-Хаара банаховозначной функции существенно зависит от свойств пространства.
Ключевые слова: ряды Хаара, ряды Уолша, двоичный дифференциальный базис, интеграл Хенстока, интеграл Петтиса, банаховозначные функции, свойство Орлича.
It is proved that for any Banach space each everywhere convergent Haar series with coefficients from this space is the Fourier-Haar series in the sense of a Henstock type integral with respect to dyadic derivation basis. At the same time convergence of Fourier-Henstock-Haar series Banach-space-valued functions is essentially dependent on properties of a space.
Key words: Haar series, Walsh series, dyadic derivation basis, Henstock integral, Pettis integral, Banach-space-valued functions, Orlicz property.
1. Введение. В последние годы ряд исследований в области векторнозначного анализа Фурье был посвящен вопросу о том, в каких случаях классические результаты о действительных функциях могут быть перенесены на случай банаховозначных функций. Некоторые результаты остаются справедливыми для любых банаховых пространств. Но чаще всего оказывается, что возможность такого обобщения зависит от структуры и геометрии рассматриваемого пространства. Укажем в качестве интересного примера обобщение известной теоремы Карлесона о поточечной сходимости рядов Фурье функций с интегрируемым квадратом. Это обобщение возможно лишь для пространств со свойством 1,'.\!1) ("безусловность мартингальных разностей"), и в недавних работах оно было доказано для широкого класса 1Л\'ГО-пространств в случае тригонометрической системы (см. [1]) и системы Уолша (см. [2]). Другой пример связан с неравенством Хаусдорфа-Юнга и возникающими в этой теории понятиями типа и котипа банаховых пространств. К этому роду характеризаций относится и понятие свойства Орлича, которое нам понадобится.
Определение 1. Скажем, что пространство Банаха X обладает д-свойством Орлича, <7^1, если существует константа С ^ 0, такая, что для любого конечного набора элементов х\,...,хп пространства X выполняется неравенство
Заметим, что каждое пространство котипа q ^ 2 обладает ^-свойством Орлича (см. [3]).
1 Скворцов Валентин Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vaskvor2000Qyahoo.com.
Поступила в редакцию
18.05.2016
В. А. Скворцов
1
