Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа в специальной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.6

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

A.A. Гималтдинова

1 Поволжская государственная социально-гуманитарная академия,

Россия, 443099, Самара, ул. М. Горького, 65/67.

2 Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал,

Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 а.

E-mail: [email protected]

Получены условия на комплексный параметр, при которых единственно решение задачи Трикоми для уравнения с двумя перпендикулярными линиями изменения типа.

Ключевые слова: задача Трикоми, уравнение смешанного типа, единственность решения.

При изучении краевых задач для уравнений смешанного типа важными являются вопросы единственности решения и расположения спектра соответствующих спектральных задач.

Многими авторами изучалась задача Трикоми для модельного уравнения Лаврентьева—Бицадзе

Lu = sgn у ■ ихх + иуу — Хи = 0. (1)

В работе [1] А. В. Бицадзе установил принцип экстремума для уравнений

смешанного типа и на его основе доказал единственность решения задачи Трикоми для уравнения (1) при Л = 0, а также существование решения.

Т. Ш. Кальменов в работе [2] на основе принципа экстремума А. В. Бицадзе и теории положительных решений операторных уравнений М. А. Красносельского доказал существование хотя бы одного собственного значения однородной задачи Трикоми для уравнения (1).

С. М. Пономарев [3] доказал единственность решения задачи Трикоми для уравнения (1) при Л = а + iß таких, что а > 0 и \ß\ ^ с1\[2а.

Е. И. Моисеев [4] для уравнения (1) с комплексным параметром Л = /х2

установил единственность решения задачи Трикоми при |arg /х| ^ arctgfco, где ко — корень уравнения 2к = 2к2 — 1 + 2к\/2к2 — 1, ко > 1/л/2.

К. Б. Сабитов [5] изучил единственность решения задачи Трикоми для уравнения (1) с кусочно-постоянным параметром Л = Ai при у > О, Л = Лг при у < 0.

В данной работе рассматривается смешанное эллиптико-гиперболическое уравнение с двумя линиями изменения типа

Lu = sgn у ■ ихх + sgn х ■ иуу — Xu = 0, (2)

где Л — комплексный параметр, в области D, ограниченной следующими линиями:

Алъфира Авкалевна Гималтдинова (к.ф.-м.н., доц.), докторант, каф. математики и методики обучения1; доцент, каф. математического анализа2.

1) гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти плоскости (х,у) с концами в точках А\(¿і,0) и ^(О,^), h, h > 0;

2) характеристиками ОС\ (х + у = 0) и С\А\ (х — у = 1\) уравнения (2) при х > 0, у < 0;

3) характеристиками ОС2 (х + у = 0) и С2А2 (у — х = 12) при х < 0, у > 0, где Ci = (h/2, -h/2), С2 = (-h/2,h/2), О = (0,0).

Введём обозначения: Dq = D П {х > 0, у > 0}, D\ = D П {х > 0, у < 0}, D2 = DГ\{х < 0, у > 0}. В области D для уравнения (2) поставим следующую задачу Трикоми.

Задача T. Haumu функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:

и(х,у) Є С(Т)) П C1(_D) П C2(Do U .Di U D2), (3)

Lu(x, у) = 0, (х,у) Є -D0 U Di U D2, (4)

u(x,y)\T = Lp(x,y), (х,у)єт,

и<УХ> у) ІС1С2 = ^х’ У)’ У) є СіС2’ где <р и гр — заданные достаточно гладкие функции.

Определение. Под регулярным решением уравнения (2) в области D понимается функция и(х,у), удовлетворяющая условиям (3), (4) и имеющая непрерывные частные производные их и иу в Do, за исключением, быть может, точек О, А\, А2, где они могут иметь степенную особенность порядка меньше единицы.

В областях D\ и D2 для уравнения (2) рассмотрим следующие задачи.

Вторая задача Дарбу.

1) Найти в области решение и(х, у) уравнения (2) условиям:

иу(х,0) = г/1 (ж), х € (0, ¿1), и(х,—х)= 0, [0, ¿1/2],

где VI (х) — заданная функция.

2) Найти в области И2 решение и(х, у) уравнения (2) условиям:

удовлетворяющее

(5)

(6)

удовлетворяющее

(7)

«*(0,2/) = и2(у), У € (0,12), и(у,~у)= 0, уе[0,12/2], (8)

где и2(у) —заданная функция.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.

1) Если V\(х) € С1 (0, ¿1) П ¿1[0, ¿1], то существует единственное решение задачи (2), (5) и (6) и оно определяется формулой

гх+у г _____________________________1

и(х,у) = / ь'l(t)Jo \/\(х + у - г)(х - у - ¿) М, (9)

./о 1

где Jo(z) — функция Бесселя первого рода, у/\ > 0 при А > 0.

2) Если г/2 (ж) € С1 (0,12) П ^[0,12\, то существует единственное решение задачи (2), (7) и (8) и оно определяется формулой

СУ+х

и(х,у) = / v2(t)Jo \/А (у+ х-t)(y - х-t) Jo L

dt.

(10)

Доказательство теоремы 1.1) приведено в [6], а формула (10) получается из (9) заменой ж на у, у на ж в силу симметричности уравнения (2) относительно у = х.

Полагая в формулах (9) и (10) соответственно у = 0 и ж = 0, найдем:

и(х, 0) = ti(x) = f Jo л/А(ж — t) v\(t)dt, 0 ^ ж ^ ¿i, (11)

Jo L -1

и(0,у) = т2(у) = [ Jo VX(y-t) u2(t)dt, 0^y^l2.

Jo 1

Пусть комплексное число А = jj?, А = Ai + i\2, ц = цi + i/J.2, А€ R.

Тогда и(х, у) = щ(х, у) + ш2(ж, у), й(ж, у) = ж, у) - ш2(ж, у).

Лемма 1. ¿/суш = 0, то для любого регулярного решения уравнения (2) имеет место при любом ж € [0, Zi] неравенство

Re Jia = Re f e~2atu(t,0) uy(t,0) dt ^ 0, a = const ^ \ц2\.

Jo

Доказательство. На основании формулы (11) и интегрального представления функции Бесселя

Mz) =

вычислим интеграл

у^Г(<? + 1/2)

пх rx rt

J\a = / e~2atVi(t) Ti(t)dt = / e~2atVi (t) / Jo[pi(t — s)]vi(s) ds dt =

Jo Jo Jo

= - Г e~2atMt) tvi(s)ds f1 (1 -£2)-1/2eip('t-8)id£dt = к Jo Jo J-1

1

-/ (1 -er1/2dU e

К J-1 Л)

“2ai / Mt)vi(s)e-{ll2+illl){t~sHdsdt. (12) Jo

Предварительно найдем:

ReMi)]7i(s)e^l(i-s)?] =

= Re (D'll(t)i'll(s) +z/i2(i)z/i2(s) +*(^l2(i)^ll(s) - Vn(t)vi2(s))] X X [cos /XI (t — s) £ + i sin Hi (t — s) £]) =

= Vii{t)vu{s) + vi2{t)vi2{s) COS Hi(t — s)

- v12(t)vn(s) - vn(t)v12(s) sin/il (t-s)£ =

= \v\l(t) COS/ii- г/12(t) sin/iii£] [^ll(s) COS/ii- Z/i2(s) sin/iis£] +

+ \v\l(t) sin/il+ Z/I2(i) C0s/iii£][z/ii(s) sin/iis£ - Z/I2(s) COS/iiS^]. (13)

Введём в рассмотрение вспомогательные функции:

pi(t,0 = [i'll(i) cos ¿tii£ - u12(t) sin/ilt(\ e_№i?;

^2^,0 = Wn(t) sin + u12(t) cos ßit(] e_it2i?;

Fi(t,0=[ Pi(s,g)ds, i = 1,2.

Jo

Тогда на основании формул (12) и (13) получим неравенство

X / -Pi(s,C)ds + P2(i,C) / P2(s,C)^l^ =

L JO JO

1 /•!

_L / n -а^-!/2

2тг

Д(1 -£2Г1/2 ^е-2*(“-^)^[^(^е) + F|(i,e)]dide =

= ^ (1 -C2r1/2(>iW) + ^1(^6] e-2æ(“-^2«+

+ 2(a - /л2£) £ [F?(t, 0 + ^2 6] e-2i(“-^2 « di) de ^ 0,

которое доказывает лемму 1. □

Лемма 2. Ebiu -иЦс2 = 0, то для любого регулярного решения уравнения (2) имеет место при любом у € [0,12] неравенство

¡■у

Re J2a = Re / e~2atu(0, t) ux(0, t) dt ^ 0.

J 0

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.

Лемма 3. Если и|г= 0, то справедливо неравенство

/ / u2dxdy ^ 9mes Do \Vu\2dxdy,

J JDq J JDq

где mes Do — площадь области Do ■

Доказательство. Отобразим область Do симметрично относительно оси Ох и полученную область обозначим Dq. Затем область Q\ = Dq U Dq U OA\ отобразим относительно оси Oy, получим область Q2. Теперь в области Q = Q\ U Q2 U А2В2, где В2(0, —12) — точка, симметричная точке А2, доопределим функцию и(х, у) чётным образом по обеим переменным, т. е. получим

О

функцию ü(x,y) ÇiW2(Q). Используя оценку [7, с.71]

2

1ЫЬ,п ^ -(mes Q)1/2||V-u||2,n,

получим

JJ й2с1хс1у ^ С,) II |Уй|2йхйу,

откуда после возвращения к области Д и следует справедливость доказываемой оценки. □

Теорема 2. Если в классе регулярных решений уравнения (2) существует решение задачи Трикоми, то оно единственно при всех А, удовлетворяющих неравенству

| Л| < 2Ке Л + р, р = 1/(9 шее Д))- (14)

Доказательство. Пусть из(х,у) = ехр(—а(х + у)) и(х, у), где а = = |/Х21 = |1т /х|, и(х, у) — решение однородной задачи Т, тогда из(х,у) в области £>о является решением уравнения

Ми) = и)хх + и)уу + 2 аи)х + 2аи}у + (2а2 — А)«; = 0.

Рассмотрим равенство

йзМи] = (^и]х)х + {й1и]у)у—7Шхи]х—7Шуи]у+2а7Ши]х+2а7Ши]у + (2а2 — \)\и]\2 = 0

и проинтегрируем его по области , полученной из Д при отходе внутрь нее на расстояние е > 0 от кривой Г и на расстояние 5 > 0 от отрезков ОА\ и ОА.2 • У полученного равенства выделим вещественную часть:

1 д , ,о | ,оЛ /1 д , ,о | ,оЛ

т;-^~\М + а\М ) + ЬгтНН +аИ

2 ох )х \2 ду /у

(1х (1у—

|Уіу|2 — Г1е (2а2 — А)|«;|2 (1х(1у = 0.

Применяя здесь формулу Грина, в пределе при є —>■ 0, 5 —> 0 с учётом граничного условия іу|г= 0 получим

// |Угу|2 с1х с1у + (Г1е А — 2а2) // \ии\2с1хс1у+

Во $В0

/*¿2

+ Г1е / е~2ах й(ж,0) иу(х,0) с1х + Г1е / е~2ау й(0,у) их(0,у) с1у = 0. (15) Уо ./о

В силу лемм 1 и 2 при 11е А ^ 2(1т ц)2 из равенства (15) следует единственность решения задачи Трикоми. А если —р < 11е А — 2(1т /х)2, то в силу равенства (15) и леммы 3 получим

// \Х7ъи\2 сіх сіу ^ — (Г1е А — 2а2) // \и)\2<1х(1у^

*/ Во ^ $ Во

Г1е А — 2а2 /■ /■ . |2 , ,

/ / |Угу| сіхсіу,

і іВп

^ --

' /До

откуда следует, что и(х, у) = 0 в D.

Запишем неравенство —р < Re Л — 2(Im ц)2 в другом виде. Так как Л = = ц2 = (hi + г/хг)2, то /л2 = ^(|А| + Re Л), /х| = ^(|А| — Re Л), поэтому получим неравенство

|А| < 2Re А + р,

что и требовалось доказать. □

Неравенство (14) можно привести к виду

(Re А + 2р/3)2 (ImA)2 о

—Ш---------------bhIW ' р/ '

т. е. на плоскости (А) получится внутренность правой ветви гиперболы с вершиной в точке (—2р/3,0).

Таким образом, решение задачи Трикоми для уравнения (2) единственно при всех А из указанной области.

Отметим, что в работе [8] была доказана единственность решения задачи Трикоми для уравнения (2) при Re А > 0, |Im A/Re А| ^ 2л/2.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А. В. Бицадзе, “О некоторых задачах для уравнений смешанного типа”// Докл. Акад. наук СССР, 1950. Т. 70, №4. С. 561-564. [А. V. Bicadze, “On some problems for mixed type equations” // Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1950. Vol. 70, no. 4. Pp. 561-564].

2. Т. Ш. Калъменов, “О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева—Бицадзе” // Диффер. уравн., 1977. Т. 13, №8. С. 1418-1425. [Т. Sh. Kal’menov, “The spectrum of the Tricomi problem for the Lavrent’ev-Bicadze equation” // Differ. Uravn., 1977. Vol. 13, no. 8. Pp. 1418-1425].

3. С. М. Пономарев, “К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева-Бицадзе” // Докл. Акад. наук СССР, 1978. Т. 238, №6. С. 1299-1302. [£. М. Ponomarev, “On the eigenvalue problem for the Lavrent’ev-Bicadze equation” // Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1978. Vol. 238, no. 6. Pp. 1299-1302].

4. E. И. Моисеев, Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: МГУ, 1988. 150 с. [Е. I. Moiseev, Equations of mixed type with a spectral parameter. Moscow: Moscow State Univ., 1988. 150 pp.]

5. К. Б. Сабитов, “О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром”// Диффер. уравн., 1986. Т. 22, №11. С. 1977-1984; англ. пер.: К. В. Sabitov, “Tricomi problem for the Lavrent’ev-Bitsadze equation with a spectral parameter” // Differ. Equ., 1986. Vol. 22. Pp. 1380-1386.

6. К. Б. Сабитов, “Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. 1”// Диффер. уравн., 1990. Т. 26, №6. С. 1023-1032; англ. пер.: К. В. Sabitov, “Construction in explicit form of solutions of the Darboux problems for the telegraph equation and its application in the inversion of integral equations. I” // Differ. Equ., 1990. Vol. 26, no. 6. Pp. 747-755.

7. О. А. Ладыженская, H. H. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с. [О. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, Linear and quasilinear equations of elliptic type. Moscow: Nauka, 1973. 576 pp.]

8. Ю. У. Талмирзаев, К теории краевых задач для уравнений смешанного типа с негладкой линией вырождения: Автореф. . .. канд. физ.-мат.наук: 01.01.02. Ташкент: АН Уз.ССР. Ин-т математики, 1980. 16 с. [ Yu. U. Talmirzaev, On the theory of boundary value problems for equations of mixed type with a smooth line of degeneracy: Ph.D. Thesis (Phys. & Math.). Tashkent: AN Uz.SSR. In-t matematiki, 1980. 16 pp.]

Поступила в редакцию 15/XI/2012; в окончательном варианте — 17/1/2013.

MSC: 35M10, 35M12

TRICOMI PROBLEM FOR A MIXED TYPE EQUATION WITH TWO LINES OF TYPE CHANGING IN A SPECIAL AREA

A. A. Gimaltdinova

1 Samara State Academy of Social and Humanities,

65/67, M. Gorky St., Samara, 443099, Russia.

2 Sterlitamak Branch of Bashkir State University,

47 a, Lenin St., Sterlitamak, 453103, Russia.

E-mail: g_alfira&mail.ru

We obtain conditions on the complex parameter, when there is an unique solution of the Tricomi problem for an equation with two perpendicular lines of degeneracy.

Key words: Tricomi problem, mixed type equation, uniqueness of solution.

Original article submitted 15/XI/2012; revision submitted 17/1/2013.

Alfira A. Gimaltdinova (Ph. D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept, of Mathematics and Teaching Methods1; Associate Professor, Dept, of Mathematical Analysis2.