О линиях одинаковых прецессий на сфере Пуассона в случае равномерного вращения несимметричного гироскопа Текст научной статьи по специальности «Математика»

3 Должиков С.Н., Парамзин В.П., Сенкевиц И.В. Граф-модель тягового электродвигателя тепловоза. Исследование надежности и экономичности дизельного подвижного состава. ОмИИТ. Омск:1978

4 Электровоз ВЛ8. Руководство по эксплуатации. М.: Транспорт, 1971. 311 с.

5 Справочник по электроподвижному составу, тепловозам и дизель-поездам. Том 1 Под ред. А. И. Тищенко. М.:Транспорт 1976, 432 с.

УДК 531.38

Мосияш Т.А., к.ф.-м.н., доцент (ДонИЖТ) Коваль В.И., к.ф.-м.н., доцент (ДонНАСА)

О ЛИНИЯХ ОДИНАКОВЫХ ПРЕЦЕССИЙ НА СФЕРЕ ПУАССОНА В СЛУЧАЕ РАВНОМЕРНОГО ВРАЩЕНИЯ НЕСИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА

Исходные соотношения. Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела, опирающегося на неподвижную точку О, в векторном виде запишем в обозначениях работы [1]:

ЖБ — __ _ Жп _ _

-= Б ха + (п хг0)О — = п ха (1)

Ж ' Ж '

где п = (£, т], д) - неподвижный в пространстве единичный вектор, направленный из точки опоры вертикально вверх;

г0 = (х0,у0,вектор, указывающий положение центра тяжести гироскопа; а = (ах ,ау ,аг) - вектор угловой скорости;

Б = (Аах, Вау, Саг)- вектор мгновенного вращательного импульса, а А, В, С - главные моменты инерции гироскопа;

G - вес гироскопа.

Вращения твердого тела, при которых компоненты векторов Б и п во время движения сохраняют постоянные значения, называют стационарными или перманентными. В этом случае выражения правых частей уравнений (1) удовлетворяют условиям

Б Х0 + (п хт0)0 = 0, п хй = 0. (2)

Гироскоп совершает перманентные вращения вокруг вертикали с угловой скоростью

< = а£, <У = <п, сог = сд, (3)

где с - модуль угловой скорости тела, а компоненты вектора п удовлетворяют геометрическому интегралу

Г + П + д2 = 1. (4)

Учитывая (3), из первого равенства (2) получаем п х (г00 - Б о) = 0. Отсюда следует, что вектор п , а значит и вектор <, лежит в плоскости векторов г0 и Б . Поскольку эта плоскость содержит вектор вертикали п , то векторы г0 и Б расположены в вертикальной плоскости. Нахождение оси вращения определяемой вектором п в системе координат связанной с гироскопом при известном распределении масс А, В, С и заданном положении центра масс г0 является прямой задачей, решение которой имеется в [1] и там же отмечено, что векторы п и г0 лежат на образующих конуса Штауде

(В - С)Су<Х0 + (С - А)<<хУ0 + (А - В)с<у20 = (5)

В настоящей работе решается обратная задача, состоящая в определении центра тяжести тела при заданных моментах инерции, весе и известной угловой скорости перманентного вращения гироскопа. В [2] рассмотрены частные случаи ее решения.

Центр масс тела. С целью определения координат вектора г0 проектируем первое векторное равенство (2) на оси координат Оху2, связанные с гироскопом:

(С - В)< 2дц = (пез - дв2 , (С - А)< 2д£ = (£еъ - дех ,

(В- А)<П = (^-щх)ф. (6)

Одно из этих уравнений является линейной комбинацией двух других. В связи с этим из (6) при условии д^ 0 находим координаты

Х0 =й

JL

(C - Л)д G

2Л

Уо =п

z0 (C - B)a

2Л

Я

G

При внесении этих значений в (5) получаем тождество, из которого координату 20 нельзя выразить как функцию числовых характеристик задачи. Ее можно найти из соотношения

2,2,2 2 Х0 + Уо + z0 = r0

(8)

полагая r0 известной величиной. Положение вектора r определим через его направляющие косинусы - координаты единичного вектора e = (ex,e2, e3), при этом имеют место равенства

x0 = r0ei , y0 = r0e2 , z0 = r0e3 . (9)

Векторы n и e находятся в центральной вертикальной плоскости и образуют угол 9, называемый углом прецессии:

n ■ e = cos 9. (10)

Если cos9> 0, то центр масс тела находится выше точки опоры, при значении cos9< 0 он будет ниже опоры, центр масс расположен в горизонтальной плоскости неподвижного пространства, когда cos = 0 , а значения cos9 = ±1 указывают на то, что центр масс находится на оси вращения. В связи с этим полагаем 9 е [0;^].

Пусть моменты инерции гироскопа удовлетворяют неравенствам

Л < B < C . (11)

Учитывая зависимости (7) и (9), равенство (8) запишем в виде

e32 -2e3g(u£2 + vт]2) + g2(u2£2 + vV -1) = 0, (12)

при этом использованы новые параметры

22 u = (C-Л)^, v = (C-B)^, (13)

r0G r0G

принимающие при условии (11) положительные значения

0 < V < и . (14)

Обращение к таким параметрам неслучайно. Если считать х0 = у0 = 0, то центр масс гироскопа находиться на главной оси Ох и равномерные вращения его вокруг этой оси будут устойчивыми при выполнении условий [3]: (С - А)<2 - х0О > 0, (С -В)< -100 > 0 или в обозначениях данной работы эти условия выглядят так и > 1, V > 1.

Уравнение (12) имеет действительные корни

е3 =дЫ2 + ±д/(и£2 + V)2 - и2£2 - V V +1 ], (15)

если выполнено условие 0 < (и%2 + ^2)2 - и2£2 - V2ц2 +1. Записывая (7) в виде

е1 =£(е3/ д- е2 = п(е31 д- (16)

и учитывая (15), вычисляем (10):

со$0 = ±7сй?Г+П)Г-и2?Г-7П171 (17)

Таким образом, при фиксированных значениях и, V положение центра масс в центральной плоскости относительно вертикали, проходящей через неподвижную точку, найдено в виде (15), (16) и зависит от значения функции /(£,п) = (и£2 + уп2)2 - и2%2 - V2ц2 +1, удовлетворяющие условиям

0 < / (£п) < 1, (18)

и изменяющиеся от выбора положения оси вращения.

В первой четверти плоскости параметров Ош выделяем множество точек (и; V), удовлетворяющие условию (14) и принадлежащие области Ж, которая ограничена прямыми линиями V = 0 и и = V. Равенство моментов инерций С = В и А = В выполняются соответственно на лучах V = 0 и и = V, а в точке начало координат имеем А = В = С . Соотношениями (13) связаны шесть числовых характеристик, определяющих равномерное вращение гироскопа. Выбирая точку (и; V) в области Ж, из уравнений (13) можно определить две величины из шести. Для заданного распределения масс (11)

в области W соответствует луч, выходящий из начало координат и имеющий тангенс угла наклона:

<g¿=<C-JA=-• (19)

C - A u

Положение точки (u; у) на этом луче зависит пропорционально от значения квадрата угловой скорости вращения а2 и обратно пропорционально произведению г0О. В частности, полагая известными угловую скорости

а2, вес О и выбирая параметр и, из выражения (19) находим величину

V = и • tgЯ, (20)

а из первого равенства (13) определяем длину вектора г0:

а2(С - А)

г0 =■

иО

Области решения системы (4), (18). Введем обозначения

к = £2, к2 =Л\ къ = д2 (21) и в новых переменных система принимает вид

0 < (ик + ук2 - 0.5и)2 - 0.25и2 + у(и -у)к2 +1 = /1(к1,Ь2), (22)

/2(^, к2) = (ик + ук2)2 - и2 к - V2 к2 < 0 , (23)

к1 + к2 + к3 = 1. (24)

Зависящие от значений параметров и, V решения системы (22) - (24) принадлежат первому квадранту координатного пространства Ок1к2к3. Решения неравенств (22), (23) находятся в треугольной области

Б = {(к,;к2): 0 < к, < 1,0 < к2 < 1 - к,}. (25)

Равенствами /1(к1, к2) = 0, /2(к1, к2) = 0 в (22), (23) определяются

соответственно уравнения парабол 11, 12, между которыми могут

располагаться одно или несколько множеств точек /И2) совместного выполнения условий (22), (23). Одновременно эти линии являются направляющими цилиндрических поверхностей. В результате пересечения последних и плоскостей / = 0, /2 = 0 с плоскостью (24) образуются в ней области точек (А1;/2;/3) решений системы (22) - (24).

Параболы /1, 12 образуют одно семейство, а их вершины принадлежат прямой

и/1 + vh2 = 0.5и . (26)

Записывая последнее уравнение в виде /^ + /2 • tgЛ = 0.5, отмечаем, что положение этой прямой не изменяется относительно области Б для точек (и, V) одного луча (20). Парабола /2 проходит через вершины (0;0), (1;0), (0;1) треугольной области (25) при любых значениях параметров и, V, удовлетворяющих условиям (14). Это единственные точки области Б, в которых функция /2(/1,/2) = 0 и соБ0 = ±1, а для остальных значений и, V из

области Б значения /2(/1,/2) <0 и |соб 0|< 1. Действительно, записывая функцию (23) в виде квадратичной формы и2(^-1)^ + + v2(h2 -1)^ относительно величин и, V и вычисляя ее дискриминант ё = -/гД^ < 0, получим требуемый результат. Точки (0;0) , (1;0) , (0;1) примечательны еще и тем, что в каждой из них гироскоп совершает равномерное вращение вокруг главной оси координат, на которой находится его центр масс [1].

Вершина параболы /2 задана координатами

/ =1^, /2 =—, (27) 4(и - V) 4v(u - V)

при этом значение /2 > 0 в области Ж. Учитывая соотношение (19), систему уравнений (27) можно рассматривать как параметрическое уравнение кривой /3, которая является множеством положений вершины параболы /2, а явное уравнение имеет вид /2 = (2/1 -1)2/(1 -4/1). Кривая /3 состоит из двух ветвей. Ветвь, точки которой имеют координату /2 < 0, исключим из рассмотрения. Соответствующая положительным значениям /2 ветвь проходит через единственную точку области Б - вершину треугольника (0;1), в которой координата /2 достигает наименьшего значения, и этой точкой делится на две части /3-, /3+. При условии и < 2v значения (27)

удовлетворяют уравнению линии /3-, при этом величина к1 отрицательная. Точки линии /3- с ее наклонной асимптоты к + к2 = 0.75 сближаются и значения к ^-оо, к2 ^го, когда угловой коэффициент луча (26) tgЛ ^ 1. Между прямыми линиями \= 0 и к = 0.25 расположена кривая /3+. При выполнении неравенства и > 2у вершина параболы /2 находится на ней. Кривая /3+ и вертикальная асимптота к = 0.25 сближаются и координата к2 , когда tgЛ ^ 0. Итак, вершина параболы /2 находится вне области Б или совпадает с вершиной (0;1) треугольника при выполнении одного из условий и ^ 2у или и = 2у. В связи с этим все гироскопы с моментами инерции (11) разделим на три вида. К первому виду отнесем гироскопы, для которых выполнено равенство С - В = В - А, для гироскопов второго вида имеем условие В - А < С - В, а для третьего вида получаем В - А > С - В. На предельных лучах V = 0 и и = V парабола /2 распадается на две параллельные прямые к1 = 0, к1 = 1 и к1 + к2 = 0, к + к = 1 соответственно.

Укажем основные типы разбиения области Б на подобласти, которое осуществляется второй параболой /1 при различных значениях параметров и, V. Вершина параболы /1 определяется соотношениями

к 1 - и - 4 , к2 = и - 4 . (28) 1 2 4и(и - V) 2 4v(u - V)

Координаты к > 0, к2 < 0 для значений и < 2. Поэтому область Б, расположенная между параболами и не имеющая общих точек с линией /1 , является областью решения обратной задачи. Множество точек (и; V) области Ж, удовлетворяющие условиям и < 2 и (14), обозначим Ж0. Парабола /1 с катетом к2 = 0 имеет общую точку (к; к2) = (0.5;0) при условии и = 2. Так как в этом случае координаты п = 0, в2 = 0 и соъв = 0, то центр масс гироскопа находиться на координатной плоскости 0x2, которой принадлежит направляющий вектор п = = (±1Д/2,0,±1/>/2) оси вращения, составляющий с вектором е = (-£, 0, д) прямой угол. Для значений и > 2 кривая /1 имеет с прямой к2 = 0 точки пересечения

к = 0.5 -V0.25 - и, к1= 0.5 + >/0.25 - и. (29)

Ограниченный этими точками отрезок катета /2 = 0 и та часть параболы /1, которая расположена в области Б, образуют границу области Б0. Для значений //, /2 из этой области, включая интервал (//', //', функция /(/1, /2) < 0 и равномерные вращения гироскопа не существуют. При значении V = 2 парабола /1 касается второго катета \ = 0 в точке /2 = 0.5, а затем при условии V > 2 имеет со стороной треугольника две общие точки

/2 = 0.5 -V0.25 -V, /2 = 0.5 + >/0.25 -V.

Гипотенуза треугольника / + /2 = 1 и парабола /1 имеют вначале касание в точке /2 = 0.5, а потом пересечения в точках

/21 = 0.5 -^10.25 - (и - V)-2 , /22 = 0.5 + ^0.25 - (и - V)-2 .

при условии и - V > 2. Описанная последовательность перемещения параболы /1 в области Б выполняется при условии и < 2v и осуществляется

наоборот, когда и > 2v, а в случае равенства и = 2v парабола имеет одновременное касание с катетом и гипотенузой.

В области Ж проведем прямые и = 2, V = 2, и - V = 2, которые вместе с линиями V = 0, и = V выделяют области Ж1, Ж21, Ж22, Ж3. Координаты точки (и; V) из треугольной области Ж1 удовлетворяют неравенствам и > 2, V < 2 и и - V < 2, а поэтому кривая /1 разделяет треугольную область Б на две подобласти Б1, Б0. Обратная задача имеет решение в первой из них, а во второй оно отсутствует. В областях Ж21, Ж22, которые ограничивают прямые и = V, V = 2, и - V = 2 и V = 0, V = 2, и - V = 2 соответственно, кривая /1

представлена в области Б двумя участками. Они разделяют область Б на множества Б21, Б22 решения задачи и множество Б0 его отсутствия и существуют только для гироскопов второго и третьего типов. Для гироскопов второго типа точка (и; V) ёЖ21. Соответствующая область Б21 ограничена катетами \= 0, /2 = 0 и одной ветвью параболы /1. Участок этой кривой /1- ограничен точками (//';0), (0; /2) и определяется явным уравнением

\ = 0.5 - /2 • tgЛ - ^0 25 - и- - tgЛ(1 - tgX)h2 . (30)

Для наибольшей части точек области Ж21 границу множества Б'22 составляют все стороны треугольной области (25) и вторая ветвь параболы /1 , проходящая через точки к1 , к2 и характеризуемая уравнением

к = 0.5 - к2 • tgЛ + ^ 0.25 - и - к2 • tgЛ(1 - tgЛ) . (31)

Вершина (28) параболы /1 принадлежит катету \= 0, когда значения и, V удовлетворяют уравнению V = 0.5(и2 - 4)/и, а поэтому принадлежат кривой 51, которая с граничными линиями V = 2, и = V имеет общую точку (2;2) и пересекает третью и - V = 2. Вершина находиться внутри области Б для значений и, V взятые из той части области Ж21, которая прилегает к области Ж и ограничена линиями V = 2, и - V = 2 и В последнем случае участок кривой /1, составляющий границу области Б'22, представим в виде /± = /- + /1+ и описывается уравнениями (30), (31).

Рассмотрим область Ж22. Первый участок /~ параболы /1 пересекает границу области Б в точках к, к22 и описывается только уравнением (30), когда точка (и; V) не принадлежит области, ограниченной прямыми линиями V = 0, и - V = 2 и кривой s2, определяемой уравнением V = 0.5(и2 + 4)/ и . В противном случае эту часть границы области Б2 1 удобно описывать явными уравнениями (30), (31). Второй участок /+ параболы /1 является составной частью границы области Б2 2 , проходит через точки к1 , к21 и задан уравнением (31).

Для каждой точки (и; V) еЖ3, координаты которых удовлетворяют

условиям V> 2, и > V + 2, парабола /1 в области Б представлена тремя участками, проходящие через следующие пары точек к и к'2, к' и к21, Ъ'2' и к22, и разделяющие треугольную область (25) на четыре множества Б31, Б32, Б33, Б0. Нумерацию областей Б31 I = 1,2,3 проводим от прямого угла области Б по направлению движения часовой стрелки. Описание границы областей Б31 и Б33 будет таким же, как у областей Б21 и Б". Кривые ^, проходят через область Ж3, располагаясь по разные стороны прямой и = 2v, которая является их асимптотой, и сближаются, когда и ^ о. Граница области Б32, проходящая через точки к'2 ' и к22, описывается аналогично тому, как кривая /1 представлена в области Б22 или в области Б2 1 в зависимости от типа гироскопа.

Линии одинаковых прецессий. Для фиксированных значений u, v области W0 график параболы l1 в плоскости Ohyh2 указывает такие точки hh2), которые области D не принадлежат. Если точка (h1;h2) е D, то функция f1(hj,h2), принимает в ней значение f1(h1,h2) = cos2 в, а поэтому имеет место равенство

(uhj + vh2)2 - u2h - v2h2 + sin2 в = 0. (32)

Это уравнение описывает параболу 1в, которая принадлежит семейству парабол l, l2 и расположена между ними, так как при значениях sin в = 0 и sin2 в = 1 совпадает с одной из них. Поскольку sin2 в е (0;1), то найдется такое значение в = в„, при котором парабола 1в имеет в области D единственную точку h = 0.5, h2 = 0. При этих значениях из (32) находим величину угла в: u = 2sinв„. Меняя значение sin2 в в интервале (0;sin2 в„), построим семейство парабол в, которые проходят через треугольную область D. Каждая парабола состоит из тех точек (h1, h2) области D, для которых величина угла в между осью вращения и прямой несущей центр масс гироскопа остается постоянной. Однако не все параболы семейства 1в остаются цельными и непрерывными в области D. Для каждого типа гироскопов выделим вначале те параболы 1в, которые касаются катета \= 0 и гипотенузы hj + h2 = 1 треугольной области (25). Соответствующие значения угла в определим из уравнения v = 2sin в1 или u - v = 2sin в2.

Для гироскопа первого типа имеем равенство в1 =в2 =в12, что означает одновременное касание одной параболой 1в указанных сторон треугольника. Неравенства в2 < в < в„ выполняются для гироскопов второго типа, а неравенства в, < в2 < в„ для гироскопов третьего типа, и означают, что парабола 1в касается катета h, = 0, а парабола lв - гипотенузы hí + h2 = 1. Парабола 1в является неразрывной кривой в области D и имеет две точки пересечения

h' = 0.5 0.25 - sin2 вu2 , <= 0.5 + J0.25 - sin2 в/u2 (33)

с ее границей при значении в>в12, или ве (в1;в„), или ве (в2;в„). Неразрывными еще остаются кривые 1в , 1в и lв , которые дополнительно к указанным точкам имеют точки касания с границей области.

Выделяемая значением в<в12 парабола / имеет пересечения со всеми сторонами треугольной области в точках (33) и

h = 0.5 0.25 - sin2 в/v2 , h"2 = 0.5 + J0.25 - sin2 в/v2 , (34)

h21 = 0.5 -у]0.25 - sin2 в/(u - v)2 , h22 = 0.5 + J0.25 - sin2 в/(u - v)2 (35)

и разделяется областью Б на три участка. Нумерацию участков проводим от прямого угла области D по направлению движения часовой стрелки. Первый участок /¡- расположен между точками h', h'2 и характеризуется уравнением

h = 0.5 -h2tgX -yl0.25 - sin2 в/u2 - tgÁ(1 - tgX)h2 , (36)

второй í1± заключен между точками hfl, h22 и описывается неявным уравнением (32) параболы 1в, а третий участок находится между точками h", h21 и задан уравнением второй ветви параболы

\ = 0.5 - h2tgX + ^0.25 - sin2 в/u2 - tgÁ(1 - tgX)h2 , (37)

Необходимо отметить, что эти участки уменьшаются, когда в ^ 0.

У гироскопов второго и третьего типов существуют интервалы (в2;в')и (в,;в2) изменения величины в, которые отсутствуют у гироскопов

первого типа. Взятому из интервала (<92;<91) (или (<91;<92)) значению в

соответствуют в области D парабола 1в и ее два участка , /¡+ (или , /¡±,

или 11±, /¡+), находящиеся между следующими парами точек h', h%2 и h', h?

(или h, h22 и h", h21). Явное описание этих участков зависит от положения

г 1 u2 - 4 sin2 в , u2 - 4sin2 в вершины параболы 1в: hl=---, h2 =- относительно

2 4u (u - v) 4v(u - v)

области D . Из равенства sin2 в3 = 0.25(2v - u)u (или sin2 в3 = 0.25(u - 2v)u ) находим величину угла в3 и параболу , вершина которой принадлежит катету (или гипотенузе). Условие в3 =в2 (или в3 = /) имеет место для таких точек (u; v), которые принадлежат лучу v = (2 -V)u (или v = (V - 1)u). Поэтому величина в3 не принадлежит интервалам (в2;/) и (вв), когда

точка (и; V) взята на луче с угловым коэффициентом tgЛ е (V -1; 2 - >/2). В случае 0.5 < tgЛ< 2 -V первый участок параболы /в определен

уравнением (36), а второй %± описывается уравнениями (36), (37). Для неравенства 0.5 > tgЛ>^Í2 -1 первый участок /¡± задан уравнениями (36), (37), а второй /%+ уравнением (37). Рассмотрим точки (и;V) еЖ0 на лучах с угловыми коэффициентами tgЛ е (0; V -1) и и(2 - V; 1). В случае tgЛ е (1;2 -V) выполняются условия в%2 < в%3 < б^. Вторые участки /^ парабол /в, отвечающие значениям ве (9Ъ;9Х), описываются уравнениями (36), (37) и эти участки заданы только уравнением (37), когда угол в е (<92;6%3). Во втором случае, когда tgЛе (0;Т2 -1), величина в%3 е (в%1;в%2). Тогда первый участок параболы /в характеризуется уравнениями (36), (37), если величина в е (в%3; <92), и только уравнением (36) при значении в е в1в3].

Остались не использованными интервалы (0;в2) и (0;91) изменения величины в . Соответствующая первому интервалу парабола / в имеет три участка в треугольной области. Описание ее первого и третьего участков осуществляется уравнением (36) и (37), а вот описание второго участка зависит от того, что принадлежит ли области Б вершина параболы / или не принадлежит. Эта ситуация описана в случае, когда кривая представлена двумя участками. Подобное можно сказать и о втором интервале.

Линии одинаковых прецессий на сфере Пуассона. Используем полученное разбиение области Ж на подобласти Ж1 1 = 0,1,2,3. Для любой точки (и; V) одной из них известно расположение семейства парабол /2, /1, / в в области Б. Учитывая соотношения (21), (24), найдем отображение этих линий на поверхность (4), названную пуассоновской сферой. Результаты отображения в виде множеств точек или кривых сферы обозначим Ь2, Ц, Ьв соответственно. Вершины треугольной области (25) как общие точки области Б и кривой /2 отображаются в полюсы сферы р1 1 = 1,2,3, то есть

точки (±1; 0;0), (0; ±1;0), (0;0; ±1), в которых оси системы координат пересекают сферу (4), при этом нижний индекс 1 определяет координатную ось, а верхний символ ''+'' показывает, что точка принадлежит положительной полуоси, и символ "-" - отрицательной. Полюсы р1 образуют множество Ь2, неизменное в области Ж и не зависящее от значений параметра в . Множество Ц =0, когда точка (и; V) принадлежит области Ж0, а множество Ьв при значении в = в„<ж/2 имеет четыре точки

(± 1Д/2;0; ± 1Д/2) сферы (4), которые обозначим Ы'п I = 1,2,3,4, где индекс I

указывает номер четверти дуги ее расположения. В этом случае ось вращения и прямая, несущая центр масс гироскопа, находятся в координатной плоскости п = 0. Ось вращения проходит через одну из четырех точек множества , а соответствующие положение

направляющего вектора е центра масс вычисляются по формулам (15), (16). Рассмотрим формирование множества Ь0 для гироскопов разных типов.

Гироскопы первого типа. Плоскости £ = 0, д = 0 делят сферу (4) на четыре части. Каждой из них принадлежит только одна точка Ы'п I = 1,2,3,4. Так как кривая /в в области Б непрерывная при условии 0>012, то ее отображением на сфере (4) будут замкнутые линии Л| I = 1,2,3,4. При выполнении строгого неравенства они, симметричные относительно плоскости п = 0 и пересекающие ее в точках = -уЩ, £ = или £~ = -^Щ,

£2- = ->/, не имеют между собой общих точек пересечения. Множество Ьд

представим как совокупность кривых лд I = 1,2,3,4, которые симметричные

относительно плоскости £ = 0 и д = 0. Меняя величину 0 в интервале ((%12;0„),

построим около точки N семейство замкнутых линий лд. Оно ограничено

кривой Л^ , которую получим при значении 0 = в12. Объединением

замкнутых линий Л^ I = 1,2,3,4 является множество Ьд . Тогда кривая Ьд

является граничной для семейств линий Лв I = 1,2,3,4. Точки (34) области Б

отображаются в точки Ы£ у = 1,2,3,4 плоскости £ = 0 с координатами

П = ±1/л/2, д = ±1/>/2, а точки (35) - в точки Ы'д у = 1,2,3,4 плоскости д = 0 с

координатами £ = ±1/>/2, п = ±1Д/2. Расположенные рядом кривые Л д двух

частей сферы имеют между собой касание в двух точках Ы£ (или ыд).

Кривая Ьд2 разделяет сферу на области I = 1,2,3,4 и у = 1,2,3,

которым соответственно принадлежат точки Ып I = 1,2,3,4 и Р± у = 1,2,3 .

Ограниченные точками ы£, ы£ и ыд, Ыд участки линий Л1^, Л^ и Л1^, Л4,2

образуют границу области и . Одна из кривых Л д I = 1,2,3,4 проходит

через одну пару следующих точек ы£ и ы£, Ы£ и ыд, Ы£ и ыд, Ы£ и ыд.

Выделяемые этими точками участки этих кривых образуют границу области 8р2. Области I = 1,2,3 имеют симметричные .

Значениям 0е (0;012) соответствуют три участка , /1±, кривой /д в области Б . Каждый участок имеет свой образ на сфере и свою область

расположения. Определяемый уравнением (36) первый участок % кривой 1д представлен на сфере кривыми Л±3 е Sp, которые образуют множество Ьв3 и

пересекают плоскости £ = 0, п = 0 в точках rfi = и £± =

соответственно. Каждая кривая Л±3 состоит из четырех симметричных между собой участков, определяемых системой уравнений (4),

£ = ±0.5 - П • tgX - ^025 - sin2 дди2 - tgX(1 - tgX)rf , (38)

когда координата п изменяется на отрезке [0;п1+ ] или [п1- ;0]. Последние уменьшаются и их длина стремиться к нулю, когда величина д ^ 0. Кривые Л±1, которые обхватывают полюсы оси О£, образуют множество Ьд1. Эти

линии пересекают плоскости п = 0, я = 0 соответственно в точках £2± = ±^/hf, п3± = ±y[h%2ñ и характеризуются уравнениями

£ = ±0.5 - п2 • tgX + 0.25 - sin2 g¡u2 - tgX(1 - tgX)n2 . (39)

Здесь учитывались значения (33), (35) и уравнение (37). Второй участок %± кривой l имеет на сфере четыре образа, которые последовательно соединяются в точках п± = , п± = и образуют замкнутую линию

Л±2 около оси Оп. Множество Lg2 содержит две эти линии и каждая из них задана уравнениями (38), (39).

При значении и = 2 величина д„=ж/2 и множество L1 = L^, а значит

угол между векторами n, e прямой и центр масс находиться в горизонтальной плоскости, перпендикулярной оси вращения. Картина расположения линий Л д на сфере не изменится для значений д е (0;п/2) от выше изложенного случая. В связи с этим точки прямой и = 2 в интервале (0; 2) изменения параметра v отнесем к множеству W0.

В области W1 сфера перестает быть односвязной. На ней около точек N'n i = 1,2,3,4 образуются при значении и е (2;4) замкнутые линии Л0 i = 1,2, 3,4, которые пересекают плоскости п = 0 в точках ££ = -yjh¡, ££ =->Щ, ££ = -Jh', £2 = -s/h (см. (29)) и описываются уравнениями (4) и

£ = ±0.5 - h2 • tgX - ^025 - и~2 - tgX(1 - tgX)h2 ,

£ = ±0.5 - /2 • tgЛ + 70.25 - и- tgЛ(1 - tgЛ)h2 ,

когда К1 е[0;К2], а значение К2 находим из (28). Эти линии выделяют область Д, как множество точек решения обратной задачи, и области Б0 I = 1,2,3,4, содержащие точки Ы'п и другие точки сферы, через которые ось вращения

проходить не может, а поэтому не существует равномерное вращение гироскопа. Для осей равномерного вращения, проходящих через кривую Лг0, центр масс гироскопа находиться в горизонтальной плоскости, которой принадлежит неподвижная точка. Когда параметр и увеличивается и значение и ^ 4, то области Б0 расширяются, не имея между собой общих точек. Они появятся при достижении равенства и = 4. Кривая Ц = иЛ0 I = 1,2,3,4 является образом параболы /1 на сфере, разделяет ее на области Б0 I = 1,2,3,4, Бр у = 1,2,3, при этом Д = ^Бр , и проходит через точки Ы£, ыд у = 1,2,3,4. Одна из этих точек является общей для двух областей Бр из шести решения обратной задачи и двух областей Б0 из четырех его отсутствия. Отметим, что в областях Бр у = 1,2,3 расположены линии Лд у = 1,2,3 соответствующие трем участкам параболы /в, когда 0 е (0; п/ 2).

В области Ж3, где величина и > 4, на сфере имеем три пары изолированных областей Бр у = 1,2,3 симметрично расположенных относительно координатных плоскостей, которые разделены областью Б0 . Ее границу образуют линии Л±у у = 1,2,3, являющиеся образами трех участков /1-, /±2, /1+ параболы /1 в области Б. Области Бр уменьшаются,

когда величина и ^ю, но в каждой из них остается неизменным интервал (0;п/2) изменения величины 0.

Гироскопы второго и третьего типов. Образование линий Л1 и Л0 на

сфере Пуассона для них отличаются от гироскопов первого типа. Рассмотрим два луча wi I = 1,2. Первый из них w1 проходит выше прямой и = 2v, а другой w2 - ниже. Пусть точка (и; V) из множества Ж0 находится на луче w1. При условии 02 < д < 0„ кривые Л| I = 1,2,3,4 имеют между собой касания в точках ы£ плоскости £ = 0 и образуют границу для областей , I = 1,2,3,4 и 5%1. Если параметр 0е (01;0„), то кривые Л| расположены внутри области . Парабола /^ имеет в области Б два участка. Образы первого участка принадлежат областям 8рг, а кривые Л| I = 1,2,

соответствующие второму участку, касаются в точках Щ плоскости д = 0 и образуют границу для областей $± и , . Последние попеременно чередуются и образуют замкнутую цепь областей, соединенных в точках Щ. Эта группа областей отделена областями $± от первой группы. Области

$± содержат кривые лд, которые соответствуют вторым участкам линии ¡д и получены для значений д е дд). В случае д е (0;д2) три участка кривой ¡в представлены на сфере тремя семействами линий Лд] ] = 1,2,3 . Каждое семейство линий Лд:1 находится в одной из области .

Рассмотрим перемещение точки (и; V) по лучу w1. Парабола ¡1 совершает три касания с прямоугольной треугольной областью В. Первое внешнее касание парабола ¡1 имеет с катетом к2 = 0 в точках Щ I = 1,2,3,4

при значении и = 2. Второе касание, но уже внутреннее, происходит со вторым катетом И1= 0 в точках Щ I = 1,2,3,4, когда V = 2. Между этими

касаниями в областях ЯЩ появляются области В0 I = 1,2,3,4 отсутствия

решения обратной задачи. Они расширяются при увеличении координаты и е Ж, не имея между собой общих точек. Общие точки Щ касания появятся

у областей В0 при значении и = 2^ А . В этом случае кривые Л0 I = 1,2,3,4 образуют границу Ц = оЛг0 для областей В0, , $1. В области Ж21 парабола ¡1 представлена двумя участками на В. Образы первого участка на сфере ограничивают области Яр, а второго участка - области $±. Эти множества разделяются областями В0+ и В-, которые получаются в результате слияния областей В1, В02 и В3, В04 соответственно. Дальнейшее увеличение величины и приводит к уменьшению областей , $±. Исчезновение областей $1 происходит тогда, когда парабола ¡1 с гипотенузой И2 = 1 касаются в третий раз. Эта ситуация реализуется для точек прямой и - V = 2, которая разделяет области Ж21 и Ж3. Цепочка из областей ,

распадается, когда точка (и; V) попадает в область Ж3. Расположение линий Л±] в областях ] = 1; 2;3 описано в предыдущем случае.

Пусть точка (и; V) находится на луче w2. Полную картину о расположении линий Лд одинаковых прецессий гироскопа на сфере Пуассона получим, если в выше изложенных рассуждениях учитывать, что при выполнении неравенства д <д2 < д„ происходит смена очередности

второго и третьего касания, и осуществить перестановку обозначений и

, ыд и ы£.

р1 ' д £

Выводы и практические рекомендации. Выше изложенные исследования показали: во-первых, любой несимметричный гироскоп, совершающий равномерные вращения вокруг вертикали, определен параметрами и, V в области Ж; во-вторых, каждой паре значений (и,V) еЖ соответствует на сфере Пуассона области решения обратной задачи; в-третьих, равномерное вращение гироскопа существует, если выбранная ось вращения пересекает одну из областей решения задачи, тогда согласно (17) находиться угол прецессии 0 и линия Л'в одинаковых прецессий, через которую проходит ось, а затем вычисляются направляющие косинусы прямой несущей центр масс; в-четвертых, если сначала задать величину угла прецессии 0 , то в областях решения задачи на кривых Л1в выбирается

положение оси равномерного вращения и далее находиться положение центра масс. Новые результаты, дополняющие ранее известные [1,2].

Эти результаты могут быть использованы при проектировании гироскопических приборов наведения, позволяющих с большой достоверностью определять траекторию движения состава вдоль железнодорожного полотна.

Список литературы

1. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. В 2-х т. Т.1. М. - Л.: Изд-во ин. литер. - 1952. - 347 С.

2. Мосияш Т.А, Коваль В.И. О положении центра масс несимметричного тяжелого гироскопа в частных случаях равномерного вращения// Сб. науч. работ. -Донецк: ДонИЖТ, - 2005. - Вып. №4. - С.62-76.

3. Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела// Прикл. математика и механика. - 1956. - 20, вып.1. - С.50-66.