О квазикорректности разрывных граничных задач мембранной теории выпуклых оболочек Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223

О КВАЗИКОРРЕКТНОСТИ РАЗРЫВНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ МЕМБРАННОЙ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК*

© 2014 г. Е.В. Тюриков

Тюриков Евгений Владимирович - кандидат физико- Tyurikov Evgeniy Vladimirovich - Candidate of Physical and математических наук, доцент, кафедра геометрии, факуль- Mathematical Science, Associate Professor, Geometry De-mem математики, механики и компьютерных наук, Южный partment, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, Science, Southern Federal University, Milchakov St., 8а, Ros-344090, e-mail: [email protected]. tov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: [email protected].

В рамках мембранной теории выпуклых оболочек рассмотрена разрывная граничная задача об определении поля смещений, совместимого с кинематическим условием втулочных связей. Найден геометрический критерий безусловной разрешимости. Дано описание классов оболочек, для которых рассматриваемая задача и задача нахождения поля напряжений, совместимого с физическими краевыми условиями втулочных связей, квазикорректны.

Ключевые слова: выпуклая оболочка, втулочная связь, задача Римана-Гильберта, квазикорректность.

The discontinuous boundary value problem of the membrane theory of shells is under consideration. The displacement pole compatible with bush coupling is search. The geometrical criteria of the unconditional solvability is established.

Keywords: convex shell, bush coupling, Riemann-Hilbert boundary value problem, quasi-correct problems.

сти S задача R имеет единственное решение при выполнении трёх условий разрешимости интегрального типа, а задача Т является безусловно разрешимой. В работах автора [2-4] установлено, что в случае оболочек с кусочно-гладкой боковой поверхностью (т.е. для серединных поверхностей с кусочно-гладкой границей) реализуются случаи как безусловной, так и условной разрешимости для каждой из задач R и Т. Очевидно, с точки зрения приложений наибольший интерес представляют поверхности, для которых каждая из задач безусловно разрешима. В работе даётся описание классов таких поверхностей.

Математическая постановка задачи R и деформационной задачи Т

Пусть серединная поверхность S выпуклой оболочки есть строго внутренняя часть (односвязная) замкнутой поверхности S0 положительной гауссовой кривиз-

3 p

ны класса регулярности W 'p , p > 2, с кусочно-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них», и внутреннего гранта ЮФУ № 213.01-24/2013-66.

К основным задачам мембранной теории выпуклых оболочек с гладкими боковыми поверхностями [1, 2] относятся следующие:

- задача Я о реализации безмоментного состояния напряжённого равновесия тонкой упругой оболочки, совместимого с физическими краевыми условиями, выражающими в каждой точке границы серединной поверхности задание проекции вектора усилий на заданное в этой же точке направление на поверхности;

- задача Т о нахождении поля смещений, совместимого с кинематическим краевым условием втулочных связей, выражающим обращение в нуль нормальных перемещений точек боковой поверхности.

При этом предполагается, что серединная поверхность оболочки есть поверхность положительной

гауссовой кривизны класса регулярности Ж3 'р , р > 2;

1 р

С ' - регулярная граница, 0 < е <1. Как известно [1], в математической постановке задач Я и Т есть задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций с гёльдеровым коэффициентом граничного условия. При этом в случае односвязной поверхно-

гладким краем Ь = и Ьу , состоящим из конечного

j=1

1 Е

числа дуг Lj класса регулярности С , , 0 < е < 1.

Предполагается, что в каждой точке дуги Lj (у = 1,...п) задана проекция u(s) вектора усилий на направление принадлежащего поверхности вектора г (я) = {0(5), р^)} с касательной и нормальной составляющими а, в соответственно, где s - натуральный параметр; а + р = 1; функции а^), в^), и^) гёльде-ровы на каждой из дуг L;■; векторное поле г как вектор-функция г (с) точки с контура L имеет разрывы 1 -го рода в угловых точках; р(я)> 0 на L.

Пусть с - угловые точки границы L с внутренними углами Vj (0 < Vу < 2л , Vу ^ л, у = 1,...п) соответственно, следующие друг за другом при обходе контура L в заданном направлении (например, в положительном направлении при выборе направления вектора нормали к поверхности в сторону выпуклости); 3 -отображение поверхности 50 на комплексную плос-1 2

кость 2 = и + ш , заданное выбором сопряженно-изометрической параметризации (и1, и2) на поверхности 50; О = 3(5") - ограниченная в плоскости г область с границей Г= (и Гу , Гу = 1(Ьу), содержащей

у=1

угловые точки Су = .[(су). Согласно [1, 4], задача Я сводится к отысканию в области Б комплекснознач-ного решения w(c) уравнения

W1" BC)w(C) = F (С), Се D ,

sc

(1)

по заданному граничному условию Яе{5(с)[р(с)/(С)-0(С)5(С)]^(С)} =

= у (и, К, к5, Tg,х), С £ Г, (2)

я 1 Г 5 ■ 5 1

где от = — I —- +1—- I - оператор комплексного

С 2 ^Ои1 5и2 )

дифференцирования; w(c) - комплексная функция напряжений, выражаемая через компоненты контрвариантного тензора усилий и коэффициенты метрической формы поверхности [1, гл. 3]; в(с) - заданная

поверхностью функция класса Ьр (о), р > 2; Г(с) -комплексная функция внешней нагрузки оболочки; 5(<С) = + is 2, ^ (I = 1,2) - координаты касательного к Г в точке С орта /(С) = ^ + Н2 , (I = 1,2) - координаты орта £ направления на плоскости г, являющегося J-образом направления на поверхности 5 0, ортогонального направлению кривой L, где значения функций а(с), Р(С) совпадают со значениями функций а, в в соответствующей точке с = 1-1(С); У -вполне определённая функция своих аргументов; К, кя - соответственно гауссова кривизна поверхности, нормальная кривизна и геодезическое кручение

поверхности в направлении края в точке с = I-1 (с) ; Х - нормальная компонента вектора поверхностных и

объемных сил на единицу площади. Отметим, что правая часть равенства (2) как функция аргумента С гёльдерова на каждой из дуг Г/ и терпит разрыв 1-го рода в точках С,/ (/ = 1,...,п ). Мы также полагаем, что Г(С)е ^р (о ), р > 2. Классы регулярности решений

задачи (1), (2) введены в [5].

Следуя И.Н. Векуа [1, гл. 4], задачу Т сведём к отысканию в области Б комплекснозначного решения уравнения

°^2+£(сЖС) = Р(С) О) (3)

по заданному граничному условию

Яе{/(СМС)}= 0, (4)

где у(с) - комплексная функция смещения, выражаемая через компоненты вектора смещения и коэффициенты метрической формы поверхности; р(с) - ком-плекснозначная функция в Б, задаваемая решением задачи (1), (2). Важно отметить, что решения задачи Т отыскиваются в классе ограниченных в О решений.

Случаи квазикорректности задачи Т

Для обозначения поверхности 5 с внутренними углами V/ в угловых точках с/ (/ = 1,...,п ) в некоторых случаях будем использовать обозначения 5 . Уг-

"1.-." п

ловую точку с/ границы L будем называть выступом (впадиной), если 0 < V < л (л < V. < 2л). Граничное

условие вида (4) рассматривалось автором в [2]. Так же доказана

Лемма 1. Индекс к граничного условия (4) в классе ограниченных решений вычисляется по формуле к = 2 - д, (5)

где д - число выступов границы L поверхности

5 , 0 < д < п.

Следствием этой леммы является Теорема 1. Задача (3), (4) безусловно разрешима в классе ограниченных решений тогда и только тогда, когда 0 <к< 3.

Доказательство теоремы проводится по схеме, использованной автором ранее [3, теорема 1] при исследовании задачи Римана-Гильберта для уравнения вида (3).

Таким образом, случаи безусловной разрешимости задач Т и Я возможны лишь для поверхностей 5 ,

границы которых содержат не более трёх выступов. Для описания таких поверхностей введём более подходящие для такого случая обозначения. Пусть д -число выступов границы L поверхности 5 у

(0 < д < 3, п > д). Не нарушая общности, можно считать, что в случае д = 1 это - точка с1, в случае д = 2 -точки с1, с2, а в случае д = 3 - точки с1, с2, с3. В каждом из этих случаев соответствующую поверхность 5 обозначим через 5(д) . Если граница L не

содержит выступов, то будем использовать обозначение 5 (0) . Если же граница не содержит впадин, то

будем использовать обозначение 5 (д) .

n

Квазикорректность задачи R для поверхностей

Sv^ (0*q*3)

Чтобы не загромождать суть дела техническими деталями, будем считать угловые точки границы омбилическими точками поверхности 50 (это условие

выполняется, например, если SVi v - часть сферы). коГда (4 — k)q > 3;

Теорема 2. Если все q выступов (1 < д < 3) - угловые точки одного и того же к-типа (1 < к < 3), причём 4

ж <у < — л для/ = д+1,.. ,,д+т, то задача Тбезуслов-у 3

но разрешима в указанном классе решений:

1) для любого поля ~ е Рет тогда и только тогда,

>'

В целях упрощения процедуры описания особенных узлов и вычисления индекса граничного условия (2) ограничимся рассмотрением векторного поля г (с), задающего на Ь непрерывное поле направлений ~(с). В этом случае, согласно [6], определённое в точке с, направление ~ является либо входящим, либо выходящим в точке с. Множество всех непрерывных на Ь направлений, выходящих (входящих) в каждой из точек с, 1 < у < п, есть класс Рех входящих (класс Рега

выходящих) направлений. Если направление г является входящим (выходящим) в точке с/, то будем говорить, что направление принадлежит классу Репй (Рех) в точке с,. Как установлено в [6], узел £. = д(£.) граничного условия (2) есть особенный узел задачи R, ж

если у =— к (1 < к < 5). При этом угловой точке с ] 3 у

соответствует неособенный узел £. к-типа

( к = 1,...,6) граничного условия (2), если

к - 1 „(ее)

3

,<у <_k (1 *k*6). Обозначим через п,

' 3 k

(п(еп<)) число угловых точек границы Ь к-типа

(1 < к < 6), в которых поле направлений г принадлежит классу Рех (Реп) в точке. Справедлива следующая

ж

Лемма 2. Если у ф — к (1 <к <5,1 < / <п), то

у 3

индекс к задачи (1), (2) в классе решений, допускающих в каждой из точек £ = Д(£.) интегрируемую

бесконечность, вычисляется по формуле

6

к = — 4 + ^(4 — k)

Inf) +

+Х(3—k )пГ +1(5—k Уг

(6)

При доказательстве леммы используется техника вычисления индекса граничного условия вида (2), разработанная автором в [6].

Замечание 1. В самом общем виде формулу (6)

можно записать так:

: к = —4 + к , где к - «вклад»

угловой точки с, в индекс (с учётом принадлежности поля г по одному из классов Рех, Р^ в этой точке). Если при этом потребовать ограниченности решения задачи в этой точке, то величина к. уменьшается на

1. При этом в особенных узлах решение необходимо ограниченно.

Рассмотрим поверхность 5(д) (1 < д < 3,

уд+1,...,уд+т

т > 1). Имеет место

2) для любого поля г е Реп1 тогда и только тогда, когда (3 - к)д + т > 3.

При этом её решение в случаях 1) и 2) зависит соответственно от (4 - к)д - 3 и (3 — к)д — 3 + т вещественных параметров.

Доказательство. Так как угловые точки с/ (/ = д+1,..., д+т) есть точки 4-го типа, то согласно формуле (6) имеем к = -4 + (4 - к) д V ~ е Рет и

к = —4 + (3 - к)д + т V~ е РеМ. Далее для доказательства достаточно воспользоваться результатами работы [2] по схеме [3].

Случай т = 0 (д ф 0). Для поверхности 5(д) задача Я безусловно разрешима для поля г любого из классов Рех, Ре)й тогда и только тогда, когда (4 - к )д > 3.

Случай д = 0 (т ф 0). Для поверхности

задача Я безусловно разрешима для полей класса Р^ тогда и только тогда, когда т > 3, а её решение зависит от т - 3 вещественных параметров. Для полей класа Рех безусловной разрешимости нет.

Замечание 2. Сравнительный анализ пунктов 1) и 2) утверждения теоремы 1 позволяет выявить случаи, для характеристики которых удобно использовать термин «абсолютная безусловная разрешимость». Рассмотрим поверхность 5(2) (т ф 0), для кото-

у3,.,у3+т

рой выступы с1, с2 - угловые точки 2-го типа (т.е. ж 2ж ,

— < у < —, д = 1,2), а в остальных угловых точках 3 д 3 4ж

ж <у < —, / = 3,., 3+т. По формуле (6) к = 0 у 3

V г е Рет и к = -4 + т V г е Рт1. Отсюда следует, что задача Я безусловно разрешима в классе неограниченных в узлах £ (у = 1,..., т + 3) решений для любых полей г .

Общий случай неомбилических точек

Рассмотрим важный частный случай задачи Я, а именно задачу об определении тангенциального поля напряжений, совместимого с физическими краевыми условиями втулочных связей, выражающими обращение в нуль продольных касательных напряжений на боковых поверхностях оболочки. Как известно [1], главный коэффициент л(£) граничного условия в

этом случае принимает вид Л(£)= ¿(£). В этом случае угловые точки с/ разбиваются на 4 типа: точка

k=1

3

6

k=1

k =4

k=1

с/ относится к к-типу, если к_1 < " < к л. Как из-

2 1 2

вестно [7], индекс к граничного условия (2) в этом случае в классе неограниченных решений вычисляет-

п

ся по формуле К = -4 + ^(3 - кN , где N - число

к=1

угловых точек к-типа (к = 1,2,3,4). Следствием этой формулы и формулы (5) является

Теорема 3. Если граница L поверхности 5(д) (1 < д < 3,т > 1) содержит выступы только

"д+1,.," т+д

к-типа (к = 1 либо к = 2), то при (3 - к)д > 3 задача Я безусловно разрешима.

Литература

1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 288 с.

2. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории бесконечно малых

изгибаний поверхностей положительной кривизны с кусочно-гладким краем // Мат. сб. 1977. Т. 103 (145), № 3 (7). С. 445-462.

3. Тюриков Е.В. Решение смешанной граничной задачи

мембранной теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 6. С. 13-18.

4. Тюриков Е.В. Об одном классе граничных задач мем-

бранной теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 3. С. 18-24.

5. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа-

Гольденвейзера // Докл. РАН. 2009. Т. 424, № 4. С. 455458.

6. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче мембранной

теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 6. С. 38-41.

7. Тюриков Е.В. Общий случай смешанной граничной за-

дачи мембранной теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 2. С. 30-35.

Поступила в редакцию

22 октября 2013 г.