CC BY
8
УДК 517.956.223+539.3
об одной граничнои задаче
мембранной теории выпуклых оболочек
© 2012 г. Е.В. Тюриков
Тюриков Евгений Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра геометрии, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].
Tyurikov Evgeniy Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Geometry Department, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Mil-chakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: etyu-rikov@pochta. ru.
Рассмотрена задача о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой выпуклой оболочки с ребристой боковой поверхностью. Предполагается, что граница серединной поверхности оболочки содержит конечное число угловых точек. Предложен алгоритм вычисления индекса граничного условия соответствующей задачи Римана-Гильберта для обобщенных аналитических функций в случае серединной поверхности с угловыми точками, не являющимися омбилическими.
Ключевые слова: выпуклая оболочка, задача Римана-Гильберта, индекс граничного условия.
The problem of realization of momentless intense condition of equilibrium of elastic thin shell with ribbed side surfaces is under consideration. It is assumed that the boundary of the median surface of the shell consists the finite number of the angle points. The algorithm of calculation of the index of corresponded Riemann-Hilbert boundary value condition is found. This is making for the enough wide class of the angle non-umbilical points.
Keywords: convex shell, Riemann-Hilbert boundary value problem, index of the boundary value condition.
Постановка задачи
В рамках мембранной теории выпуклых оболочек [1] продолжено начатое в [2 - 4] исследование вопросов разрешимости задачи (задача R) о реализации безмоментного напряженного состояния равновесия тонкой упругой оболочки, серединная поверхность £ которой есть строго внутренняя часть (односвязная) замкнутой выпуклой поверхности £0 класса регуляр-
3 "
р>2, с кусочно-гладким краем Ь = У Ь,
ности
j=1
состоящим из конечного числа дуг Ц класса регулярности С1е, 0 < е <1. Предполагается, что в каждой точке дуги Ц (¡=\,...,п) задана проекция и(я) вектора усилий на направление принадлежащего поверхности £ вектора г(^) = («(я), /(я)} с касательной и нормальной составляющими а, в соответственно, где я - натуральный параметр; а2+в2=1; функции а(я), в(я), и(я) -гельдеровы на каждой из дуг Ц; векторное поле г как вектор-функция г(с) точки с контура Ь имеет разрывы 1-го рода в угловых точках; /(я) > 0 на Ь.
В [4] предполагалось, что все угловые точки границы Ь - омбилические точки поверхности £. Для таких поверхностей получены законченные результаты, формулировка которых дана с использованием введенного там же понятия «индикатор узла с. » в форме критерия
безусловной разрешимости. Наиболее естественной постановка задачи R представляется в случае, когда векторное поле г(с) задает вдоль Ь непрерывное поле направлений ~(с) на поверхности £. В такой постановке с использованием введенных в [4] для таких полей понятий входящего и выходящего в точке с поля
~ (класса Реп4 и Рех соответственно) получен критерий безусловной разрешимости, в формулировке которого угловые точки с различаются только по величине внутреннего угла vj. В общем случае (точки с не являются омбилическими) также сформулирован критерий безусловной разрешимости, однако приведенный в [3] алгоритм нахождения «вклада» каждого узла с^ в индекс граничного условия соответствующей задачи Римана-Гильберта приводит к решению труднообозримых тригонометрических уравнений, что не позволяет получить эффективную формулу для вычисления индекса, и затрудняет формулировку законченных результатов. Исключением здесь является лишь случай так называемой смешанной граничной задачи, рассмотренной автором в [5]. В настоящей работе выделен достаточно широкий класс неомбилических угловых точек границы и найден алгоритм, позволяющий в случае непрерывных полей ~ получать эффективные формулы для вычисления индекса к соответствующего граничного условия.
Математическая постановка задачи
Всюду ниже мы будем использовать обозначения и понятия из [4], вводя повторно лишь те из них, которые необходимы для постановки задачи.
Пусть с^ - угловые точки границы Ь с внутренними углами vj (0<у . <2ж, , ] = 1,К ,п) соответ-
ственно, следующие друг за другом при обходе контура Ь в заданном направлении (например, в положительном направлении при выборе направления вектора нормали к поверхности в сторону выпуклости); J -отображение поверхности £0 на комплексную плоскость 2 = и1 + ги2, заданное выбором сопряженно
'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них».
изометрической параметризации (и , и ) на поверхности 50; О = ) - ограниченная в плоскости г об-
п
ласть с границей Г = УГ., Г,. = ), содержащей
угловые точки ^ ). Согласно [1, 4], задача Я сводится к отысканию в области Б комплекснознач-ного решения ^(0*) уравнения
М0)
дс
■-B(CWC) = F(С), СеD.
(1)
оператор комплексного
по заданному граничному условию
Яе{"(0)[3(0Ж0) - аОЖСМО}=
= у (и, К, к, ,ТЯ, X) , ОеГ , (2)
я 1 ( д ■ д где д- = — I—- + г—-
0 21 ди ди2 дифференцирования; и>(0) - комплексная функция напряжений, выражаемая через компоненты контрвариантного тензора усилий и коэффициенты метрической формы поверхности (см. [1, гл. 3]); В(0) - заданная поверхностью функция класса Lp (О), р >2; Е(0) - комплексная функция внешней нагрузки оболочки; я(0) = " + 'я2, я' (г =1,2) - координаты касательного к Г в точке 0 орта 8; t(0) = ^ + и2 (' = 1,2) - координаты орта 1 направления на плоскости г, являющегося J -образом направления на поверхности 50, ортогонального направлению кривой L, где значения функций а(0), /3(0) совпадают со значением функций а , / в соответствующей точке с = J-1 (0); у - вполне определенная функция своих аргументов; К , к,,, т - соответственно гауссова
кривизна поверхности, нормальная кривизна и геодезическое кручение поверхности в направлении края в
точке с = J 1 (0); X - нормальная компонента вектора поверхностных и объемных сил на единицу площади. Отметим, что правая часть равенства (2) как функция аргумента 0 гельдерова на каждой из дуг Г ■
и терпит разрывы 1-го рода в точках 0j (. = 1,К , п).
Мы также полагаем, что Е(0) е (О), р >2. Классы регулярности решений задачи (1), (2) введены в [4]. Условие омбиличности точек с. позволяет [2]
ограничиться рассмотрением граничного условия (2), в котором н(0) ± 1(0).
Рассмотрим граничное условие (2), в котором допустимое векторное поле 1(0) = (0), ^ (0)} класса Ь(Г) (см. [4]) не является полем нормалей к Г вдоль каждой из дуг Г (. = 1,К , п). Так при этом векторное поле р(0) = 3(0)1(0) -а(0Ж0) также принадлежит классу Ь(Г), то мы имеем граничное условие вида (см. [4])
Ке{р(0)"(0Ж0)} = у, (3)
Р(0) = 3(0Ж1 (0) + *2 (0)] - а(0)[" (0) + г"2 (0)].
Соответствующую этому граничному условию задачу назовем задачей Т .
Замечание 1. Введенное в [4] при рассмотрении задачи понятие «индикатор Jj (Я) узла 0. задачи Я » в общем случае является малоэффективным, так как нарушение условий 1.}(0) ^ s (к)(0) (к = 1,2) не
позволяет использовать его для описания узлов граничного условия вида (3).
Зададим направление обхода границы Г и введем обозначения:
р(0. - о)=р®=з?1. а.,
р(0.+о)=Р(2)=з?. а.. (4)
Угловая точка 0^ границы Г вместе с век
граничного условия (3) или (Т) - узел задачи Т .
Будем использовать также обозначения П(), и .
(к = 1,2), введенные в [4]. Если 0.(Т ) - узел задачи Т , то реализуется один из следующих случаев:
1) р(т) й и (т = 1,2);
2) только один из векторов р(т) (т = 1,2) принадлежит сектору и ;
3) р(т) е и (т = 1,2).
Пусть р, и у, - заданные в [4] величины углов
упорядоченной парой векторов р®, р<2> задает узел
между векторами я(т = 1,2) и р(т) (т = 1,2) соответственно (0< <7, \<2ж, . = 1,К, п); у(А1 ,Ь') - величина угла между векторами ^ , Ь в плоскости 0 с началом в точке 0 (0 < у(й1 ,Ь,-) <п).
Если 0j - угловая точка к -типа (1 < к < 4) границы Г, то для величины а . = — (р.+у.) удобно
71
(к)
использовать также обозначение а^' (1 < к < 4). Через SJ (. = 1,К , п) обозначим величины, удовлетворяющие условию: 0 < е. <1.
Пусть 0 - угловая точка к -типа (1 < к < 4), а для узла 0 (Т) реализуется условие 1).
Предложение 1. В случае к = 1 - а® =2 + (-1)те1, если (-1)'nу(p(—),sf)) < (-1)ту{р(2),«,(1)) (т = 1,2); к = 2,3 - а\к)=(-1)к (1 + е); к = 4 - а(4) = -2 + (-1) те1,
если (-1)ту(р(1),^(2)) < (-1)ту(р(2),^(1)).
Если для узла 0 (Т) реализуется условие 2), то имеет место
Предложение 2. В случае к = 1,2 - а\к) =
'1 + (~\)те1, если р(т) е и° и у(рр1 >у(р?,«(1))
(m = \,2);
1 + (-l)m+lsi, если р(т) eU0 и у(р,-s(;>) < у(р(;>,s(1>) (m = 1,2);
в случае к = 3,4 величины 1 + (-1)mst, 1 + (-1)m+1 st в неравенства принимают вид 0 < Ind(T) < л -2v предыдущем равенстве следует заменить на л- 2vi <Indt (T) < 2л-2vt, 2л- 2vt < Indt (T)2л.
-1 + (-1)те, _ 1 + (_1) е соответственно.
Если для узла ^ (Т) реализуется условие 3), то имеет место
Предложение 3. В случае к = 1 а,(1) = 1-е; к = 2 -
42)=(-1)те, если (-1) ткр(1),*(2)) < (-1) тг(р(2), з,и)) для неразделенных пар (р(к),«(ку) (к = 1,2) векторов, и а,(2) = е для разделенных пар (р(к),«(к)) (к=1, 2); в случае к =3 - а?=(-1)те, если (ЧГКр®,.®)>(ЧГКр®,.®) для неразделенных пар (р(к),«(к)) (к=1, 2), и а(3) =
для разделенных пар; в случае к = 4 - а(4) = -1 + е.
В справедливости предложений 1-3 можно убедиться непосредственной проверкой, рассмотрев последовательно случаи 1)-3) для каждого к = 1, 2,3, 4 .
На основании предложений 1-3 множество всех узлов задачи Т можно разбить на классы: ^ (Т) -узел, соответствующий угловой точке к-типа
(1 < к < 4), есть узел класса Т^у) (у = 1,2,3), если
величина к = [а,(к) ] = 4 - (г + к). Здесь важно отметить, что данная классификация инвариантна относительно выбора направления обхода границы Г. Это с очевидностью следует из структуры выражений (4)
для р(к) (к = 1,2). Необходимо также отметить, что приведенную классификацию можно ввести в форме, не использующей направлений обхода границы Г.
Пусть V(к) - векторы, задающие внутренний угол в угловой точке ^ ; р(к) - предельные значения векторного поля р(^) в точке ^ той из дуг, направление которой задается вектором v¡. Индикатором узла ^ (Т) назовем число
1п< (Т) = Г(р(1), V«) + кр(2), vf)). (5)
Очевидно, 0 < 1п<(Т) < 2я. Кроме того, при любом выборе направления обхода кривой Г
р , = 3я-2v¡ -М.(Т*), , (6)
где V; - величина внутреннего угла в точке ^ .
Предложение 4. Для каждого к = 1, 2,3, 4 узел (Т), соответствующий угловой точке ^ к -типа,
принадлежит одному из трех классов Т^) (у = 1, 2,3) тогда и только тогда, когда
0< 1п<(Т)<кя-2^ для ¡=1; (7)
кя- 2vi < 1п< (Т) < (к + 1)я - 2^ для ¡=2; 3(к + 1)я - 2^ < 1п< (Т)2я для ¡=3. Действительно, рассмотрим случай к = 1. Для узла ^ (Т) имеем
К = [а,(1) ] = 2, если 2п < р + <3п - 2у,.; К = [а,(1) ] = 1, если п <р+ <2п; К = [а,(1)] = 0, если п - 2у< <р + <п. Согласно (6) и равенству р = я - v¡ последние три
Аналогично, рассматривая в отдельности к = 2,3,4 с использованием предложений 1-3, приходим к (7).
Замечание 2. Предложения 1-3 дают алгоритм, позволяющий вычислить «вклад» ^ (Т) -узла в индекс граничного условия.
Частные случаи задачи Я
Введем обозначения: о(к) (к = 1,2) - предельные значения в точке с г касательного к Ь вектора о(с); т(к) - соответствующие им предельные значения единичного вектора нормали т(с), направленного вне £; к(1), к(2) - главные направления на поверхности £ в точке с,; к,(1), к(1) - соответствующие им главные кривизны, к,(1) > к,(2). Отметим, что векторы о(1), о(2) задают внутренний угол в точке с. Угловую точку с, назовем да-симметрической (т = 1,2), если
Г(о(1),к(т)) = г(о(2),к(т)) (0 <Ко(к), кт)) < я/2). Для определенности рассмотрим 2-симметрическую точку с,, для которой ^(о(1),к(2)) = ^(о(2),к(2)) = ^ ,
причем 0 < V < аге!^ д/к,(2) / к,(1) . Так как 2^ - величина внутреннего угла в точке с, то для величины 2vJ' внутреннего угла в соответствующей точке ^ = 3 (с,.) выполняется неравенство 0 < 2v'<я/2 , т.е. угловая точка ^ границы Г= 3(Ь) есть точка 1-типа. Ограничимся рассмотрением выходящего в точке с, направления ~(с), для которого г/1) = г/2) = г . Вектор г(1) на поверхности £ с началом в точке с,, зададим величиной в = х(г;(1),к(2)), -V <в<^. Тогда г(1) = ео8(в + V )о(1) + 81п(в + V )т(1),
Г(2) = -cos(^. -0)о(2) + sin(v,. -в)т
г(2)
,(1).
откуда р;) = Б1п(в + vj )1 () - еоБ(в + vj р(2) = sin(v -в)1 (2) + ео8(^ -в)«(2), где «(к) = 3(о(к)), (к) = 3 (т(к)) (к = 1,2), причем для 2-симметрически угловой точки 1-типа «(1)«(2) < 0, 1 (1)1(2) < 0 , «(1)1 (2) < 0, «,(1)1 (2) = -я(2)1 ,(1). Введем в рассмотрение четные функции аргумента в (-^<в<^): F (в) = р(1)р(2), Ф(в) =|р,(1)Нр(2)|. Здесь
^(в) = 1 (1(2) + з(\(2))[еos2в-еos2v]+гcl)sС2)еos2v.,
Ф(в) - г ,(1)«(2^т2^,. +в)д/1 + г ,(2)«(1) sin2(v¡ -в) .
Легко видеть, что в = 0 есть точка локального максимума (минимума) функции Г (в) (Ф(в)). Нетрудно установить, что функция cosx(р,(1), р(2)) = = Г (в)/ Ф(в) возрастает на [0, V ], откуда следует, что
величина ^ = 2ж-у(р<12,pf2) также возрастает на [0,vi]. Найдем значение vt, при котором узел ^ , соответствующий значению в = 0 (направление вектора r задает направление k f2), есть особенный узел задачи T, т.е. ^(p(1),s(2)) ^(pf^s®). В случае в = 0 имеем p(1) = t(1) sinv - s(1) cos v, p ® = t ® sin v + s® cos vt, откуда 2s(1)s(2) cos v,. + (t(2)s(12 -t^s^^sinv, = 0. (8) Пусть V - величина внутреннего угла в точке = J(c ). Используя известное соотношение [6, гл. 2] между величинами sin2vi, sin2v'i и формулу Эйлера,
получаем Точно так же t(2)s(1) =
s^s?2 = — cos2v' =
k2cos2vi —kxsm2vi
k2 cos vt + k1 sin vt
H, sin v
,. Sin2 v
где Ht, Ei -
к® + 2ЕГ
средняя кривизна и Эйлерова разность поверхности 5 в точке с,-. Полагая t = у, уравнение (8) запишем в
виде t —
fk.iï2
■ + ■
kl2 + h
\ — kil)
kf2 (2E i + k?2) •
, к(2) к/2> + 21Е , Можно показать, что один из корней этого уравнения определяет значение со1 < arctg / к® . Отсюда в силу предложения 1 следует, что для 2-симметрической точки а}1' = 2 + е1, если у <щ, и
-,(1) -
= 2 — et, если ai<vi<nl2 • Справедлива
Теорема. Если все угловые точки с,. (i = 1,К,n , n > 2 ) поверхности S есть 2-симметрические с внутренними углами 2vi < 2ai, то задача R безусловно разрешима в классе ограниченных решений для любого входящего поля направлений, а ее решение зависит от 2n - 3 вещественных параметров. В частности,
если к,(2) = k®, то cot = ж/6 [4].
Доказательство следует из очевидной формулы к = -4 + 2n для индекса к [4] граничного условия (2) в классе ограниченных решений.
Литература
1. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М., 1982. 288 с.
2. Тюриков Е.В. Граничная задача И.Н. Векуа для обобщенных сферических куполов // Исследования по математическому анализу, дифференциальные уравнения и их приложения. Владикавказ, 2010. Т. 4. С. 290 - 297.
3. Тюриков Е.В. Обобщенная граничная задача И.Н. Векуа мембранной теории выпуклых оболочек // Исследования по математическому анализу, дифференциальные уравнения и их приложения. Владикавказ, 2011. Т. 5. С. 225 - 229.
4. Тюриков Е.В. Об одном классе граничных задач мембранной теории выпуклых оболочек // Изв. вузов. Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2012. № 3. С. 18 - 24.
5. Тюриков Е.В. Геометрический аналог задачи Векуа-Гольденвейзера // Докл. АН. 2009. Т. 424, № 4. С. 455 - 458.
6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959. 512 с.
Поступила в редакцию
3 сентября 2012 г.
