CC BY
9
Серия «Математика» 2013. Т. 6, № 3. С. 60—71
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 519.7
Критерий бесконечной надструктуры некоторых классов монотонных ^-значных функций *
В. Б. Ларионов
ООО „Атес Медика Софт"
Аннотация. В работе автором продолжается исследование строения надструктуры замкнутых классов монотонных функций. Разработан критерий наличия бесконечной надструктуры для некоторого семейства классов монотонных функций.
Ключевые слова: многозначные логики; решетка замкнутых классов; монотонные функции.
Данная работа посвящена известной задаче описания решетки замкнутых классов функций многозначной логики.
Обозначим через Ек множество {0,1,...,к — 1}.
Определение 1. Функция f (х\, . ,хп) называется функцией к-знач-ной логики (к ^ 2), если она определена на Е'П и все ее значения принадлежат Е^.
Рассматриваются замкнутые относительно операции суперпозиции классы функций. Решетка указанных классов в случае булевых функций (т.е. при к = 2) была целиком описана Постом в [9]. Однако в работе [8] было показано, что множество замкнутых классов функций к-значной логики для любого к ^ 3 континуально. Данный факт делает практически невозможным описание решетки при к ^ 3, поэтому впоследствии изучались лишь ее фрагменты. К указанному направлению и принадлежит данная работа.
Пусть на Ек задано некоторое отношение частичного порядка г. Возьмем два произвольных набора а = (а\,..., ап) и Ъ = (Ъ\,..., Ьп) из
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 13-01-00684-я.
1. Введение
ЕП. Будем говорить, что а не превосходит Ь относительно частичного порядка г и записывать а ^г Ь, если для любого 1 ^ г ^ п справедливо неравенство аг ^г Ьг.
Определение 2. Функция f (х\,... ,хп) называется монотонной относительно частичного порядка г, если для любых двух наборов а,Ь € Е'П таких, что а ^г Ь, выполнено f (а) ^г f (Ь). Множество всех функций из Рк, монотонных относительно г, называется классом монотонных функций Мг.
Для наглядности везде далее будем задавать частичный порядок г частично упорядоченным множеством (ЧУМ) Н из элементов Ек и соответствующий класс обозначать Мн.
Одним из семейств предполных классов функций к-значной логики при к ^ 3 (везде далее рассматриваются только такие к) является некоторое подмножество всех классов монотонных функций [10]. Класс Мн является предполным тогда и только тогда, когда ЧУМ Н обладает в точности одним максимальным и одним минимальным элементом [4]. Возникает вопрос, какое положение в решетке занимают классы монотонных функций, не являющиеся предполными.
Принципиальная возможность существования замкнутых классов монотонных функций многозначной логики с бесконечной надструк-турой (то есть множеством содержащих их классов) была доказана автором в статье [3]. Как было показано в работе того же автора [2], минимальной логикой с такими классами функций является четырехзначная логика Р4. В [1] был получен критерий наличия бесконечной надструктуры классов монотонных функций, сохраняющих ЧУМ с одним минимальным и двумя максимальными, двумя минимальными и одним максимальным, двумя минимальными и двумя максимальными элементами. В данной работе развивается техника, разработанная ранее автором, с целью получить критерий наличия бесконечной над-структуры классов монотонных функций, сохраняющих ЧУМ с одним минимальным и тремя максимальными элементами.
2. Основные понятия
В данной работе используется «предикатный» подход к изучению замкнутых классов функций.
Определение 3. Пусть р(х\,...,хт) - некоторый предикат, определенный на Ет, (у1,...,уп) - функция из Рк. Говорят, что функция (у\,..., уп) сохраняет предикат р(х\,..., хт), если для любых п наборов аг = (ац,...,агт), г € {1,...,п}, удовлетворяющих предикату р, набор ( f (ац,..., ап\),..., f(alm,..., апт)) также удовлетворя-
ет предикату p. По определению будем считать, что тождественно ложный предикат сохраняет любая функция.
На множестве предикатов вводятся следующие операции: отождествление переменных, конъюнкция и добавление квантора существования по какой-либо переменной (проекция). Для произвольного множества предикатов P через [P] будем обозначать его замыкание относительно указанных операций. Подробное определение этих операций можно найти в [6] и [5].
Будем обозначать через Pol(p) множество всех функций, сохраняющих предикат p. Класс Mh является замкнутым классом функций, сохраняющих предикат R(x,y) = TRUE ^^ x ^r y [7]. Везде далее в выражении „монотонный класс задается предикатом R" подразумевается именно описанный предикат R(x,y).
Лемма 1 ([6]). Если p1 е [p2], то Pol(p2) Q Pol(pi).
Пусть предикат p задается формулой F над системой {R}, где R — предикат, задающий класс монотонных функций. Везде далее рассматриваются только формулы с вынесенными вперед кванторами существования. Сопоставим F ориентированный граф Gf по следующему правилу: между множеством вершин Gf и множеством переменных F (учитываем и свободные, и связанные) существует взаимно однозначное соответствие. Вершину, соответствующую переменной x, пометим символом "x если переменная x свободная, и "3x если связанная. Данную вершину обозначим vx. В графе GF есть ориентированное ребро (vx ,vy) тогда и только тогда, когда в формуле F содержится запись R(y,x).
Далее нам потребуются некоторые свойства предикатов, доказательства которых содержатся в [1]. Обозначим через F множество формул над {R}, графы которых не имеют ориентированных циклов. Отметим, что для таких формул мы можем считать граф Gf частично упорядоченным множеством. В этом случае будем использовать обозначение Lf .
Лемма 2 ([1]). Пусть R — предикат, задающий класс монотонных функций, Pi,P2 £ [R], Pol(pi) С Pol(p2); предикат р2 реализуется над {-R} формулой из F. Тогда р2 £ [pi].
Лемма 3 ([1]). Пусть H — ЧУМ с единственным минимальным элементом, R — соответствующий ему предикат, задающий класс монотонных функций Mh . Пусть p реализуется формулой F над системой {R}. Тогда:
1) Существует предикат р' £ [Д], задаваемый формулой F' £ F, такой что Pol(p') = Pol(p).
2) Можно так преобразовать формулу F, чтобы в ЧУМ Ьр соответствующие свободным переменным вершины и только они являлись минимумами, и при этом предикат р не изменится. Если F принадлежит семейству F, то указанное преобразование можно провести так, чтобы преобразованная формула осталась в семействе F.
Определение 4. Предикат p(x1,...,xn), где n ^ 2, назовем невырожденным, если существует набор а £ Е'П такой, что p(a) = FALSE, но для любого номера i £ {1,...,n} существует элемент bi £ Ek такой, что p(a1,..., ai-1, bi, ai+1,..., an) = TRUE. Одноместный предикат невырожден тогда и только тогда, когда он отличен от тождественно истинного и ложного предикатов. В противном случае назовем предикат вырожденным.
Лемма 4 ([1]). Если число различных замкнутых классов Pol(p), где p £ [R] — невырожденный предикат, конечно, то надструктура класса Mh = Pol(R) конечна.
Лемма 5 ([1]). Пусть ЧУМ H имеет единственный минимальный элемент, R — предикат, задающий класс монотонных функций Mh . Пусть pi(xi,... ,xni),... ,pi(x1,... ,xni) £ [R] — невырожденные предикаты местностей соответственно п\,... задаваемые формулами из F, п = max(ni,..., щ), Pol(pi) ф Pol(-R). Тогда любой невырожденный предикат pp из множества [p1,... ,pi] имеет местность r ^ n.
3. Необходимые и достаточные условия наличия бесконечной
надструктуры
Приведем некоторые результаты из работы [1], необходимые для построения искомого критерия.
Через Ьг^ будем обозначать множество ЧУМ, имеющих г максимальных элементов и ] минимальных.
Рассмотрим произвольное ЧУМ Н из элементов множества Е^, принадлежащее множеству Ь3,\. Пусть Т\, . ..,Т3 — все максимальные элементы множества Н.
Предположим, что Ш — некоторое непустое подмножество множества Ш = {1,.. Обозначим через Н^ ЧУМ, состоящее из элементов д Е Н таких, что д ^ Т для любого ] Е и д ^ Т, если ] Для любых двух элементов 61,62 € выполнено 61 ^ 62 тогда и
только тогда, когда 61 ^ 62 в Н.
Определение 5 ([1]). Множество Н Е Ь3,1 назовем простым, если выполнены следующие условия:
Рис. 1. Множества Н\ (слева) и Но (справа).
1) Для любого непустого подмножества Wi множества W множество Hwí непусто.
2) Каждое множество Hwt имеет единственный максимальный элемент Twt .
3) Если Wi С Wj, то Twt ^ Tw¿ для любых подмножеств Wi,Wj множества W.
Теорема 1 ([1]). Любой класс монотонных функций, сохраняющих простое ЧУМ, имеет конечную надструктуру.
Обозначим через Н\ и Н2 ЧУМ, изображенные на рисунке 1.
Определение 6 ([1]). Пусть L\ — множество, состоящее из всех ЧУМ Н, которые содержат подмножество Н\. Причем в Н не появляются пути из 0 в 3 по вершинам, являющимся максимумами 1 и 2. Уточним это понятие: не существует последовательности элементов v1,...,vm в L1 такой, что v1 = 0, vm = 3, vi сравнимо с vi+i (i е{1,... ,m — 1}) (то есть либо vi ^ vi+1, либо vi+1 ^ vi), все vi - максимумы 1 и 2.
Теорема 2 ([1]). Любой класс монотонных функций Mh , сохраняющих ЧУМ H е L1, имеет бесконечную надструктуру.
Определение 7. Для произвольного k ^ 3 обозначим через Qk множество ЧУМ Н е ¿зд, составленных из элементов Ед., таких, что Н содержит подмножество H¿, причем, во множестве Н не появляется элемента a такого, что a меньше трех элементов 0,1,2 и больше элементов 6, 7; элементы 0,1, 2 являются максимальными в H, а элементы 3, 4, 5 — наибольшие из попарных минимумов максимальных элементов множества H.
У1 У 2 Уз У4 Уз Уб Уз5-5 Узб-4 Уз5"3 Уз5-2 y3s-i Уз*
Рис. 2. Предикат pl.
Обозначим через Tmjra единственный минимальный элемент ЧУМ Н. Пусть Н £ Qk. Везде далее через 0,1,2,3,4, 5,6, 7 мы будем обозначать элементы множества H, которые при вложении образуют множество Я2.
Теорема 3. Произвольный класс монотонных функций Mh, где H £ Qk имеет бесконечную надструктуру.
Доказательство. Рассмотрим предикаты pi £ [Д], l > 1, граф формул (будем их обозначать Fi) которых изображен на рисунке 2. Вершины графа для простоты помечены символами переменных формулы Fi, кванторы опущены. Переменные x\,... ,X2i+3 (находящиеся на нижнем слое рисунка) являются свободными, остальные - связанными. Подразумевается, что ориентация всех ребер — сверху вниз.
Лемма 6. Все предикаты pi являются невырожденными.
Доказательство. Рассмотрим набор
ai = [0,1,2,6, 7,6, 7,..., 6, 7] £ E2i+3.
Покажем, что pi(ai) = FALSE.
Поскольку xi =0, x2 = 1, x3 = 2 на наборе щ, то переменные У1,У2,Уз должны принять значения соответственно 0,1, 2. Значение переменной u1 должно быть больше 6, 7 (поскольку x4 = 6, x5 = 7) и меньше значений переменных yi,y2, то есть 0,1. Получаем, что значение переменной y4 не может быть меньше или равно 2, иначе ui должна принять значение большее 6, 7 и меньшее 0,1, 2, что противоречит определению множества Qk. Рассматривая аналогично переменную U2, получим, что значение y4 не может быть меньше или равно 1, откуда получаем, что значение y4 принадлежит множеству Нщ. Аналогично
получаем, что значения переменных Уб,У6 принадлежат соответственно множеству H{i} и H{2}.
Рассуждая аналогично для следующих троек в формуле Fi, придем к выводу, что значения переменных y3s-2, y3s-i и y3s принадлежат соответственно множествам H{0}, H{i} и H{2}. Таким образом получаем, что переменной Пз3-2 нужно присвоить значение большее 6, 7 и меньшее 0,1, 2, которого не существует. Откуда имеем pi(ai) = FALSE.
Непосредственно проверяется, что для любого i Е {1,...,2/ + 3} мы можем заменить i-ю компоненту набора ai так, чтобы pi(ai) = TRUE. Например, любую компоненту можно менять на минимальный элемент Tmin. При этом мы сможем корректно присвоить значения из множества {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Tmin} всем переменным формулы Fi.
По определению получаем, что pi — невырожденный предикат. □
Обозначим Ai = Pol(pi) и рассмотрим два произвольных класса Ai1 и Ai21 где ¿1 ф ¿2- Поскольку для любого I > 1 формулы Fi <Е F, а предикаты pi Е [R], то по лемме 2 получаем, что в случае равенства Ai1 = Ai2 должны выполняться соотношения pi1 Е [pi2 ] и pi2 Е [pi1 ]. Но по лемме 5 нельзя реализовать формулой невырожденный предикат большей местности из невырожденного предиката меньшей местности. Получаем, что все классы Ai различны и образуют бесконечную надструктуру класса монотонных функций Mh .
Теорема доказана. □
4. Критерий наличия бесконечной надструктуры
Сведем теперь вместе для рассматриваемых в работе классов монотонных функций описанные в предыдущем разделе необходимые и достаточные условия.
Теорема 4. Пусть И Е . Надструктура класса Ыц бесконечна тогда и только тогда, когда для множества И справедливы условия теоремы 2 или 3.
Доказательство. Достаточность для бесконечности надструктуры класса Ыц условий показана в теоремах 2 и 3. Докажем далее необходимость.
Пусть ЧУМ И не обладает указанными в формулировке свойствами. Снова будем использовать введенные в предыдущем разделе обозначения Т, Иул (у нас W = {1, 2, 3}).
Лемма 7. Пусть ЧУМ И Е не удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда если некоторое множество И^^} непусто, то оно имеет единственный максимальный элемент.
Доказательство. Предположим, что множество Ну^^у непусто и имеет более одного максимального элемента. Пусть С\,С2 — два различных максимальных элемента Н^^у. Рассмотрим четверку ,С\,С2. Поскольку С1,С2 € Ну1 2}, то С1,С2 ^ Тг и С1,С2 ^ Т). По определению элементы С1,С2 несравнимы, элементы Т^Т) также несравнимы. Предположим, что в ЧУМ Н найдется элемент а такой, что а ^ и а ^ СЬС2. Но тогда а € Нуг¿у, и получаем противоречие с тем, что С1,С2 — максимальные элементы множества Нуг, ¿у. Итак, мы получаем, что рассматриваемая четверка образует множество Н\ (с точностью до пометок), и Н € ¿1, то есть справедливы условия теоремы 2. Полученное противоречие показывает, что множество Нуг¿у имеет единственный максимальный элемент. □
Отметим, что множество Н{1,2 ,зу непусто, поскольку оно по крайней мере содержит единственный минимальный элемент ЧУМ Н.
Лемма 8. Пусть ЧУМ Н € Ь3>1 не удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда все элементы множества Н{123у меньше элементов Туг ¿у для всех непустых Нуг^у.
Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент Ь € Ну1 , 2 3у и предположим, что Ь ^ Туг^у для Нуг¿у = 0. Тогда четверка элементов Т[гу,Т^у,Туг, ¿у,Ь удовлетворяет теореме 2. Получаем, что все элементы множества Ну 1>2,з} меньше элемента Ту^у. □
Рассмотрим вначале случай, когда все Н^^у непусты. Пусть Т4,Т5 — два максимальных элемента множества Н{1 2 , зу. Но тогда подмножество из элементов Т1 ,Т2,Т3,Ту1 , 2у, Ту2 , 3у,Ту1 ,3у,Т4,Т5 образует во множестве Н подмножество и справедлива теорема 3. Данное противоречие показывает, что множество Ну12,3у обладает единственным максимальным элементом Ту^^у. По лемме 8 элемент Т{1,2,3у меньше всех элементов Т{г ¿у. По определению получаем, что ЧУМ Н — простое и надструктура класса Мн конечна.
Пусть теперь некоторое одно множество Нуг ¿у пусто. Не ограничивая общности, положим Н{1 , 3у = 0, Н{1 , 2у и Ну2,3у непусты.
Пусть р € [Ян] — проивольный невырожденный предикат местности п > 4 такй, что Ро1(р) = Мн,Рк. Пусть Г — формула, реализующая предикат р над {Я} из леммы 3, Ор и Ьр — граф и ЧУМ формулы Г соответственно. Через уу € Ьр обозначим элемент, соответствующий переменной у формулы Г. Обозначим через а набор для предиката р из определения невырожденного предиката.
Далее мы по индукции присвоим всем переменным формулы Г на наборе а значения так, чтобы для любых двух переменных 21 , принявших соответственно значения Ь1 и Ь2, было справедливо
Ь1 ^ Ь2 для всех ^ . (4.1)
Этим мы докажем, что p(a) = TRUE, то есть придем к противоречию.
Итак, присвоим xi = ai для всех i £ {1,...,n}. Рассмотрим произвольный элемент vy £ Lp, соответствующий некоторой связанной переменной y. Пусть vXii,..., vxir — все минимальные элементы (то есть соответствующие свободным переменным) такие, что vXi. ^ vy. Если все ai1 ,...,Cir £ Н{1,2,3} и имеют общий максимум d (возьмем наибольший из них), то положим y = d. Множество таких переменных y обозначим через Y1.
Множество всех связанных переменных из формулы F обозначим через X, а множество свободных — через Y, Y2 = Y \ Y1.
Проведем первый шаг индукции — присвоим значения переменным, соответствующим максимумам Lp.
Лемма 9. Пусть vy — максимальный элемент ЧУМ Lp, vXi ,..., vXir — все минимальные элементы Lp, меньшие vy. Тогда все значения ai1,..., air имеют общий максимум в Н
Доказательство. Предположим противное. Поскольку Н £ Qk, то из множества ai1,..., air можно выделить подмножество из не более, чем трех элементов, не имеющих общего максимума в Н. Пусть это ai1 ,ai2, ai3. Но при указанных значениях переменных xi1, xi2, xi3 справедливо p(a) = FALSE независимо от значений остальных компонент. Получаем противоречие с определением невырожденного предиката. □
Пусть справедивы условия леммы. Если найдется aij € И{3} (в = 1, 2, 3, ] €{1,..., г}), то присвоим у = Т{3}, в противном случае присвоим у = Т{2}. Обозначим присвоенное значение через й. В силу леммы 9 данное присвоение корректно, и любое значение а^ (у € {1,...,г}) меньше или равно й. В самом деле, пусть а^ ^ й. Если а^ € Ищ или а^ € Идля некоторых г,] € {1, 2, 3}, то мы получаем пару значений а^, , не имеющих максимума в И, что противоерчит лемме 9. Во всех остальных случаях ая ^ й.
Осуществим теперь индукционный переход. Пусть для некоторого элемента уу для всех элементов уу/, (г € {1,... ,в}) таких, что уу ^ уу/,, мы уже присвоили значения А\,...,Л3 переменным у1 , ...,у'3. Предположим, что для каждой переменной значение Ai превосходит значения всех свободных переменных, элементы соответствующие которым в ЧУМ Ьр меньше, чем уу. Присвоим переменной у максимальное значение из множества М = {Т^}, Т{2}, Т{12}, Т{2з}}, меньшее всех A1, ..., А3.
Пусть снова ,..., — все минимальные элементы Ьр, меньшие
v
y
Лемма 10. В результате описанной процедуры присвоения значение для переменной у найдется (обозначим его (), и для всех ] е{1,...,г} будет справедливо а^ ^ (.
Доказательство. Предположим, что указанного значения для переменной у не найдется. Получаем, что элементы А\,..., As не имеют в Н минимума, входящего во множество М. Отметим, что ниже любого элемента vyi, где yi Е Yi, не может находится элемента, соответствующего связанной переменной из множества Y \ Yi (все такие переменные также должны попасть в множество Yi). Получаем, что все yi Е Y2. Поскольку в ходе индукции мы присваивали переменным значения из множества М, то все Ai £ М. Это означает, что среди Ai,...,As найдется одна
из следуюЩих пар: (Т{1} ,Т{3} ),(Т{1,2} ,Т{3}), (Т{1},Т{2,3}), (Т{1,2},Т{2,3}). Отсюда следует, что существуют два максимальные элемента vy', vy" такие, что связанные переменные у' и у" приняли значения соответственно Т{1} и Т{з}. Это в свою очередь влечет существование свободных переменных Х1,Х2 (нумерацией мы не ограничиваем общность рассуждений) таких, что a1 Е H{1}, a2 Е H{2}. Отметим, что, поскольку переменная у не попала в множество Y1, то также найдутся две свободные переменные x3,x4 такие, что a3,a4 не имеют общего максимума в #{1,2,3}. Получаем, что справедливо p(a) = FALSE независимо от значений переменных, кроме Х1,Х2,Х3,Х4. Опять приходим к противоречию с определением невырожденного предиката.
Предположим теперь, что aiq ^ d для некоторого q Е {1,...,г}. По предположению индукции все Ai ^ aiq (i Е {1,...,s}) и все Ai Е М. Обозначим через W' подмножество множества W такое, что d = Tw'. По нашему построению отсюда следует, что среди присвоенных на первом шаге значений переменным, соответствующим максимальным элементам Lp, которые больше vy, найдутся все T{j} для каждого j Е W'. Получаем, что aiq Е HW", где W' С W'', то есть aiq ^ TW". Но в нашем случае для любых непустых W', W'' С W, таких что W' С W'', справедливо Tw" ^ Tw 1. Получаем, что aiq ^ Tw" ^ Tw> = d. Итак, значение d, присвоенное переменной у больше или равно всех сц 1, ■ ■ ■, (iir • П
Проделаем указанное присвоение для всех связанных переменных формулы F, значения которым еще не присвоены. Для доказательства (4.1) нам остается рассмотреть случай, когда z1,z2 Е Y1, z1 Е X, z2 Е Y1 и Z1,Z2 принадлежат разным Y1,Y2. В первом случае значения переменных z1 и z2 будут равны, поскольку мы берем наибольший максимум для элементов ai1, ...,air. Во втором случае (4.1) выполняется согласно процедуре присвоения значений переменным из Y1 . В третьем случае по определению множеств Y1, Y2 может быть только Z1 Е Y1, Z2 Е Y2. В этом случае справедливость (4.1) следует из леммы 8.
Итак, получаем, что не существует рассмотренного выше невырожденного предиката р € [Я] местности больше четырех. По лемме 4 получаем, что в рассматриваемом случае надструктура класса Мн конечна.
Рассмотрим теперь случаи, когда либо два множества вида Н^ пусты, либо все три. Не ограничивая общности, предположим, что Н23 = 0 и Н13 = 0. По лемме 7 если множество Н^ ^} непусто, оно обладает единственным максимальным элементом 7(1,2}. Предположим, что множество Н{ 1,2,3} имеет более одного максимального элемента. Тогда Т{1},Т{з} и два различных максимальных элемента из множества Н{1,2,з} образуют четверку, удовлетворяющую теореме 2. Из указанного противоречия получаем, что множество Н{1,2,з} имеет единственный максимальный элемент Т{1,2,3}. Если множество Н{1,2} непусто, то по лемме 8 выполнено Т{ 1,2,3} ^ Т{1,2}.
Изменим процедуру присвоения следующим образом: для максимального элемента уу присвоим переменной у значение Ту}, если найдется элемент ^ уу такой, что свободная переменная на наборе а принимает значение а^ € Ну}. В случае Н{1,2} = 0 остальным максимальным элементам присвоим значение Т/1,2/, иначе — Т{1,2,3}. Далее, как в предыдущем случае будем присваивать значения из множества М1 = {Т{1},_Т{2},Т{3},Т{1,2},Т{1,2,3}} по индукции (если Я{1>2} = 0, то в множестве М следует вычеркнуть значение Т^д,2})-
Дальнейшее доказательство абсолютно аналогично предыдущему случаю.
Теорема доказана. □
Итак, применением открытых ранее автором необходимых и достаточных условий был найден критерий наличия бесконечной надструк-туры у классов монотонных функций, порожденных ЧУМ с тремя максимальными элементами и одним минимальным. Используя [4] (над-структура класса монотонных функций не меняется при инвертировании порождающего его ЧУМ), можно получить критерий наличия бесконечной надструктуры у классов монотонных функций, порожденных ЧУМ с тремя минимальными элементами и одним максимальным элементом.
Отметим, что остается открытым вопрос об общем критерии бесконечной надструктуры для всех классов монотонных функций.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 13-01-00684-а.
Список литературы
1. Ларионов В. Б. Замкнутые классы fc-значной логики, содержащие классы монотонных или самодвойственных функций : дис. ... канд. физ.-мат. наук / В. Б. Ларионов. - 2009. - 157 с.
2. Ларионов В. Б. О монотонных замкнутых классах функций многозначной логики с бесконечной надструктурой / В. Б. Ларионов // Материалы VII молодежной научной школы по дискретной математике и ее приложениям, 18-23 мая 2009 г. - М.: ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2009. — С. 7-12.
3. Ларионов В. Б. О положении некоторых классов монотонных k-значных функций в решетке замкнутых классов / В. Б. Ларионов // Дискретная математика. - 2009. - Т. 21, № 5. - С. 111-116.
4. Мартынюк В. В. Исследование некоторых классов функций в многозначных логиках / В. В. Мартынюк // Проблемы кибернетики. - М.: Наука, 1960. -Вып. 3. - С. 49-61.
5. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций / С. С. Марченков. -М. : Физматлит, 2000. - 128 с.
6. Теория Галуа для алгебр Поста / В. Г. Боднарчук, В. А. Калужнин, В. Н. Котов, Б. А. Ромов // Кибернетика. - 1969. - № 3. - С. 1-10. - № 5. - С. 1-9.
7. Яблонский С. В. Предполные классы в многозначных логиках / С. В. Яблонский, Г. П. Гаврилов, А. А. Набебин. - М. : Изд. дом МЭИ, 1997. -144 с.
8. Янов Ю. И. О существовании fc-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса / Ю. И. Янов, А. А. Мучник // Докл. АН СССР. - 1959. -Т. 127, № 1. - С. 44-46.
9. Post E. L. Two valued iterative systems of mathematical logic / E. L. Post // Annals of Math. Studies. Vol. 5. - Princeton : Princeton Univ. Press, 1941. - 122 p.
10. Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusiers variables sur un ensemble fini / I. G. Rosenberg // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. - 1965. - Vol. 260. -P. 3817-3819.
V. B. Larionov
Criterion of existance of infinite substructure for some classes of monotone fc-valued functions
Abstract. This paper continues author's investigation of substructure for classes of monotone functions. Criterion of existance of infinite substructure for some family of classes of monotone functions.
Keywords: multivalued logic; lattice of closed classes; monotone functions.
Ларионов Виталий Борисович, кандидат физико-математических наук, ООО „Атес Медика Софт" ([email protected])
Larionov Vitaly, Ates Medica Soft ([email protected])
