О классах сопряженности в группе pslziq1) Текст научной статьи по специальности «Математика»

О КЛАССАХ СОПРЯЖЕННОСТИ В ГРУППЕ РБР^2) <а>

Н.Д. Зюляркина

В статье описываются классы сопряженности в группе РБЬ2(д2) < а >.

Ключевые слова: Группа, класс сопряженных элементов, автомор-

физм.

При исследовании конечных групп большую ценность представляет информация о свойствах групп, близких к простым. При описании таких групп особое внимание уделяется изучению классов сопряженных элементов.

В данной работе рассматривается группа РБЬ2(д2) < а >, где д — нечетно, а — полевой автоморфизм порядка 2 группы РБЬ2(д2)-Введем следующие обозначения: у — примитивный элемент поля ОР{д2),

Ь — элемент порядка д2 + 1 из БЬ2(д2), который можно записать в

Теорема 1. Пусть О ~ РБЬ2(д2) < а, >, д — нечетно, а — полевой автоморфизм порядка 2. Тогда представителями классов сопряженности в О являются следующие элементы:

виде

I для подходящих ж и у из ОР(д2), х /

г = г(312(д2)) = {Е^Е},

если х Є 5Х2(д2), то х = хЕ є Р^І^д2).

1. Описание классов сопряженности в группе <а>

, 2 _ 1

1) а ,0 < к < а-^—, и ат сопряжен с ап тогда и только тогда, когда

„2_і

п = ±тд + 2~і, і, Є Z;

2) Ък,0 < к < ^ -, и Ьт сопряжен с Ьп тогда и только тогда, когда

п = ±тд + і Є Z;

3)с;

4)

5) для каждого ак из пункт,а 1), такого что к делится на д — 1

Элементы из различных пунктов не сопряжены.

Доказательство теоремы разобьем на ряд лемм.

Лемма 1. Если элементы х\а и х2а сопряжены в РБЬ2(д2) < а >, то они сопряжены при помощи элемента из РБЬ2(д2).

Доказательство. Если да, — сопрягающий элемент, то х\ада = х\да будет требуемым сопрягающим элементом.

Лемма 2. Пусть да € О и (да)2 = ак, где к = 1,..., Тогда имеет место один из следующих случаев:

ство (да)2 = ак равносильно равенству да = д 1ак, которое, в свою очередь, эквивалентно совокупности двух следующих систем:

2_ 1

или д + 1 и к ф существуют два, различных класса, сопряженности с представителями х\а и Х2а такими, что (х\а)2 = (х2а)2 = ак;

6) для с, ё и а‘ 4 существуют соответственно по одному классу сопряженных элементов с представителями х\а, х^а и х^а такими, что

о

(х\а)2 = с, (ж2«)2 = й, (х$а)

І Є Z или .з = 1(д + 1) — т, І Є Z;

и,ли ,э = + т + 1,(д — 1), І Є Z.

а

& = т»к

92 = -д^~к ъо

91 = ~дг^ 9*4=91 »-к

д\ = -д^к

9\ = 92У-к

д\ = дгук д\ = ^д^-к

д + 1. Пусть д = ( I и к = т(д + 1). Тогда из первого уравнения

Рассмотрим систему а°. Предположим сначала, что хотя бы один из

элементов <72 или <73 не равен нулю. Пусть д2 ф 0. Тогда д|-1 = ^и^к и

1 = д2Я+1^Я^1^ = ^к^ч+1^. Так как \и\ = д2 — 1 в ОР(д2)*, то к делит (д — 1)

и к = т(д — 1). Из первого и последнего уравнений получим д1 = д1ик^1^я\

что возможно если д\ = 0 или к делится на д + 1. Но к = т(д — 1) и 2_ 1

0 < к < Поэтому д\ = 0 и д^ = 0. Следовательно, в этом случае

/0 д2 \

имеет место равенство д = \ _л I, где элемент <72 = V8. Из второго

V о у

уравнения системы получим, что 5 = ^тг1 — т — (д + 1)1.

Предположим теперь, что д2 = дз = 0. Тогда д\ ф 0 и к делится на

' д\ о

0 91

системы будем иметь иЯЗ = и 5 = т + 1(д — 1).

Рассмотрим систему Ь°. Если <72 Ф 0 или <73 ф 0, то из второго или

третьего уравнения получим, что к делится на д — 1 и к = т(д — 1). Из

первого и четвертого уравнения получим равенство д1 = ко/ 0 1/Л

торое возможно лишь при <71 = 0. Поэтому 54 = 0 и д =

\-и8 0 )

Второе и третье уравнения системы запишутся в виде и48 = и8и^т^ч-1), что эквивалентно равенству — 1) = ^т(д ^ 1) + 1(д2 — 1), где I € Zí а это приводит к равенству 5 = 1(д + 1) — т. Если же 52 = 5з = 0, то

( V8 0 \

к = т(д + 1), д = [ и выполняется равенство и48 = ^1/^8ит^я+1\

\ 0 V8)

что дает з(д + 1) = + т(д + 1) + 1(д2 — 1) или 5 = + т + 1(д — 1).

Лемма 3. Пусть m£Zu0<m< Тогда элементы вида да, где д =

/о 1/Л х

Z, я = ^----т — (д + 1)1, I € Z, сопряжены между собой в О.

о

То же самое имеет место для элементов вида да, где д =

г,

и .з = 1(ц + 1) — т, І Є Z.

Если О < т < то элементы

з±1

V 2

2+1

+т

Za и

Za не сопряжены в О.

Доказательство. Покажем, что любой элемент да, где д =

О

+т

Для этого достаточно предъявить сопрягающий элемент. Непосредственно

проверяется, что в качестве такого элемента можно взять (и-1 0\

ад_1=(о ,‘)2-

Если же 5 = 1(д + 1) — т, то в качестве элемента, сопрягающего да и

Za можно взять адо =

О / \0 и

Предположим теперь, что элементы

2+1

+т

2+1 V 2

о

Za и

Za сопряжены в О. Но тогда они сопряжены посредством

элемента х из РЗЬ2(д2). Пусть х =

Х\\ Х\2

вие х

Ж21 Ж22

представитель х. Усло-

т

ч+1

о

Zax =

О

О

Za равносильно вы-

полнению хотя бы одной из следующих двух систем:

ь211

я 4+1 -

ХЧ22и 2

= -Хи^

= Хп1У~т

ж|1І/-2уі+™ = Х<ПУГ>

2+1

или

-+т, _______

= Х21ІУ

ХЦХ22 — Х\2Х21 = 1

ь21і

Я 4+1 -ХЧ22и 2

я

—х\^

= Х\2^

= -Хц1У~т

2 + 1

+т ____

ХІ2^^+т = Х21V-™ Х\\Х22 — Х\2Х21 = 1

2+І

Рассмотрим систему 1°. Из второго уравнения получим хц = х^у' 2 .

Подставим это значение в третье уравнение: Х22уЦ^~= Х22^т. Учи— 1

тывая, ЧТО ¿/2 = —1? будем иметь — Х22 = ^22? чтО влечет Х22 = Хц = 0.

Значит, ж 12 и Ж21 не равны нулю. Из последнего уравнения выражаем Ж21: Ж21 = ^Ж12г/2т_£2_. Подставляем это выражение в первое уравнение и по-

о _ <?+! д+1

лучаем ^х\2Ь/ я я 2 V 2 т = ^х12Ут- Так как Ж12 ф 0, то должно выпол-

/я+1 ч 1 <?+!

2т(а—1)—а(4 *14-4 1

пяться равенство V кч ’ чх 2 2 = 1; ЧТО возможно лишь при условии

2т(д^ 1) = 9’^~1 (2£ + 1), í € Я. Но тогда т = ^|-Ц2£ + 1), что противоречит

условию 0 < т < Система 2° разбирается аналогично.

о-1 (”* 0 \

Лемма 4. Пусть т Є Z и 0 < т < и да = І _ I /а, где

5 имеет одно из следующих представлений: а° з = т + — 1), І Є Z,

Ь° 8 = т + 2=1 + 1(д - 1); I е Я.

(ит 0 \

Тогда в случае а° да сопряжен в О с элементом _ \ Zа, а

\ О V т I

(ит+Ч~^ 0 \

в случае Ь° — с элементом _ Za.

а-1 0 \

Если О < т < 4~-, т'0 элементы | | Za и

’ит+й^ 0 \

_ \ Za не сопряжены в (?.

О V т 2 /

О V

-т

Доказательство. Как в случае а°, так и в случае Ь° в качестве сопря-

(и1 0 \

гающего элемента можно взять го = , ) Z. Покажем теперь, что

У О V 1 I

■ ' (ит+Ч~^ 0 \

Za и а-\ \ Za ае сопряжены в (?. Предпо-

У 0 и~т) у 0 1у-т- ~) Р Р ^

__1 ("т 0 \

ложим противное. Пусть имеет место равенство ж I Zax =

У О V т I

[ит+ч~^ 0 \ „

_ _д--1_ Za для некоторого элемента х € Р 6X2(9). Если У О V т г J

СХц Х\2 \ „

) € РЗЬ2Щ ), то должна выполняться одна из следующих

#21 #22 / систем:

хдпит = Х11ит+Ч~^

п <3—1

ХЧи1Ут = Х121У-ГП- — Х\^~т = Х211Ут+3^

х\2у-т = хшу^т" ХЦХ22 ~ Х\2Х2\ = 1

д-1

ИЛИ

хЬгут = -®ц1/т+а21

,Ц I

я

"и1

а

Ч\1

а

Ч21

„9 ,,то ______ „ то ,,

— — Ж121/ 2

д-1

2

д-1

2

д-1

а&,1/-т = ^Х22^т 2

ЖЦЖ22 — Ж12Ж21 = 1

Рассмотрим систему 1° (система 2° разбирается точно так же). Предположим, что хц ф 0 и хц = V1. Тогда из первого уравнения получаем ра-

венство = игит+12~, что эквивалентно д1 + т = ¿ + т + + (д2 — 1)г,

г Е Z. Отсюда £ = ^ + (д + 1)г 0 Z. Следовательно, хц = 0 и Ж22 = 0 (получается аналогично). Значит, Ж12 и Ж21 не равны нулю. Пусть Ж12 = € Z.

Подставляем это выражение во второе уравнение: г/?*+т = ^

что равносильно д1 + т = £ — т — рр + (д2 — 1 )г, г Е Z. Отсюда Ъ = — — \ + (я + 1)г- Так как 0 < т < ^¡-Ц то £ 0 Я. Полученное

противоречие доказывает лемму.

Лемма 5. Пусть а)2 = а 4 . Тогда да сопряжен в О с эле-( О ь>~ \

ментом _д+1 %ос, если д + 1 = 0(4), или с элементом

\-и 4 () )

(и— 0 \

1=д %а> если д — 1 = 0(4).

V 0 V 4 /

Доказательство. Пусть д + 1 = 0(4). Тогда по лемме 1 д имеет вид

= — т — (д + 1)1 или 5 = 1(д + 1) — т,

0 1/8\

^_в 0 г, гдез = 2

где т = По лемме 2 все элементы первой серии сопряжены с

_ ( ° г/2^\ -д\а = _д+1 ) % ос, а элементы второй серии - с 32« =

V—и 4 0 /

/ д+! \ / \

0 »—г \ 0 1\

2+1 Za. Очевидно, что ($2«; = 51«) ГДе ж = Я.

\ —V 4 0 / \ —1 0 /

0

Пусть теперь д — 1 = 0(4). По лемме 1 д = \ ) Z, я = т + 1(д — 1),

\ 0 V в )

I Е Zб или 5 = 2=1 + т + 1(д — 1), где т = с^. По лемме 3 все эле-

у Я— 1 ч

(у— 0 \

д-1 I Za, а элементы

0 I/ 4 /

менты первой серии сопряжены С 51« =

С1 — ч

и~ 0 \ _ _ _

а-1 Za. Очевидно, что (д2а)х = д\а, где

О V 4 )

(О 1\ х = ) г.

V"! °/

Лемма 6. ВО РБЬ2(д2) нет элементов, квадрат, которых совпадает сЬк, 0 < к < 2^.

Доказательство. Предположим, что такой элемент да существует. Тогда он имеет порядок 21, где I нечетно. Поэтому (да)1 является инволюцией из О — РвЬ2(д2), которая централизует Ъз^и^. Централизатор любой инволюции из О^РЗЬ2(д2) в РБЬ2(д2) изоморфен РОЬ2(д), и его порядок равен д(д2 — 1). В то же время |Ь*| делит я и должен делить д(д2 — 1), что влечет |Ь*| = 1. Противоречие с выбором к.

Лемма 7. Пусть д — элемент из вЬ2(д2) и (да)2 = с. Тогда д имеет

А () \ * -

вид , ,, о+1 1-о , где 'Шп — произвольный элемент

\ад0 + 2-1(-1)5+11/£т- (-1 )’ и 1

из ОР(д).

(д\ д2\

Доказательство. Пусть д = и дда = ес, где е = ±1. Это условие

\5з 54/

эквивалентно следующей системе уравнений:

515? + 525з = е 5152 + 5254 = 0 535? + 545з = £и 5352 + 5454 = е 5154 - 525з = 1

а) д\ = ь>к для некоторого целого числа к.

Заметим, что д\ ф 0. В самом деле, если д\ = 0, то из второго уравнения 54 = 0 и третье уравнение системы не имеет решений. Пункт а доказан.

б) 52 = 0.

Пусть д2 ф 0. Рассмотрим второе уравнение системы: 515! + 5254 = О 52(515ГХ + 52) = 0- Поэтому д\ = ^дх^1 и 54 = ^д\д2^1+1 =

^gfg2^q ■ Из четвертого уравнения выразим дзд2: дз92 = £ ~ 5454 • Значит, элемент д$д2 лежит в поле GF{q) и д%д2 = gqg2-

Рассмотрим третье уравнение системы. Учитывая вид для <74, оно может быть записано следующим образом: дзд\ ~ 5?52_1?5з = £v или

5з — 5з52_1? = £l,9i^q■ Учитывая, что дзд2 = 5§525 получим равенство 9з92^Я = 53) приводящее третье уравнение системы к виду 0 = evg\~q. Это уравнение не имеет решений {д\ ф 0), и, следовательно, д2 = 0.

в) е = —1.

Предположим, что е = 1. Тогда рассматриваемая нами система уравнений приобретет вид

515? = 1

535? + 545з = v

9494 = 1 . 5154 = 1

Учитывая, что д\ = vk, из первого уравнения системы получим равенство = 1. Это возможно лишь в том случае, когда к делится на

q — 1. Значит, к = m(q — 1).

Из второго уравнения системы получим равенство 53 + 5з = vk+1. Значит, к + 1 делится на q + 1 и к = t(q + 1) — 1. Приравнивая найденные выражения для к, получаем уравнение т{ 1 — q) + t(q — 1) = 1, не имеющее целых решений mat. Таким образом, е = — 1.

г) gi = (-1 и д3 = w0 + 2“1 (—1)S+1 .

Так как в = —1, то рассматриваемая система уравнений приобретет

вид

515? = -1 535? + 545з = ~v 5454 = -1 . 5154 = 1

Пусть д\ = vk. Тогда из первого уравнения получим, что i/fc(9+!) = и4 г . Значит, k(q + 1) = m(q2 — 1) + q 21 и к = m(q — 1) + pp. Очевидно, что д4 = v^k и третье уравнение при указанном выше к выполняется.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно может быть преобразовано к виду ^ дз = —511Л Заметим, что в этом случае {—д\и)4 = д\У-Последнее равенство может быть переписано в виде —г= ик+1 -^=> дт0 приводит к равенству (к + 1)(д — 1) = я + ¿(д2 — 1), где í — некоторое целое число. Выразим к из полученного равенства: к = Я±к + ^д+1)-1.

Ранее было получено другое выражение для к: к = т(д — 1) + рр.

Выясним, при каких целых т и I будет выполняться равенство ^±1 + ¿(д + 1) — 1 = т(д — 1) + рр. Это равенство упрощается до вида т(д — 1) = ¿(д + 1), и поэтому оно возможно только в случае, когда т = «^±1 для некоторого целого числа 5. Но тогда к = и д\ = (^1)51/£2_.

Выясним вид элемента д$. Этот элемент можно записать как д% = ящ — 5 где г«1 и адо — элементы из (?Р(д). Из равенства д$—дз = ^дг^

получим, что 'Ш\ = 2_1(^1)5 и ^з = г«о + 2"™1 (— 1 )в+1 . Лемма доказана.

Лемма 8. Все элементы из О — Р<51/2(д2), квадрат, которых равен с, сопряжены посредством РбТг^2)-

Доказательство. Достаточно для любого элемента д =

( (-1)^ 0 \ „ _

, , 0+1 1-0 предъявить такой элемент X из

1ад0 + 2-1(-1)5+:1и~ 1

/ <2—1 \

о - V— О \

Р5Р2(д2), что дах = 0_12+1 ь* •

У ^2 V 2 1/2 /

Непосредственно проверяется, что в качестве представителя класса х

( 1 ^

МОЖНО ВЗЯТЬ элемент X = , , , 0+1

\2”“1(—1)в+1го0^^' 1/

Лемма 9. Пусть д — элемент из и (9°)2 = Тогда д имеет вид

( 8 0\

0+1 , где г«о — произвольный элемент из (?Р(д); а 8 = ±1.

\2 М + г 8 )

( 91 92 \

Доказательство. Пусть д = и дда = её, где е = ±1. Это условие

\5з 54/

эквивалентно следующей системе уравнений:

515? + 525з = е 5152 + 5251 = О ( 535? + 545з = е 5352 + 545? = е 5154 - 525з = 1

а) д\ = ик для некоторого целого к.

Заметим, что д\ ф 0. В самом деле, если д\ = 0, то из второго уравнения 54 = 0 и третье уравнение системы не имеет решений. Пункт а доказан

б) 52 = 0.

Пусть 52 Ф 0. Рассмотрим второе уравнение системы: д\д\ + 5254 = 0 52(5152_1 + 51) = 0. Поэтому д\ = -515Г1 и 54 = -5?522_9_1+1 =

^5?52_1?. Из четвертого уравнения выразим д^д\'- 5з5г = е — 545?■ Значит, элемент 5з5| лежит в поле ОР(д) и 535! = 5з52- Рассмотрим третье уравнение системы. Учитывая вид 54, оно может быть записано следующим образом: дъд\ - д\д}^чд1 = £ или 53 - д¡д^д = ед\^4. Так как 535! = 5^2, получим равенство д1д\^ц = 53) приводящее третье уравнение системы к виду 0 = ед\ я. Это уравнение не имеет решений (51 ^ 0), и, следовательно, 52 = 0.

в) е = 1. Предположим, что е = —1.

Тогда рассматриваемая нами система уравнений приобретет вид

515? = -1 535?+ 5453 = ^!

5454 = -1 . 5154 = 1

Учитывая, что д\ = ик, из первого уравнения системы получим равенство = — 1. Это возможно лишь в том случае, когда к имеет вид

к = рр + т(д — 1).

Из второго уравнения системы получим равенство 53 — 53 = —д^1-Поэтому (^5^1)|? = д\1 ■ Подставив в это равенство выражение для 51, получим следующее уравнение: ик^1^ = —1. Но это возможно лишь в случае к = + 1(д + 1) для некоторого целого числа

Приравнивая найденные выражения для к, получаем уравнение т(д— 1) — t(q + 1) = 1, не имеющее целых решений mat. Таким образом, е = 1.

г) д\ = S, S = ±1 и 5>з = 2-15 + .

Так как е = 1, то рассматриваемая система уравнений приобретет вид

Я 1

9№ = 1

ml + зад! = 1 ml = 1 . 9т = 1

Пусть д\ = vk. Тогда из первого уравнения получим, что i/fc(9+!) = 1. Значит, k{q +1) = m(q2 — 1) и к = m(q— 1). Очевидно, что д4 = и третье уравнение при указанном выше к выполняется.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно может быть преобразовано к виду 53 + 53 = 9i- Заметим, что в этом случае д\ = д\. Последнее равенство может быть переписано в виде Это приводит к ра-

венству (q — 1)к = t(q2 — 1), где t — некоторое целое число. Выразим к из полученного равенства: к = t(q +1). Ранее было получено другое выражение для к: к = m{q— 1). Выясним, при каких целых mat будет выполняться равенство t(q+1) = m{q — 1). Это возможно только в случае, когда т = для некоторого целого числа s. Но тогда к = s^g2~1^ и д\ = ±1. Выясним

g-j- 1

вид элемента д3. Этот элемент можно записать как д% = wi + wqv 2 5 где w\ a wq — элементы из GF{q). Из равенства 53 + 53 = S, S = ±1, получим, что wi = 2и 5з = 2+ wqv^ . Лемма доказана.

Лемма 10. Все элементы из G — PSL2(q2), квадрат которых равен cl, сопряжены посредством PSL2(q2).

Доказательство. Достаточно для любого элемента g = [

1 О

2_i + 1

о - / 1 0 \

предъявить такой элемент х из РвЬ2(9 ), чт0 9аХ = ( 2—1 ])'

Непосредственно проверяется, что в качестве представителя класса х ( 1 ^

можно взять элемент X =

V 2 адо 1

Лемма 11. Пусть да — инволюция из О, такая, что (да) = Е. Тогда имеет место один из следующих случаев:

1 _я±1 п |, где го — ненулевой элемент из

ик 2

и1 "V г (г/"чч

О изи г

_1 _ £±1 п

-го V 2 О

з+1 ч

); где т — ненулевой элемент из ОЕ(д), к — целое число, не делящееся на д — 1.

/ о \ /г/п(<г-1) \

(3)!1=[м’р ) или я = { о где'ш -

элемент из ОЕ(д), т — целое число.

Доказательство. Пусть

(91 92 \ . *2 Г!

9 = и (да)1 = Е.

\9 з 54/

Это возможно тогда и только тогда, когда выполняются следующие соотношения:

а 51 = 54

а 52 = 52

а 5з = ^5з

а 94 = 51

5154 - 525з = 1

а) Если д\ = 0, то д^ = 0, а д2 и д% не равны нулю. Из второго и

3+1 3+1

третьего уравнений системы получим, ЧТО $2 = ^1^ 2 , $3 = ^1^ 2 5 где г01 и ад2 — ненулевые элементы из ОЕ(д). Последнее уравнение системы устанавливает связь между д2 и д%: д% = ^д21 • Получаем случай (1).

б) Пусть д\ ф 0 и д\ = ик. Тогда из первого уравнения д4 = ичк. Как и

3+1 3+1

в случае а, д2 = 2 , 5з — ^1^ 2 ? гДе ^1 и Эд2 — некоторые элементы из

ОЕ(д). Последнее уравнение системы при этом перепишется в виде г/^-М) — 'Ш1'Ш2г/|?+1 = 1 или, что эквивалентно, 'Ш1'Ш2 = гАк^1)(ч+1) — г/-^1).

Правая часть последнего уравнения обращается в ноль тогда и только тогда, когда к = т(д — 1), т € Z. В этом случае П11Ш2 = 0, и получаем случай (3).

Если же к ф т(д — 1), т € Z, то, используя последнее уравнение системы, получим ад2 = адГ — 1) и имеет место случай (2).

Лемма 12. Пусть да — инволюция из О, такая, что (да)2 = —Е. Тогда

имеет место один из следующих случаев:

( 0 иш-Чя+1) \

(1) д = ( _ця+1^ п Ь г^е к — целое число.

О

,к

СЮ 9 =

ад

ч -ад-^ОН-1) + 1) -IМ/

ОЕ(д), к — целое число, к ф рр + т(д -1),

где ад — ненулевой элемент из

(3) 9 =

;к О

ад

ад

или д =

О

где ад — элемент из

ОЕ(д), к — целое число, к = + т(д — 1), т € Z.

Доказательство. Пусть

(91 9ъ\ 2 с

9 = и {да)2 = -Е.

\9з 94/

Это возможно тогда и только тогда, когда выполняются следующие соотношения:

91 = ^54 92=92 93=93 94 = -91

9194 ~ 92дз = 1

а) Если д\ = 0, то 54 = 0, а 52 и 53 не равны нулю. Из второго и

третьего уравнений системы получим, что д2 и дз — элементы поля ОЕ(д). Учитывая, что —д2дз = получим д2 = д% = Значит,

имеет место случай (1).

б) Пусть д\ ф 0 и д\ = ик. Тогда из первого уравнения 54 = —ичк.

Как и в случае а, 52 и дз — некоторые элементы из ОЕ(д). Последнее уравнение системы при ЭТОМ перепишется В виде —I/к(ч+1^ — 5253 = 1 или, что эквивалентно, 5253 = — 1.

Правая часть последнего уравнения обращается в ноль тогда и только тогда, когда к = 2=1 + т(д -l),roeZ. В этом случае 5253 = 0, и получаем случай (3).

Если же к ф 2=1 + m(q — 1), т € Z, то, обозначив через ад элемент д2

и используя последнее уравнение системы, получим 5з = — ад-1^*^9'1'1) + 1)

и имеет место случай (2).

Лемма 13. Пусть да — инволюция из G, такая, что (да)2 = Е. Тогда да сопряжена с а в G.

Доказательство. Укажем сопрягающий элемент х из PSL2(д2)-

Если д имеет вид (1) из леммы 11, тогда (да)х = а для х =

/ адг/2^- ^2-1 \ _ _

1 1 _2±i • Если д имеет вид (2) из леммы 11, тогда (да)х = а

V 1 2 Lw Lv 2 I

( -2-rwv^ 1 \

ДЛЯЖ= ^-2-1(1 + 1-!/*«) )'

Рассмотрим случай (3) из леммы 11. Пусть д = I m(i-g) )

1

-2-lwu— 1

и ад ф 0. Тогда х = 1 / п , 1 д+1 /тч, - Если

+ ^и)-11у- — (1^1Ут(-1-ч)))

(и-т 0 \

ад = 0, то в качестве х можно взять матрицу

У 0 1Ут)

Лемма 14. Пусть да — инволюция из О, такая, что (да)2 = —Е. Тогда

(0 1\

да сопряжена с I ^ I Za в О.

Доказательство. Укажем сопрягающий элемент х из РБЬ2(д2).

Пусть д имеет вид (1) из леммы 12. Тогда (да)х = а для х =

/V о \

и и-ьу

Пусть д имеет вид (2) из леммы 12 и ад = Тогда (да)х = а для

м

у у-з )

(ик ад \

Рассмотрим случай (3) из леммы 12. Пусть д = I ^ I и ад =

, ,и (у3 0 \

. Тогда ж = < , • Если и; = 0 и элемент д имеет вид

у £,-(«+«.) у-3!

/V 0 \ (2~11/к 2_1\

, то в качестве х можно взять матрицу .

\ 0 -1/9* у ‘ у -1 г/-*/

/О 1\

Лемма 15. а я I ^ I Za не сопряжены в О.

/О 1\

Доказательство. Предположим противное. Пусть а и I ^ I Еа сопряжены в О. Тогда существует элемент д € БЬ2(д2), такой, что да = ( 0 1\

ед I ^ I, где е = 1 или е = —I. Указанное равенство эквивалентно следующей системе уравнений:

д\ = ^ед2

92 = Ш

д\ = -т д\ = т

9194: - 9293 = 1

Выразим из первого уравнения д\: д\ = —£д\. Подставим это выражение во второе уравнение: д\ = —¿lg\■ Так как е = ±1, то е2 = 1 и д\ = О, это влечет g>2 = 0 и д\ = 0, что невозможно. Лемма доказана.

Лемма 16. Элемент Ьа сопряжен с Ьч в группе SL,2(q2) < а >.

(х yv\

Доказательство. Элемент b имеет вид I для некоторых ненуле-

\у х )

вых элементов ж и у из GF(q2). Рассмотрим квадратичное расширение поля GF(q2), построенное с помощью многочлена ж2 — v. Пусть 7 — корень данного многочлена. Можно установить инъективный гомоморфизм из группы < Ь > в мультипликативную группу поля GF(q4:), при котором элементу b будет соответствовать элемент ж + уу. Тогда bq соответствует элемент

д-1 ( X4 УЯУ^~ \

(ж + yj)q = xq + yqv 2 j. Значит, bq = 4-1 . Укажем элемент

YyqV 2 xq J

д € ОЬ2(д2), такой, что (Ьа)9 = Ья. В качестве такого элемента можно взять

Значит, в ОЬ2{(11)а элементы Ья и Ьа сопряжены. Покажем, что эти элементы сопряжены и в 8Ь2(д2)а. Непосредственно проверяется, что С(л2^2^(Ь)

д4 — 1. Очевидно, что \С§^2^2^(Ь)\ равен числу решений в ОР2{ц2) уравнения и2 — ю2и = 1. По теореме 6.26 из [1] это число равно д2 + 1. Учи-

IGL2(q2) : CGL2(q2)(b)\ = ISL2(q2) : C'SL2(g2)(b)| = q2(q2 - 1). Полученное

равенство завершает доказательство леммы.

Доказательство теоремы. Пункты 1 — 4 следуют из описания классов сопряженных элементов в SL2{pn), приведенного в [2], и леммы 16. Пункт 5 следует из лемм 2, 3, 4, 11 — 15. Пункт 6 получается из лемм 5, 7 — 10. Лемма 6 показывает, что представители всех классов сопряженности перечислены в пунктах 1 — 6. Отсутствие сопряженности у элементов из различных пунктов либо очевидно, либо легко показывается непосредственными вычислениями.

Список литературы

1. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988.

2. Dornhoff L. Group Representation theory, part В. Marcel Deccer, New Jork,

4-1

состоит из матриц вида

Отсюда следует, что \CGL2(q-2)(b)\

тывая, что |GL2(g2)| = ~ 1)(?2 — 1)5 \SL2(q2)\ = g2(g4 — 1), получаем

1972.

Челябинский государственный университет [email protected]