Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), q нечетно Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАНГИ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ГРУПП Я НЕЧЕТНО

Р.Ж. Алеев* , О.В. Перавина

Челябинский государственный университет

Определены ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп РБЬ2(4), д нечетно.

Ключевые слова: групповые кольца, центральные единицы.

1. Введение

В работе вычисляются ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q). q нечетно, что позволяет получить ценную информацию о группах центральных единиц, а :>то в свою очередь влечет получение важной части информации о группах всех единиц. Результаты этой работы частично анонсированы в [1].

2. Таблицы характеров

Введем обозначения, которых будем придерживаться.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть

1) G - PSLiiq)-, q нечетно и является степенью простого нечетного

числа р, |G| = .j^i?2

2) е = ( —заметим, что q = е (mod 4);

3) end- несопряженные элементы G порядка р;

А \ q ~ £

4) а элемент порядка —

q + e

5) b элемент порядка —-—;

6) «2 = инволюция (представитель единственного класса сопряженноои из инволюций);

7) Также для удобства положим:

q - 4 - £ q- 2 + £ £ + 1 a) q\ = -и q2 = --=qi+ ——;

* Работа поддержана РФФИ(грант № 96-01-01893),

Ь) 4з = = 2(?1 + 1) и 94 = ^у^ = 2<й + 1;

£ + ^ед е - у/ед

О 6+ = —— и = —

Согласно [2, с.16] таблица характеров можег быть задана таблицей 1.

Таблица 1 Таблица характеров

1 с d Г а1 ь,п

1о 1 1 1 1 1 1

44 ь+ й_ 0

Í2 44 6- h £(-1)41+1 0

■*? q 0 0 с _с

2 <14 с - 2е(-1)' 2г1ж 2s cos- 4з 0

¿41 _с _с 0 0 2 jmw 2с соь 44

Замечание 2.1 Дадим необходимые пояснения к таблице 1: 2тг г— . 2тг

1. Пусть р = cos--1- V — Ism— — первообразный корень и* 1 с tenelín

Ч) Чз

f/5, гогда

2 cos - = р г/ + р". (1)

4з

2тс ,— '2ж

2. П\с ib а — (оь--г \/ ™ 1 sin— пепвообразный корень из i с голени

Ч\ 44

/¡4. юг да

2со = (2) 44

3. Теперь \кажем преде ни изменения чисел /, in. t и j.

a) 1 </,/<(/],

b) 1 < у, m < q2.

3. Алгебраическая сопряженность

Замечание .3.1 Далее рассматриваются только целом и с ленные ip\n новые кольца конечных групп

РАНГИ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Согласно [5, § 70] определяется понятие алгебраической сопряженности характеров. Пусть

1. Irr(G\ ale) — система представителей классов алгебраически сопряженных характеров.

2. 1тт(\,а1с) — класс характеров, алгебраически сопряженных с

ЛЕММА 3.1.

1. Для любых г и п 1 < г, п < qx

QÍXt) = Q(Xn) 0,g3) = (n,q3).

Здесь, как обычно, (¿,</з) обозначает наибольший общий делитель чисел i и q-¿.

2. Для тбых j us 1 < j, s < q2

Q(0,) = Q(0s) (J,q4) = (s.q4). Доказательство.

1. Пусть d — {i,qз). Достаточно показать, что Q(\¡) = Q(\d)-

В самом деле, так как d делит i, то р~1 + р1 выражае1ся с целыми коэффициентами через p~d -f р'' и р~Лрв — 1. Отсюда

QUJ = Q(р" + Р1) с Q(р"1 + рл) = Q(\d).

С другой сюроны, существуют такие целые числа г i и q', чю г г i f q3q' — d. Поэтому

pd = рт+ЧзЧ' ^ рпг „ p-d = p-u^

и можно повторить рассуждения предыдущего абзаца, чюбы получить Q(w) Q Q( \ г) - Следовательно, Q(\(/) = Q(\J. что и нужно.

2. Доказывается аналогично 1.

ЛЕММА 3.2. Характер <р алгебраически сопряжен только с собой, потому

Iit(</>. ale) —

Доказательс тво. Следует из рассмотрения степеней характеров.

ЛЕММА 3.3. Характер алгебраически сопряжен с неприводимым комплексным характером х группы G \ = или X = £2 и у/Щ — нецелое число, то есть либо £ = —1 (q = 3 (mod 4)), либо £ = 1 (q = 1 (mod 4)) и q — неквадрат. Таким образом, для £ — 1 (q = 1 (mod 4)) и q, являющегося квадратом

1гг(£ь ale) = {^1} и Irr(f2,a/c) = {6}>

а в остальных случаях

1гт(Ь,а1с) = {6,6}-Доказательство. Из сравнения степеней сопряженными с могут быть только и

Если y/£q — нецелое число, то требуемый изоморфизм, переводящий в возникает как продолжение отображения y/eq н^ до автомор-

физма поля Q(£i) = Q(т/eq) = Q(6)-

Если y/sq — целое число (е = 1 [q = 1 (mod 4)) и q — квадрат)^ то и — Два характера, принимающих целые значения и к тому же различных:

с I ^ 1 + л/^ / 1 - с ( \

6(0 = —ф —= &(<•)•

Поэтому и £2 алгебраически не сопряжены.

ЛЕММА 3.4. Пусть т — корень из 1 степени i > 3. Тогда: 1) Q(г-1 +r) = Q(r) П R;

Q(t-1 + г) — расширение Галуа;

3) степень расширения [Q(t"_1 + т) : Q] = — (ф — функция Эйлера); 1

4) любой изоморфизм из Q(r"_1 + т) в поле комплексных чисел С является автоморфизмом поля QÍt"1 + т), который индуцируется отображением т тк для к, взаимно простого с t;

5) Gal (Q(r_1 -f г)) — абелева группа порядка Доказательство.

1) Ясно, что Q(r-1 + г) С Q(r) П R. Пусть а = а>Т' € Q(r) П R, где для всякого i аг £ Q. Тогда а = а, но а = ]Гг а,г' = Y,taiT~l-

Отсюда а — тг^7"' + Заметим, что тг + т~г выражается с целыми ^^ 2

г

коэффициентами через т + т-1. Следовательно, а £ Q(г~1 + г), то есть Q(t_1 + т) Э Q(г) П R. Таким образом, Qí?-1 + г) = Q(r) П R.

2 —5) Далее, известно (например, [4. § 60]), что Q(г) ~~ расширение Галуа с абелевой группой Галуа Gal (Q(r)), которая индуцируется отображениями т i-? тк для А:, взаимно простых с t. Ясно, что Q(т~1+т) = Q(r)flR

РАНГИ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ 9

— неподвижное относительно комплексного сопряжения подполе поля г).

Теперь все утверждения 2-5 следуют сразу из основной теоремы теории Га-

луа [4. § 58] и теоремы из [4, § 59, с. 202].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Пусть

<Ш(п,т) = {к | к делит п, 1 < к < т},

то есть йЩп,т) — множество всех натуральных делителей числа п, не

превосходящих т.

ЛЕММА 3.5.

1. Пусть \ - неприводимый характер группы С и г — 1,...,<?х. Характеры X и Хг алгебраически сопряжены тогда и только тогда, когда для некоторого п — X = Хп и (птЯз) — {г>Цз)- Таким образом,, для I 6 <НЦ<7з,д1)

Щх1,а1с) = {х„ | (п,<?з) = ?. 1 < п < ц^}.

2. Пусть в неприводимый характер группы С и ] — 1,...,(/2- Характеры 0 и 9J алгебраически сопряжены тогда и только тогда, когда для некоторого ] = 1,..., ц^ в = вп и {п,д4) = (],Я4)- Таким образом, для } е с}к(д4,д2)

1гг(0л а1с) = {0п | (п, ц4) = ?', 1 < п < д2}.

Доказательство.

1. Сначала докажем первую часть леммы.

(-=$>■) Так как алгебраически сопряженные характеры должны иметь одинаковые степени, то, учитывая лемму 3.2, получаем, что \ = для подходящего ¿ = 1,..., </]. Далее, если \р — автоморфизм, сопря1 ающий и \„, ю ^4<3(\г)) = <Э(\п)- Так как <3(\() = С$(р~' + рг), то по лемме 3.4 (случай, когда р - корень из 1 степени не более 2, тривиален, потому что тогда С^(\г) = С2) получаем, что ф должен быть автоморфизмом поля (3(\г), ю есть = С^(\). А теперь по лемме 3.1 получаем

треб\емое (н,</з) = (г,</з)-

(<=) >гловие (п.ер^) = (г,с/з) влече1, чю р1 и р'г корни и} 1 одинаковой сюиени, поэтому отображение р1 ь- ра продолжается до автоморфизма I' поля <Э(х,) = Я(р~г + Рг) - Я{р'п + Рп) = Я(Хп) (леммы 3.1 и 3.4). Далее, так как ^(хЛ«')) = Ф(£(р''г1 + />'')) = £{р~гп + ргп) - Хп(а') шш любого I = 1,..., <7!, ю из таблицы характеров (табл. 1) следует, что \1 и х-п алгебраически сопряжены.

2. Доказывается аналогично 1.

Итак, определена система представителей классов сопряженных характеров. Более точно, справедлива следующая лемма.

ЛЕММА 3.6. Следующие характеры алгебраически не сопряжены, а любой другой характер группы С = РЗЬ^) сопряжен с одним из указанных.

1. Если ц — квадрат степени простого нечетного числа,

1гг(6', а/с) = {1с,£ь6,<л{х» I г е \] е <Ш(?4,?2)}}.

2. В остальных случаях

1гг(&',а/с) = {1С, у?, {Хг I' С ¿Щ^т)}, Ь 6 с1к(^4,<?2)}}. Доказательство. Главный характер не может быть ал!е6раичес-ки сопряжен ни с одним друтим характером. Сопряженность $ выяснена в лемме 3.2. Сопряженность £ь £2 ~ в лемме 3.3. Сопряженность \г и в3 рассмотрена в лемме 3.5.

4. Ранги групп единиц

ЛЕММА 4.1. Ранги полей характеров.

1) r(U(I(Q(lG))))-=0;

2) r(U(l(QM)))-0,

3) q — квадрат ила q = 3 (mod 4)

r(U(I(Q(£i)))) = i(U(I(Q(6)))) = 0;

i) q = 1 (mod 4), q неквадрат

r(U(I(Q(6)))) = 1-

Доказательство.

1 3. При q ~ 3 (mod 4) из 'таблицы характеров (1абл. 1) что Q(6) = Qiv^) Теперь по [3, гл. II, § 7) r (U (I (Q (6)))) = 0 Оставшееся очевидно, так как в этих случаях поле соответствующею характера совпадает с Q.

1. Из таблицы характеров (табл. 1) следует, что Q(fi) = Q{-у/р)-Теперь по [3, гл. II, § 7] получаем r(U(l(Q(6))) = 1-

РАНГИ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ 11

ЛЕММА 4.2. Пусть q> 5. Тогда:

1) dlt(g4,Ç2) = {п I п | 94 и п > 2}, причем соответствие устанавливается посредством равенства j • п =

2) если j G dlt(ç4,g2), тпо

r(U(I(Q(^)))) = ^ - 1,

А 94

где п = —,

3

s) Y, r(u(KQ(0,)))) = ?2 + 1 - f(?4),

j€dlt(<}4,l}2)

где v{qi) — количество всех натуральных делителей числа q4. Доказательство.

1 Положим п = — Так как 1 < j < </2, ю J

Ча . Щ'1 + * о п = — > - > 2.

j <?2

Наоборот, пусть п [ д4 и /г > 2 Toi да

п

2g2 + 1

= 92-

2. Понятно, что <3(0,) = 3 4- ет-7), так как а1 — первообразный корень из 1 степени п — — > 2. Теперь по лемме 3 4 степень [(^(0;) •

_ Доле действительно, и все ею изоморфизмы в поле

комплексных чисел являются автоморфизмами (лемма 3 4). потому по теореме Дирихле [3. гл II, § 4] получаем

Ф{ п)

3. По утверждениям 1 и 2 имеем

JCdщЧiqi) Ы «=у

12 Р Ж Алеев , О В Перавина

так как q4 — нечётное число. Далее,

n|q4

= Ц + \ ~ = 92 + 1 + ^4),

так как |,4 Ф(п) = 14-

ЛЕММА 4 3 Пусть q > 7 Тогда-

1) dlt(g3,gi) = {п | п | q3 и п > 2},

причем соответствие устанавливается посредством равенства г п = q3;

2) если г 6 gi), то

r(U(I(QM)))=^-l,

л

гае п = —;

3) Е i(U(I(Q(\,)))) = gi+ 2-^93),

iedlt(q3 gi)

^(93) — количество всех натуральных делителей числа gs Доказательство Доказывается аналогично предыдущей лемме, только нужно учесть, что q4 — чечное число

ТЕОРЕМА 4.1 Ранг группы \}{Z(ZG)) центральных единиц целочисленного группового кольца группы G — PSLiiq), q нечетно, равен

при q = 1 (mod 4) и q — неквадрат,

в остальных случаях

Доказательство Для краткое i и положим

i(U(l(Q(xJ)))-rU)

для неприводимого комплексного харакюра \ группы G

Проверим непосредственно справедливость теоремы для q — 3 и q =

РАНГИ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ 13

При q = 3 имеем

г (и (Z (ZGO)) = - I/ = з - X - Z = и,

что согласуется с [6, с. 316], так как А4 = PSL2(3). Для q = 5 получаем

+ 1 = 4-2-2 + 1 = 1,

что согласуется с теоремой 7 из [6], так как PSL2{b) = А5.

Поэтому в дальнейшем считаем, чго q > 7. В силу теорем 2 и 5 из [6] и леммы 3.6 имеем для случая, когда q квадрат,

r(U(Z(ZG))) = r(lG)-fr^1) + r(6) + r(¥,)+ £ r(0j)+ ¿2 ГЫ

j€dU(<34,92) i6dlt(q3,9i)

и в остальных случаях

r(U(£(ZG))) = r(lG) + r(f1) + r(y>) + Е Е

J6dlt(q4,(i>) 'Gdlt(93.9l)

Далее, по лемме 4.1, для q = 1 (mod 4) и q — неквадрата

riU(Z(ZG))) = l+ Е W + Е Г(Х*)

j6dlt(?4,<i2) iedlt(ij4,9i)

и в остальных случаях получим

г (и (Z (ZG))) = Е г((?/)+ Е ги,)-

j€dlt('/4 ,i}2) iGdlt(74,gi)

Теперь применим леммы 4.2 и 4.3 и получим:

1) в случае, когда q = 1 (mod 4) и q неквадрат

r(U (Z (ZG))) = 1 + ?2 + 1-К«4) +<71+2-1/(93) =

= 1 +-—--К94) - К?з) =

= 1 + - К94) - "(9з):

2) в остальных случаях аналогично

r(U(Z(ZG))) =

Так как £ = ±1, то {яз',Чл} — —> —|> и мы получаем выражение для ранга, указанное в формулировке теоремы.

Теперь извлечём несколько следствий из теоремы. Прежде - полезное замечание.

Замечание 4-1- Положим г (и (2, (2С))) = г(д). Используя доказанную теорему, легко указать начальные значения г(д) (табл. 2).

Таблица 2 Начальные значения т(д)

ч 3 5 7 9 ¡11 13 17 19 23 25

г(д) 0 1 0 1| 1 3 4 4 5 4

ЛЕММА 4.4. Пусть \ неприводимый комплексный характер группы О. Для краткости положим для ранга

'•(шиди)))) = г(Х).

1) г(хг) = 0 де {7,9.11};

2) 1'(\1) = 1 ЧЕ {17,19,23,25};

3) г{вг) = 0 ^ {5,7,13};

4) 1 9 е {9,11}. Доказательство.

1. Характер появляется лишь при 9 > 7. По лемме 4.3

г(Лг) = \<Кчз) - 1-

Отсюда

г(\1) -0 =2 ~ 6 {3.4,6} <=>

4=> я-ее {6,8,12} 96 {6 + £,8 + £,12 + £}. Следовательно, возможные (без учёта £) значения

д е {5,7,9,11,13}. Учтём, что 9 > 7, и имеем следующую таблицу:

Ч 7 9 11 13

£ -1 1 -1 1

9-£ 8 8 12 14

РАНГИ ГРУПП ЦЕНТРАЛЬНЫХ ЕДИНИЦ

15

Так как должно д. - е в {6,8,12}, отсюда получаем д 6 {7,9,11). 2-4. Рассуждения такие же, как при доказательстве 1.

СЛЕДСТВИЕ 4.1. Для группы V (Z (ZG)) центральных единиц целочисленного группового кольца группы С = Р£1/2(д), д нечетно, ранг:

1) г(и(^(г<?))> = 0 д € {3,7};

2) г{\](г(2С)У) = 1 <=> д е {5,9,11};

3) r(U(2(ZG))) никогда не равен 2;

4) г(и(2(гс))) = 3 д = 13. ... Доказательство. 1. Докажем первое утверждение леммы.

=) Всё очевидно из замечания 4.1.

=>■) Так как оба ранга г(хх) и г(01) должны быть нулевыми, из леммы 4.4 следует, что д < 7, и замечание 4.1 даёт требуемое.

2-4. Аналогично 1.

Список литературы

1. Алеев Р.Ж., Перавина О.В. О центральных единицах групп PSL^iq)// Третья междунар. конф. по алгебре памяти М.И. Каргаполова (1928-1976), Красноярск, 23 28 авг. 1993 г.: Тез. докл. Красноярск, 1991, С. 8-9.

2. Белоногов В.А. О малых взаимодействиях в конечных группах// Тр. ин-та математики и механики УрО РАН. 1992. Т. 2. С. 3-18.

3. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. 504 с.

4. ван дер Варден Б. Л, Алгебра. М.: Наука, 1979. 624 с.

5. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969. 668 с.

6. Aleev R. Z. Higman's central unit theory, units of integral group rmgs of finite cyclic groups and Fibonacci numbers// Intern. Journ. Algebra and Computations. 1994. Vol. 4, №3. P. 309-358.

SUMMARY

There are defined the ranks of central unit group of integral group rings of groups PSL2(q), q is odd.