CC BY
15
Серия «Математика»
2018. Т. 26. С. 62-75
Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного ■университета
УДК 519.863 MSG 52В55
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.62
О геометрической медиане выпуклых, а также треугольных и других многоугольных областей*
П. А. Панов
Национальный исследовательский университет «Высшая школа, экономики», Москва, Российская Федерация
Аннотация. Задача Ферма - Торричелли заключается в нахождении точки, сумма расстояний от которой до трех заданных точек минимальна. Она допускает многочисленные обобщения. Если на плоскости задано конечное множество S, состоящее из п точек, то точно так же можно искать точку, минимизирующую в данном случае сумму п расстояний, называемую медианой множества S. Аналогичная конструкция работает в евклидовом пространстве любой размерности и вообще в любом метрическом пространстве. Обобщенная задача Ферма - Торричелли — это задача о минимизации суммы взвешенных расстояний, она является одной из основных, во всяком случае, архетипичных в теории размещений. Уже для трех точек аналитическое решение задачи Ферма - Торричелли и, тем более, обобщенной задачи представляется достаточно сложным.
В настоящей работе рассматривается еще более сложный — непрерывный случай, а именно задача о нахождении геометрической медианы двумерной области, — задача, в которой суммы расстояний заменяются на двойные интегралы.
Нетрудно понять, что геометрическая медиана выпуклой области О лежит внутри этой области. Мы добьемся усиления этого результата — будет получена универсальная геометрическая оценка удаленности медианы от границы области О, зависящая только от ее площади S(Q) и диаметра d(O). Еще одним объектом изучения в данной работе являются плоские многоугольные области. Даже в случае треугольной области при отыскании геометрической медианы, по-видимому, нельзя надеяться на аналитическое решение, заданное в конечном виде. Во всяком случае в известной онлайн энциклопедии Encyclopedia ol Triangle Centers среди содержащихся там нескольких тысяч формул для различных центров треугольника формула для геометрической медианы треугольной области отсутствует. Тем не менее, с помощью элементарных функций удается записать градиентную систему для нахождения геометрической медианы такой области. С помощью триангуляции этот резуль-
* Выражаю признательность В. Ю. Протасову и А. В. Савватееву за конструктивные обсуждения и полезные замечания.
тат переносится на произвольную многоугольную область. Отдельно обсуждаются свойства геометрической медианы равнобедренного треугольника.
Ключевые слова: геометрическая медиана, задача размещения, градиентная система, выпуклая область, удаленность от границы.
Геометрическая медиана напрямую обобщает понятие медианы одномерной выборки в статистике и играет важную роль в теории размещения производства [2; 8; 9]. Напомним, что на плоскости для конечного множества ¿> геометрическая медиана т(<5) определяется как
где \х — у\ — обычное евклидово расстояние между точками х и у. Существуют эффективные численные методы нахождения геометрической медианы конечного множества [4], однако показано, что не имеется простой формулы для ее вычисления [3; 12].
Понятие геометрической медианы естественным образом обобщается на непрерывный случай [6; 10; 14]. Далее для упрощения изложения по умолчанию все кривые и области, для которых вычисляются медианы, считаются ограниченными, при этом кривые и границы областей считаются еще и кусочно-дифференцируемыми. Вот как выглядят определения геометрической медианы для кривой Ь и для непустой области П на плоскости:
Обе определенные здесь функции выпуклые. При выполнении указанных выше условий ограниченности и кусочной дифференцируемости функции Е^ и Еп сами будут дифференцируемыми, а их медианы т(Ь) и т(Г2) будут единственными решениями соответствующих градиентных систем УЕь{у) = 0 и УЕп(у) = 0.
Отметим, что в последние годы области приложения задачи о нахождении геометрических медиан недискретных множеств непрерывно расширяются. Например, в работе [14] вопрос об охране периметра сводится к задаче нахождения медианы кривой, а в работе [1] медианы
1. Введение
(1.1)
Сразу же введем следующие обозначения
областей играют существенную роль при рассмотрении задачи о размещении центров благ на территории с заданной плотностью расселения.
2. Неразделимость множества и его геометрической медианы
Это вспомогательный раздел работы: результаты, содержащиеся здесь, хорошо известны.
Если пренебречь деталями, то можно сказать, что неразделимость множества и его медианы сводится к тому, что они не могут лежать в дополнительных полуплоскостях. Это факт нам понадобится в дальнейшем. Здесь мы приводим его доказательство только лишь потому, что оно короткое, а использованная в нем техника будет задействована для получения новых результатов. Множество, о котором здесь идет речь, может быть конечным множеством, кривой или областью на плоскости. Рассмотрим один из этих случаев, формулировка и доказательство двух других случаев аналогичны.
Предложение 1. Пусть область О содержится в некоторой полуплоскости. Тогда ее геометрическая медиана т = т(Г2) тоже принадлежит этой полуплоскости.
Доказательство. Из определения функции Еп следует, что
Таким образом, чтобы вычислить УЕп(у), мы должны проинтегрировать по области О, поле единичных векторов (у—х)/\у — ж|, и каждый из этих векторов в соответствующей точке х € П смотрит в направлении точки у. Если область П и точка у лежат по разные стороны от прямой — границы полуплоскости, то проекции всех векторов у—х на нормаль к этой прямой имеют одинаковое направление, поэтому интеграл в правой части (2.1) не равен 0, поэтому УЕп(у) ф 0 и, следовательно, точка у не может быть медианой. □
Замечание 1. Очевидно, что этот результат верен и в пространствах высших размерностей, а именно, множество и его медиана не могут лежать в дополнительных полупространствах.
Замечание 2. Нетрудно распространить этот результат на тот случай, когда в определении медианы вместо стандартной меры в Кга используется произвольная непрерывная положительная мера.
Предложение 1 может быть переформулировано следующим образом.
(2.1)
Следствие 1. Геометрическая медиана множества лежит в выпуклой оболочке этого множества. В частности, геометрическая медиана выпуклой области лежит внутри этой области, и геометрическая медиана замкнутой выпуклой кривой лежит в области, ограниченной этой кривой.
Предложение 1 и Следствие 1 — это важные результаты. В следующем разделе они будут усилены для случая областей.
3. Удаленность медианы от границы
Начнем со следующего утверждения.
Лемма 1 (об удаленности от границы квадрата). Пусть область О, являющаяся подмножеством единичного квадрата, имеет площадь 5 = > 0. Тогда геометрическая медиана т = т(С1) лежит внутри этого квадрата на расстоянии от границы квадрата не меньшем,
о2
чем —.
Доказательство. Будем считать, что О С [0,1] х [0,1]. Предложение 1 говорит нам о том, что медиана т = (т 1,1712) области П тоже лежит в этом квадрате. Что касается удаленности медианы от границы квадрата, то мы проведем доказательство от противного, предположив, без ограничения общности, что Ш2 < (рис. 1).
Разобьем множество О на три подмножества По^ъ^Ъ согласно тому, какое из следующих неравенств выполнено для х = (х\,х2) € П (рис. 1):
0) ж2 < 52/8;
1) 52/8 < ж2 < в/2;
2) ж2 > 5/2.
Чтобы получить противоречие, достаточно доказать, что при сделанном предположении функция Хп (у) в точке т имеет ненулевой градиент, конкретно
= (ХПо + £П1 + £п2) (Ш) < 0. се 2 се 2
Проведем оценку каждого из присутствующих слагаемых.
Вспомним, что для вычисления УХп (т) мы должны проинтегрировать по области О поле единичных векторов (т — х)/\т — ж|, и каждый из этих векторов в соответствующей точке х € П смотрит в направлении точки т. При этом, конечно же, каждая из компонент вектора (т — х)/\т — х\ сама по модулю не превосходит 1.
Рис. 1. Подобласть О единичного квадрата разбита на три подмножества Первая оценка
, , 52
Ж{т) * Т
как раз следует из того, что ее левая часть — это интеграл от функции, модуль которой не превосходит 1, по прямоугольнику, площадь которого равна в'2/8. Вторая оценка
^(ш) < О
де-2
следует из того, что все векторы пг — х', где х' € и, значит, векторы (т — х')/\т — х'|, направлены вниз — их вторая координата отрицатель-
И последнее, площадь очевидным образом не меньше 5/2, а вторая координата вектора (т — х")/\т — х"\,х" € отрицательна и по модулю строго больше отношения высоты среднего прямоугольника к диагонали квадрата, то есть не меньше, чем (5/2 — 52/8)/\/2- Поэтому
дё-2 4 2 Так как 5 ^ 1, то тем более мы имеем:
д^По ^ < ^ . I ~ I =
де,2 4 у " 2 Складывая все три оценки, получаем
352 2\/2 — 3
дё-2
(т) < — + 0--р = ——^5 < 0.
Противоречие получено — и лемма доказана. □
Для выпуклых областей из леммы 1 непосредственно выводим следующую теорему.
Теорема 1. Пусть Б (О) и (1(0) — площадь и диаметр ограниченной выпуклой области О. Геометрическая медиана т(0) лежит внутри О и удалена от границы дО на расстояние, большее чем -¡¡щщ, тп. е.
(3.1)
Доказательство. Любой прямоугольник, описанный вокруг выпуклой области О, т. е. такой, что его стороны лежат на опорных прямых этой области, имеет стороны, не превосходящие ее диаметра (1(0). Отсюда следует, что для любого направления I существует квадрат П^, содержащий О, сторона которого параллельна направлению £ и имеет длину
ад.
Теперь применим к квадрату П^ гомотетию Н с коэффициентом 1/(1(0,) и введем обозначения О' = Н(0), П^ = Н(П^) и т' = Н(т), где т = т(0). Ясно, что т' = т(0'), (1(0,') = 1 и квадрат П'г — единичный, а также Б (О') = Б(0)/<12(0). К области О' и квадрату П^ применима Лемма 1, поэтому
(1Ы(т',дО'е) >
8
Умножая обе части неравенства на (1(0) и учитывая, что Б2(О') = 32(0)/(14(0), получаем
(Ив^т.дП*) > ^^
8 (13(0)'
Пусть теперь задана произвольная опорная прямая области О, обозначим ее направление за £. Очевидным образом существует соответствующий квадрат П^, одна из сторон которого лежит на этой прямой. Отсюда сразу следует, что расстояние от медианы т(0) до любой опорной прямой, а значит и до границы дО, тоже превосходит ^щщ- Теорема 1 доказана. □
4. Градиентная система для медианы треугольной области
В этом разделе будет выписана в явном виде градиентная система для вычисления медианы треугольной области. Пусть Рь-Р^-Рз —
фиксированные точки на плоскости, служащие вершинами треугольной области А. Сначала определим функцию Р, аргументами которой служит пара векторов (х,р),
\р — х\ t (р ■ х) (|ж| — \р — х\
\р\ \р — х\ + р ■ (р — х)
/ \р\\х\ — р ■ X , . + (РЛЖ) - ^^-' ( }
где символ • обозначает операцию скалярного умножения, а р Ах — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы р и х. Треугольную область с упорядоченным набором вершин Рг,Р2,Рз будем обозначать А = Д(Рь Р2, Рз)•
Теорема 2. Пусть задана треугольная область А с вершинами Р\,Р2, Рз, а£з — это единичный вектор, параллельный стороне Р1Р2, то есть £з = (Р2-Р1)/\Р2-Р1\. Тогда
д |(Р1-Рз)Л(Р2-Рз)|
д£3 \P2-Pi\
• (f(X - Р3, Pi - Рз) - F{X -Р3,Р2- Рз)) ■ (4.2)
Для вычисления производных вдоль направления двух других сторон треугольника достаточно осуществить циклическую перестановку индексов в этой формуле. Обнуление любых двух из этих производных задает систему уравнений для нахождения геометрической медианы треугольника.
Замечание 3. Отметим еще, что для непрерывно дифференцируемых функций знание производных по каким-либо двум направлениям позволяет вычислить и производную по любому другому направлению.
Доказательство. Начнем с небольшого предварительного вычисления. Для точек отрезка Р1Р2 введем обозначение Р(Л) = Р\ + Х£з, при этом Р(0) = Pi,P(\P2 - Pil) = Р2 (рис. 2).
А затем посчитаем производную ^-Ер1р2(Х), где в соответствии с нашими предыдущими обозначениями,
r\P2-Pl\
— Х\ d\.
Е PlP2(X)= / \Р(Х)-Х\
Jo
Для этого сначала вычислим приращение функции Ер1р2(Х) при смещении точки X на расстояние АЛ в направлении вектора £3:
£Р1Р2(Х + АЛ • 4) - Ер^РО =
[■\Р2-Р1\ Г\Р2~Р1\
= |Р(Л) -Х-А\-£3\<1\- / \Р(\)-Х\(1,\ =
Jo ■> о
,|Р2-Р1| г\Рз-Р1\
/ |P(A-AA)-X|dA- / \P{\)-X\d\ = Jo Jo
r|p2-pi|-aa f\P2-Pi\
/ |P(A)-X|dA-/ |P(A)-X|dA =
./-ДА Jo
fO /* | P2 Pi |
= / |P(A) - X| dX- |P(A) - X| dA.
./-да j|p2-pi|-aa
'|p2—pi| —да
A
al,
ное приращение на АЛ и перейти к пределу при АЛ —>■ О
Для вычисления производной —^>-Ер1р,(Х) осталось поделить найден-
Ж 3
■4ePip2(X) = |Р(0) _ х\ - |Р(|Р2 -РгI) - Х\ =
д£3
= \Р1-Х\-\Р2-Х\. (4.3) Теперь параметризуем две оставшиеся стороны треугольника (рис. 3)
PlilJ>) =P¿+ l¿{Pl - Рз), Р2{») =Рз+ КР2 - Рз).
Нетрудно понять, что
о п 1 о
-7EA(X)=dist(P3,PiP2) / —rZp^p^Wdp, о£ з J о о£ з
где dist(P3, Р1Р2) — это расстояние от точки P¿ до прямой PiP¿- С учетом того, что dist(P3, Р1Р2) = \{Pi ~ Рз) A {P¿ ~ Рз)\/\Р2 ~ Pi\, и с учетом соотношения (4.3), получаем
Рис. 3. Параллельная параметризация двух других сторон треугольника
д£3
9 W = / Н*00 - + IflW - ф.
(4.4)
Для завершения доказательства теоремы достаточно положить P(ß) = Рз + ß{P — Рз) и вычислить следующий интеграл:
J |P(ß) - Х\ dß = J \/(ß(P — Рз) — {X — Рз))2 dß =
J Vß2(P ~ Рз)2 ~ ЫР ~ Рз)(Х - Рз) + (X - Рз)2 dß.
Это табличный интеграл: под знаком корня расположена квадратичная функция аргумента ß, и обращение к таблицам интегралов позволяет подтвердить правильность соотношения (4.2). □
5. Свойства геометрической медианы равнобедренного треугольника
Применим полученные результаты к самому простому случаю — к равнобедренному треугольнику. Ясно, что его медиана лежит на его оси симметрии. Поэтому для ее нахождения достаточно вычислить производную функции Хд вдоль этой оси и найти корень этой производной, лежащий на оси.
Предложение 2. Пусть задан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой 1г. Его геометрическая медиана лежит на высоте, опущенной на основание, и удалена от основания на расстояние у,
являющееся корнем уравнения
ь у аЛ + уЛ + у* 1п -1-
а (а2 + Ну) л/а2 + у2 + аЪ{Н — у)"
+
а3(к - у)2 1п
+
2 (а2 + к2)
\к — у\(л/а2 + Ь2 — Ь) г2 + Ъу + л/а2 + /г2 л/а2 + у2
2(^+^2)3/2
= 0. (5.1)
Доказательство. Расположим вершины равнобедренного треугольника А в точках (0,0), (2а, 0), (а, Ь). Вершины прямоугольного треугольника, являющегося левой половиной треугольника А, обозначим за Р\, Р2, Очевидно, что Рх = (а,0),Р2 = (а,й),Р3 = (0,0) (рис. 4).
Рис. 4- Прямоугольный треугольник Р1Р2Р3 — половина равнобедренного
Ясно, что на оси симметрии треугольника А вклад от его левой и правой половины совпадает, поэтому выполняется равенство
^д(а,у) = 2Ер1р2р3(а, у).
Поэтому для нахождения геометрической медианы А достаточно найти корень производной Т,р1р2р3(а,у)'у. Теорема 2 позволяет выписать соответствующее уравнение. Результат вычислений совпадает с уравнением (5.1). □
Уравнение (5.1) позволяет получить численные и некоторые аналитические результаты о расположении геометрической медианы для совокупности всех равнобедренных треугольников.
Предложение 3. Рассмотрим совокупность всех равнобедренных треугольников А = Д(Л.) с фиксированным основанием 2 и произволь-
ной высотой 1г. Расстояние от медианы до основания в таком треугольнике обозначим за т = т{К). Имеют место следующие асимптотики,:
тЩ/1г «1-у + ^Г^ ]г (5-2)
Этот результат непосредственно следует из асимптотического анализа решений уравнения (5.1) для случая а = 1. Сопроводим его рисунком 5, на котором изображен график функции т(/г)//г, полученный в результате численного решения уравнения (5.1) в диапазоне 0 < /г < 10 при условии а = 1. График оснащен двумя асимптотическими кривыми (5.2).
Рис. 5. График функции т(/?)//? вместе с двумя асимптотическими кривыми (5.2)
Закончим изложение следующим замечанием.
Добавление о многоугольных областях. В принципе теорема 2 позволяет составить градиентную систему для любой многоугольной области А. Сначала мы можем триангулировать А, А = Д1 и ... и А„, а затем, используя Замечание 3, найти для каждого треугольника А^ производную по направлению Затем, используя свойство адди-
тивности интеграла, можно вычислить производную по направлению для всей области А:
д д д — Хд = — Хдх Н-----1—
д£ д£ д£
Вычислив таким образом производные по двум направлениям и приравняв их нулю, мы получим градиентную систему в элементарных функциях для вычисления геометрической медианы многоугольной области А.
6. Заключение
Отметим, что использованные в настоящей работе методы могут оказаться полезными и в других ситуациях. Например, при рассмотрении других метрик или при замене евклидова расстояния \х — у\ в определениях (1.1) и (1.2) на некоторую функцию от этого расстояния.
Добавим, что для конечного множества ¿> = {х\,... ,хп} при замене евклидова расстояния на его квадрат и решения соответствующей задачи минимизации получается известная характеристика множества ¿> — его среднее или центр масс ц, = ^7= \хг/п-> т0 же самое верно для кривых и областей. Причем это среднее может быть легко использовано для локализации геометрической медианы как в дискретном случае [11]
I | ^ ^/¿=1 \хг ~ №I
\т — щ < ——-,
п
так и в непрерывном.
Список литературы
1. Панов П. А. Равновесные расположения центров благ по городу // Журн. Новой экон. ассоциации. 2017. № 1(33). С. 28-42.
2. Савватеев А. В. Задача многомерного размещения и ее приложения: теоретико-игровой подход : дис. ... д-ра физ.-мат. наук / ЦЭМИ РАН. М., 2013. 267 с.
3. Bajaj С. Proving geometric algorithms nonsolvability: An application ol lactoring polynomials // Journal ol Symbolic Computation. 1986. Vol. 2, N 1. P. 99-102. https://doi.org/10.1016/S0747-7171 (86)80015-3
4. Beck A., Sabach S. Weiszfeld's method: old and new results //J. Optim. Theory Appl. 2013. Vol. 164, N 1. P. 1-40. https://doi.org/10.1007/sl0957-014-0586-7
5. Boltyanski V., Martini H., Soltan V. Geometric Methods and Optimization Problems. Vol. 4. Combinatorial Optimization. Springer Science & Business Media, 1999. 429 p.
6. Carlsson J., Jia F., Li Y. An approximation algorithm for the continuous fc-medians problem in a convex polygon // INFORMS Journal on Computing. 2013. Vol. 26, N 2. P. 280-289. https://doi.org/10.1287/ijoc.2013.0564
7. Carmi P., Har-Peled S., Katz M. On the Fermat-Weber center of a convex object // Computational Geometry. 2005. Vol. 32, N 3. P. 188-195. https://doi.Org/10.1016/j.comgeo.2005.01.002
8. Facility Location. Applications and Theory / Drezner Z., Hamacher H.W. (eds.). Berlin : Springer-Verlag, 2002. 464 p.
9. Encyclopedia of Mathematics, Fermat-Torricelli problem, Weber problem, Fermat point. Available at: https://www.encyclopediaofmath.org (date of access: September, 2018).
10. Fekete S., Mitchell J., Beurer K. On the continuous Fermat-Weber problem // Operations Research. 2005. Vol. 53, N 1. P. 61-76. https://doi.org/10.1287/opre.1040.0137
11. Mallows C., (August 1991). Another comment on O'Cinneide // The American Statistician. 1991. Vol. 45, N 3. P. 257. https://doi.org/10.1080/00031305.1991.10475815
12. Uteshev A. Yu. Analytical Solution for the Generalized Fermat-Torricelli Problem // Amer. Math. Monthly. 2014. Vol. 121, N 4. P. 318-331. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.121.04.318
13. Wesolowsky G. The Weber problem: History and perspectives // Location Science. 1993. Vol. 1, N 1. P. 5-23.
14. Zhang Т., Carlsson J. On the Continuous Fermat-Weber Problem for a Convex Polygon Using Euclidean Distance. Available at: https://arxiv.org/abs/1403.3715, 2014 (date of access: September, 2018).
Петр Алексеевич Панов, старший преподаватель, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», 101000, г. Москва, ул. Мясницкая, 20, Российская Федерация, тел.: 89255092591 (e-mail: [email protected])
Поступила в редакцию 24-08.18
On the Geometric Median of Convex, Triangular and Other Polygonal Domains
P. A. Panov
National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation
Abstract. The classical Fermat-Torricelli problem consists in finding the point which minimizes the sum of distances from it to the three vertices of a given triangle. This problem has various generalizations. For example, given a subset S of the plane consisting of n points, one can look for a point that minimizes the sum of n distances, i.e., the median of S. A similar question can be asked for a Euclidean space of any dimension or for any metric space. The generalized Fermat-Torricelli problem concerns minimizing a weighted sum of distances, and it is one of the main problems in Facility Location theory. An analytic solution of Fermat-Torricelli problem is non-trivial even in the case of three points, and the general case is quite complex.
In this work we consider a further generalization, namely the continuous case in which we look for a geometric median of a two-dimensional domain, where the sum of distances is being replaced by an integral.
It is rather straightforward to see that the median of a convex domain Q is contained in its interior. In this article we find a universal geometric bound for the distance from the median to the boundary of Q, which only depends on the area, 5(0), and its diameter d(O). Also, we look into polygonal domains. Even in the case of a triangular domain, one can hardly expect an explicit analytic (closed-form) solution. However, using elementary functions, one can obtain a gradient system for finding the geometric median of a triangular domain. By using a triangulation of a polygonal domain, this result can be generalized to polygonal domains. In addition, we discuss in detail the geometric properties of isosceles triangles.
Keywords: geometric median, location problem, convex domain, distance to the boundary, gradient system.
References
1. Panov P. A. Nash Equilibria in the the Facility Location Problem with Externalities. Journal of the New Economic Association, 2017, no. 1(33), pp. 28-42. (in Russian)
2. Savvateev A. V. Zadacha mnogomernogo razmeshheniya i eyo prilozheniya: teoretiko-igrovoj podkhod Doktorskaya dissertatsiya [The Facility Location Problem and Its Applications: the Game Theoretic Approach. Doctoral dissertation]. Moscow, Central Economic Mathematical Institute Publ., 2013, 267 p. (in Russian)
3. Bajaj C. Proving geometric algorithms nonsolvability: An application of factoring polynomials. Journal of Symbolic Computation., 1986, vol. 2, no. 1, pp. 99-102. https://doi.org/10.1016/S0747-7171 (86)80015-3
4. Beck A., Sabach S. Weiszfeld's method: old and new results. J. Optim. Theory Appl, 2013, vol. 164, no. 1, pp. 1-40. https://doi.org/10.1007/sl0957-014-0586-7
5. Boltyanski V., Martini H., Soltan V. Geometric Methods and Optimization Problems, Vol. 4 of Combinatorial Optimization. Springer Science & Business Media, 1999, 429 p.
6. Carlsson J., Jia F., Li Y. An approximation algorithm for the continuous fc-medians problem in a convex polygon. INFORMS Journal on Computing, 2013, vol. 26, no. 2, pp. 280-289. https://doi.org/10.1287/ijoc.2013.0564
7. Carmi P., Har-Peled S., Katz M. On the Fermat-Weber center of a convex object. Computational Geometry, 2005, vol. 32, no. 3, pp. 188-195. https://doi.Org/10.1016/j.comgeo.2005.01.002
8. Drezner Z., Harnacher H.W. (eds.) Facility Location. Applications and Theory. Berlin, Springer-Verlag, 2002, 464 p.
9. Encyclopedia of Mathematics, Fermat-Torricelli problem, Weber problem, Fermât point. Available at: https://www.encyclopediaofmath.org (date of access: September 2018).
10. Fekete S., Mitchell J., Beurer K. On the continuous Fermat-Weber problem. Operations Research, 2005, vol. 53, no. 1, pp. 61-76. https://doi.org/10.1287/opre.1040.0137
11. Mallows C., Another comment on O'Cinneide. The American Statistician, 1991, vol. 45, no 3, p. 257. DOL10.1080/00031305.1991.10475815
12. Uteshev A.Yu. Analytical Solution for the Generalized Fermat-Torricelli Problem. Amer. Math. Monthly, 2014, vol. 121, no. 4, pp. 318-331. https://doi.org/10.4169/amer.math.monthly.121.04.318
13. Wesolowsky G. The Weber problem: History and perspectives. Location Science, 1993, vol. 1, no. 1, pp. 5-23.
14. Zhang T., Carlsson J. On the Continuous Fermat-Weber Problem for a Convex Polygon Using Euclidean Distance. Available at: https://arxiv.org/abs/1403.3715, 2014 (date of access: September 2018).
Petr Panov, Senior Lecturer, National Research University Higher School of Economics, 20, Myasnitskaya st., Moscow, 101000, Russian Federation, tel.: 89255092591 (e-mail: [email protected])
Received 24-08.18
