Предельные циклы проектирования на наиболее удаленную сторону треугольника Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.172.45

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА НАИБОЛЕЕ УДАЛЕННУЮ СТОРОНУ ТРЕУГОЛЬНИКА

Трофимов С.П.,

к.ф.-м.н., доцент, УИЭУиП, г. Екатеринбург E-mail: [email protected] Селиванова И.А.,

старший преподаватель кафедры информационных технологий, УрФУ, г. Екатеринбург

E-mail: [email protected]

Аннотация

Рассмотрена задача нахождения предельных многоугольных циклов при ортогональном проектировании на наиболее удаленную сторону треугольника. Эта задача является частным случаем циклического проектирования на выпуклые множества, не имеющие общей точки. Предложен критерий существования и аналитические формулы для предельных треугольных циклов. Описано множество начальных точек последовательности, сходящейся к треугольному циклу. Представлены примеры многоугольных циклических контуров. Проведены численные расчеты.

Ключевые слова: предельный цикл, циклическое ортогональное проектирование, предельный треугольник, максимальное удаленное множество, сжимающее отображение, итерационная последовательность.

LIMIT CYCLES OF PROJECTION TO THE MOST REMOTE SIDE OF THE TRIANGLE

Trofimov S.P.,

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, UREP, (Yekaterinburg) E-mail:[email protected] Selivanova I.A., Senior lecturer, UrFU, (Yekaterinburg) E-mail: [email protected]

Abstract

The problem of finding the limit polygonal cycles of orthogonal projection on the farthest side of the triangle is solved. This problem is a particular case of circular projection on convex sets that have no common point. The criterion of the existence and analytical formulas for limiting triangular cycles is proved. The algorithm of finding initial points of a sequence converging to the triangular cycle isdescribed. The examples of cyclic polygonal contours are presented. Numerical calculations are performed.

Key words: limit cycle, cyclic orthogonal projection, the limiting triangle; maximum distanced set, contraction mapping, iterative sequence.

ВВЕДЕНИЕ

В рамках Всероссийской научно-практической конференции «Вл.Д. Мазуров и Уральская научная школа распознавания образов», посвященной 75-летнему юбилею основателя школы проф. Вл.Д. Мазурова, был проведен открытый межвузовский конкурс среди студентов, преподавателей и всех желающих по решению именной задачи, представленной профессором Владимиром Даниловичем Мазуровым.

Традиция решения именной задачи, предложенной известным и авторитетным ученым, восходит к турниру академика Н.Н. Кра-совского, который регулярно проводился для студентов радиотехнического факультета УрФУ в конце 1990-х годов.

В качестве решения принимались теоретические разработки и программные продукты. В решении задачи участвовали студенты и преподаватели вузов г. Екатеринбурга. В данной статье изложено решение авторов, представленное участникам конференции.

Постановка именной задачи Вл.Д. Мазурова

На плоскости задан треугольник ABC. Пусть (p(x) - ортогональная проекция точки x треугольника или его внутренности на наиболее удаленную сторону треугольник ABC. Если таких сторон оказывается 2 или 3, то выбор осуществляется произвольным образом или по усмотрению.

Построим итерационную последовательность

хп+1 = = 12.....

где x1 - некоторая начальная точка треугольника.

Предложите алгоритм, если он существует, для решения следующих задач.

1. Найти все начальные точки x1, для которых последовательность {xn} переходит в постоянный цикл, состоящий из трех или более последовательных точек.

2. Найти все начальные точки x1, для которых последовательность {xn} асимптотически стремится к предельному циклу.

История задачи

Свойства циклического проектирования на выпуклые множества, не имеющие общей точки (такое проектирование связано с разрывным отображением пространства в себя), изучались в [1] и [2].

Этот подход был обобщен И.И. Ереминым (см., например, [3]) в нескольких направлениях. Был предложен более широкий класс отображений (названных им фейе-ровскими) для случая совместной системы выпуклых неравенств. Также начались исследования несовместных систем неравенств и несобственных задач оптимизации.

В работе [4] рассматривается поведение итерационной последовательности, получаемой в результате последовательных проектирований точки на максимально удаленное множество из конечной системы множеств в пространстве Rn, имеющих пустое пересечение. Эта ситуация предполагает разрывное отображение пространства в себя. При исследовании предельных многоугольных циклов были получены результаты относительно мощности и степени связности множества предельных точек одной итерационной последовательности.

В данной работе предложены условия существования треугольных предельных циклов и метод нахождения множества начальных точек итерационных последовательностей.

Треугольные циклы проектирования на контур треугольника

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Биссектрисы разбивают треугольник на 6 зон (рис.1).

8

Рис. 1. Разбиение треугольника на зоны с помощью биссектрис

А

В „

N

1"¥ / ir

F Ь / |

\ 1 о

ьлГ

г

1-Р

К

а) б)

Рис. 2. Треугольные циклы: а) по часовой стрелке, б) против часовой стрелки

Элементы итерационной последовательности последовательно переходят между этими зонами. Допустим, треугольник MNK является предельным треугольным циклом при ортогональном проектировании на наиболее удаленную сторону треугольника.

Обозначим через а/(1- б) пропорцию, в которой точка N делит отрезок BC. Обозначим аналогичным образом пропорции для других сторон треугольника (рис. 2 а)).

Получаем следующие соотношения:

а) KC = NC ■ cos C

Р-AC = BC ■ (1 -а) ■ cos C

AM = AK ■ cos A у■ AB = AC ■ (1-Р) ■ cos A

Найдем решение системы (1) методом Крамера. Для этого вычислим соответствующие определители 3 порядка:

Д =

BC ■ cos C AC 0

0 AC ■ cos A AB BC 0 AB ■ cos B

K =

= r ■ P + P = P ■ (r + 1)

BC ■ cos C AC 0

AC ■ cosA AC ■ cosA AB

AB ■ cos B 0 AB ■ cos B

= P ■ r + AB2 ■ AC ■ cos B - AC2 ■ AB ■ cos A ■ cos B,

б) в)

BN = MB ■ cos B а ■ BC = AB■ (1 -у) ■ cosB

Отсюда получаем систему уравнений

относительно трех неизвестных а, в и у.

др =

BC ■ cos C BC ■ cos C 0 0 AC ■ cos A AB BC AB ■ cos B AB ■ cos B

= P ■ r + AB ■ BC2 ■ cos C - AB2 ■ BC ■ cos B ■ cos C

а^ BC ■ cos C +£■ AC

AC ■ cos A

а^ BC

+у ■ AB

= BC ■ cos C = AC ■ cos A

+у^ AB ■ cos B = AB ■ cos B

Введем обозначения

P = AC ■ BC ■ AB,

r = cos A ■ cos B ■ cos C.

(1)

(2) (3)

АУ =

BC ■ cosC AC BC ■ cos C 0 AC ■ cos A AC ■ cos A BC 0 AB ■ cos B

= P ■ r + AC2 ■ BC ■ cos A - AC ■ BC2 ■ cos A ■ cos C

Так как Д^0, то решение системы (1) существует, единственно и равно

Л„

А , 4)

А„

а =-

Р =

_

А

\ У=т

5)

6)

Преобразуем выражения для ДQ. и а :

AB AC А„ = P ■ r+P ■ (--cos B--cos A ■ cos B) =

а BC BC

n n rAB AF

= P ■ r+P ■ (--cos B---cos B) =

BC BC

FB 2

= P ■ r + P ■ (--cos B) = P ■ r + P ■ cos2 B,

BC

где F - основание высоты, опущенной из C на сторону AB. Тогда

а =

A P ■ r + P ■ cos2 B

А

P ■ (r +1) '

откуда

а =

r + cos B

7)

r +1

Исходя из соображений симметрии, аналогичным образом получим

Р =

r + cos2 C

У =-

r + 1 r +cos2A

r +1

8) 9)

Таким образом, доказана.

Теорема 1. Если предельный треугольный цикл MNK при проектировании по часовой стрелке существует, то этот цикл единственный и определяется с помощью

коэффициентов пропорций (7), (8), (9), где

r = cos A ■ cos B ■ cos C .

Аналогично получаем теорему о параметрах предельного цикла против часовой стрелки.

Теорема 2. Если предельный треугольный цикл MNK при проектировании против часовой стрелке существует, то этот цикл единственный и определяется с помощью коэффициентов пропорций (10), (11), (12).

r + cos C

а =

Р =

У =

r + 1

2 r + cos A

r + 1

2 r + cos B

r +1

10) 11) 12)

Найдем условия существования предельного треугольного цикла при проектировании на наиболее удаленную сторону с движением по часовой стрелке.

Проведем в ААВС биссектрису из угла А. Биссектриса разделит сторону ВС на отрезки а1 и а2 (рис. 3).

Рис. 3. Свойство биссектрисы деления стороны в пропорции

По известному свойству биссектрисы [5, с. 327], получаем

b

13)

По теореме синусов [5, с. 432] имеем c sin C

b sin B

14)

a1 c

a

2

Используя соотношения (13) и (14), получаем

1

1

sin C

a al + a2 1 + O. ^ + sin B sin B + sin C a1 sin C

Если треугольный цикл по часовой стрелке существует, то точка, соответствующая числу а, должна лежать в зоне №6 (рис. 1), то есть в отрезке BR. Это возможно, если

sin C

а < —-;-

sin B + sin C

Для проекций на другие стороны треугольника получаем аналогичные соотношения. С учетом теоремы 1 получаем

Теорема 3. Предельный треугольный цикл по часовой стрелке существует тогда и только тогда, когда

а) точка N лежит в зоне №6, т.е.

r + cos2 B sin C

a =-<-= a0,

r +1 sin B + sin C

б) точка K лежит в зоне №4, т.е.

15)

r + cos2 C sin A _

P =--г-т = Po, 16)

r +1 sin A + sin C

в) точка M лежит в зоне №2, т.е. r + cos2 A sin B

У = -

<

r +1 sin A + sin B

= У o.

Для предельного цикла против часовой стрелки получаем аналогичное утверждение.

Теорема 4. Предельный цикл против часовой стрелке существует тогда и только тогда, когда

а) точка N лежит в зоне №5, т.е.

r + cos2 C sin B

< , r +1 sin B + sin C

б) точка M лежит в зоне №1, т.е.

r + cos2 A sin C

-< —-:-,

r +1 sin C + sin A

18)

19)

в) точка K лежит в зоне №3, т.е.

r + cos2 B sin A

-<-.

r +1 sin A + sin B

20)

17)

Обозначим правые части соотношений (15)-(17) через а0, во, и у0. Известно, что ортогональная проекция на прямую является сжимающим отображением, то есть длина отрезка при такой проекции уменьшается. Коэффициент сжатия равен косинусу угла между отрезком и прямой.

Найдем множество стартовых точек х1 последовательности |х"}, лежащих на контуре треугольника ABC и при которых |х"} сходится к треугольному циклу.

Числа а, в, у а0, во, и у используемые в теореме 3, являются долями единицы. С их помощью можно определить длины отрезков. Например, для опоры R биссектрисы AR на рис. 3 получаем BR = аоВС. Расстояние между вершиной N треугольного цикла MNK и опоры R равно (а0 - a)-BC. Обозначим через

d = min{ (ао - a)BC; (во - P)-AC; (yo - y)-AB}

минимальное расстояние от вершин треугольника MNK до соответствующих опор биссектрис треугольника ABC. Возьмем первые три точки х1, х2, х3 итерационной последовательности {х"}. Если эти точки одновременно находятся от соответствующих оснований биссектрис на расстоянии меньшем, чем d, то по свойству сжимающего отображения следующие точки будут обладать тем же свойством, причем это расстояние будет уменьшаться с линейной скоростью. Так как треугольный цикл MNK при проекциях сохраняется, то расстояние между последовательностью {х"} и соответствующими вершинами MNK стремится к нулю. Таким образом, доказана.

Теорема 5. Допустим, выполняются условия теоремы 3, то есть

а < ао, в < во, и у < уо.

Если начальная точка х1 находится на

a1 a

контуре треугольника ABC и расстояние от х1 до соответствующей вершины цикличного треугольника MNK меньше d, то последовательность |х"} будет сходиться к вершинам треугольника MNK. На каждой итерации расстояние будет уменьшаться не менее, чем в t раз, где

t = max{cos A, cos B, cos C}.

Следствие. Любая последовательность, сходящаяся к треугольному циклу MNK, с некоторого номера n будет удовлетворять условию теоремы 5. При этом элементы {х"} последовательно проходят зоны 6,4,2 (рис. 1).

Возьмем на стороне BC интервал I с центром в точке N и с длиной 2-d. В этот интервал обязательно попадет последовательность, сходящаяся кMNK. Осуществим обратное отображение и найдем на стороне AB интервал I , который ортогонально проектируется на I. Найдем пересечение I' c зоной 2, то есть I'' =I' )"[AM]. Точки отрезка I также могут являться начальными точками цикличной последовательности. Осуществим эту операцию до тех пор, пока I не станет пустым множеством, либо бесконечное число раз. Объединение I, Г 'и других подобных интервалов дает множество начальных точек { х"}, сходящихся к треугольному циклу.

Существование треугольного цикла по часовой стрелке

Треугольные циклы существуют не для любого остроугольного треугольника. Критерием существования такого цикла по часовой стрелке является теорема 3. Соотношения (15)-(17) образуют систему нелинейных тригонометрических неравенств относительно неизвестных углов A, B и C, связанных равенством ¿a + ¿B + ZC = 180°. Численные расчеты показали, что векторы, составленные из углов A и C, удовлетворяющих системе (15)-(17), образуют невыпуклую связную фигуру на рис 4.

Рис. 4. Множество углов (А, С) остроугольного треугольника ABC, для которого существуют треугольные циклы: 1-нет циклов; 2-есть; 3-есть только цикл против часовой стрелки; 4-есть только цикл по часовой стрелке

Многоугольные предельные циклы

Для остроугольного треугольника ABC треугольные циклы могут отсутствовать. Однако могут существовать предельные циклы в виде невыпуклых многоугольных контуров с самопересечениями.

Дальнейшие исследования могут проходить в следующих направлениях:

1. Построить множество стартовых точек последовательностей, сходящихся к треугольному циклу, и определить связность и фрактальные свойства этого множества.

2. Получить уравнения для многоугольных предельных циклов.

3. Определить существование проекционных последовательностей, не сходящихся к предельным циклам.

Вывод. В статье представлены аналитические формулы, позволяющие определить, существует ли для заданного остроугольного треугольника предельный треугольный цикл при ортогональном проектировании на наиболее удаленную сторону треугольника. Движение по вершинам треугольных циклов происходит по часовой или против часовой стрелки. В случае существования предельного цикла, предложен численный способ построения множества начальных точек итерационной последовательности, сходящейся к предельному циклу. Это множество располагается на сторонах треугольника и может быть несвязным. Представляет интерес структура множества начальных точек.

-1 0 1 2 3 4 5

а)

б)

в)

г)

д)

10

2- -

-г

е)

Рис. 5. Предельные многоугольные цикличные контуры: а) цикличная бабочка, б) цикличная бабочка в прямоугольном треугольнике, в) треугольный цикл против часовой стрелки, г) пила с тремя зубцами влево, д) два треугольных контура в одном треугольнике, е) флажок

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Stiles W.J. Closest-point maps and their products // Niew Archief voor Wiskunde. 1965. V.13. № 3. P. 212 - 228.

2. Турин Л.Г., Поляк Б.Т., Райк Э.В. Методы проекции для отыскания общей точки выпуклых множеств // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 6. С. 1211 - 1228.

3. Еремин И.И., Мазуров Вл.Д. Итерационный метод решения задачи выпуклого программирования // Доклады АН СССР. 1966. Т. 170. № 1. С. 57 - 60 .

4. Мазуров Вл.Д. Релаксационный метод в условиях противоречивой системы линейных неравенств (множество предельных точек) // Математические заметки. 1969. Т. 5. Выпуск 4. С.449 - 456.

5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М., 2006. 509 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

ТРОФИМОВ Сергей Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и естественнонаучных дисциплин, Уральский институт экономики, управления и права, г. Екатеринбург.

E-mail: [email protected]

СЕЛИВАНОВА Ирина Анатольевна, старший преподаватель кафедры информационных технологий, Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург.

E-mail: [email protected]