CC BY
62НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ. 2005, №1
УДК 51(091)
О геометрической алгебре
Е.А. Ильина
Последние десятилетия много внимания уделяется обсуждению вопроса, была ли математика древних греков алгеброй, изложенной в геометрических терминах, так называемой геометрической алгеброй, или же древнегреческие математики руководствовались геометрическими интересами. Чтобы доказать, что геометрическая алгебра имела место в греческой математике, автор статьи анализирует предложения трактата Евклида «Данные». Статья содержит примеры из данного трактата.
During the last thirty years there has been much discussion devoted to the following question: Was the mathematics of the ancient Greeks the algebra, expressing in geometric terms, or the only geometry? The author proposed that geometric algebra is the recovery of the original essence of Greek mathematics. In order to prove this proposition it is analyzed the Euclid's "Data". The article contains some examples from Euclid's treatise.
В последние десятилетия вопрос о «геометрической алгебре» древних греков привлекает большое внимание историков математики. Многие исследователи античной математики приложили усилия, анализируя пути развития математики в крупнейших древних цивилизациях и раскрывая происхождение «геометрической алгебры». Главным образом обсуждался вопрос -была ли «геометрическая алгебра» лишь умозрительным созданием Г.Г. Цейтена [1] и П. Танне-ри [2], привнесших современные представления в древнюю математику, или же в действительности этим ученым удалось восстановить реальную сущность творений древних греков.
В начале следует уточнить понятие термина «геометрическая алгебра». Геометрическая алгебра - это простейшие алгебраические теоремы, сформулированные и доказанные на языке геометрии.
Первые идеи о существовании элементов алгебры в древнегреческой математике возникли в начале XIX в. Ф. Пейрар, более известный как издатель работ Евклида, в комментариях к Архимеду изложил некоторые результаты, используя алгебраическую терминологию. Затем появилась работа Г. Нассельмана об алгебре греков. Сам термин «геометрическая алгебра» был введен датским математиком Г.Г. Цейтеном. Возникновение геометрической алгебры обычно связывалось с открытием несоизмеримости в школе Пифагора. Этой точки зрения придержи-
ИЛЬИНА Елизавета Алексеевна - ст. преподаватель ИМИ ЯГУ.
вались О.Нейгебауэр [3], а также Б.Л. Ван-дер-Варден. Вот что он об этом писал: «Должна существовать какая-то иная причина для геометризации алгебры (помимо наслаждения зримым). В самом деле найти эту причину нетрудно: это было открытие иррациональности» [4, с. 174].
Однако отечественные историки математики И.Г. Башмакова и Г.С. Смирнова не вполне согласны с таким объяснением причины возникновения геометрической алгебры. Ими было показано, что геометрическая алгебра действительно была развита в Древней Греции, и, более того, она представляла собой необходимый этап развития математических знаний во всех древних цивилизациях. Проанализировав вавилонские, индийские, китайские традиции решения задач, приводимых к квадратным уравнениям, Башмакова и Смирнова пришли к выводу, что причина возникновения геометрической алгебры заключается в том, что «долгое время только геометрия могла быть языком математики, т.к. именно она обладает и наглядностью, и простотой, позволяющими легко получать и доказывать необходимые алгебраические формулы... Использовать язык геометрии было настолько естественно, что не требовалось оснований для этого» [5, с. 62]. Действительно, язык геометрии был единственным доступным средством для передачи алгебраических теорем на суд публике. Таким образом, элементы геометрической алгебры имели место и в древнем Вавилоне, и в Китае, и в Индии. Но только в древней Греции она стала на качественно другой уровень, она начала развиваться как наука.
Впрочем, есть и другие мнения о наличии геометрической алгебры. В конце XX в. стало возрастать количество противников гипотезы, что в рамках древнегреческой математики развивалась геометрическая алгебра. В числе ярких представителей такой позиции можно выделить С. Унгуру. Надо добавить, что он выступает вообще против самого термина «геометрическая алгебра». Его утверждение, что «греческая математика это не алгебра (ни геометрическая, ни какая-либо другая), а просто геометрия» [6, с.89], вызвало много споров. Главным аргументом в пользу этой позиции, по мнению Унгуру, является то, что в античной математике нет ни одного уравнения, ни одной формулы. А вавилонская математика, в существовании которой он глубоко сомневается, была всего лишь «на уровне кухонной книги рецептов» [6, с.92]. Хотя многими исследователями было неоднократно показано, что вавилонские задачи носили не частный характер, но решались по общему методу, и эти так называемые «рецепты» представляли собой правила для решения уравнений. А это возможно только при достаточно высоком развитии математики. Вообще, по мнению Унгуру, не имеет смысла говорить о наличии алгебры вплоть до XVI в., когда в работах Ф. Виета появилось буквенное исчисление.
Ответные реакции на статью Унгуру не заставили себя долго ждать. Ван-дер-Варден указал на главную, по его мнению, ошибку Унгуру -слишком узкое понимание предмета алгебры, ведь алгебра это не только символы и операции над символами [7]. На самом деле о наличии алгебраического мышления можно говорить при доказательстве простейших алгебраических тождеств, при изучении целого ряда преобразований, подстановок, при решении квадратных
уравнений типа х2 + ах = Ь . Ведь именно в таком контексте термин «алгебра» был введен впервые в математическом трактате ал-Хорезми, он берет начало от арабского словосочетания а1^аЬг, которое является частью полного выражения а1-]аЬг а1-т1К}аЬа1а. Эти арабские слова обозначают две простые операции, необходимые для решения квадратных уравнений.
Таким образом, спор сошелся на вопросе, что же есть алгебра, что каждый подразумевает под понятием алгебра. Конечно же, если судить о наличии элементов алгебры по формулам, уравнениям, символам и операций над ними, то действительно алгебра возникла только в конце XVI в. с работами Виета. Если немного смягчить эти требования и считать, что элементы алгебры
появились вместе с первой символикой, то начало алгебры можно отнести к III в. н.э. Действительно, уже Диофант Александрийский [8] использовал символы, выражая формулы и уравнения. Современная алгебра в основном имеет дело с алгебраическими структурами, такими как группа, идеал, поле, кольцо, и если именно эту область считать алгеброй, то алгебра возникла только в XIX в., когда эти термины были введены в математику. Но предмет алгебры объединяет все эти разделы и не надо отделять их друг от друга, говоря, например, что одно учение является примитивным и годится только для практического применения, а другое действительно относится к науке под названием «алгебра».
Далее покажем, что геометрическая алгебра в эпоху Евклида имела высокий уровень развития. Для этого проведем анализ трактата «Данные» (Aeöo^gva) [9], одного из четырех сохранившихся работ Евклида. Содержание трактата тесно переплетается с книгами I-VI «Начал» [10].
Здесь Евклид по существу решал многие задачи из области алгебры. Во-первых, предложение 12:
Если есть три величины и первая со второй даны, и вторая с третьей даны, то первая равняется третьей или одна больше другой на данную величину, т.е. в переводе на язык уравнений если
х + у = а y + z + b тогда x — z или х = z + с,
где х, у, z - неизвестные величины, а,Ь,с -данные величины.
В решении Евклид рассматривает случай, когда а = b , и показывает, что х = z ■ В случае, когда а ФЬ, пусть, например, а>Ь, Евклид вычитает из первого уравнения системы х + у = а второе уравнение у + z = b, и, следовательно, получает, что х = z + а — Ъ.
Видно, что доказательство предложения вполне алгебраическое.
Далее в предложениях 10-21 «Данных» Евклид по существу устанавливает некоторые свойства линейных уравнений. Во-первых, в предложении 17 Евклид доказывает, что если
\X=aY + a
[Z = ßY + b '
то X = yZ + c.
Во-вторых, в предложении 18 показано, что если
ИЛЬИНА
\Х =аУ +а
то У = 2 или У = у2 + с.
Наконец, в предложении 19 Евклид доказывает транзитивность линейных подстановок, т.е. если
Г X =аУ + а | У = + Ь ' тогда X = + с .
Идея доказательства заключается в следующем. Евклид находит четвертую пропорцио-х X - а
нальную х: — = •
Ь У
■ = а, величина А" будет
дана, тогда и сумма х + а дана. Т.к.
х X-а X - а-х
— = а,--а, то --а - данное
Ъ У У-Ъ
отношение. Поскольку по условию
У-Ъ
= /?, то
X ~(а + х) п _
отношение -—--ар дано. Т.к. величина
х + а дана, тогда величина X больше X на данную величину х + а в отношении а(3 .
Таким образом, Евклид по существу доказывает возможность операции подстановок линейных уравнений. Поэтому вполне обоснованно можно говорить, что в трактате «Данные» рассматриваются линейные уравнения от одной переменной. И эта теория, развитая Евклидом, справедлива для любых архимедовых величин типа углов, линий и площадей. Это есть еще одно свидетельство наличия геометрической алгебры в древнегреческой математике.
Далее в «Данных» есть предложения 58-59, которые относятся к решению полных квадратных уравнений:
х( р- ах) - д х( р + ах ) = <7 Древние математики формулировали такие задачи геометрически, в терминах «приложения» площадей. Например, первое уравнение выражалось так: «приложить» к данному отрезку р площадь д так, чтобы «недостаток» был параллелограммом данного вида, т.е. отношение его сторон было а. Решение проводилось с помощью тождеств из II книги «Начал», прямолинейная площадь ц представлялась в виде разности двух квадратов:
д = х( р-ах) = (—)2-( — ~ л/ах)2,
ц = х( р + ах) = (^ + 4ах)2
соответственно для случая с «недостатком» и «избытком», и с помощью теоремы Пифагора находился отрезок х.
В «Данных» также есть предложения 84-85, которые эквивалентны системам уравнений: Г ху - а 1 х-у = Ь
(2)
(3)
\ху = а \х+ у = Ь '
Задачи, эквивалентные уравнениям (2-3), имеют длинную историю, они были широко известны еще в древнем Вавилоне и играли ключевую роль в решении задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Евклид решал задачи такого рода сведением к задачам на «приложение» площадей.
Таким образом, в трактате «Данные» находим следы влияния вавилонской математики на греческую. И это подтверждает гипотезу Ван-дер-Вардена о том, что геометрическая алгебра в древней Греции «представляет собой продолжение вавилонской» [4, с. 166].
В «Данных» есть задачи, эквивалентные более сложным системам уравнений. Это предложения 86 и 87, которые сводятся к решению систем: Гху = а
| х2=у2+Ь '
(4)
| ху = а [х2 =ау2 +Ь
(5)
Эти системы уравнений также были известны в математике древнего Вавилона. Вавилоняне при решении сначала возводили в квадрат первое уравнение систем (4-5)
2 2 2 х у =а
и использовали далее алгоритм решения систем уравнений (2-3). Греки наверняка знали этот способ решения, но не имели права поступать так же, ведь в переводе на геометрический язык произведение четырех отрезков не имело смысла. И решение, которое нашли греки, было проведено в терминах пропорций с использованием теорем геометрической алгебры. При решении Евклид фактически имеет дело с системой трех уравнений с тремя неизвестными:
х? = Ь
ху = а
"> 2 г
х = у +Ь
Из первых двух уравнений следует, что отношение — = — дано. Следовательно, определено и V а
отношение — = —. Но на основании третьего у- а
_ х(х-г) Ъ2 уравнения будет также дано и ---= ——, а
Г а2
значит, и
4х( х -1) 4b"
4 x(x-t) + t2 (2 x + t ---, или, что то же,
тем самым также
\2
V
. Таким
у
г - 2х + г
образом, будет определено отношение -, а
I
2х
значит, и —, и следовательно, или, что то же /
Х тт
самое, —. Но л* является данным, следователь-г
но, будут даны ?2 и затем ? и т.д.
Таким образом, на этом примере видим, что теория пропорций вместе с геометрической алгеброй, взаимно дополняя друг друга, стала мощным оружием для решения любых задач, разрешимых с помощью циркуля и линейки. Подведя итоги, можно утверждать следующее:
- геометрическая алгебра в эпоху Евклида развивалась как наука, что подтверждает трактат «Данные»;
- Евклид по существу в «Данных» развивал теорию линейных функций от одной неизвестной и доказывал ее основные свойства, например, подстановки; .
- решение задач, эквивалентных квадратным уравнениям, проводится аналогично современному правилу для решения квадратных уравнений.
Литература
1. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века / Пер. П. С.Юшкевича; Пре-дисл. М.Я.Выгодского. - М.; Д., 1938.
2. Tannery P. Pour l'histoire de la science hel-lenique. - Paris, 1930.
3. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. -М.: Наука, 1968.
4. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. И.Н. Веселовского. - М., 1959.
5. Башмакова И.Г., Смирнова Г.С. Новый взгляд на геометрическую алгебру древних // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 1(36). - №2. - М„ 1996. - С.55-65.
6. Unguru S. On the Need to Rewrite the History of Greek mathematics // Archive for History of Exact Sciences. - 1975-76. - V.15. - P. 67-114.
7. Van der Waerden B.L. Defence of a Shocking Point of View // Archive for History of Exact Sciences. - 1975-76. -V.15. - P. 199-210.
8. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах / Пер. И.Н. Веселовского-, Коммент. И. Г. Баишаковой. - М.: Наука, 1974.
9. Les Donnees d'Euclide. - Les Oeuvres d'Euclide // Traduites litteralement par F.Peyrard, introduction par MJ.Itard. - Paris, 1966. - P. 517-603.
10. Евклид. Начала. - M.: ГТТИ, 1949-50.
