О ФУНКЦИЯХ БЛОХА И ОДНОЛИСТНОСТИ ИНТЕГРАЛОВ ОТ (F') λ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 3, 1996

УДК 517.54

О ФУНКЦИЯХ БЛОХА и однолистности ИНТЕГРАЛОВ ОТ (^')л

Я.Годуля и В.В.Старков

В этой заметке мы оцениваем постоянную Са, связанную с классом Блоха Б и универсальным линейно-инвариантным семейством иа. Мы оцениваем также радиус наибольшего круга такого, что для каждого его элемента Л интеграл от (Н')х — однолистная функция для всех Н Е 11а.

Ведение. Формулировка задач.

Класс регулярных в круге А = {г : \г\ < 1} функций /(г),удовлетворяющих условию

11/11в = |/(0)| + вир(1 - |-г|2)|/'(г)| < 00,

;г£Д

называется классом Блоха и обозначается В. Для М > О обозначим Вм = {/:/€ В,\\П\в<М}.

5, как обычно, обозначает класс регулярных и однолистных в А функций /(г) = г + .... В [1] дано понятие линейно-инвариантного семейства функций, как множества М регулярных и локально однолистных в А функций /(г) = г + ..., удовлетворяющих условию: для любого конформного автоморфизма

1 ( \ 16 а %

Фа(г)=е*-

. CLZ

Эта статья представляет собой перевод опубликованной в ”Ргос. о£ ^уапНппа Со11.,Лоеп81ш(1995)”

© Я.Годуля и В.В.Старков, 1996

(a Е Д,0 Е R круга А и любой функции h Е М семейству М принадлежит также функция

НШ)-Ь(Ф(о))

*U Л'(0(О))^'(О)

При этом число

ord п = sup ——

(супремум берется по всем конформным автоморфизмам ф круга А) называется порядком функции h. Существует много примеров линейно-инвариантных семейств (см.[1]), в частности, S - линейноинвариантное семейство порядка 2.

Универсальное линейно-инвариантное семейство Ыа состоит из всех регулярных и локально однолистных в А функций h(z) = z-h.. для которых ord h < a. Ch.Pommerence показал в [1], что Ua = 0 при a < 1, Ы\ - известный класс выпуклых в А функций, S С

В [2] Ch.Pommerenke показал, что для любой / Е В существуют с Е С и g Е S такие, что

f(z) - /(0) = clogg'{z). (1)

Задача 1. В [3] поставлена задача (см. задачу 1) нахождения наилучшего значения констант с для функций Блоха в (1).

Для комплексных Л определим оператор

Hx[h](z)= [Z(h'(0)XdC, h G Ua. (2)

Jo

Пусть

Ла = {Л E С : H\[h] Е S для всех h Е Ыа},

Аа - радиус наибольшего круга с центром в 0, который содержится в Аа. J.Pfaltzgraff [4] показал, что Аа > Отсюда, в частности, при а = 2 получаем однолистность интегралов (2) для всех h Е S при

\М<1

Задача 2. Описать множество Ла; найти или оценить Аа.

W.С.Royster [5] привел пример функций

Fv{z) = exp[i/log(l - z)], (3)

которые однолистны в А только при выполнении условия

|г/+1|<1 или \у — 1| < 1, у ф 0 (4).

Он показал, что для |А| > |,А / 1, существует г/, удовлетвлряющее (4), для которого Н\\_Fjy] не однолистна в А. Таким образом, даже для функций Н £ Б вопрос об однолистности интеграла (2) остается открытым в кольце ^ < А < |.

Обсуждение задач.

Для фиксированной функции / Е В

вир{|с| : /(г) - /(0) = с\о%д'(х),д £ 5} = оо, т.к. для д Е *5

с\о%д\г) = \clogig'(г))$ = \c\ogG\z);

причем, как следует из ранее цитированного результата Л.РГаН^гаАР’а

[4], (7 Е *5 при А > 4. Поэтому имеет смысл говорить только об оценке констант

С/ = тт{|с| : /(г) - /(0) = с\о%д\х),д £ 5}, / £ В

Пример функции /(г) = 0 Е В и функции д(г) = 2: Е *5 показывает, что с/ = 0, следовательно Cf = 0. По-

этому имеет смысл оценивать вирfeвcf' Но supfeБCf = оо, т.к. если / Е й и с/ / 0 (такие функции в В есть), то для любого к Е С функция к/(г) Е В и с&/ = kcf, впрочем, supfeБCf = оо следует сразу из ниже приведенного неравенства (6). Поэтому естественно оценивать С(М) = Cf. Очевидно, С(М) = МС(1). Из

критерия однолистности Л.Вескег’а [6] и установленной Л.Вескег’ом

и СЬ.Роттегепке [7] точности константы 1 в этом критерии легко получить: (7(1) = 1.

Задача 1 естественным образом модифицируется в свете следующей простой связи между классом В и семействами установленной в [8], [9]:

/ Е В 3 Не и а<00Ыа : /0?) - /(0) = \ogh\z),

Причем, если в последнем равенстве Н Є Ыа, то

2(а-1)<||/(^)-/(0)||в<2(а + 1). (5)

Задача 1'. [10] Найти

Са = тах{с/ : /О) - /(0) = Н Є 24}.

В [10] получена следующая оценка Са:

2а >С„ >(“-/• “л" »Л[1’2! И

— — І з ’ если а Є [2,оо).

В [11] Л.А.Аксентьев и И.Р.Нежметдинов полностью описали множество Аі, доказав, что

Аі = {Л Є С : |А| < і} и < ІІеА < ЬпЛ = 0}.

таким образом, при а = 1 задача 2 решена, в частности Аі =

Интерес к задаче 1' вызван не только ее связью с задачей 1, но и с задачей 2. Действительно, если Н Є Ыа, то существуют / Є В и 7 Є *5 такие, что

к^Л'(г) = /О) - /(0) = ск^0'(г). для некоторого с Є С. Следовательно

Если при этом /і(г) фиксирована и /(г) связана с к(г) указанным выше способом, то

— = вгір{|Л| : Н\[Н] Є 5}. с/

Если |А| > то существует /г0 Є Ыа и /0 = такая, что |А| >

Следовательно, іїл[^о] ^ *5, поэтому

Аа < (7)

Кроме того, из выше сказанного следует, что множество Аа содержится в круге {А : |А| < Заметим, что для Н Є Ыа и /і Є [0,1]

интеграл Н^[Н\ Е Ua (см.[1]). Следовательно, множество Аа звездообразно относительно 0.

Нельзя надеяьтся на то, что Ха = -А-. По крайней мере в случае а = 1 из приведенного приведенного выше результата из [11] следует, что Ai = ^ > | для всех h Е U\, logЫ — /; поэтому С\ < |.

Но пример функции £(z) = Е Ui, log£' = ф показывает (см. [11, теорема 4]), что Сф — |, следовательно С\ — |.

На пути оценки констант Са и Ха нами получена

Theorem 1. Для всех а > 1

если а < -

1) 2а > > ( з > — - ^ 5

— — [ 2(а — 1), если а > jr.

ч 1 Г —тт 5 если 1

2) тг- < Л« < \ / і

2а - - I сГ < 27^ЇТ>есу

< а < 3

2а ~ ~ \ < 2(0—1) ?если а > 3*

Доказательство. 1°. Оценка Са < 2а получена нами в [10], но здесь мы доказываем это непосредственно, основываясь на критерии однолистности L.V.Ahlfors’a [12].

Пусть h Е Ыа, log Ы — / Е В; покажем,что с/ < 2а. Если с/ > О, то обозначим с — Cf — е > 0, г > О, достаточно мало. Из определения Cf следует, что

ад= [Z(h'(C)^dC^S.

J о

Ch.Pommerenke [1] показал, что для h ЕЫа

Следовательно,

,1 -\z\2h"(z)

,1 - Izl2 zG"(z) _ г 2 < 2о

G'(z) с с

Из критерия однолистности L.V.Ahlfors’a [12] следует, что Ш > 1. В силу произвольности є > 0, получаем Cf < 2а и Са < 2а.

Покажем, что 2(а — 1) < Са. Поскольку (7(1) = 1, то с/ < 1 для любой / Є Boo и существует /о Є Boo такая, что /о(0) = 0 and с/0 = 1. Для к > 0 обозначим kf0(z) = log/1^(2), /i'fe Є Ua<oo^«5 Ф(к) = ord/i*..

Покажем, что ф(к) непрерывна. Действительно, если непрерывность ф(к) нарушается в ко > 0, то существуют 2 последовательности положительных чисел: кп ^ ко, к'п ^ ко, причем

Нт ф(кп) = Ь > Ь' = Нт ф(к'п).

п—Уоо п—Уоо

СЬ.Роттегепке [1] показал, что

,1-1 г|2 !>"(*)

Поэтому ф(к) = вир^ еАР(г,к), где Р{г,к) = \^-^-к^(г) - г\. Следовательно, существуют последовательности гп,г’п € А и бесконечно малые еп и е’п такие, что ф(кп) = Р{гп, кп)+еп, ф(к'п) = Р{г'п, к’п)+£'п. Тогда Р{гп, кп) = Ь, Нт^,^ Р(х'п, к'п) = V. Рассмотрим раз-

ность

1 - Ь I2

Р(гп, к'п) - Р{гп, кп) = /о(^п) - £«+

(*; - Ап)—^Уо Ы1 - \кп^—р^й(гп) - гп\.

Если /о (я) = \ogH\z), от(1Н = ао, то

К*; - Ы1 < I*; - Ап|(ао + 1) -»• О,

если п —> оо. Следовательно, Р(гп, к,п)—Р(гп, кп) —> 0 и Р(гп, к'п) —> Ь, при п —^ оо. С другой стороны 0(А4) > Р(*п, ^4); переходя в этом неравенстве к пределу при п —> оо, получим и > Ь. Противоречие доказывает непрерывность функции ф(к) на [0, оо). Заметим, что ф(0) = 1, т.к. ко (г) = г Е С/1; Нгп^оо ф(к) > Нт^^00(| — 1) = оо. Поэтому функция т/>(&) принимает все значения от 1 до оо. И, если фиксировано а > 1, то существует к > 0, такое, что ф(к) = опИгк = се. При этом ||й/о||в = йс/0 = Ckf0 < Са. С другой стороны, по неравенству

(5) имеем 2(а — 1) < ||й/о||в, т.е. 2(а — 1) < Са. Отсюда же получаем верхнюю оценку Аа для а > 3.

Нижняя оценка Са для 1 < а < ^ будет получена ниже с использованием результата \¥.С.Иоу81ег’а [5].

2°. Для получения верхней оценки Аа для а Е (1,3] используем однолистные функции (3), успешно применявшиеся \¥.С.Иоу81ег’ом в

случае Н Е Б. Обозначим д„(г) = р, ^, для каждого V будем брать 7 Е С такие, что 7(1 — у) > 2. Рассмотрим функции

КЛ*)= Г (д'ЛОГ <%.

J о

Обозначим сг = > 1.. Выясним, при каких значениях 7 та-

ких,что 7(1 — v) > 2, выполнено равенство

,!-И2 К'(*) , 1-N2

а = ord Л7>1/ = sup |------^~Еч~Пл ~ z\ = SUP --------ГГ ” =

e^fcrfl — г2) + г2) — г sup{|e W ir_’J4>r } r\ : фе [0,2тг],г £ [0,1)}.

Фиксируем г Е [0,1) обозначим а = сг(1 — г2)+г2 > 0. Функция переводит окружность |£| = 1 в симметричную относительно вещественной оси окружность, пересекающую эту ось в точках (1 +

\ ^(1—Т*^ Т*^Т* тт

г)сг — Г И-------. Поэтому

,Са_Г1 fa - г a + г. /. ч

max --------- = maxj---------,----\ = (1 + г сг — г

|C|=i 1-гС 1 — v 1 Н- г v '

, следовательно

ord/i7?*, = sup [(1 + r)a — г] = 2сг — 1 = |7(1 — z/)| — 1 = a.

r£[0,l)

Таким образом, |7| = Заметим, что при этом условие \ j(l — i/)\ >

2 выполнено для всех a > 1 (если 7(1 — v) Е [0, 2]. то,аналогично тому, как это сделано выше, легко показать, что ord/i7?^ = 1. ) Поскольку однолистность функций (3) означает выполнение условия (4), то 11 — v\ < 3. Поэтому |7| > для всех v, удовлетворяющих (4); и если при фиксированном v взять такие 7 = 70, что |7о| = 7о(1 — v) > 0,

то hl0^ Е Ua, хотя, может быть, уже ordhl0^ < а. Рассмотрим

(z)= Г (h^ior dc = Г ШОУ0» dC Jo Jo

Как показал W.C.Royster [5], для любого ц E С, такого, что |7o/i| > 3, fi ф существует v, удовлетворяющее (4), такое, что ^ S.

Таким образом, если R > то существуют ц Е С, \р\ = R

и h EUa такие, что Jq d( ^ S. Следовательно, Аа <

Для доказательства нижней оценки Са при а < ^ опять воспользуемся конструкцией W.C.Royster’a, фиксировав какое-нибудь значение v ф 1, уф 0, не обязательно удовлетворяющее условию (4). Тогда функция hp^{z) = f* (g'u(C))p d( S только для p E С, удовлетворяющих одному из неравенств \(у — 1)р + 2\ > 1 или |р(и — 1)| > 1. Поэтому, если \р(1 — v)| >3, т.е. \р\ > т0 hPjU(z) ^ S. По фиксированному v подберем 7 Е С такое, чтобы |7| = 7(1 — z') > 0.

Тогда ord/i7?*, = а (при выводе этого факта мы не пользовались тем, что v удовлетворяет (4). Функции

£„,„(*)= Г <К = Г ШОУ» dC

J о J о

не однолистны для всех р — 7/i Е С таких, что \р\ > •

Следовательно, если / = log hfJ iy, то = max{|/i| : Е *5} <

Следовательно Са > Cj > И при а < ^ эта оценка Са лучше, чем 2(а — 1).

Теорема доказана. □

СошэьакуДля ЛЮБОГО а > 1 СУЩЕСТВУЮТ h Е Wa и А Е С, |А| >

min (s+r> 2*5=17) ТАКИЕ’ что НЛЧ i s.

При а = 1 теорема дает известное значение Ai = |, нижняя оценка С\ дает точное ее значение.

Естественно возникает гипотеза, что Аа =

Resume

In this note we estimate a constant Ca, connected with the Bloch class Б and the universal linear invariant families Ua. Moreover, we estimate the radius of the biggest disc such that for all its elements A the integral of (h')x is univalent for all h E Ua.

Литература

[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen.IJ/

Math. Ann.,- 1964,- Hf.155.- P.108-154.

[2] Pommerenke Ch. On Bloch functions// J. London Math. Soc. - 1970. -

V.2(2). - P.241-267.

[3] Anderson J., Clunie J., Pommerenke Ch. On Bloch functions and normal

functions// J. Reine Angew. Math. -1974. -V.270. - P.12-37.

[4] Pfaltzgraff J. Univalence of the integral of f'(z)x// Bull. London Math. Soc. - 1975. - V.7. - P.254-256.

[5] Royster W.C. On univalence of certain integral// Michigan Math. J. - 1965. - V.24(4). - P.386-387.

[6] Becker J. Lownersche Differentialgleichung und Schlichtheitskriterien// Math. Ann. - 1973. - V.202(4). - P.321-335.

[7] Becker J., Pommerenke Ch. Schlichtheitskriterien und Jordangebite// J. fur reine und angew. Math. - 1984. - V.354. - P.74-94.

[8] Campbell D.M., Cima J.A., Pfaltzgraff J.A. Linear space and linear-invariant families of locally univalent functions// Manuscripta Math. -1971. - V.4. - P.l-30.

[9] Godula J., Starkov V. Applications of ideas of M bius invariance to obtain equivalent definitions of Bloch functions// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect.A. -1995. - V.49. - P.41-58.

[10] Godula J., Starkov V. Estimates of constants connected with linearly invariant families of functions// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect.A. - 1994. - V.48. - P.41-51.

[11] Аксентьев JI.A., Нежметдинов И.P. Достаточные условия однолистности некоторых интегральных представлений// Тр. семинара по краев, задачам. Казан ун-т. - 1982. -ввш. 18. - Р. 3-11.

[12] Ahlfors L.V. Sufficient conditions for quasi-conformal extension Discontinuous groups and Riemann surfaces (Proc. Conf., College Park, Md., 1973). Ann. of Math. Studies V.79. 1974. 23-29.