Линейно-инвариантные семейства отображений шара в c n Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск б, 1999

УДК 517

ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫЕ СЕМЕЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ ШАРА В С^

Я. Годуля, П. Личберский, В. В. Старков

Понятие линейно-инвариантного семейства отображений шара в Сп введено в [1,2], оно обобщает классический случай п = 1 [3]. Эта статья представляет собой сводку основных результатов авторов, ранее опубликованных в [4-6]. Дается новое простое определение порядка отображения (приводимые примеры показывают преимущества этого определения), устанавливается связь линейно-инвариантных семейств отображений с классом функций Блоха в Сп, получена теорема регулярности.

Понятие линейно-инвариантного семейства (л.-и.с.) аналитических в круге В = В1 = {2: Е С : \г\ < 1} функций впервые было введено и изучалось СЬ. Роттегепке в [3]. Линейная инвариантность семейства ШТ локально однолистных в В функций f(z) = z + ... означает, что наряду с каждой функцией / Е ШТ этому семейству принадлежит и функция

/(у(*)) - /МО)) _ , т

ГЫ 0)М0) и

при любом конформном автоморфизме (р(г) круга В. Многие известные классы конформных отображений круга В являются л.-и.с.

В дальнейшем понятие линейной инвариантности обобщалось многими авторами в различных направлениях. В 1997 г. в [1] понятие

л.-и.с.было перенесено на локально биголоморфные отображения шара Вп = {г Е Сп : ЦгЦ < 1}, п > 1; в [1] изучались л.-и.с.таких

© Я. Годуля, П. Личберский, В. В. Старков, 1999

отображений. Следует также заметить, что еще ранее подобное обобщение было предпринято в [2] для случая п = 2. Предлагаемая статья содержит результаты, полученные авторами в этом направлении и опубликованные ранее в [4-6].

1. Порядок линейно-инвариантного семейства Обозначим Сп п-мерное комплексное пространство, состоящее из всех п-мерных векторов г = (21, 2:2,..., 2П), скалярное произведение (г, ъи) = й)1 + • • • + |И| = ((^, г))2 < 1. Для г > 0 обозначим

В™ = гВп. Единичную матрицу обозначим I.

Далее будем рассматривать локально биголоморфные отображения /(г) = (/1(;г:),..., /п(г)) шара Вп. Для отображения / обозначим £)т/(2;) дифференциал фреше ш-го порядка в точке г. Обозначим Jf(z) = detD/(2:) якобиан в точке г.

Пусть

ЬБп =

{/ : / голоморфна в Вп, Jf(z) / 0 при г Е Вп, /(О) = О, Б/(0) = 1}

— семейство нормированных в нуле локально биголоморфных отображений шара Вп. Далее по аналогии с (1) определим оператор

МЯ<А> = (0^(®))_1(0/(^(®)))_1{/(^(^)) - /М©))},

здесь (р принадлежит множеству всех биголоморфных автоморфизмов А шара Вп.

По аналогии со случаем п = 1 в [1] даны следующие определения.

Определение 1. 1. Семейство Т называется линейно-инвариантным семейством (л.-и.с.), если

(1) Т С ЬБп,

(и) А^(/) Е Т для всех / Е Т и (р Е А.

Определение 2. 2.Порядком л.-и.с. Т называется число

от&Т = вир вир

д^Т ||гу|| = 1

вир вир

д^Т ||гу|| = 1

3 = ^ к=1

,3 _

Где д\к =

дг^дгк'

Определение 3. 3. Семейство

иа = ^{/ £ ЬБп : отй/ ^ а}

называется универсальным л.-и.с. порядка а.

Символ tr здесь обозначает след матрицы. В [1] показано, что

Т1 1

Ыа = 0 для а < —-—.

В случае n = 1 определение 2 является классическим определе-

/"(0)

нием порядка л.-и.с.ШТ [3]: огс1ШТ = sup —-

fefm замечает, что

(i) компактное л.-и.с.имеет конечный порядок,

(п) л.-и.с.всех нормированных в нуле биголоморфных отображений

шара Вп имеет бесконечный порядок.

Он также доказал теорему искажения в Ыа : если ord/ = а, то

. J. A. Pfaltzgraff [1]

(i- |И|)«+(”+1)/2’

и утверждал точность этого неравенства, основываясь на том, что для отображения

Ка(г) = (ка(г1),г2л/к,а(г1),..., гпу/к'а{г{)),

(1 + г1)“"(”+1)/2

где

ka(zi) =

п + 1 4 а

l + ^i 1-zi

2а/(п+1)

- 1

JKa (z) =

(1 — Zi)a+(n+iy2

от6.Ка = а. Однако при доказательстве равенства от6.Ка = а. P^зltz-graff Л. А. использует равенство (5.3) из своей работы [1], хотя оно — неверно (при переходе к (5.3) от предыдущего равенства допущена непоправимая ошибка). Тем не менее неравенство (2) является точным и равенство от6.Ка = а справедливо, оно доказано в [7] совсем другим путем.

Далее порядком отображения / Е ЬБП будем называть число огс1/ = вир вир ^г{Б2з(0)(ад,-)}|,

||го|| = 1 ^

где д(г) = Лу,(/)(*).

Для / Е ЬБП обозначим

«о(/) = inf{a : a G 6(f)},

Л/ г\ ГП 1 \

где #(/) — множество всех таких а Е [—-—, оо), что

(1 + |и||)а-(п+1)/2

1^.(„М1^^_||^.+|,,+1|/г. .ев;(|св-, (3)

для любого <р Е А. Из неравенства (2) следует, что #(/) / 0, если огс1/ < оо. Оказывается, определенный выше порядок л.-и.с.тесно связан с неравенством (2).

Теорема 1. Если / Е ЬБп, то ао(/) = огс1/.

Следствие. 1. Пусть Т—л.-и.с. Тогда

(1 + I\z\\)a-(n+1^2

/«ЕЛ *€В"},

причем условие х Е Вп здесь может быть заменено условием ^ Е В” для любого г Е (0,1).

Следствие. 2. Пусть Уа — семейство всех отображений / Е Ь*5П, для которых существует такое число г(/) Е (0,1), что для любого (р Е Л и любого г Е выполняется неравенство (3). Тогда Уа = Ъ1а-

Весьма неожиданным оказывается следующее утверждение

Предложение 1. Если /ь/2 Е ЬБП и = \Jf2(z)\ для всех

Z Е ВП, ТО 0Г(1/1 = 0Г(1/2.

Таким образом, порядок отображения / оказывается зависимым только от якобиана

О важности и полезности предложения 1 и нового определения огАТ7 (см. следствие 1) говорит следующий пример. Пусть Т — {Г Е ЬБп : «7р(;г) = 1}, Л^) = {/ = Л^(^) :^Е^,(^Е Л}. В [8, теорема 5] утверждается (доказательство этой теоремы ошибочно, поскольку

Т1 1

опирается на неверное равенство (5.3) из [1]), что огсЩ.?7) = —-—. Теперь этот результат является простым следствием предложения 1 и того факта, что огс1/о = — Для = z. Более того, из

Т1 1

предложения 1 следует, что оп:1Л(^гп) = —-— для любого семейства

( / 1 _ ||а||2 \("+1)/2'|

Та = -Р е ЬБп : |^(г)| = ^ ^ д)|2 ) [ при любом фикси-

рованном а £ В".

В случае п — 1 Б. М. СатрЬеП [9] доказал, что равенство в (2) достигается только для функции

Ж) = МО =

1 + Се‘, ) -1 1 - Се*'

Совершенно иной оказывается ситуация в случае п > 1. Л. А. P^зltz-graff [1] утверждал (но не доказал, доказательство этого факта см. в [7]), что равенство в (2) достигается для отображения Ка(г). Из предложения 1 следует, что при п > 1 экстремальных функций в неравенстве (2) бесконечно много и для построения их необязательно

использовать функции ка. Действительно, пусть п > 1 и пусть фиксировано V Е {1,... , п}. Далее, пусть, например,

Н„ (г) = (4)

(^1 ('^ь') 5 • • • 5 — 1 Ну — 1 (/2^) , I Ну (.§) /2^-1-1 Ни-^-1 (/2*,) , . . • , Znhn (^ь/)) ,

«/О

где функции hj(z), hj(0) = 1, ^ = 1,..., п, — произвольные голоморфные в В функции, удовлетворяющие условию

ТТ г, < ^ _ (! + ^)“-(П+1)/2

Ц «АМ - (1 _ ^^+(„+1)72 •

Тогда

ЗнЛг) = П^-Ы> * е Вп,

3 =1

и по предложению 1 огсШ*, = огсИ<Са = а. Таким образом, является экстремальной функцией в неравенстве (2).

2. Теорема регулярности

Теоремой регулярности называют теорему, в которой утверждается, что функции, имеющие максимальную для данного класса скорость роста, растут гладко (регулярно).

Теорема регулярности известна в разных классах голоморфных функций одного комплексного переменного. Так, в классе *5 голоморфных и однолистных в единичном круге В функций /(г) = г + • • • справедлива

Теорема А. (Теорема регулярности в *5). [10,11] (см. также [12-14]). Для / Е *5 существует предел

lim

v —У1

(1-г)2

М(г,/)

= lim

V —У1

(1-г)3

1 + Г

М(г, /')

= <5 G [0,1]

(здесь М(г, ф) обозначает тах \ф(г)\ для непрерывной в В функции);

\г\=г

(5 = 1 только для функции Кёбе К о (г) = г(1 — гег0) 2, О Е [0, 27г); при 8 ф 1 величины, стоящие под знаком пределов, убывают по г Е [0,1). Если 5 ф 0, то для каждой функции / Е *5 существует такое число Е [0, 2тг), что при любом О Е [0, 27т) существует предел

lim

V —У1

(1-г)2

l/(reie)|

= lim

V —У1

(1-г)3

l/v^l

Г 6, I о,

= у/> 1 ф ef-

Величины, стоящие здесь под знаком предела, не возрастают по г £ [0,1).

Эта теорема была обобщена на случай производных высших по-рядков f(k\z), к >2 ,f £ S [15], и на функции, р-листные в среднем [10]. В [9,16,17] была получена теорема регулярности для произвольных л.-и.с.голоморфных в В функций конечного порядка.

Для непрерывного в шаре Вп отображения g обозначим М(г, д) =

max \g(z)\. В случае больших размерностей (n > 1) в л.-и.с.может

Ы\=г

быть доказана следующая теорема регулярности.

Теорема 2. (Теорема регулярности). Для любого отображения f е Ua

1) величины

___ /2

(1 - г)

_|_ г)а —(п+1)/2

\Jf Ml

(i

___ /2

_|_ r)a-(n+1)/2

не возрастают по г Є [0,1) для любого у Є <9ВП;

2) существуют вектор Уо = у о(/) Є <9ВП и число Sf Є [0,1] такие, что

Ііт

V —У1

_ г^«+(п+1)/2

= Пт

т —У1

_ г^«+(п+1)/2 _|_ г)а-(п+1)/2

= Пт

Т —^ 1

—— Пт вир

г—УІ~

= Пт

V —У1

^ (1 - г)“+("+3)/2

(Г’ ~сїг (п + 1 + 2а)2"_("+3)/2

= Пт

V —У1

[/'

.«/о

(1р

_ ^«+(п+3)/2

(п + 1 + 2а)2«-(п+3)/2

_ г^а+(п+1)/2

2« —(п+1)/2 _ г^а+(п+1)/2

= <*/,

если >0, то вектор у о = г?о(/) £ Вп будем называть направлением максимального роста отображения / Е Ыа;

3) если в п. 2) теоремы направление максимального роста у о = (1, 0,0) (этого всегда можно достигнуть преобразованием поворота с помощью некоторой унитарной матрицы), то для отображения / ЕЫа Sf = 1 в том и только в том случае, если

(5)

Причем, в отличие от случая п > 1, таких отображений / € Ыа, удовлетворяющих условию (5), — бесконечное множество; любая аналитическая в В функция (£) ф 0 порождает такое отображение (см. формулу (4)).

3. Функции Блоха и отображения Блоха

В многомерном случае, как и в случае п = 1 (см. [18,19]), удается установить тесную связь между л.-и.с.отображений и функциями Блоха в шаре Вп. И. Тшюпеу [20,21] изучал функции Блоха многих комплексных переменных и дал несколько эквивалентных определений таких функций (см. также [22,23]). Здесь мы будем использовать следующее определение.

Определение 4. 4. Голоморфная функция h : Вп —>• С называется функцией Блоха, если ее норма

||/l||B = |MO)| + sup||V(/io^)(0)||

<Р^А

конечна.

Обозначим

\(Vh{z),x)\

Qh(z) = sup ——----------—j^,

СпЭхфО HZ\X^X)

71 A- 1

rppHz(u,v) = —^[(l-\\z\\2)(u,v) + (u,z)(z,v)\/(l-\\z\\2)2 —метрика

Бергмана, u,v G Cn,z G Bn. Тогда по лемме 1 из [22] получаем, что Qho(p(z) = Qh(<p(z)) Для любого автоморфизма ip Е А. Следовательно,

sup Qh(a) =

CL £ ВП

—sup |<V(fto^)(0),ar)| = —sup ||V(/io^)(0)||.

n + 1 <peAII*ll=i n + I

Таким образом, определение 4 эквивалентно следующему определению функций Блоха, данному в [23]: sup Qh(o>) < оо. R. Timoney в [20]

CL £ ВП

доказал, что величины sup Qh(o>) и sup [(1 — \\w\\2){Vh(w),w}\] —

a£Bn ||4| = 1

эквивалентны. Отсюда следует эквивалентность норм \\Щв и

\\h\\x = |МО)| + sup (1 — \\w\\2)\(Vh(w),w)\.

we Bn

Класс функций Блоха будем обозначать Б = Б(ВП). Следующая теорема дает новое эквивалентное определение функций Блоха и связывает класс В с линейно-инвариантными семействами конечного порядка.

ТЕОРЕМА 3. Голоморфная функция h : Вп —> С принадлежит классу В в том и только в том случае, если существует такое отображение / G (J Ua С LS„, что

а< оо

h(z)-h(Q) = log Jf(z), z eB". (6)

Если при этом ord/ = а, то

2(а-^Г) ^||Л-МО)11^2(а+^

2(а~Н”) ^ И^1 - М®)11в ^ 2

оба последних неравенства — точные в классе В.

В случае п — 1 теорема 3 доказана в [19].

Из теоремы 2 (регулярности ) и теоремы 3 получаем

Следствие. 3. Для любой функции Н е В и любого V е <9ВП величины

Ке[Н(гу) — /г(О)] + (а + —4—1 1<^(1 — г) — (а — —1 log(l + г)

max Re[/i(n>) — h(О)] + ( а + —4—) log(l — г) —fa — —) log(l + г)

\\v\\=i \ 2 ) \ 2 )

не возрастают относительно г Е [0,1) и при г —у 1~ имеют пределы, не большие нуля; здесь a = ord/, / G |^J Ua, / и h связаны

a<oo

равенством (6).

Заметим, что в последнем следствии невозможно заменить знак вещественной части на знак модуля, т. к. при вещественных Л функции elXh Е В будет соответствовать отображение Д G Ыа

се<оо

(elX(h(z) — h{О)) = log Jfx{z)), для которого порядок a\ = ordД зависит от Л.

Теорема 4. Голоморфная функия h : Вп —у С принадлежит классу В в том и только в том случае, если существует такая положительная постоянная С, что для всех z Е Вп

sup | Re[ft(<p(z)) — /i(</?(G))] + log

<peA

J(p{z)

+ log(l-|N|2)(”+1)/2|

i-NI’

наилучшее (наименьшее) значение С здесь равно ord/, где / Е LSn и связано с h равенством (6).

Перейдем к рассмотрению отображений Блоха.

Определение 5 [24]. Голоморфное отображение h : Вп —у Сп называется отображением Блоха, если оно имеет конечную норму Блоха

\\Чв(п) = |1М®)|| + sup ||D(fto^)(0)H,

где ||D/i(z)|| обозначает норму линейного оператора Dh(z).

Семейство всех таких отображений будем обозначать В(п). Следующая теорема устанавливает соотношение между В(п) и семействами Ыа.

Теорема 5. Голоморфное отображение h : Вп —у Сп принадлежит классу В(п) в том и только в том случае, если существуют такие отображения /i,..., fn Е \^J Ua, что

а<оо

h(z) - h( О) = (log Jh (z),..., log Ju (z)).

Если при этом otk = ordfk, к = 1,..., n, to

n / _i_ i \ 2

^\\h-h(0)\\B{n)^2A

k = 1

оба неравенства точные

I 71 + 1 4

2Л “* +

k=l

Из теоремы 5, в частности, вытекает, что голоморфное отображение h = (hi,..., hn) принадлежит классу В(п) в том и только в том случае, если для каждого к = 1,... ,п функции hk принадлежат классу В.

Resume

In the paper we suggest a new definition of the order of a linearly invariant family of locally biholomorphic mappings of the unit ball in Cn. This definition is equivalent to the one given by Pfaltzgraff in [1]. It bases on a very simple relationship with the Jacobian of the mappings (see Corollary 1). It appears that the order of a mapping depends only on its Jacobian (see Proposition 1).

Литература

[1] Pfaltzgraff J. A. Distortion of locally biholomorphic maps of the n-ball // Complex Variables Theory Appl. 1997. V. 33. P. 239-253.

[2] Barnard R. V., FitzGerald С. H., Gong S. A distortion theorem for biholomorphic mappings in C2// Trans. Amer. Math. Soc. 1994. V. 344. P. 907-924.

[3] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analytischer Funktionen. I / / Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.

[4] Godula J., Liczberski P., Starkov V.V. Order of linearly invariant family of mappings in Cn// Complex Variables Theory Appl. (to appear).

[5] Godula J. Starkov V. V. Universal linearly invariant families and Bloch functions in the unit ball//(to appear).

[6] Liczberski P., Starkov V. V. Regularity theorem for linearly invariant families of holomorphic mappings in Cn// (to appear).

[7] Liczberski P., Starkov V. V. Linearly invariant families of holomorphic mappings in Cn — transition to a smaller dimenssion// (to appear).

[8] Pfaltzgraff J. A., Suffridge T. J. An extension theorem and linear invariant families generated by starlike maps// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A. 1999. V. 53. (to appear).

[9] Campbell D. M. Applications and proof of uniqueness theorem for linearly invariant families of finite order// Rocky Mountain J. Math. 1974. V. 4. P. 621-634.

[10] Хейман В. К. Многолистные функции. М.: ИЛ, 1960.

[п] Krzyz J. On the maximum modulus of univalent functions// Bull. Acad. Polonici Sci. 1955. V. CI. III. № 3. P. 203-206.

[12] Лебедев H. А. Принцип площадей в теории однолистных функций. М.: Наука, 1975.

[13] Милин И. М. Однолистные функции и ортонор мир о ванные системы. М.: Наука, 1971.

[14] Bieberbach L. Einfuhrung in die konforme Abbildung. Berlin: Sammlung Goschen, 1967. Band 768/786a.

[15] Базилевич И. E. Асимптотическое свойство производных одного класса регулярных в круге функций// Исслед. по соврем, пробл. теории функций компл. перем.: Сб. статей. М.: Физматгиз, 1961. С. 216-219.

[16] Старков В. В. Теорема регулярности в универсальных линейноинвариантных семействах функций// Труды международной конференции по конструктивной теории функций (Варна. 1984). София, 1984. С. 76-79.

[17] Старков В. В. Теоремы регулярности для универсальных линейноинвариантных семейств функций// Сердика. София, 1985. Т. 11. С. 299-318.

[18] Campbell D. М., Cima J. A., Pfaltzgraff J. A. Linear space and linear-invariant families of locally univalent analytic functions// Manuscripta Math. 1971. V. 4. P. 1-30.

[19] Godula J., Starkov V. V. Applications of ideas of Mobius invariance to obtain equivalent definitions of Bloch functions// Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska. Sect. A. 1995. V. 49. P. 41-58.

[20] Timoney R. M. Bloch functions in several complex variables, I // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P. 241-267.

[21] Timoney R. M. Bloch functions in several complex variables, II // J. Reine Angew. Math. 1980. V. 319. P. 1-22.

[22] Hahn К. T. Quantitative Bloch’s theorem for certain classes of holomorphic mappings of ball into PnC// J. Reine Angew. Math. 1976. V. 283. P. 99-109.

[23] Hahn К. T. Holomorphic mappings of the hyperbolic space into the complex Euclidean space and the Bloch theorem // Canad. J. Math. 1975. V. 27. P. 446-458.

[24] Liu X. Bloch functions of several complex variables // Pacific J. Math. 1992. V. 152. № 2. P. 347-363.

Institute of Mathematics,

Maria Curie-Sklodowska University,

20-031 Lublin, Poland, e.mail: godulagolem.umcs.lublin.pl

Institute of Mathematics,

Technical University of Lodz,

90-924 Lodz, Poland; e-mail: piliczbck-sg.p.lodz.pl

Петрозавозаводский государственный университет,

математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33