О фундаментальных свойствах многомерных случайных потоков прямоугольных импульсов и сопряженных с ними процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.82

О ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ МНОГОМЕРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОТОКОВ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ И СОПРЯЖЕННЫХ С НИМИ ПРОЦЕССОВ

Ф.В.Голик

FUNDAMENTAL PROPERTIES OF SQUARE PULSES MULTIDIMENSIONAL RANDOM STREAMS AND ASSOCIATED PROCESSES

F.V.Golik

Институт электронных и информационных систем НовГУ, [email protected]

Исследуются свойства многомерных случайных потоков прямоугольных импульсов (МСППИ) и сопряженных с ними процессов. Показано, что МСППИ могут служить основой для задания процессов с вложенными точками. Последние используются в качестве моделей широкого класса реальных физических процессов, встречающихся при анализе надежности сложных систем, исследовании систем вторичной радиолокации и асинхронных систем передачи информации, а также в области экономики, логистики, биологии.

Ключевые слова: многомерный случайный поток прямоугольных импульсов, процесс с вложенными точками, динамическая система, множество состояний

The properties of the square pulses multidimensional random streams (SPMRS) and associated processes are analyzed. It is shown that SPMRS could be considered as the basis for specifying processes with embedded points. The latter are used for modeling broad class of real physical processes which occur during analysis of complex systems, secondary radar systems, asynchronous communication systems, as well as in economics, logistics, and biology.

Keywords: multidimensional random stream of square pulses, process with embedded points, dynamic system, set of states

Введение

При расчете характеристик надежности сложных систем в качестве модели широко используются полумарковские процессы со вспомогательными траекториями и их обобщение — процессы с вложенными точками (ПВТ) [1]. По определению процессом с вложенными точками называется пара [Н(/%{ТД], где Н(/) — случайный процесс с конечным множеством состояний, {ТД — последовательность случайных величин, удовлетворяющих условию Т = 0 < Т < ...,ИтТ = да .

1 2 ' и

и^да

Вложенные точки определяются, как правило, процессом Н(/), т. е. состоянием исследуемой систе-

мы. В частности, Ти могут быть моментами пересечения процесса Н(/) некоторого уровня или вхождения процесса Н(/) в некоторое заданное подмножество состояний. Поэтому можно считать, что ПВТ задан, если определен процесс Н(/) и установлено правило формирования вложенных точек.

В настоящей работе рассмотрен частный случай системы, состоящей из N восстанавливаемых элементов, состояния которых описываются случайными потоками прямоугольных импульсов (СППИ) [2-4], а состояние самой системы — многомерным потоком, представляющим собой суперпозицию парциальных потоков [5].

Несмотря на кажущуюся тривиальность рассматриваемой системы и соответствующей ей моде-

ли, можно привести достаточно много примеров ее практического применения не только в задачах надежности. Например, если считать, что часть СППИ порождается управляющими воздействиями, то такая модель описывает динамическую систему управления. Если рассматривать СППИ как потоки информационных пакетов, то можно говорить о модели асинхронной системы передачи информации.

Целью работы является определение фундаментальных свойств многомерных потоков и порождаемых ими процессов.

Свойства многомерных случайных потоков прямоугольных импульсов

Введем операцию формирования вектора Z из элементов множества Z , которую вслед за [6] назовем суперпозицией множества и обозначим spr(Z) .

Пусть Z = {г1,..., ,..., zN ] — конечное множество элементов г. .

г

Определение 1. Суперпозицией называется операция, ставящая в соответствие множеству Z вектор ZN, г-я координата которого равна г-му

элементу множества Z при всех г = 1, N:

, ) =

Операцию суперпозиции можно применить к множеству Е случайных потоков прямоугольных

импульсов единичной амплитуды ф. (V), г = 1, N . Результат (¿) суперпозиции множества Е потоков

представляет собой ^мерный векторный процесс,

или многомерный случайный поток прямоугольных импульсов (МСППИ):

фN (V) = *рг(ф,(/),..., фг (/),..., фN «), ФN (0 6 ^, R+ ),

В = {0,1}, R+ = [0, да). Зададим фиксированный вектор

5 = (5,,..., 5.,..., 5,.), 5. 6 В, 5 6 ВN .

V р > .' ' ^^ г '

Определение 2. Процесс фN (?) находится в

момент V в }-состоянии, если фN(¿) = 5 .

Определение 3. Потоком }-состояний называется поток прямоугольных импульсов единичной амплитуды, формально описываемый временной функцией

[о, фN (0 * 5,

Фг (0 =

1, Фм (0 = 5.

Теорема 1. Поток }-состояний может быть представлен произведением соответствующих комбинаций парциальных потоков ф, (?) и их инверсий ф, (¿):

ф} о=Пф5о -ф}

(1)

где }'г = 1 -}'г, фг(0 = 1 -фг(V), фг(t) = }г, г = 1,N.

Теорема 2. Произведение несовпадающих потоков состояний равно нулю на полуинтервал Я+ :

Фг(0 - Фг(0 = 0, } * к, }, к 6 В7^ .

Следствие 2.1. Множество функций {Ф-(/), 5 6 ВN} ортогонально на полуинтервале R+ .

Следствие 2.2. (?) + (/) = 0 или 1 при любых }, к 6 ВN, 5 * к, 16 Я+ .

Теорема 3. Справедливо тождество

2Ф« "1* 6R+.

Разобьем множество ВN на М произвольных подмножеств Sr, г = 1, М.

Определение 4. Потоком г-го подмножества состояний (множественных состояний) называется поток, заданный временной функцией

[0, ф.. (о г S

^ 11, (0 6 Sг +

(2)

Г^^ ^ "г

Теорема 4. Поток г-го подмножества состояний равен сумме потоков 5-состояний, принадлежащих г-му подмножеству:

т (/) = ^Ф; (0. (3)

S6Sг

Теорема 5. Если

S П S = 0,

г п '

г,п = 1М, г * п, У Sr = В^^ то Т(V) -Тп(0 = 0, V 6 R+ ,

(г)

что непосредственно следует из теорем 2 и 4.

Следствие 5.1. Потоки Тг(¿) непересекающихся

подмножеств Sг ортогональны на полуинтервале R+ .

^процессы и их свойства

Определение 5. Н-процессом называется случайный процесс, реализации которого формально задаются соотношением

Н(0 = 2 Н}Ф} (V), НО 6 (R, R+). (4)

Здесь Н} — некоторая (в общем случае случайная) функция вектора }-состояний суперпозиции фN (¿).

Пусть Н^) имеет смысл показателя эффективности функционирования некоторой системы, «управляемой» суперпозицией фN (¿) парциальных потоков

фг(0, г = 1, N. Тогда Н} интерпретируется как эффективность функционирования системы в 5-состоянии. Конкретный вид функции Н- зависит от свойств системы.

Для Н-процессов в области значений определены любые парные алгебраические операции.

Пусть дано множество процессов

{Н . (V), j = 1М}

Н j « = 2 Н} Ф-, Н j (/) 6 (Я, Я+),

5 .6В

10, фN (V) * 5; , Фг (V) = \ ; г;

[1, ф^ (V) = 5;, г 6 я+ ,

ф^ (V) = }рг(фг (V)) г = 1,N..

г

Обозначим произвольную алгебраическую операцию символом «*».

Теорема 6. Результатом парных алгебраических преобразований множества Н-процессов является Н-процесс:

Hj(t) *... * Н (t) *...*НМ (t) = H(t), H(t) е (R, R+).

Здесь

H(t) = (t), N = £N..

seBN

j=1

H=H(t)*...*H (t)*...*H (t)

s s.

Г 0, ф,. (^ ф s, ф. (t) = <|

s [1, ФN (t) = s, t е R+.

Фу (t) = (ФN1(t),., (t),., (t)), ? = С^." ^ )

— составные векторы.

Справедливость теоремы непосредственно следует из определений 1 и 5. Следствие 6.1. Пусть

Н](t) = Е Н;.Ф;.> ] = ^,

е В, Н- = h]s], Ф. (t) = ф] (0 • ф*] (t).

Тогда

м

ZH j (t) = (t) = H(t),

j=1 ?eBN

M M _

H s=Z jj, Ф(t)=Ш(t).

j=1 i =1

Откуда с учетом соотношения (1) получаем:

м м

H(t) = Z (t) = ЕФг (t)Z h'sr (5)

'=1 ?eBN j=1

Формула (5) применяется для описания систем с аддитивным показателем эффективности и при анализе суммы СППИ.

В приложениях часто приходится иметь дело с системами, в которых происходит квантование H-процессов в области их значений.

Пусть задан процесс H(t). Зададим уровни квантования следующим образом:

go = HS, 8м = sUP H? >

(s )

(s )

8n-1 < 8n < 8n+p n = 1M -1 ■

Разобьем множество BN на M + 1 подмножеств S так, что

S =

r

M

{S : S eBN, H. = go},

{S : S eBN, gr-1 <H s < gr, r = 1, M},

I IS =BN, r Ф n, r,n = 0,M, S nS = 0.

r ' ' ' 5 5 r П

r=0

Тогда квантованный процесс GM (t) можно представить в виде:

M

GM (t) = Z gr Tr (tX

r =0

Заметим, что квантование Н-процесса равносильно укрупнению фазового пространства состояний. С другой стороны, процедура квантования описывает операцию прореживания суммы потоков и суммирование с ограничением по уровню квантования.

Рассмотрим частный случай аддитивного

N

Н-процесса, когда Н = Е sh., а весовые коэффи-

i=1

циенты ^ = 1,1 = 1, N. Зададим уровни квантования g = г, г = 1, N. Тогда подмножества определя-

ются соотношением:

N

= :5 е ВN, Е sl = г|, г = 0, N

и процесс GN (}) представляет собой сумму N потоков прямоугольных импульсов единичной амплитуды:

N N

G

N (t) = Z r^r (t) = (t).

где T (t) определяется соотношением (2) или (3).

г=0 ¿=1

При этом функция Т,описывает потоки совпадений ровно г импульсов, принадлежащих множеству парциальных потоков ф (/), . = 1, Ы^.

В заключение рассмотрим возможность представления одиночного (N = 1) потока прямоугольных импульсов с помощью Н-процессов. Из (4) следует, что в этом случае 5 = s = 1, s = 0;

Н(0 = Ц •ф(t) + Н0 •фф.

Положив Н1 = s, Н0 = s , получим Н(^) = ф(t). Аналогично можно задать и инверсный поток.

Если принять, что Н1 = £, где £ — случайная

величина, а Н0 = 0, то Н(^) = £ • ф(^) — поток прямоугольных импульсов со случайной амплитудой.

Таким образом, на основании теоремы 6 и ее следствий можно утверждать, что Н-процессы образуют К-класс процессов, инвариантных к преобразованиям типа суммирование с ограничением и прореживание. К К-классу относятся одиночные случайные потоки прямоугольных импульсов единичной или случайной амплитуды.

Введенное определение К-класса не накладывает ограничений на динамику процессов, которая полностью определяется вероятностными свойствами порождающей совокупности парциальных потоков. При этом потоки могут иметь как статистически независимые, так и зависимые компоненты. Наличие статистических связей между потоками совокупности также не оговаривается. Единственным ограничением, которое хотя и не вытекает из определения К-класса, будем считать обязательным. Оно состоит в требовании ординарности суммарного потока точек, образованного моментами возникновения импульсов всех парциальных потоков совокупности. В этом случае состояния процесса фN (0, разделенные одним шагом, отличаются одной и только одной компонен-

той в ^мерном булевом пространстве В . Это свойство широко используется при анализе характеристик процессов К-класса.

Заключение

1. Полученные в работе соотношения описывают свойства многомерных случайных потоков прямоугольных импульсов и сопряженных с ними Н-процессов, что создает предпосылки для конструктивного задания процессов с вложенными точками и определения вероятностных характеристик Н-процессов, таких как условные переходные функции распределения, одношаговые переходные вероятности, интервальные переходные вероятности и др.

2. Многомерный импульсный поток фN (/) и

его отображения Ф5(/), ТД/), Н(0, GM (/) могут

служить моделью широкого класса реальных физических процессов, встречающихся при анализе надежности сложных систем, исследовании систем вторичной радиолокации и асинхронных систем передачи информации, а также в области экономики, логистики [7], биологии.

1. Надежность технических систем: справочник / Беляев Ю.К., Богатырев В.А., Болотин В.В. и др. Под ред. И.А.Ушакова. М.: Радио и связь, 1985. С.482.

2. Седякин Н. М. Элементы теории случайных импульсных потоков. М.: Сов. радио, 1965. С.95-108.

3. Голик Ф.В. Потоки прямоугольных импульсов с «хорошей» автоковариационной функцией // Радиотехника и электроника. 1991. Т.36. №11. С.2141-2147.

4. Голик Ф.В. Случайные потоки импульсов с заданными корреляционными свойствами // Журнал радиоэлектроники. 2000. №7. URL: http://jre.cplire.ru/jre/jul00/index.html.

5. Голик Ф.В. Многомерные импульсные потоки в теории асинхронных радиотехнических систем // Радиотехника. 1991. №2. С.18-19.

6. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. Киев: Наукова думка, 1982. С.48.

7. Голик Ф.В., Алексеев С.Ю. Оптимизация графика поставок при случайных задержках в пути // Логистика. 2003. №4. С.30-31.

Bibliography (Transliterated)

1. Nadezhnost' tekhnicheskikh sistem: spravochnik / Beliaev Iu.K., Bogatyrev V.A., Bolotin V.V. i dr. Pod red. I.A.Ushakova. M.: Radio i sviaz', 1985. S.482.

2. Sediakin N. M. Elementy teorii sluchainykh impul'snykh potokov. M.: Sov. radio, 1965. S. 95-108.

3. Golik F.V. Potoki priamougol'nykh impul'sov s «khoroshei» avtokovariatsionnoi funktsiei // Radiotekhnika i elektronika. 1991. T.36. №11. S.2141-2147.

4. Golik F.V. Sluchainye potoki impul'sov s zadannymi korreliatsionnymi svoistvami // Zhurnal radioelektroniki. 2000. № 7. URL: http://jre.cplire.ru/jre/jul00/index.html.

5. Golik F.V. Mnogomernye impul'snye potoki v teorii asinkhronnykh radiotekhnicheskikh sistem // Radiotekhnika. 1991. №2. S.18-19.

6. Koroliuk V.S., Turbin A.F. Protsessy markovskogo vos-stanovleniia v zadachakh nadezhnosti sistem. Kiev: Naukova dumka, 1982. S.48.

7. Golik F.V., Alekseev S.Iu. Optimizatsiia grafika postavok pri sluchainykh zaderzhkakh v puti II Logistika. 2003. №4. S.30-31.