CC BY
89
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
УДК 517.552
О ФОРМУЛЕ ПЕРЕСТАНОВКИ ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА КОШИ-СЕГЕ В
МНОГОМЕРНОМ ШАРЕ
А. С. Кацунова
ON THE FORMULA OF CHANGE OF INTEGRATION ORDER FOR THE SINGULAR CAUCHY-SZEGO INTEGRAL IN MULTIDIMENSIONAL BALL
A. S. Katsunova
В работе рассмотрены аналоги формулы Пуанкаре-Бертрана для особого интеграла Коши-Сеге в шаре. Главное значение интеграла рассмотрено по Коши и в смысле Керзмана-Стейна. Аналог, полученный в случае рассмотрения главного значения по Коши, отличен от формулы Пуанкаре-Бертрана для интеграла Коши на комплексной плоскости. Однако, если рассматривать главное значение в смысле Керзмана-Стейна, они совпадают. Статья является обзором основных результатов по данной теме.
It is obtained the Poincare-Bertrand formula for singular Cauchy-Szego integral in a multidimensional ball. It is considered principal value of integral in terms of Cauchy and in terms of Kerzman-Stein. The received formula in case of consideration of a Cauchy principal value differs from Poincare-Bertrand formula for Cauchy integral in a complex plane. However, in case of consideration of a principal value in terms of Kerzman-Stein the received formula of change of integration order is coincide with Poincare-Bertrand formula. This paper is a review of the main results on this problem.
Ключевые слова: интеграл Коши-Сеге, главное значение особого интеграла, формула перестановки повторного интеграла.
Keywords: Cauchy-Szego integral, principal value of integral in terms of Cauchy, formula of change of integration order for iterated integral.
1. Введение
В теории голоморфных функций одного комплексного переменного основополагающую роль играет интегральная формула Коши (см., например, [1, 2]).
Теорема 1.1. Пусть О С С1 — ограниченная односвязная область, границей которой является произвольная кусочно-гладкая линия дО. Для функции /, голоморфной в О и непрерывной в О (т. е. / Є О(О) ПС(О)), справедлива формула
f (z) = гЬ
dG
f (С) dС С - z ’
z G.
v.p.
І
2ni
dG
f (С) dС С - z
lim -—:
є^+o 2ni
dG\{C: |z—zK^
f (С) dС С - z ’
z є dG.
Теорема 1.2. Если y>(С,w) Є С“(Г x Г) при О < а ^ І, тогда
І
(2ni)2
dw
Р(С,Ч
(С - z) (w - С)
dС
¥’(С,'т) лґ л , 1 ( ) ^Г
(О Л2 І І (Ґ—w--------^ <dw+7 v(z,z), z Є Г.
(2-Kiyj J (С-z) (w-С) 4
rz г„
Целью работы являются исследование повторного особого интеграла Коши-Сеге и получение аналога классической формулы Пуанкаре-Бертрана для интеграла (типа) Коши.
В случае, если точка г лежит на границе области О, интеграл становится расходящимся в обычном смысле и рассматривают главное значение по Коши особого интеграла, которое определяется следующим образом:
2. Интегральное Коши-Сеге
представление
Пусть функция ^(С,и)) удовлетворяет условию Гельдера на Г х Г с показателем а (т. е. ф(£,т) € С “(Г х Г)), где Г — гладкая кривая из С1, 0 < а ^ 1. Тогда для интеграла Коши имеет место формула перестановки повторного особого интеграла (см., например, [3]).
Рассмотрим п-мерное комплексное пространство Сп (п > 1). Введем следующие обозначения. Если С, г € Сп, то (С, г) = С^1 + ... + Сп гп, а \г\ = V(г, г), где г = (гь . . .,гТ1), г = (гь . . .,гГ1).
Пусть Бг (г) — шар из Сп с центром в точке г радиуса г, т. е.
Бг(г) = {С € Сп : |С - г\ <г}.
Обозначим Б = Б0(1) — единичный шар из Сп, Б — граница шара Б
Б = дБ = {С € Сп : |С| = 1}.
Обозначим через К (С, г) — ядро Коши-Сеге для шара, т. е.
1
К (С,г) =
(і - <t,z))'
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
а через а(() — дифференциальную форму а(С) = t-1-)^1 Zk Щ Л dC,
где
dZ = d(i Л ... Л d(n, dZ [к] =
= dZ i Л ... Л dZk-i Л dZk+i Л ... Л dZn.
Приведем известное интегральное представление Коши-Сеге (Хуа Локена) для голоморфных функций в шаре (см., например, [4]).
Теорема 2.1. Для любой функции f Є O(B) HC(B), справедлива формула
f (z) = j f (Z) K(Z,z) a(Z), z Є B.
S
3. Главное значение по Коши интеграла Коши-Сеге
Для точек г Є Б обычно рассматривается главное значение по Коши:
I^) Кг) о^) = I(С) Кг) о).
Б Б\В*(е)
Для особого интеграла Коши-Сеге верно утверждение (см. [5]).
Теорема 3.1. При п > 1 справедлива формула:
у.р. ! К^,г) о^) = 1, г Є Б.
я
Обозначим для интегрируемой на Б функции I предельное значение интеграла
11 (С) К (С, г) о(С)
б
изнутри шара В через К + [I], а через Ка [I] — главное значение по Коши этого интеграла, т. е.
Ка [I ]=У.Р^ I (с) К (С, г) о(С), г Є Б.
Б
Тогда для интеграла Коши-Сеге справедлив аналог формулы Сохоцкого-Племеля (см. [5]).
Следствие 3.2. Пусть п > 1. Если функция I Є Са(Б), 0 < а ^ 1, то интеграл К + !] продолжается на Б до некоторой функции, также удовлетворяющей на Б условию Гельдера с показателем в = а и
к +и ] = Ка[I ].
В этом параграфе для точек 2 Є Б будем рассматривать интеграл Коши-Сеге в смысле главного значения по Коши и знак у.р. будем опускать.
Теорема 3.3. Пусть
I(С,^) = к(С,,'^) Iі - <С-)| ^ ,
0 ^ V < п, I Є Са(Б х Б), тогда
У dо(w) J I^,т) К^,г) ) =
= J К (С, г) о(С) ! I (С^) г Є Б.
Лемма 3.4. При п > і для точек г0, Z0 Є Б справедливо равенство
I К^, г0) К^0, w) о^) = К^0, г0), г0 = Z0.
Теорема 3.5. При п > 1, если I Є Са(Б х Б), тогда
J К^,г) о^) ! I) К) о^) =
= I о^) / IК^,г) К) о^), г Є Б.
Формула, полученная в теореме 3.5, отлична от формулы Пуанкаре-Бертрана в случае комплексной плоскости для интеграла Коши.
Из теоремы 3.5 и леммы 3.4 получается следствие, называемое формулой композиции.
Следствие 3.6. Пусть п> 1. Если I) = = I^) Є Са(Б), то
К2[I ] = Ка[I ].
4. Главное значение в смысле Керзмана-Стейна интеграла Коши-Сеге
В работах Альта [6], Керзмана и Стейна [7] для точек г € Я было рассмотрено другое главное значение у.р.И. особого интеграла Хенкина-Рамиреза, частным случаем которого является интеграл Коши-Сеге. Поэтому, наряду с у.р., для точек г € Я рассмотрим главное значение в смысле
Вестник КемГУ № З/1 2011 Комплексный анализ
Керзмана-Стейна:
у.р.Ъ^ I(С) К((,г) а(() =
£
= Ит / I (С) К (С, г) а(С).
е^+О ]
Б\{^ |1-(С, г)\<е}
Лемма 4.1 При п > 1 справедлива формула
у.р.Ъ^ К (С, г) а(( ) = 2, г Є Б.
£
Обозначим через К8н [I] — главное значение в смысле Керзмана-Стейна интеграла Коши-Сеге, т. е.
К8н[/] = У.р.Ъ^ I (С) К (С, г) а(С).
£
Будем считать, что функция I Є СКв(Б) для
0 < а ^ 1, если для точек ^,г Є Б выполняется неравенство
II(С) - I(г)\ < С |1 - (С, г) Iа.
Теорема 4.2. Пусть п > 1. Если функция
1 Є СКв(Б), 0 < а ^ 1, то интеграл К +!] непрерывно продолжается на В, К +!] Є С^в(Б) и справедливо равенство
К + [I ] = I(Zl + у.р^І I (С) К (С, г) а(С), г Є Б.
Б
Лемму 4.1 и теорему 4.2 можно найти в [6, 7]. Ниже для точек г Є Б будем рассматривать главное значение интеграла в смысле Керзмана-Стейна и знак у.р.И. будем опускать.
Теорема 4.3. Пусть
I(С,Ч = 11 - (С,™) \-и,
0 ^ V < п, !0 Є С^в(Б х Б), тогда
J da(w) J I(С,™) К(С,г) &(С) =
= J К (С, г) а(С) ! I (С,™) (!а(™), г Є Б.
Лемма 4.4. Для точек г0, (0 Є Б справедливо равенство
У К (™,г0) К (С0,™) а(™)=0, г0 = (^.
Теорема 4.5. Пусть f G CKS(S х S), тогда J K(w,z) a(w) J f (Z,w) K(Z,w) a(() =
Sw Sz
= 1 a(Z)J f (Z,W) K(w,z) K(z,w) a(w)+
sz Sw
+ 1 f (z,z), z G S-
Из теоремы 4.5 и леммы 4.4 получается следствие, называемое формулой композиции.
Следствие 4.6. Пусть n> 1. Если f (Z,w) = = f (Z) G CKs(S), то
K2sh[f] = 1 f(z), z G S,
где
Ksh[f ] = v.p.h. J f (Z) K(Z, z) a(Z).
s
Как и следствие 3.6, следствие 4.4 является одной из формул композиции для особого интеграла Коши-Сеге при п> 1.
Литература
[1] Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И. И. Привалов.
- М.: Наука, 1984. - 432 с.
[2] Шабат, Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч.1 / Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1985. - 336 с.
[3] Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов.
- М.: Наука, 1977. - 640 с.
[4] Рудин, У. Теория функций в единичном шаре из Cn / У. Рудин. - М.: Мир, 1984. - 456 с.
[5] Кытманов, А. М. О главном значении по Коши особого интеграла Хенкина - Рамиреза в строго псевдовыпуклых областях пространства Cn / А. М. Кытманов, С. Г. Мысливец // Сиб. матем. журн. - 2005. - Т. 3, № 46. - С. 625 - 633.
[6] Alt, W. Singulare integrate mit gemischten homogenitaten auf mannigrfaltigkeiten und anwendungen in der funktionentheorie / W. Alt // Math. Zeit. - 1974. - Vol. 137, no. 3. - P. 227 - 256.
[7] Kerzman, N. The Szego kernel in terms of Cauchy-Fantappie kernels / N. Kerzman, E. M. Stein // Duke Math. J. - 1978. - Vol. 45, no. 3.
- P. 197 - 224.
