CC BY
19
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
УДК 519.6
Марголина Наталия Львовна
кандидат физико-математических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова
О ФОРМУЛАХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАВНОМЕРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В статье обсуждается несовпадение двух формул показателей в случае системы с неограниченной правой частью.
Ключевые слова: качественная теория дифференциальных уравнений, показатель Ляпунова, устойчивость, равномерная устойчивость.
Б
удем рассматривать линеиную однородную систему дифференциальных уравнении
x' = A (t) x, (1)
где x: J
1 - неизвестный вектор-столбец:
* ) =
(
A (t ) =
аи (t) a21 (t)
■( t ■ (t)
а
У ni
(t) ani (t) - ani (t)_
sup [ + IIA(5)|| ds < M,
. ^ л "•1 (*)' х2 (*)
X.(*)
А (*):Ж+ ^ EndЖи - функциональная матрица с непрерывными или кусочно-непрерывными коэффициентами:
а12 (*) «22 ( * )
Оператор Коши системы (1) будем обозначать
XA (t, S).
Для исследования вопросов, связанных с асимптотическим поведением решений дифференциальных уравнений, А.М. Ляпуновым [4] было введено понятие показателя. Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда показателей. Один из показателей, служащих для оценки оператора Коши, был введен П. Болем в 1913 году под названием индекса [1]. Позднее этот показатель был независимо получен К.П. Персидским и назван особым [3, с. 211].
В [2, с. 103] особый показатель системы (1) называется верхним особым числом и обозначается Q0. Там же приведены три способа его определения для систем вида (1) с интегрально ограниченной матрицей коэффициентов, то есть такой, для которой выполняется
Ct+1||
Q 0 = Ё£ iH^fllXA (t + H, t )||| =
= lim I — lnsupll(t + H, t)|
1 H taí" AV A
Авторами [2, с. 103-117] доказана возможность замены знака inf на lim для систем с интегрально ограниченными коэффициентами.
Во всех дальнейших рассуждениях будет рассматриваться система (1), матрица коэффициентов которой интегрально не ограничена. В этом случае равенство для верхнего особого числа может нарушаться, поэтому становится необходимым закрепить за конкретными формулами прежние обозначения или ввести новые.
Определение 1 [2, с. 115]. Показателем Боля системы (1) назовем
A)=lim (T7lnsupl (t+H.t )ll).
Определение 2 [2, с. 115]. Верхним особым показателем системы (1) назовем
Q0 ( A)= Hg, { >SUPI ( t + H, t ^
Утверждение. Для любой размерности n существуют системы вида (1), для которых
ß(A) > (A).
Доказательство.
При n=1 вычислим показатели системы
x' = а (t) x, (2)
где а (t) = t sin t.
В одномерном случае оператор Коши линейной
ft+H
системы имеет вид Xa (t, 5) = в" "" ".
Подставляя в формулу показателя Боля и используя определение логарифма, имеем
ß( а) = Hm I ■¿Jnsup|Xa (t + H, t )||I =
H >0 V H t>o )
где М - некоторая постоянная [2, с. 252]. В статье будет обсуждаться определение верхнего особого числа методом стекловских усреднений [2, с. 115]:
= lim i—sup í а (s
H>0' H t>o Jt v
Тогда
ß(а) = limI—sup í
^ v ' h>o h Jt
?( s ) ds |>
Вестник КГУ им. H.A. Некрасова № 4, 2014
© Марголина Н.Л., 2014
10
О формулах показателей равномерной устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений
> lim
i
Ink +п+Ink
t=2nk2 I n + 2nkj2nk2
H=n+2nk
s sin sds | =
= lim !
1=nk2 I n + 2nk
(-s cos s + sin s )|
2nk +n+2nk 2nk2
lim f-1-(-(2nk2 + n + 2nk) cosn +
i=nk2 i n + 2nkv v '
1 —ттл-! ттЬ- 4
+ 2nk 2cos0 )) =
= lim
1 =nk2 H=n+2nk
4nk2 + n + 2nk n + 2nk
■ = +<».
зателя ние логари
1-1+H
X (1, s) = e't a(s)ds арифма, имеем
и используя определе-
1
Q0 (A)=HfIH (1+H, 1 )||=
(
= inf
H >0
1 1+H
sup— f a (s) ds
1 >0 H *
Так как точная нижняя грань по всем положительным Н не превосходит значения при Н = 2п,
получаем цепочку.
f 1 1+H (A) = inf sup— [ a (s) d
H>0 1 >0 H ,
A
<
< sup
f 1 1 +2п |
— f s sin sds 2n 1
V 1
1
= sup I — (-s cos s + sin
1>0 V 2n
ч|1+2ж |
in s )l 1 J:
Первое неравенство в этой цепочке следует из определений верхнего предела и точной верхней грани. Первое равенство получается интегрированием по частям, остальные следуют из свойств тригонометрических функций.
Подставляя в формулу верхнего особого пока-
= sup | — (-(1 + 2п) cos (1 + 2п) +
1>0 V 2п
+ sin (1 + 2п) +1 cos 1 - sin 1)) =
= sup | — (- (1 + 2п) cos 1 + sin 1 +1 cos 1 - sin 1) I =
1>0 V 2n )
f-2ncos 11
= sup I —;-I = -1.
1>0 V 2n
Получили в (aa) = +» , (A) < -1.
Построенная система естественным образом обобщается на случай более высокой размерности рассмотрением диагональной системы X = a (1) Ex, где E - единичная матрица.
Библиографический список
1. Боль П. Избранные труды / пер. с нем. - Рига: Издательство АН ЛССР, 1961.
2. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. - М.: Наука, 1966.
3. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970.
4. Ляпунов А.М. Общая задача устойчивости движения. - М.; Л.: Гостехиздат, 1966.
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова № 4, 2014
11
