Эволюция трехмерно-локализованных вихрей в сдвиговых течениях. Линейная теория Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭВОЛЮЦИЯ ТРЕХМЕРНО-ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ВИХРЕИ В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ

Шухман И. Г. ([email protected]) (1), Левинский В. Б. (Vladimir. LevinskiOkla-teiicor. com) (2)

(1) Институт Солнечно-Земной Физики РАН, Иркутск 664033, Россия, (2) Faculty of Aerospace Engineering, Technion, Haifa 32000, Israel1

1. Введение

Два основных типа когерентных вихревых структур, впервые наглядно представленных в экспериментах Кляйна и др. [1] с помощью методов визуализации потока, лежат в основе современных представлений о структуре турбулентного пограничного слоя.

Так, наличие в пристеночном течении областей, скорость которых в направлении вдоль потока существенно меньше, чем скорость окружающей жидкости (streaks), является результатом подъема жидкости из низкоскоростных пристеночных слоев, индуцируемое долгожи-вущими вихревыми структурами. Последние представляют из себя пару противоположно вращающихся вихрей, вытянутых вдоль направления потока [2, 3],

Второе характерное для турбулентного пограничного слоя явление, носящее ярко выраженный взрывообразный характер (bursts), является результатом быстрой эволюции вихря, имеющего шпилькообразную форму. При этом плоскость вихря составляет 45° с направлением потока [4], а характерное время жизни шпилькообразных вихрей составляет 5% от характерного времени развития стрика.

Механизмы эволюции данных вихревых структур и их взаимодействие между собой является предметом изучения все возрастающего числа исследователей (см, обзоры [5,6]),

Несмотря на то, что оба типа когерентных вихрей имеют одинаковую структуру типа вихревого диполя, их свойства, механизмы образования и развития существенно отличаются. Медленная эволюция пристеночных вихрей хорошо объясняется механизмом алгебраического роста, предложенного в работе [7] и развитого в дальнейшем в рамках концепции оптимальных возмущений в работах [8-10], В свою очередь построение адекватной теоретической модели шпилькообразных вихрей осложняется высокой степенью локализованности завихренности, составляющей ядро шпилькообразного вихря и, как следствие этого, изначально сильно нелинейным характером их развития. Последнее подтверждается рядом экспериментов, где шпилькообразные вихри наблюдались только при переходе порогового значения некоторого параметра, соответствующего используемому в эксперименте механизму их генерации. Так в экспериментах [11], где генерация шпилькообразных вихрей производилась с помощью акустических возмущений, данные вихревые структуры наблюдались лишь начиная с некоторого критического значения амплитуды приложенного возмущения, В экспериментах [12] начальное возмущение создавалось путем отсоса жидкости в пристеночной области. При этом, как и в предыдущем случае, генерация шпилькообразных вихрей наблюдалась только при значениях скорости отсоса жидкости, превышающих некоторое критическое значение,

В силу данных обстоятельств представляет интерес анализ теоретической модели, описывающей эволюцию нелинейного локализованного вихревого возмущения во внешнем плоском сдвиговом потоке, предложенной впервые в работе [13] и в дальнейшем обобщенной на вращающиеся течения [14], течения слабопроводящей жидкости в магнитном поле [15] и стратифицированные течения [16], В качестве характеристики завихренности в данной модели

1Present affiliation: KLA-Tencor Corporation, Migdal Ha Emeq 23100, Israel.

предлагается использовать импульс Лэмба возмущения, определяемого как

г х г) (IV,

(1.1)

где г) - мгновенное поле возмущения завихренности, а интегрирование производится по всему объему жидкости. Соответственно, динамика импульса Лэмба описывается уравнением

где эволюционное уравнение для возмущенной завихренности в стационарном внешнем поле скорости (и) получается применением оператора ротора к уравнению Навье-Стокса и последующим вычитанием уравнения для невозмущенного потока:

дш

— + (и • V) о? - (о? • V) и - (Г2 • V) и + (и • V) о? - (о? • V) и = г/ Д о?, (1.3а)

Здесь О = сигШ, а и обозначает поле скорости, индуцируемое возмущением,

В силу инвариантности импульса Лэмба относительно самоиндуцированного движения вихревого возмущения [17], нелинейные члены (подчеркнутые в уравнении (1,3а)) дают нулевой вклад в (1.2). Последнее позволяет "линеаризировать" задачу об эволюции сильно нелинейного локализованного возмущения (подробное изложение данного подхода см. в [13,14]).

Импульс Лэмба завихренности также обладает дополнительным важным свойством. Именно, в силу своего определения (1.2) импульс Лэмба описывает как рост амплитуды, так и геометрический рост вихря. Последнее обстоятельство является очень важным вследствие того, что наблюдаемый в эксперименте рост шпилькообразных вихрей не обязательно связан с ростом амплитуды завихренности. Такой сценарий развития локализованного вихря может не описываться в рамках классической теории неустойчивости, где фиксируется изменение амплитуды возмущения.

Наиболее важным результатом, полученным на основе импульса Лэмба, является предсказание экспоненциальной неустойчивости локализованного вихревого возмущения в плоском течении Куэтта [13,14]. Данный результат позволяет объяснить наблюдаемое в эксперименте образование и быстрое развитие шпилькообразных вихрей в пограничном слое как результат неустойчивости плоского сдвигового течения по отношению к локализованным вихрям, образующимся на неоднородностях стенки. Приложение данного подхода к круговому течению Куэтта [12,14] позволило получить критерий, устанавливающий параметры этого течения, при которых происходит развитие шпилькообразных вихрей в данном течении. Полученный критерий подтвержден результатами экспериментов [12].

Вместе с тем, в силу того что предложенная в [13,14] процедура получения замкнутого эволюционного уравнения для импульса Лэмба не содержит формальных ограничений на амплитуду начального возмущения, данный результат противоречит результатам классической линейной теории устойчивости для течения Куэтта [17].

Целью данной работы является анализ эволюции локализованного вихревого возмущения в рамках линейной теории устойчивости на основе построения полного поля завихренности. Этот подход свободен от недостатков описания эволюции вихря с помощью импульса Лэмба, однако, он, к сожалению, не позволяет продвинуться в область сильных (нелинейных) вихрей аналитическими методами. Вместе с тем развиваемый в работе подход позволяет проанализировать обоснованность допущений, сделанных в [13,14] при построении замкнутого

(1.2)

Ш = сиг1 и.

(1.36)

эволюционного уравнения для импульса Лэмба, Более того, построение полного поля завихренности в координатном пространстве для произвольного момента времени дает основу для построения и анализа и других интегральных характеристик завихренности, которые могут быть использованы при численных расчетах эволюции сильно нелинейных вихрей.

Структура статьи такова,

В § 2 мы подвергаем критическому анализу концепцию импульса Лэмба, предложенную в [13,14], и на основании точного решения линеаризованной задачи (пока только в фурье-представлении) демонстрируем ее несостоятельность для данной постановки задачи (т.е. задачи об эволюция вихря на фоне течения с линейным профилем скорости),

В § 3 на основании найденного выше (в § 2) точного решения в k-представлении с помощью обратного преобразования Фурье строится поле завихренности в координатном пространстве (разумеется, в линейном приближении). На примере, когда в качестве затравочного (начального) возмущения выступает так называемый "гауссовский вихрь", прослеживается линейная эволюция вихря для некоторых частных случаев его начальной ориентации. Показано, в частности, что свойства симметрии базовых уравнений запрещают образование "шпилек" в рамках линейной задачи, что диктует неизбежность перехода к численному исследованию нелинейной эволюции вихря,

В § 4 вводится понятие полной энстрофии вихря как меры его интенсивности. Исследован вопрос о характере усиления (ослабления) вихря в зависимости от его начальной ориентации, В § 5 мы переходим от описания вихря с помощью его полного поля завихренности к описанию с помощью вводимой нами новой интегральной характеристики - тензора распределения энстрофии (Tensor of Enstrophy Distribution, TED), Эта интегральная характеристика позволяет описывать вихрь с помощью всего шести независимых параметров (а в случае вихрей, симметричных относительно плоскости z = 0, даже всего четырех),

В § 6 обсуждаются полученные результаты и возможные дальнейшие направления работы, В Приложении А детально обсуждаются свойства модифицированного импульса Лэмба (в частности доказана его инвариантность относительно выбора центра сферы, связь с фурье-образом завихренности и т.п.),

В Приложении В приведены довольно громоздкие аналитические выражения для компонент тензора TED,

2. Эволюция импульса Лэмба. Точное решение линейной начальной задачи для поля завихренности в к-пространстве

2.1 Определение модифицированного импульса Лэмба завихренности

Непосредственно из определения импульса Лэмба вихря (1) следует, что он существует и хорошо определен только при условии

< , м , , где б > 0, (2,1)

Г ^

Изначально локализованное возмущение индуцирует поле скорости, обладающее асимптотическим поведением [18]

\и(г = 0;г)| - (2.2)

Подстановка (2,2) в (1,3) позволяет получить, что генерируемое в произвольный момент времени t > 0 вихревое поле имеет асимптотику

(2.3)

что не удовлетворяет условию (2,1),

Предложенная в [13] процедура разделения завихренности позволяет формально обойти данную проблему. Именно, поле завихренности возмущения разделяется на замкнутое поле завихренности, сконцентрированное в области, непосредственно примыкающей к начальному вихревому возмущению (о/), и поле завихренности, включающее в себя вихревые хвосты, образующиеся в процессе эволюции начального вихревого возмущения (ш11). При этом предполагается что ш1 описывает эволюцию шпилькообразного вихря, а ш11 представляет из себя вихревое облако не оказывающее существенного влияния на эволюцию концентрированной завихренности.

Так как дальнейший анализ базируется на точном решении линеаризированных уравнений динамики завихренности и не предполагает дополнительных допущений, целесообразно ввести понятие импульса Лэмба вихря, не прибегая к процедуре разделения завихренности. Последнее, в частности, позволит проанализировать адекватность процедуры используемой в [12-16], Определим с этой целью модифицированный импульс Лэмба, а именно,

p(i) = lim I / rxw(t,r)dV, (2,4)

Я-юо z Jr<R

Определение (2,4) имеет силу как в случае начального возмущения с бесконечно малой амплитудой так и в сильно нелинейном случае. Единственным ограничением является лока-лизованность возмущения в начальный момент времени, что соответствует существованию импульса Лэмба для начального распределения завихренности.

Так как в дальнейшем решение уравнений для динамики завихренности строится в Фурье-пространстве, то мы будем использовать Фурье-аналог определения модифицированного импульса Лэмба, а именно, определяя Фурье-преобразование от поля завихренности как

üü(t, к) = (2тгУ3 J dVüü(t,r)e-ikT. (2.5)

Тогда, как показано в Приложении А, модифицированный импульс Лэмба (2,4) может быть представлен в виде1

p(i) = | г (2тт)3 lim(Vk х w(i,k)), (2.6)

к—> 0

1Напомним, что в случае когда завихренность из спадает к периферии достаточно быстро, так что существует импульс Лэмба в обычном смысле, он может быть представлен как предел ротора фурье-образа завихренности в к-пространстве,

р = |(2тг)3 lim |vk х к)J,

и этот предел также существует в обычном смысле, т.е. не зависит от способа стремления к к нулю. Однако, если завихренность падает только как ш ~ |г|-4, как в нашем случае, предел к —> 0 в обычном смысле не существует. Он, например, может зависеть от направления луча в к-пространстве, по которому мы приближаемся к точке к=0. Именно поэтому, при попытке выразить МИЛ через фурье-образ завихренности, мы должны обязательно выяснить и указать, какому именно способу предельного перехода к —> 0 это соответствует. В данном случае это соответствует процедуре, которая состоит в том, что мы предварительно усредняем соответствующее выражение по сфере в k-пространстве, а лишь затем устремляем к = |к| к нулю. Ниже (п.2.2.3) мы увидим, что при другом способе модификации импульса Лэмба, возникает и иной способ предельного перехода к —> 0.

Заметим также, что при вычислении импульса Лэмба через Фурье-образ завихренности в к-пространстве,

где угловые скобки означают усреднение по углам в к-пространстве:

1 гж/2 г2ж

(•••) = —/ cos/3(i/3 / #(•••), (2.7)

47Г J-тг/2 JO

а (3 и ф - сферические углы в к - пространстве (с осью у в качестве вертикальной оси и плоскостью (xz) соответствующей (3 = 0):

ki = к cos (3 cos ф, к-2 = к sin /3, к3 = к cos (3 sin ф. (2.8)

Можно показать (см. Приложение А), что таким образом введенный модифицированный импульс Лэмба на первый взгляд достаточно "хорош".

Во-первых, он, действительно, удовлетворяет необходимому требованию инвариантности относительно выбора положения центра сферы.

Следует, однако отметить, что в нашем случае, когда завихренность спадает к периферии только как ~ |г|-4 (и импульс Лэмба в обычном смысле не существует), поле скорости u(r) на больших расстояниях уже перестает быть потенциальным, и, в частности, оно больше

не может быть представлено в привычном "дипольном" виде

u=¿curl

даже если в качестве р выступает модифицированный импульс Лэмба р (см. подробнее Приложение А).

Это означает, в частности, что МИЛ совершенно не отражает дипольную структуру поля завихренности в вихре. Как мы действительно покажем ниже, плоскость локализации вихревого движения, т.е. энстрофии, L = |u?(r)|2, вовсе не перпендикулярна направлению МИЛ, как это было бы в случае обычного вихревого (или магнитного) диполя. (Можно, однако показать, что и в этом случае скорость по-прежнему спадает к периферии обратно пропорционально кубу расстояния, u ~ |зг| 3, как и в случае потенциального поля скорости.)

Во-вторых, можно показать, что интеграл (2.4) существует в любой момент времени при условии, что он определен в начальный момент времени, и его значение для достаточно больших значений R не зависит от величины R.

Действительно, беря производную от выражения (2.4) по времени и подставляя (1.3) в правую часть, получаем

= [ г х [(UV) ш - (wV) U - (QV) ul dV, (2.9)

dt Z Я^оо Jr<R L J

Заметим что в (2.9) отсутствуют вклады нелинейного и вязкого членов (ср. с (1.3)). Интеграл по объему от данных членов может быть преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности. Последний равен нулю в силу асимптотического поведения завихренности (¿>(r,t) и, соответственно, индуцируемого им поля скорости u(r,t) при R —^ сю.

Представим подынтегральное выражение в покомпонентной записи в декартовых координатах и преобразуем его к виду

/ТТ дшк dUk дикх г т/дшк дш^ д , ni

UjhXj [Ui ---щ —--ili T¡ ) = UjhXj --h — ) - —{uJiUi +0|M|)

v axi dxi oxi' L v oxi oxkJ oxiv /J

нам достаточно знания поведения этой завихренности только вблизи к = 0 (точнее знания ее первых производных по компонентам вектора к при к=0). Это и означает, что при описании вихря с помощью этой характеристики мы не нуждаемся в детальном знании полного поля завихренности. Поэтому в теории [13,14]

совершенно не имело никакого значения устройство начального вихря. Достаточно было задать его начальный импульс Лэмба.

Здесь еijk - единичный кососимметричный тензор третьего ранга и под повторяющимися индексами подразумевается суммирование. Таким образом

= lim [eljfc Г XjUt (f^ + f^) dV + eljk [ Xj /- {UlUt + fl,«,) dV 1 (2.10)

dt 2 R-^ooL _/г<я \Qxi дхк> Jr<R dXi 'Iх'

Второй интеграл в правой части (2,10) равен нулю при интегрировании по объему шара. Интегрирование по частям и тождественные преобразования позволяют привести выражение (2,10) к следующему виду

т ~ -\f. + totiP + Jl" + jT')■ (2.11)

где

dt 2rJ dXj 2rJ dXi

f dUl i г г г ш d4 - 1 , dUl irrr ш d4

jf) = -

1 2 R oxm js i л uxk

В силу асимптотического поведения завихренности сумма + J<^2^ + J<^3^ конечна и не зависит от величины R. Этот факт в совокупности с (2,11) доказывает, что если МИЛ существует в начальный момент времени, то он существует и в произвольный момент времени.

Таким образом, только что введеный нами МИЛ, выглядит, на первый взгляд, достойной заменой "импульсу Лэмба ядра", введенному в [13,14] для описания эволюции локализованного вихря, поскольку не требует не очень хорошо обоснованной процедуры расщепления поля завихренности, использованной в [13,14],

Однако, ниже мы покажем, что любая модификация импульса Лэмба является неудовлетворительной с точки зрения возможности описания с помощью нее структуры вихря,

В уравнении (2,11) первые два члена представляют из себя полученное в [13,14] эволюционное уравнение для компонент импульса Лэмба, построенного на основе замкнутого поля завихренности1 а/, в то время как оставшиеся 3 члена описывают специфический вклад вихревых хвостов.

Это обстоятельство означает, что построение замкнутого уравнения, описывающего эволюцию импульса Лэмба (и из которого в [13,14] следовал вывод об экспоненциальной неустойчивости) без того или иного способа разбиения завихренности невозможно.

Поэтому далее мы попытаемся дать альтернативное описание эволюции локализованного вихря, не прибегая к эволюционному уравнению для импульса Лэмба, Используя полученное решение для компонент завихренности, мы сможем также вычислить и импульс Лэмба и проверить, насколько решение, описывающее эволюцию импульса Лэмба, полученное в [13,14], согласуется с тем, что следует из нашего решения.

подчеркнем, что это базовое уравнение работ [13,14] является линейным,, несмотря на то что оно выведено из точной нелинейной системы уравнений (1.3) без привлечения процедуры линеаризации. Это означает, что предложенная в [13,14] теория, фактически, претендует на возможность описания не только слабых, но и сильных (нелинейных) вихрей.

Иными словами эта теория является нечувствительной к амплитуде вихревого возмущения!

Этот факт с одной стороны делает ее крайне привлекательной, что, собственно, и инициировало проведение на ее основе ряда изящных экспериментов, а с другой стороны, если она верна, ее предсказания должны оставаться справедливыми и для слабых вихрей. Но для слабых вихрей мы имеем возможность существенно упростить задачу, проведя предварительную линеаризацию исходной системы. Это позволяет получить точное решение для поля завихренности и на его основе проверить справедливость теории.

В частности, именно такая возможность проверки теории [13,14] и послужила мотивацией к проведению данного исследования.

2.2 Эволюция локализованного вихревого возмущения в плоском течении Куэтта

Наш подход к анализу эволюции локализованного возмущения базируется на предположении, что его динамика определяется локальным полем скорости вокруг вихревого возмущения, Соответственно, влияние вязкости, граничных условий и деталей внешнего потока в областях достаточно удаленных от начального возмущения предполагается вторичным. Сформулированная таким образом проблема описания эволюции локализованного возмущения предполагает поиск подходов описания, альтернативных классическим подходам, базирующимся на методе нормальных мод или использующих преобразование Лапласа по времени для возмущенной завихренности.

Заметим, что в обоих данных подходах возмущение представляется в виде волнового пакета составленного из волновых мод, соответствующих дискретному спектру или комбинации дискретного и непрерывного спектра. При этом свойства поля завихренности для каждой отдельно взятой моды существенным образом определяются граничными условиями и поведением внешнего потока во всем объеме течения. Более того асимптотическое поведение волновых решений не соответствует асимптотическому поведению локализованного вихревого возмущения (6),

Однако, возможен и иной подход к решению начальной задачи (initial problem). Основы этого подхода были заложены еще лордом Кельвином [19] в 1887 году1, В таком подходе существенно используется одно упрощающее обстоятельство, а именно, линейность профиля скорости базового течения. Это позволяет найти точное решение линеаризованной начальной задачи с помощью перехода к лагранжевым переменным (в к -пространстве) и не требует использования преобразования Лапласа по времени или разложения решения по нормальным модам,

2.2.1 Решение начальной задачи для локализованного возмущения

Будем считать, что базисное течение имеет линейный профиль скорости, U = (—Qy, 0,0) (так что его завихренность О = (0,0,0)), Подчеркнем, что данный выбор не является ограничением общности вследствие предположения о локальности возмущения. Он соответствует случаю, когда характерные размеры возмущения много меньше характерного размера изменения базисного поля скорости, В этом случае невязкое линеаризированное уравнение для динамики завихренности может быть представлено в покомпонентной записи в декартовых координатах в следующем виде

duji dt du?х У ^ я ox пдщ дх = 0, (2.12a)

дш2 dt yto я OX dz = 0, (2.126)

дш3 dt Г) дш3 yto я OX dz = 0, (2.12c)

где в уравнении (2,12а) —и>2 -\-du\Jdz заменено на дщ/дх, а нижние индексы "1", "2" и "3" означают х, у и ¿-компоненты векторов соответственно. Вводя безразмерное время т = Ш и

1 См. также более современные работы, в основе которых лежит этот метод, например, [20,21].

совершая Фурье-преобразование системы уравнений (2,12) получаем 1

+ ~ = 0, (2.13а)

От дк2

^ + кг^~гк3и2 = 0, (2.136)

от дк2

^ + кг^~гк3и3 = 0, (2.13с)

От дк2

где щ(к, £) представляют из себя компоненты Фурье-образа возмущенного поля скорости и(М).

Заметим, что в силу асимптотического поведения поля скорости локализованного возмущения |и(г,¿)| ~ 1/|г|3, величина щ(к, :£) может иметь особенности при асимптотически малых значениях волнового вектора |к| —^ 0. Чтобы избежать связанных с этим математических проблем, мы применяем схему решения уравнения динамики для поля скорости, предложенную в [20], к уравнениям динамики для поля завихренности. В этом случае в уравнения входят 'только производные поля скорости по пространственным координатам.

Перейдем от набора независимых переменных т, к2, к3 к новому набору независимых переменных т, д, к3, где д = к2 — к\т. Будем рассматривать теперь и^ как функцию т, к\, д, к3, то есть = (¿¿(г, д, &3) Таким образом, новая переменная д - это просто начальное значение изменяющейся со временем компоненты волнового вектора к2:

к2Ц)=(1 + кгт. (2.14)

Будем называть новый набор переменных лагранжевыми координатами в к-пространстве. Переход к лагранжевым координатам позволяет преобразовать систему уравнений (2.13) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

(1Ш1 кг [к2(т)ш1-к1ш2]=0, (2.15а)

йт к2(т йи)2 к2{т)

с1т к2 (т (1ш3 к3

[к2(т) Ш1 - к!Ш2] + ил = 0, (2.156)

[к2(т)ш1-к1ш2]=0, (2.15 с)

(1т к2 (т где

к2(т) = к21 + [к2(т)]2 + к1

а

(1/(1т = (д/дт)ч = (д/дт)к2 + кг(д/дк2)т

есть полная производная по времени вдоль траектории в к-пространстве.

При выводе (2.15) мы также выразили фурье-компоненты поля скорости через фурье-компоненты поля завихренности

к х о? (к) ,

и (к) = г-(2.16)

1 Далее будем считать, что О > 0, т.е. <111 ¡йу < 0. Хотя в приводимых ниже выражениях не запрещена

возможность полагать и О < 0. Просто в этом случае придется считать, что безразмерное время т = Ш

варьируется в области отрицательных значений, т < 0.

Из (2,15а) и (2,15Ь) непосредственно следует сохранение вдоль траектории величины к3и>i~ kiu>3, т.е.

^ (к3ил - кгш3) = 0. (2.17)

Таким образом величина к3шх — кгш3 (которая есть не что иное, как фурье-образ лапласиана "вертикальной" компоненты скорости, Аи2) может быть представлена в виде

к3Ш1 - кгшз = fQ(kuq, к3), (2.18)

причем, функция f0(ki,q,k3) не зависит от времени и определяется только значениями компонент завихренности uji и ш3 в начальный момент времени. Из (2.18) и из уравнения непрерывности для завихренности

кгш 1 + к2ш2 + к3ш3 = 0 (2.19)

можно выразить компоненты uji и ш3 через значение "вертикальной" компоненты завихренности üü2\

hiq + hr) к3 шг =----ш2 H — /о- (2.20a)

pA pA

h(q + h t) kl

u)3 =----u)2 - — /о, (2.206)

p2 p2

где p = y/kl + kl

Подстановка (2.20) в (2.15а) дает

^ = (2'21)

Непосредственное интегрирование уравнения (2.21) по времени, подстановка полученного выражения в соотношения (2.20) и использование тождественных алгебраических преобразований позволяет записать общее решение уравнений динамики завихренности и?(т, к) в виде:

le le le

aл (г, к) = ол(0, Q) - ^ тш2(0, Q) + V(t, к) Т(т, к), (2.22а)

p2 р

а;2(г, к) = ш2(0, Q) - ^ V(t, к) Т(т, к), (2.226)

%

ш3(т, к) = а?з(0, Q) - тш2(0, q) + F(r, к) Т(т, к). (2.22с)

р К\р

Здесь

Я = (Я1,Я2,Яз) = (кг,д,к3) есть начальное значение волнового вектора, которое в (2.22) должно быть выражено через к: Я = (кък2- &1Т,&3),

к) = (г/р'Пк^О.М) - к1Шз{0,С1)], (2.23)

Т(т, к) = &гсЬ&п(к2 / р) — агйап[(&2 — к^/р], (2.24)

а

и?(0, к) = ш(т = 0, к) - начальное значение фурье-образа вектора завихренности.

В дальнейшем будем использовать в качестве начального вихревого возмущения гауссов-ский вихрь

ш(r = 0,r) = VFx^í, (2.25а)

где

^ = (тг1^)-3 ехр(—г2/£2), (2.256)

Для численного нахождения полей всех гидродинамических величин (с помощью пакетов программ трехмерной гидродинамики) часто необходимо задать также и начальное поле скорости. Его несложно вычислить даже для произвольной изотропной функции

чГ Г(Р*) 1 Н(г) г Зг(дг)-| /оок^

и = - —(2.25с)

где Я (г) = х2 ¿х. Для гуссовского вихря с F(r) вида (2,25Ь) функция Н(г) выражается

через интеграл вероятностей

Н(г) =-1гР(г) + ^етЦг), (2.25(1)

где егГ(г) = 2/у/7г/0г! ехр (—£2) ей. Заметим, что в центре, г = 0, скорость отлична от нуля, и(0) = а при г >• поле скорости, как это и должно быть в случае хорошо локализованного распределения завихренности (2,25Ь), является потенциальным:

Зг(цг

и = --^

Ц +0(г-4).

47ГГ3 г^

Итак, имеем в к-представлении для вихря (2.25)

"(0,к) ~(кхМ) ехр(-|№). (2.26)

Заметим, что для вихря (2.25) в начальный момент времени (но только в начальный!) хорошо определен и обычный импульс Лэмба р, который здесь просто равен ц:

р = | / г х w(0,r)dV = ц.

Для дальнейшего весьма удобно также перейти к сферическим координатам в Q - пространстве:

<li(= ki) = Q cos Д) cos </>, g2 = Qsin/30, <ft(= k3) = Q cos f30 sin ф,

-\ж < fio < |тг, 0 <ф< 2ir.

В этих переменных запишем окончательно для "гауссовского" вихря (в наиболее удобной форме, через сферические координаты лагранжевых переменных Q):

шг(т,к) = щ-3рехр(-^262)Сг(г;^Ф) (2.27)

где

Ci = /¿з tan Ро — 1-12 sin ф — т cos2ф (fii sin ф — ц3 cos ф) — tan /3 cos ф Q, (2.28)

с2 = sin ф - цг cos^ + С2, (2.29)

в

Рис, 1: Поверхность постоянной энстрофии |w(0,r)|2 = const начального гауссовского вихря.

Сз = № cos ф — fix tan Ро — т sin ф cos ф (fix sin ф — /л3 cos ф) — tan р sin ф Q, (2,30)

С2 = (fio — 0) tan ф [tan р0 (/¿i cos ф + sin ф) — ц2]. (2,31)

Входящие в (2.29)-(2.31) сферические углы р (в k-пространстве) и р0 (в Q-пространстве) связаны соотношением

Р = р (т; р0, ф) = arctan (tan р0 + т cos ф). (2,32)

2.2.2. Расчет эволюции модифицированного импульса Лэмба локализованного возмущения

Как уже обсуждалось во Введении, целью данного исследования был, в частности, расчет динамики импульса Лэмба локализованного вихря во внешнем сдвиговом течении без использования процедуры разделения завихренности, использованной в [13-16], Построенное в п, 2,2,1, общее решение уравнений динамики завихренности для произвольных начальных условий (2,22) и введенное в п, 2,1 определение модифицированного импульса Лэмба (МИЛ) (2,4) позволяют вычислить МИЛ вихря в произвольный момент времени.

Для иллюстративных целей будем пользоваться моделью гауссовского вихря (2,25), введенной выше1. Начальный вихрь показан на рисунке 1, Рисунок изображает изоповерхность энстрофии u>2(0,r) = const, представляющую из себя поверхность тора. Заметим, что для данной модели размер ядра вихревого возмущения задается значением параметра 5, а плоскость вихря и вихревые линии, представляющие собой концентрические окружности, нормальны к направлению начального импульса Лэмба д.

Подстановка выражений (2.27)-(2.31) для компонент завихренности в выражение (2,6) для МИЛ дает:

рг(т) = £Пц-(т)/Ъ, (2.33)

¿=i

Здесь

Пи = 1 + | (sin2^ tanр0 (р0 - р)) = 1 + |/ь (2.34)

П12 = | (——J (0 — Ро)) = \l2, (2.35)

¿ xcos ф > ¿

1Напомним, что теория [13,14] нечувствительна не только к амплитуде вихревого возмущения, но и к его форме. Поэтому начальное возмущение может быть выбрано достаточно произвольно. Выбор его в форме гауссовского вихря (2.25) существенно оптимизирует вычисления и позволяет представлять окончательные выражения в наиболее компактной форме. (Аналитические выражения для поля завихренности, полученные авторами для других форм начального вихря имеют совершенно "необозримый" вид.)

(2.36)

(2.37)

Р\Ц) = 1-11 + \nihit) + \ii2hit), р2Ц) =/х2 + Ш, Рз(£) = 1*3 - \nzhit), (2.38)

где безразмерное время т мы снова заменили на Ш,

Несложно получить асимптотические выражения для и 12 при малых (£ 1/|^|) и больших (£ >• 1/|0|) временах:

= \ПЦ-3 + 0(1/\Щг), 12(т) = 3[1п(|0|^) - 0.6] + 0(1/Щг), (2.40)

При малых t имеем из (2.38) и (2.39):

Как и следовало ожидать, динамика МИЛ при малых временах определяется первыми двумя членами в эволюционном уравнении (2.11), в полном согласии с теорией [13,14]. Это вызвано тем,что начальный вихрь (2.25) хорошо локализован, поэтому вклад + J<^2^ + J<^3\ связанный с наличием (на первом этапе эволюции еще очень слабых) "хвостов" завихренности на периферии вихря, ш ~ г-4, исчезающе мал.

Однако при больших временах ситуация меняется радикальным образом. "Хвосты" завихренности становятся уже вполне весомыми и начинают оказывать существенное влияние на динамику импульса Лэмба.

Это, в частности, приводит к тому, что, согласно (2.40), при больших £ импульс Лэмба растет степенным образом, а вовсе не экспоненциально, как это следовало из [13,14].

Тот факт, что как сама завихренность (включая, разумеется, и ее образующиеся в ходе эволюции "хвосты") так и МИЛ растут не быстрее, чем степенным образом, позволяет строго доказать невозможность разбиения завихренности на две различных компоненты, одна из которых соответствует области локализованного возмущения ("ядру"), а другая - "хвостам", таким образом, чтобы импульс Лэмба, вычисленный только по компоненте завихренности, соответствующей ядру, нарастал бы экспоненциально.

Но как раз предположение о возможности такого разбиения и лежало в основе подхода, предложенного в [13,14]!

Это означает, что подход [13,14] не является корректным, несмотря на ряд блестящих совпадений следующих из него предсказаний с экспериментом. Следовательно, задача о построении адекватной теории, описывающей динамику локализованных вихрей в сдвиговых течениях вновь становится актуальной.

Тем не менее, весьма любопытно отметить, что угол Ф наклона вектора МИЛ к положительному направлению оси х стремится со временем к 45°, точно также, как и импульс Лэмба р1, построенный по "завихренности ядра" ш1 в [13,14].

Действительно, при \il\t >• 1 имеем из (2.38) с помощью (2.40)

ЬЦ) = §(Ш)2 + 0((Ш)3), 12Ц) =Ш + 0((Ш)3), \ti\t < 1,

(2.39)

и

р! ~ + р2 И \12 + §/их(Ш), р3 = ц3.

(2.41)

Ш = -¡1-4 + ь 1 \to\t + мм*) - 0.6],

(2.42)

m = 1 > m2= о, m3 = о

Рис, 2: Эволюция Д(т) и /2(1") и угла наклона Ф модифицированного импульса Лэмба для вертикально ориентированого (¡л 1 = 1, ^2 = 0) симметричного (^3 = 0) гауссовского вихря.

| ЦгШ,

р2&) =

= §Мз - |/"3 \ti\t,

так что для вихрей, симметричных относительно плоскости г = 0 (р3 = 0) получаем:

(2.43)

(2.44)

tan Ф = р2(t)/pi(t) 1. (2.45)

На рисунке 2 показана эволюция величин Ii(r) и /г(т), а также угла наклона Ф для случая А® = (1,0,0).

Однако, несмотря на неплохое согласие между ориентацией плоскости вихря, наблюдаемой в экспериментах, и его ориентацией, следующей из описания вихря с помощью МИЛ, вовсе не следует, что МИЛ является более приемлемой характеристикой для описания эволюции локализованных вихрей, которое призвано заменить "неудачное" описание с помощью "импульса Лэмба ядра" р1, предлагавшееся ранее в [12-16].

Ниже мы покажем, что возможно предложить и иные способы модификации импульса Лэмба, которые также будут свободны от трудностей, связанных со сходимостью соответствующего интеграла на больших расстояниях, как и только что рассмотренный МИЛ, однако, они приведут к совершенно другому сценарию эволюции геометрии вихря.

Фактически, это будет означать, что импульс Лэмба вообще не является адекватной характеристикой для описания эволюции локализованных вихрей. По крайней мере, для выбранной здесь (равно как и в предшествующих работах [12-16]!) постановки задачи о развитии начального локализованного вихревого возмущения на фоне течения с линейным профилем скорости.

2.2.3. Эволюция "лагранжева" импульса Лэмба локализованного возмущения

t

t

В этом разделе мы введем концепцию импульса Лэмба выбранной ("закрашенной") группы жидких частиц и исследуем его эволюцию.

времени г = 4.

Обозначим начальное положение жидкой частицы, находящейся в момент времени т в точке с координатами г = (xi,x2,x3), как r0: г (т = 0) = г0. Пусть компоненты вектора г0 будут si, S2 and S3: r0 = (si,s2,sz). Тогда

xi = si~ s2t, x2 = s2, x3 = s3, (2,46)

Выберем группу частиц, которые в начальный момент времени заключены внутри сферы радиуса R и мысленно закрасим ее:

Го = у/si + 4 + 4 < R- (2.47)

Будем следить за этой окрашенной группой и вычислять ее импульс Лэмба, В следующие моменты времени, при т Ф 0 окрашенный шарик трансформируется в эллипсоид

(xi + х2т)2 + х22+х23< R2.1 Таким образом импульс Лэмба закрашенной группы частиц есть

pi(R,T) = \ajk J XjUik(r, т) dV, (2.48)

ell

где интегрирование идет по объему эллипсоида. Устремляя далее ñ -> оо и возвращаясь к интегрированию по объему начального шарика (т.е. к интегрированию в переменных г0), получим выражение для лагранжева модифицированного импульса Лэмба (ЛМИЛ):

PÍ(R,T) = I Ujk I™ / Xj(r0)ojk(r0;T)dV0 (2.49)

R—>00 J

\r0\<R

где ¿)j(ro;r) = u;¿(r(r0, т); т), и xj(r0) определено выражением (2.46).

Можно показать, что ЛМИЛ р может быть получен из соотношения, связывающего предел lim Pi(R) с пределом усредненного ротора завихренности в Q-пространстве при Q —^ 0

R—>оо

1Легко рассчитать параметры этого эллипсоида. Угол наклона фе большой оси эллипса к положительному направлению оси х равен tan г[>е = | (л/т2 +4 — г), а квадраты большой и малой полуосей равны соответственно а2 = R2 + Iг2 + \tsJt2 + 4^ и Ъ2 = R2 + |т2 — |т-^/т2 + 4^ . Полуось вдоль оси z не изменяется: с = R. Очевидно, что масса эллипсоида равна массе начального шарика: (47г/3)ábc = (47г/3)RZ. При больших г а к, т, Ь к, 1 /г, фе к, 1/т, т.е., эллипс сильно вытянут вдоль оси х и ориентирован почти горизонтально.

(аналогично МИЛ (2.6)):

р = -(2тг)3 lim(Vk х w(k))

где

Q—>0 Гж/2

0'

X гñ;2 р2ж

(•••)= — / dfio cos Ро / #(...)

¿7T J0 Í0

(2.50)

(2.51)

Здесь С1 = (вьв2,вз), Яг = Ь, вг = к2 - кгт, С]3 = к3, так что д/дкг = д/дС^г -

тЗ/ад2, д/дк2 = з/зд2, д/дк3 = а/ад3-

Подставляя в (2.50) выражения для компонент завихренности (2,27)-(2,31), найдем для компонент ЛМИЛ:

где

Пц = 1

Pi = Y.%11^

3=1

sin фЬалаРо (Ро — 0) (1 + т cos ф sin /30 cos/30) / ,

л / sin ^ ф у

I I12 = — I (-Г (Ро — Р) (1 + т COS Ф sin ро COS ро) / ,

z х cosф /о

Пхз = П2з = Пз1 = Пз2 = 0,

П21 = |т + |т ^ sin2^) sin2Ро tan р (pQ - р)

, sin ро cos Ро tan Р (ро — р) cos ф /о

П33 = 2 - П

11

тТ

sin2ф .

sin ро (Ро - р))-

2 \ COS ф ' / о

При т ;§> 1 можно найти асимптотические выражения для П^:

Пц ~ —| т + 2, И,

(2.52)

(2.53)

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

1 J2 , 1

П21 ~ — ! Т + з Т — I In Т, n22ftí—|т 1117 ~TU,UZ,U7, 1133- 2

—|т +fin т-0.414, т In т +0.026 т, П33^-|т1пт + 0.64т.

(2.58)

Величины П^ показаны на рисунке 4. Видно, что для больших т, т > 40 компоненты ЛМИЛ равны

Pi ~ т(/11+112), Р2 ~ Tpi И -|т2 (//! +/U2), р3 И -|т1пт/и3

(2.59)

Мы теперь можем легко вычислить угол наклона Ф вектора р = (р1,р2,р3) в (ху) - плоско-с-ти для различных углов ориентации начального импульса Лэмба а (напомним, что р(0) = ц):

tan Ф(т) =

р2(т) ñ2i/xi + П22/и2

(2.60)

PI(T) ПЦ/XI + П12/Х2

На рисунке 5 показана эволюция Ф(т) для восьми ориентаций ¡л: ап = (п — 1)-45°. Мы

подчеркнем, что в (2.50) усреднение идет по поверхности сферы в Q-пространстве, но в к-пространстве это соответствует усреднению по поверхности эллипсоида Q2 = const = kf + (к2 — к\т)2 + Щ, размер которого (пропорциональный |Q|) затем устремляется к нулю. Напомним, что наш предыдущий способ модификации импульса Лэмба, МИЛ (т.е. интеграл по объему шара в обычном г-пространстве) и в к-пространстве соответствовал усреднению по сфере к2 = const = kf + к| + (см. (2.6)). Таким образом два различных способа предельного перехода в реальном пространстве генерируют две различные процедуры усреднения в k-пространстве (см. сноску на стр. 5).

Рис, 4: Величины IIд. как функции т. Линии из точек соответствуют асимптотическому представлению (2.58)

видим, что при больших временах двумерный вектор р = (рьрг) направлен вертикально. Вихри, направления начального импульса Лэмба которых, лежат на рисунке 5 в заштрихованной области направлены при больших т вниз, а в незаштрихованной области - вверх.

Интересно отметить, что в течение достаточно длительного временного интервала 2 < т < 6 угол наклона приблизительно равен 45° ог 225° (в зависимости от начального угла наклона а).

Заметим также, что случай ¡¿2 = —Цг-, или а = 135°, 315°, является специальным, В этом случае рост компонент более медленный и угол наклона приблизительно равен 45° или 225° в течение более длительного времени 5 < т < 10,

Резюме. Таким образом, мы видим, что два разных способа модификации импульса Лэмба, МИЛ и ЛМИЛ, приводят к двум совершенно разным результатам относительно их ориентации, которая устанавливается в результате эволюции: 45° для МИЛ и 90° для ЛМИЛ, Напомним, что с ориентацией вектора импульса Лэмба р мы интуитивно связывали ориентацию плоскости вихря, полагая, что, как и в обычной дипольной структуре (как, например,

в магнитостатике, если иметь в виду аналогию и —^ Н, ш —^ р —^ га, где Н - магнитное поле, } - плотность электрического тока, а га = | /(г х^ ¿V - магнитный дипольный момент) эта плоскость просто должна быть нормальна к направлению импульса Лэмба [13,14] точно так же как плоскость колечка с током перпендикулярна дипольному магнитному моменту.

Однако, теперь становится ясно, что импульс Лэмба в данной задаче просто не может адекватно описывать распределение завихренности. Выбирая различным способом форму области интегрирования, мы можем получать для одного и того же распределения завихренности не только произвольную зависимость его импульса Лэмба от времени, но и произвольный наклон плоскости развивающегося вихря.

Поэтому с неизбежностью возникает задача о расчете полного завихренности. Эта задача является довольно сложной численной задачей, которая в настоящее время решается,1 однако, в линейном приближении она нами фактически уже решена в разделе 2,2,1, Достаточно теперь провести обратное фурье-преобразование и посчитать поле завихренности в обычном координатном пространстве. Этому посвящен §3,

3. Вычисление полного поля завихренности в координатном

пространстве

Имеем

Lüi(r) = / d3ku)i(k) ехр(гкг),

где

^г(к) = — pCi(k), 0(к) = (,i(fi, ф] т) ехр(—|Q2£2)

(3.1)

(3.2)

а величины заданы выражениями (2.28)-(2.31).

Наиболее компактный способ вычисления интеграла (3.1) состоит в переходе от интегрирования в к- пространстве к интегрированию в (^-пространстве (т.е. в пространстве начальных волновых чисел).

Для этого напомним, что

кг = к\Х\ + к2х 2 + к3х3 = Qr,

0;

где

Го = (Ж1 + х2т,х2,х3), Q = (h,k2 - hт,к3),

(3.3)

(3.4)

где г0 - начальное положение жидкой частицы, которая в момент времени т находится в точке г. Мы можем также ввести сферические координаты го, во и ^о точки г0:

г0 = J(xi + х2т)2 + х2+ х3, cos во = —, sin во =

г0

(;Г1 + х2т)2 + х3

Г О

Sin ^о =

х3

COS ^о =

Xi + Х2Т

'(xi + х2т)2 + х3 у + Х2т)2 + X2

Введем также угол О0 между векторами Q and г0:

cos ©о = cos в0 sin fio + sin в0 cos fio cos(ф — <ро).

(3.5)

(3.6)

1 Предварительные результаты этих расчетов изложены в тезисах конференции А1АА [22].

В этих обозначениях мы получаем (интегрируя по ф) окончательное выражения для а;, (г; т) = ¿¿(го^т^т):1

1 Г-т/2

¿>Дг0; т) = Шг{Го, во, Фо; т) = -^5/204 /_ ^Ро ¿00 х] йфСг{Ръ,ф\т){-^-Д-—^-)ехр(-

(3.7)

¿2

ив(| угол /3 должен быть выражен через /Зо~.

/3 = /3(/Зо,Ф',т) = агйап^апД) + тсо$ф), (3.8)

Приведем также (опуская подробности вывода) выражение для поля завихренности для случая, когда вязкость не равна нулю. Имеем

2 гж/2

(го; т) = Шг (го, во, Фо; т) = ~ у СОБ2/30 (¿/30

А га л ч/госо8в0ч/3 Гр СОв ©о N / Гр сое ©о

где

(3.7а)

г 4т 1 1/2

В = П(/Зо,ф]т) = 6 +— [1 + ТС08/Зо8т/ЗоС08ф+1т2 С082/ЗоС082ф}^ , (3.9)

а число Рейнольдса Ее определено следующим образом:

ор

Не = (3.10)

Используя (3.7), можно убедиться, что на больших |г| действительно, как это следует из анализа исходных уравнений (1.3), ш ~ г-4. Более того, завихренность имеет на больших расстояниях такую угловую структуру, которая обеспечивает существование МИЛ (см. также Приложение А):

= + г-%

где

£ (10 в, (р) = 0, П] = Х$/г, ¿О = вШ в (1в ¿(р.

Последнее соотношение как раз и означает, что предел интеграла (2.4), определяющий МИЛ, действительно существует. (Заметим, что такая проверка одновременно является одним из возможных тестов правильности выражений (3.7).)

Несмотря на то, что выражение (3.7) является максимально компактным, оно все еще остается весьма трудным для анализа, поскольку включает двойные интегралы. Поэтому дальнейший анализ мы вынуждены выполнять численно.

13аметим, что интеграл по С} может вычислен с помощью весьма полезной формулы из книги [23] (3.952(5),

стр. 509)

[ з . / ч _„2 2 ар2-ал ., .,

/ аг зпцаж) е р йх = 0г ——-=— ехр (-а /4р )

/о У 16р7

т = 0

т=1

т = 2

т=3

-1 -0.5 0 0.5 1

х/<5

Рис. 6: Линейная эволюция гаусовского вихря: (а), (Ь) горизонтального и (с) вертикального. Показаны изоповерхности абсолютной величины завихренности w(r;r) = 0.7wmax (т) = const, где wmax(r) максимальное (по объему) значение модуля завихренности в момент времени т.

Заметим, что применимость линейной теории ограничена условием |о>|тах |0|, где имеется ввиду максимальное значение абсолютной величины завихренности в вихре. Это, в частности, означает, что данное условие должно быть выполнено и для начального вихря, т.е.

Т" ц

Mmax = |w(r = S/y/2)\ =

7г3е

= 0.154

(3.11)

---— - ,, < О, или 49Ой4.

й4 й4

С целью исследования линейной эволюции вихря мы численно рассчитали эволюцию поля завихренности по формуле (3.7). Результаты представлены на рисунке б в виде трехмерных изоповерхностей абсолютной величины завихренности для фиксированных моментов времени т (или, что то же самое, изоповерхностей плотности энстрофии L):

Ь(т\г) = const, 1/(т; г) = |u>(r;r)|2.

Здесь и везде далее в этой работе мы ограничиваемся случаем симметричных начальных вихрей, ^з = 0. При этом, как несложно понять, вихрь остается симметричным относительно плоскости z = 0 и в течение всей последующей эволюции. В частности, для плотности энстрофии имеем L(r; х, у, z) = L(r; х, у, —z).

Из рисунка б видно, что с течением времени начальный тор, соответствующий гауссовско-му вихрю, начинает поворачиваться, деформироваться, и в конце концов превращается в две

симметричных "сосиски' вдоль течения.1

лежащие практически в горизонтальной плоскости и вытянутые

1 Заметим, что только на этом рисунке мы с целью более привычного восприятия ориентации плоскости вихря приняли —О = (Ш/(1у > 0.

Эти сосиски могли бы, в принципе, служить прообразом ног шпильки. Однако, можно показать, что в рамках линейной теории сосиски превратиться в шпильку с помощью образования перемычки (так называемой головы шпильки) вблизи 'только одного из концов пары ног, не могут. Оказывается, это запрещено свойствами симметрии базовых уравнений!

Действительно, из линеаризованного уравнения (1.3а) и уравнения (1.3Ь) следует, что если

w(i = 0;r) == 0;-r) and u(i = 0; г) = u(i = 0;-г), (3.10)

т.е. если все компоненты начальной завихренности меняют знак при отражении координат г —^ —г, а все компоненты начальной скорости не меняют своих значений при замене г —^ —г, то это свойство симметрии сохраняется в течение всей (линейной) эволюции:

u>(t; г) = — u>(t; — г) и u(i; г) = u(i; —г). (3.11)

Подчеркнем, что гауссовский начальный вихрь как раз и обладает упомянутыми свойствами симметрии (3.11).

Следовательно, для плотности энстрофии L(t; г) начального гауссовского вихря в произвольный момент времени t

L(t\x,y,z)= L(t\-x,-y,-z). (3.12)

В случае симметричного вихря, ц?, = 0 мы имеем дополнительную z-симметрию: L(t] —х, —у, —z) = L(t] —х, —у, z). Следовательно, мы получаем

L(t;x,y,z) =L(t;-x,-y,z). (3.13)

Это означает, что текущее распределение энстрофии должно быть инвариантным относительно одновременной замены х —^ —ж, у —^ —у даже при одном, и том же z. В частности, мы имеем прямо "между ногами", т.е. в плоскости z = 0

L(P,x,y,0) = L(t-,-x,-y,0). (3.14)

Но отсюда следует, что мы не можем получить "шпильку" в ходе линейной эволюции, так как шпилькообразное распределение энстрофии не обладает свойством симметрии (3.14)!

Однако, ситуация радикально меняется если мы включаем в рассмотрение нелинейные члены в уравнении (1.3). Легко видеть, что нелинейные члены (подчеркнутые в (1.3)) полностью разрушают свойства симметрии линейного уравнения (1.3) и следовательно, запрет на шпильку в нелинейной теории снимается!

Поэтому (численное) исследование нелинейной стадии эволюции локализованного вихря становится настоятельно необходимым. Предварительные результаты численных расчетов с сильными вихрями подтверждают возникновение шпилек на определенной стадии эволюции вихря [22].

4. Полная энстрофия локализованного вихря как мера его интенсивности. Исследование характера усиления (ослабления) вихря в зависимости от его начальной ориентации

4-1. Вычисление полной энстрофии локализованного вихря в невязкой жидкости

Для того, чтобы иметь возможность описывать усиление или ослабление вихря в ходе эволюции, введем в качестве одной из его интегральных характеристик полную энстрофию:

С= ( и,2 (г) (IV (4.1)

Полная энстрофия £ может служить в качестве меры интенсивности вихря.1 Важно помнить, что £ зависит от времени т, а также от направления начального импульса Лэмба fi. Заметим, что если в задаче учитывается конечная вязкость р, то £ зависит также и от числа Рейнольдса Re, которое в нашей задаче следовало бы определить, как Re = ÍIS2/p. Поскольку мы в этой работе ограничиваемся невязким случаем, будем полагать Re = сю. Эффекты конечной вязкости, кстати весьма существенные для проблемы усиления вихря, будут описаны в следующей работе и частично уже описаны в [22].

Итак, £ = C(r,fi). Мы можем выразить интеграл через фурье-переменные:

£ = (2тг)3 У \oü(k)\2d3k, (4.2)

или, в сферических координатах в k-пространстве с к = к (cos (3 cos ф, sin f3, cos /3 sin ф) в виде:

поо />тг/2 р2ж

£ = (2тг)3 / k2dk cos(3d/3 I (1ф |w(k)|2. (4.3)

JO J—iг/2 JO

Для начального гауссовского вихря имеем

Шг(к) = (¿?Kl(k)' 0(k) =0(A^T)exp(-|Q2í2), (4.4)

где Q2 = к2 + Щ + (к2 - hr)2, р = (кf + Щ)1/2 = к cos /3.

Интегрируя в Q-пространстве (вместо интегрирования по переменным к-пространства), где Q = Q (cos /Зо cos ф, sin (30, cos /30 sin ф), /30 = arctan(tan /3 — т cos ф)) получим

1 roo Г""/2 Г2"" д2

£ = / Q4exp(-|Q2í2)(iQ/ dfo cos3/30 / dф С (г, Д,,ф), (4.5)

{¿ir)á Jo J—ж/2 Jo

л 2

или £ = £х + £2 + £3, где С = Cí + Cf + Сз; а А означает вклад Q соответственно.

л 2

Компоненты ^(т,/Зо,ф) заданы выражениями (2.28)-(2.31). Для ^ мы имеем

С2 = (1 + tan2/?) II + [tan (Зо (t¿i cos ф + /u3 sin ф) — ¡i2f. (4.6)

Введем приведенную полную энстрофию:

£(т, m) = £(r, fi)/£(т = 0, \[л\), (4.7)

1 Заметим, что на первый взгляд кажется более естественным выбрать в качестве меры интенсивности вихря его полную энергию £. Однако, попытка ввести ее разумное определение, типа £ = /[(и + и)2 — и2] дУ, наталкивается на ту же трудность, с которой мы столкнулись при попытке введения импульса Лэмба. Действительно, поскольку / (и ■ и) (IV расходится (напомним, что и ~ г-3 при больших г), то признать такое определения энергии вихря корректным нельзя. Легко также понять, что аналогичное введение полной энстрофии С лишено подобных трудностей, поскольку jиз (IV = 0.

Рис. 7: Коэффициенты в зависимости от т. Точечные пинии соответствуют асимптотическим выражениям (4.12).

есть полная энстрофия при т = 0.

Подчеркнем, что приведенная энстрофия С действительно не зависит от абсолютной величины начального импульса Лэмба \ц\, а зависит только от его направления m = n/\n\} Следовательно, мы можем без ограничения общности полагать \/л\ = 1, и считать, что m = ц. Окончательно, получаем для приведенной полной энстрофии

з

= Y1 к]{т)щЦу (4.9)

i,j=1

Величины £ц, входящие в (4.9) есть

£ц = — [ d/30 cos в0 [dS (sin2/30 cos2ф + C°S f® sin26 [1 + (в0 — в) tan 3QI2), (4.10a) 2wJo Jo 1 cos 2p '

¿12 = ¿21 = - — J d/3о cos Po J dф {cos Po sin p0 cos ф (4.106)

+ cos^ Sin^ (A) -P){1 + (PQ - P) tmPo}}, h3 = l2з = 4i = ¿32 = 0, (4.10c)

COS Lj COS (p

^ рж/2 ртг , COS2/?Q "1

I22 — — / dBo cos Bq d<b\ cos2/30 H---— (/?0 — в)2 tan2d> (4.10d)

27TJ0 Jo 1 cos2p }

^ рж/2 ртг , COS2/?Q 2 "1

/зз = -— / dfto cos Д) / d(f) |sin2/30 sin2ф H--— cos2ф [—1 + (/30 /3) tan/30 tan2^] L (4.10e)

¿71J0 JO COS Lj

Зависимость величин 1ц от времени показана на рисунке 7. 4-2. Усиление (ослабление) вихря и связь с проблемой гидродинамической устойчивости При т >• 1 получаем из (4.10)

1ц та 1ц т2 + т (гпц In т + пц), (4.И)

1 Напомним, что это утверждение справедливо только в линейной теории!

97Г2 + 32 23

1п = И 0.41954, ти = 0, пп = -— и -2.5555, (4.12а)

288 9

5 97Г2 + 2

112 = - и 0.55556, mía = 0, щ2 =--— ~ -2.8289, (4.126)

9 36

9тг2 - 40 10 ,

I22 =-—-~ 1.35629, т22 = ~ -3.3333, п22 и 2.9, 4.12с

36 3

= 0.92529, т33 = -у и -5.5556, п33 и 12.8. (4.Ш)

Для приведенной энстрофии мы имеем при т 1

£(т) œ а(д) т2, a{ß) =liiiil + 2li2iiiii2 + l22lA + hzl4- (4-13)

Теперь мы имеем возможность проследить характер эволюции энстрофии при больших временах.

Анализируя коэффициент а(р) мы легко можем найти ориентацию вектора ß, соответствующую тем начальным вихрям, которые окажутся на больших временах наиболее усилившимися. Фиксируя \ц\ = 1, получаем, что а, максимально при ц = (cos а^, sin а^, 0), где

7Г 1 2 I

аоо = - + - arctaní--Щ-) и 65.07° (4.14)

2 2 V ¿11 — 122

и равно

а = <W = I [(¿и + l22) + ^/(hi-l22)2 + H¡2} ~ 1-6146. (4.15)

Заметим также, что ориентации наименее усилившихся на больших временах вихрей соответствует угол ~ 155.07° с amin œ 0.1613, то есть энстрофия вихрей, начальный угол ориентации ИЛ которых направлен вдоль этого направления, будет на порядок меньше максимальной.

Далее снова полагаем /л3 = 0. В этом случае достаточно описывать ориентацию начального вихря единственным углом наклона его импульса Лэмба а: Ц\ = cos а, ц2 = sin а, ц3 = 0. Иными словами, угол а - это угол между положительным направлением оси х и направлением начального импульса Лэмба ¿t.

Для произвольного момента т максимальное (по углам ориентации начального ИЛ а) усиление энстрофии

СОД)тах = ![(Мг) +Í22ÍT)) + ^(£п(т)-£22(т)Г + 4112(тГ}. (4.16)

Оно соответствует ориентации ¡л такой, что fj, = (cos а(т), sin а(т), 0), где

/ ч тг 1 ( 2 £12(т) \ /Л

Численный расчет показывает, что а(т) растет монотонно от ск(0) = 45° до а(оо) = aœ = 65.07° (см. рисунок 8).

Рисунок 9 показывает приведенную энстрофию (отложена вдоль радиальной координаты) как функцию угла наклона а (угловая координата) для четырех значений т: т = 0; 0.5; 1.0 и 5.0.

65 г

45 -i-i-i-i-i-i-i-1 т

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 8: Угол а(т) наклона вектора импульса Лэмба, для которого достигается максимальное усиление энстрофии к данному моменту времени т.

Любопытно отметить, что при больших т из (2.28) - (2.31) и (4.11) следует что интенсивность вихревого движения в х ш z направлениях существенно больше, чем в у направлении, А ~ £з > А, или

А-£3 = 0(Т2£2). (4.18)

Это означает, что практически вся энстрофия сосредоточена только в горизонтальных направлениях вихревого движения Этот факт интуитивно согласуется с результатами численных расчетов изоповерхностей плотности энстрофии (см. § 3, а также §5), которые показывают, что плоскость локализации слабого вихря в невязкой жидкости вихря асимптотически становится горизонтальной. (Как мы уже отмечали, случай сильных вихрей в вязкой жидкости будет рассмотрен в отдельной работе.)

Таким образом, в невязком случае для всех возможных углов ориентации начального вихря мы имеем степенное (£ ~ т2) нарастание полной энстрофии вихря.

Мы можем рассматривать такое асимптотическое нарастание энстрофии как проявление неустойчивости - начальный вихрь начинает неограниченно (по крайней мере, в линейной теории) усиливаться.

В этом факте степенного усиления энстрофии нет ничего неожиданного. Он просто является отражением другого известного факта, состоящего в том, что невязкое течение Ку-этта неустойчиво относительно нарастания трехмерных волновых возмущений, и эта неустойчивость как раз и является степенной, или, как ее еще называют, "алгебраической" [24]. Напомним, что трехмерными возмущениями в теории гидродинамической устойчивости плоско-параллельных сдвиговых течений с U = (U(y), 0, 0) принято называть возмущения типа ~ h(y) exp(kix + k3z) с к3 ф 0. Напомним также, что относительно двумерных волновых возмущений (к3 = 0) течение Куэтта устойчиво вообще (то есть нет не только экспоненциальной неустойчивости, но даже алгебраической).1

Но локализованный вихрь представляет из себя волновой пакет, составленный из трехмерных волновых возмущений. Поэтому мы и получили здесь степенной рост полной энстрофии вихря.

Из проведенного сопоставления с теорией гидродинамической устойчивости сразу также

1Последнее обстоятельство в совокупности с известной теоремой Сквайра [25] (утверждающей, что если есть устойчивость относительно двумерных возмущений, то относительно трехмерных она есть и подавно), долгие годы приводило к парадоксу, состоящему в противоречии между экспериментальным фактом наличия турбулентности в течении Куэтта и отсутствием неустойчивости в теории (см. подробнее об этом в великолепном обзоре Хеннингсона и др. [26]). Этот парадокс как раз и был разрешен открытием степенной неустойчивости (wi(r, k) ~ с^з(т, к) ~ г, ¡^(т, к) ~ 1) трехмерных возмущений, вызванной так называемым lift-up эффектом [27], который не был учтен при доказательстве теоремы Сквайра [25].

Рис. 9: Приведенная энстрофия (радиальная координата) как функция угла наклона начального импульса Лэмба а (угловая координата) для четырех значений г: г = 0; 0.5; 1.0 и 5.0.

следует и факт невозможности экспоненциального роста вихря в рамках модели, где в качестве фонового течения выступает течение Куэтта.1

Именно в этом и заключалось основное противоречие теории [13,14] с известными фактами классической теории гидродинамической устойчивости, о котором мы упоминали во Введении.

Заметим также, что учет конечной вязкости тем более не может привести к экспоненциальному росту вихря. Наоборот, наличие вязкости приводит к тому, что вихрь на некоторой стадии своей эволюции может остановить свой рост, а далее начать диссипировать (рассасываться). Действительно, аналитические и численные расчеты, результаты которых будут приведены в части 2, показывают справедливость этого утверждения. Более того, достаточно большая вязкость (достаточно маленькое число Рейнольдса) с неизбежностью приводит к конечности времени жизни слабого вихря. Однако, если вязкость не слишком велика, а начальная амплитуда вихря не слишком мала, нелинейность может вступить в игру еще до того, как вихрь начнет затухать. Этот вопрос требует дополнительного (разумеется, численного) исследования.

Интересно отметить, что, как это следует из (2.11), учет вязкости совершенно не влияет на динамику модифицированного импульса Лэмба р, так же, как и в [12,13] она не влияла на динамику импульса Лэмба "ядра" р1. Несложно понять, что этот факт вовсе не противоречит тому, что на динамику полной энстрофии вязкость влияние оказывает.

1 Точно то же утверждение относится и к эволюции локализованного вихря на фоне течения Тейлора-Куэтта (круговое течение вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами). Здесь также не может быть экспоненциального нарастания вихря в той области параметров (т.е. угловых скоростей вращения цилиндров, их радиусов и числа Рейнольдса), при которых линейная теория гидродинамической устойчивости предсказывает устойчивость. В настоящее время нами построено точное решение, описывающее развитие слабого вихря в круговом течении, которое будет представлено в следующей нашей работе.

360

о

23456789 10

Рис, 10: Контуры приведенной энстрофии £(т;а) = const на плоскости г — а. Незакрашенные области соответствуют ослаблению вихря, С < 1. Кривая на рисунке показывает угол а, для которого к данному моменту времени г достигается максимальное усиление вихря (см. рис. 8).

На рисунке 10 показаны изолинии £(т; а) для невязкого случая. Закрашенные области плоскости (т, а) соответствуют £(т; а) > 1, то есть усилению вихря, а незакрашенные области соответствуют £(т; а) < 1, то есть ослаблению вихря. Хорошо видно, что для некоторых углов ориентации начального вихря усиление начинается с самого начала, с т = 0, в то время, как для других рост начинается спустя некоторое время после начала эволюции,

4-3. Усиление энстрофии, и, идея Теодорсена о преимущественном образовании, 45 -

градусных вихрей

Еще полвека назад Теодорсен [28] высказал гипотезу, объясняющую, почему в экспериментах преобладает именно 45-градусное направление ориентации подковообразных вихрей (horseshoe vortices), то есть вихрей, плоскость которых наклонена под 45° к направлению базового течения.

Поскольку наиболее четко идея Теодорсена представлена не в самой работе [28], а в более поздней работе [4], будем следовать изложению [4], адаптировав его к нашему случаю линеаризованной задачи и фонового течения с dU/dy = —il = const.

Воспользуемся базовым уравнением теории (1,3а), отбрасывая в нем нелинейные (подчеркнутые) члены. Умножая это уравнение скалярно на ш, получим уравнение описывающее динамику энстрофии жидкой частицы:

где d,/d,t = d/dt + (UV) - лагранжева производная по времени. Правая часть (4,19), за исключением вязкого члена, представляет из себя не что иное, как след от линеаризации так называемого "члена натяжений" (stretching term) ш\ ш* dv^/dxj, где верхний индекс "t" означает полное (нелинеаризованное) значение физической величины, шг = Q + ш, u* = U + u, Анализируя первое слагаемое в правой части, легко понять, что оно максимально, когда двумерный вектор (o)i,a)2) (при фиксированной его абсолютной величине) направлен под

(4,19)

углом 135° к положительному направлению оси х, что соответствует углу 45°, отсчитываемому от направления средней скорости U в верхнем полупространстве у > 0, (Напомним, что положительным значениям О соответствует dlJ/dy < 0),

На основании этого бесспорного факта Теодорсен пришел к заключению, что и концентрация вихря (его энстрофия) будет максимальна в плоскости ориентированной под углом 45° к течению, что как раз и соответствует экспериментам.

Гипотеза Теодорсена за прошедшие полвека неоднократно подвергалась критике с различных точек зрения. Здесь мы хотим обсудить только два аспекта, опираясь на только что полученные (на основе точного решения) результаты об эволюции полной энстрофии, на результаты расчетов трехмерного поля завихренности, приведенные в § 3, а также на результаты расчетов наклона плоскости локализации вихря, которые будут описаны чуть ниже, в

§5.

Первый аспект состоит в том, что вывод о наибольшей скорости нарастания 45-градусных вихрей сделан, строго говоря, на анализе структуры только одного из членов в правой части (4,19), Наш анализ показывает, однако, что второй член, О (ш du/dz), представляющий собой другую часть "члена натяжений", ответственную за искажение поля скорости течения, вызванное вихрем, и действительно исчезающий при интегрировании по полному объему вихря в начальный момент времени, со временем становится существенно отличным от нуля и может конкурировать с первым.

Таким образом, несомненно верное утверждение о роли stretching term, высказанное Тео-дорсеном, относится, строго говоря, только к начальным моментам времени, г С 1, когда искажением поля скорости течения еще можно пренебречь. Какие же из начальных вихрей окажутся наиболее усилившимися за достаточно большое время, в ходе которого направление скорости может тоже существенно измениться, из приведенных рассуждений становится уже совсем неясно,

И второй аспект, связанный, разумеется, с первым, состоит в том, что теперь, с учетом изменения ориентации поля скорости (фактически, не учитываемого в рассуждениях Теодорсена) становится совершенно неочевидным, что затравочный вихрь с 45-градусной ориентацией, который е начальный момент усиливался быстрее всех остальных, не изменит ориентацию своей плоскости в ходе эволюции.

Из результатов § 4,2 (напомним, что они относятся к невязкому случаю), наиболее наглядно проиллюстрированных на рисунках 8 - 10, следует, что при малых т, действительно, самыми сильными являются 45-градусные вихри. Их интенсивность, мерой которой служит полная энстрофии вихря, максимальна. Однако, при больших временах наиболее сильно оказываются выросшими уже совсем другие вихри, те, у которых в начальный момент плоскость локализации была сильнее прижата к направлению течения), В пределе т !Э> 1 самыми сильными оказываются вихри, которые вначале были наклонены вовсе не под 45°, а под 25°, Следует отметить, что в этом пункте, если отвлечься от не слишком большой разницы предсказанных углов максимального усиления, гипотеза Теодорсена оказалась достаточно правдоподобной,

Оказывается, что в данном аспекте учет вязкости также работает в пользу этой гипотезы. При конечном числе Рейнольдса, Re = ilS2/и, разница между углом максимального усиления и углом 45°, предсказанным Теодорсеном, становится еще меньше. Легче всего это можно понять из выражения для полной энстрофии при малых т, полученного с учетом вязкости (подробности его вывода опускаем):

£(т, a; Re) = 1 + |т [ sin(2a) - — ] + О (т2)

(4.20)

Из (4,20) следует, что в начальные моменты действительно самыми сильными являются 45, или, что то же самое, 225-градусные вихри, А вихри, плоскость которых наклонена под 135° наоборот, самые слабые (они даже слабее чем начальный вихрь, т.е. С < 1), Оказывается, что при достаточно большой вязкости усиливаются углы, только очень близкие к 45°, а при Re = Rea = 20, усиливается вообще только единственное направление, 45°, (Расчеты эволюции полной энстрофии с учетом конечной вязкости показывают, что с течением времени начнут усиливаться и вихри других направлений, соседних с 45°, (ср. с рис, 10 для невязкого случая), однако углы максимального усиления остаются близки к 45° в течение всей эволюции вплоть до начала диссипации вихря.)

Гораздо менее благополучно обстоит дело со вторым пунктом, касающимся угла наклона плоскости локализации вихря. Если мы проследим за эволюцией угла наклона плоскости локализации энстрофии (плоскости вихря), то мы обнаружим, что при больших временах этот угол стремится к нулю (т.е. плоскость вихря стремится стать горизонтальной), а вовсе не к 45°. Напомним, что такой результат следует из линейной невязкой теории на основе анализа точного решения для эволюции вихря. Это утверждение проиллюстрировано на рисунке 6, и также расчетами эволюции этого угла, выполненными на основе тензора распределения энстрофии (TED), которые будут представлены в §5.

5. Тензор распределения энстрофии и геометрия вихря

Мы можем часто избежать громоздкого описания вихря с помощью задания его полного векторного поля, если сможем ввести некую интегральную характеристику вихря, которая, хотя и не будет, разумеется, отражать полной мере всей векторной структуры вихря, однако, позволит хотя бы грубо описывать его основные геометрические параметры.

С этой целью воспользуемся аналогией с теми подходами, которые используются в электростатике для описания распределения электрического заряда. Это принято делать с помощью так называемых мультипольных моментов.

Введем понятие тензора распределения энстрофии, TED, которое по сути дела есть обычный квадруполъный момент распределения энстрофии.1

Итак, определим этот тензор следующим образом (см., например, [29]):

Тц = J dVu>2(r) xixj. (5.1)

Как любой симметричный тензор он может быть приведен к главным осям, х[.; где он имеет диагональный вид:

Ах 0 0

Т'= 0 А2 О , (5.2)

0 0 А3

Здесь Аi - собственные значения матрицы Ту, т.е. решения характеристического уравнения

Det \\Tij - А(%|| = 0. (5.3)

Тогда направление одной их главных осей, которое соответствует наименьшему из этих трех значений А, является направлением, которое следует отождествить с нормалью к плоскости вихря. А сам вихрь вытянут вдоль направления, которое соответствует наибольшему значению А.

1Легко понять, что из свойств симметрии, описанных в § 3, следует, что в линейной задаче с гауссовским вихрем вектор дипольного момента просто равен нулю. Однако, в нелинейной задаче (см. [22]) это уже не

так.

Можно также ввести понятие размеров вихря а, вдоль соответствующих главных осей х\

(5.4)

a,i =

А,-

JdVu>2( г)

Назовем наибольшую ось а, наименьшую - Ь, а третья ось пусть будет с. Чтобы почувствовать смысл и понять свойства TED, вычислим его сперва для нашего начального гауссовского вихря. Мы получаем

Тц = К (2f/Sij - iM/ij) = КЦ где К = l/(4y/27r3'/2i3). Когда тензор

Hj;

(5.5)

¡4 + 2 (¡4 + ¡4) -1-111-13

¿'= -1-41-12 ¡4 + 2 (»1 + (4)

-мз -и2из 14 +2 (4 + (4)

приведен к главным осям, он может быть представлен в одном из трех видов

(5.6)

4 0 0 2ц2 0 0 2ц2 0 0

II <4J 0 2ц2 0 , t' = 0 0 , или /' = 0 2ц2 0

0 0 2ц2 0 0 2ц2 0 0 4

(5.7)

в зависимости от того, какая их главных осей х[, х'2 или х3 выбрана вдоль направления вектора ц. Здесь ц2 = \ß\2.

Мы видим, что направление вдоль ц действительно соответствует наименьшему из трех значений А, т.е. /х2, а в плоскости, которая нормальна к этому направлению, собственные значения равны друг другу и равны 2ц2. Отношение размеров вдоль /¿ив плоскости, перпендикулярной ц равно 1 : у/2.

Таким образом, TED довольно содержательно характеризует распределение энстрофии, для которого у нас есть наглядное визуальное представление из рисунка 1.

Далее снова ограничим изложение случаем симметричного (относительно плоскости z = 0) вихря, /л3 = 0. В этом случае легко понять, что ось х3 (ось z) остается одной из главных осей в течение всей эволюции, а TED имеет более простой вид

Тц Т12 0 А с 0

Т = T2i т22 0 = С в 0

0 0 Т33 0 0 D

(5.8)

В этом случае тензор приводится к главным осям простым поворотом плоскости (х1,х2) вокруг оси х3(= х'3) на угол Ф

2 С

tan 2Ф = —-(5.9)

А - В'

и имеет в этих осях диагональный вид

Ä 0 0

Т' = 0 В' 0

0 0 D

Пусть ось х[ совпадает с самой короткой главной осью. Тогда в новых осях получаем

¡{А+В-^(А-В)2+4С2} 0 0

Т' =

0 ^[A+B+^(A — B)2+iC2] 0

0 OD

(5.10)

и угол между положительным направлением оси х и направлением нормали к плоскости вихря (т.е. осью х'(= я^)),1

Ф = I в) + (1 + a), s = sign (А - В). (5.11)

Теперь, пользуясь введенным понятием TED, мы можем с помощью него рассчитать геометрические характеристики вихря и сравнить их с результатами, которые следуют из расчетов трехмерного поля завихренности по точным формулам (3.7).

Результаты расчетов параметров вихря, полученные на основе TED, для четырех начальных направлений вектора ц, а = 0°, 45°, 90°, 135° (где ¡л = (cosa, sino;,0)) показаны на рисунках 11 и 12.

Видно, что при достаточно больших т нормаль к плоскости вихря почти вертикальна,

Ф«7Г/2-1/Т. (5.12)

Длинная ось вихря, а, растет линейно, а ос т. и ориентирована почти вдоль течения, а короткая ось, Ь, уменьшается, b ос 1 /у/т. Третья ось, с ориентирована вдоль х3 и растет очень медленно, логарифмически (или даже стремится к постоянному значению, если Hi = 0, см. рисунок 11 (с)), с сх у/Ыт. "Объем" вихря, V = abe, тоже растет по закону V ос у/т In т. (Исключением являются случаи ц2 = 0, т.е. а = 0 и а = ж, когда рост становится очень медленным - b ос т^лЛпт и V ос In т.)

С целью оценить эффективность описания геометрии вихря с помощью тензора, результаты, касающиеся геометрии вихря, полученные с помощью TED, сравнивались с результатами, следующими из расчетов полного поля завихренности по точным формулам (3.7).

Было показано [30] хорошее согласие геометрии вихря, следующее из TED, с фактической формой изоповерхностей,2

Таким образом, можно констатировать, что TED является довольно удобной и надежной интегральной характеристикой для описания динамики вихря. Разумеется, векторную структуру вихря он описать не способен, однако, с его помощью можно получать достаточно много информации о вихре.

Заметим, что асимптотическая ориентация вихря, получающаяся из расчетов с помощью TED (или с помощью полного решения (3.7)), находится в качественном согласии с его ориентацией, которая следует из описания с помощью ЛМИЛ (см. §2.2.3), а именно, плоскость вихря становится почти горизонтальной.

1 Замечание. Соотношение (5.11) определяет угол Ф только в интервале —7г/4 < Ф < Зп/4. Если мы хотим удовлетворить следующим требованиям - (а) - чтобы при г = 0 положительное направление оси х[ совпадало с направлением вектора ц, т.е. Ф(т = 0) = а и (Ь) - чтобы функция Ф(т) была непрерывной функцией т, -мы должны добавлять в правую часть (5.11) при некоторых значениях г либо тт, либо даже 2тт (см. рисунок 12).

2Детальное сравнение геометрических характеристик вихря, полученных из расчетов с помощью тензора, и их "реальных" характеристик, рассчитанных на основе полного поля завихренности, с учетом эффектов конечной вязкости и нелинейности, проведено В. Супоницкой и будет представлено в ее работе с соавторами.

J t

5 10 15 20

(c)

a = 90°

V

■ c

__ b

(b)

a = 45

4

3 2 1

t 0

5 10 15 20

0 5 10 15 20

У

135 90 45 0

0 1 2 3 4 5

Рис, 11: Временная зависимость параметров вихря. "Оси" а, Ь, с и "объем" V для начальных значений угла наклона а: (а) - а = 0°, (Ь) - 45°, (е) - 90°, (ё) - 135° и (е) - угол наклона Ф как функция г для этих 4 начальных значений.

л 4 (e)

3

"2

| 1 1 1 1

t

t

Рис, 12: Эволюция угла наклона короткой оси х[ (т.е. нормали к плоскости вихря, ее положительное направление совпадает при г = 0 с направлением вектора fj,, т.е. Ф = а) для 8 начальных значений а -0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270° and 315°. Радиальная координата - сдвинутое время, (1 + г), а угловая координата - угол наклона Ф. Цифры вблизи окружностей означают время т.

Однако при не слишком больших т, углы наклона плоскости, получаемые с помощью этих двух (или даже трех) разных описаний, сильно отличаются. Это еще раз подтверждает высказанный в § 2 тезис о непригодности импульса Лэмба в качестве интегральной характеристики вихря в данной задаче.

Результаты, касающееся геометрии вихря, полученные в этом параграфе, в отличие от результатов, касающихся эволюции полной энстрофии, описанных в §4, оказываются практически нечувствительными к учету конечной вязкости. Однако, они зависят от уровня нелинейности. Это будет показано в работе В, Супоницкой и др.

6. Обсуждение

Как уже отмечалось во Введении, побудительным мотивом данного исследования был анализ теоретической модели, предложенной в [13] для объяснения механизма эволюции локализованных вихрей, наблюдаемых в турбулентных пограничных слоях. Ключевым местом данной модели является разделение полного поля завихренности на концентрированную завихренность с вихревыми линиями, замкнутыми в области, непосредственно окружающей начальное вихревое возмущение, и поле завихренности, связанное с вихревыми "хвостами", образующимися в процессе эволюции начального вихревого возмущения. Следует отметить, что возможность такого разделения математически строго не обосновывается, а принимается в [13] и последующих работах [14-16], как физически оправданная гипотеза. Критерием правильности данного подхода служит соответствие результатов теоретического анализа результатам экспериментов, В частности, предсказания, полученные на основе модели [13,14] для вращающегося течения Куэтта, подтверждены в эксперименте [12],

В данной работе гипотеза о возможности разделения завихренности проверяется путем построения полного поля завихренности в произвольный момент времени для малого по амплитуде локализованного начального возмущения. Задача об эволюции слабого локализованного возмущения решается точно для внешнего потока с линейным профилем скорости. При этом аналитическое решение выписывается в Фурье-пространстве, а соответствующее поле завихренности в координатном пространстве получается путем сведения трехмерного обратного преобразования Фурье к двойному интегралу и последующему использованию численной процедуры, Для упрощения последующего анализа поля завихренности в качестве начального вихревого возмущения выбран "гауссовский вихрь" (2,25), задающий простейший локализованный вихрь, имеющий структуру вихревого диполя.

Показано, что в соответствии с результатами классической теории устойчивости (см, например, [31]), амплитуда завихренности растет не быстрее, чем по степенному закону. Данный результат противоречит полученному в [13, 14] экспоненциальному росту импульса Лэмба для специальным образом выделяемого "ядра" вихревого возмущения. Последнее могло бы объясняться тем, что генерация новой завихренности в процессе эволюции вихревого возмущения может приводить к быстрому нарастанию "массы" вихревого "ядра". Именно это явление и наблюдается при визуализации вихревых структур в турбулентных пограничных слоях, В частности, наблюдается стремительный рост (в смысле геометрического роста) шпилькообразных вихрей, которые представляют из себя локализованные вихревые диполи.

Чтобы проанализировать данную возможность, мы вводим понятие модифицированного импульса Лэмба (МИЛ), определяемого как интеграл от дипольного момента завихренности по объему бесконечного шара. Данное определение формально совпадает с определением

импульса Лэмба, используемым в [13,14], но, в отличие от последнего, определено для полного поля завихренности. При этом мы, используя только свойство локализованности возмущения и не накладывая ограничений на его амплитуду, показываем, что если МИЛ существует в начальный момент времени, то он существует и в любой последующий момент времени и не зависит от выбора системы координат.

Анализ поведения МИЛ на больших временах t ^ 1/0, показывает, что при всех ориента-циях начального гауссовского вихря, МИЛ растет не быстрее, чем линейно со временем.

Этот результат позволяет непосредственным образом проверить гипотезу [13] о возможности выделения "ядра" вихревого возмущения. Действительно, предположим, что такое разделение возможно, то есть ш = ш1 + шП, где ш1 описывает вихревое "ядро", а ш11 описывает вихревое "облако", включающее в себя все "хвосты" полного поля завихренности. Для каждого поля завихренности можно в соответствии с выражением (2,4) определить его модифицированный импульс Лэмба, так что р р' + р". При этом, как и в [13, 14], р1 является настоящим импульсом Лэмба, Соответственно, уравнение (2,11), описывающее динамику МИЛ полного поля завихренности, разбивается на два уравнения

Заметим, что по условию разбиения "хвосты" полного поля завихренности дают вклад только в динамику рп.

Из уравнения (6,1) следует экспоненциальный рост р1. Из того, что сумма р^р11 растет не быстрее, чем по степенному закону, следует что и рп растет экспоненциально быстро. При этом заметим, что члены в уравнении (6,2), описывающие вклад "хвостов" завихренности в динамику рп, растут также не быстрее, чем по степенному закону. Таким образом, основной вклад в динамику МИЛ для поля ш11 дает область, непосредственно окружающая вихревое "ядро" и, следовательно, предположение о возможности выделения вихревого ядра несостоятельно.

С другой стороны импульс Лэмба, определенный для полного поля завихренности, не может являться адекватной характеристикой эволюции локализованного вихря. Формальная причина - это тот факт, что объемный интеграл, входящий в определение импульса Лэмба не сходится абсолютно, и его значение зависит от формы области интегрирования при устремлении ее размеров к бесконечности, В данной работе это иллюстрируется сравнением асимптотических значений импульса Лэмба для двух случаев, когда объем интегрирования представляет из себя сферу один раз в эйлеровых, а в другой раз - в лагранжевых координатах.

Суммируя все попытки описания эволюции локализованного вихря во внешнем сдвиговом потоке, можно констатировать, что использование моментов поля завихренности в данной задаче неправомочно. Следует заметить также, что использование более высоких моментов завихренности порождает еще большие проблемы, так как в этом случае нет не только абсолютной сходимости, но и просто сходимости подынтегральных выражений.

Для того, чтобы иметь возможность описывать усиление или ослабление вихря и изменение его геометрических характеристик в ходе эволюции, мы проанализировали эволюцию полной энстрофии вихря (4,1) и тензора распределения энстрофии (5,1), Заметим, что использование таких характеристик вихря не позволяет расширить анализ, включив в него и сильно нелинейный случай так как они не являются инвариантами самоиндуцированного движения.

(6.1)

(Щ1

(6.2)

ш

Вместе с тем, они позволяют описать эволюцию амплитуды завихренности и основные геометрические характеристики вихря с помощью всего нескольких независимых параметров. В принципе, переход с "волнового языка", принятого в классической теории устойчивости, где каждая мода характеризуется такими естественными параметрами как волновое число, амплитуда и фаза волны, на "корпускулярный язык", более соответствующий природе локализованных возмущений, требует и выработки подходящих терминов для описания эволюции вихря.

В частности, эффективность описания вихря на основе тензора распределения энстрофии (TED) может быть продемонстрирована путем сравнения визуальных картинок изоповерх-ностей плотности энстрофии |u?(r)|2 = const, построенных на основе точного решения для полного поля завихренности, с тем, что следует из описания с помощью TED для углов наклона плоскости вихря и его размеров. Таким образом, TED является надежной альтернативной (импульсу Лэмба) интегральной характеристикой, дающей возможность наглядного представления его эволюции взамен громоздкого описания с помощью полного поля завихренности.

Анализ проведенный на основе TED показывает, что на больших временах плоскость вихря становится почти "горизонтальной". Таким образом, теоретическое предсказание, полученное на основе точного решения задачи об эволюции слабого локализованного вихря противоречит известным экспериментальным фактам, полученным с помощью визуализации шпилькообразных вихрей, развивающихся в турбулентных пограничных слоях [4], или искусственно синтезируемых в ламинарных пограничных слоях [32,33].

Более того, как показано в § 3, свойства симметрии базовых уравнений в линейном случае в принципе не позволяют образование шпилькообразных вихрей. Поэтому (численное) исследование нелинейной стадии эволюции локализованного вихря становится настоятельно необходимым. Предварительные результаты численных расчетов с сильными вихрями подтверждают возникновение шпилек на определенной стадии эволюции вихря [22]. Альтернативным источником разрушения свойств симметрии линеаризированных уравнений является учет кривизны течения в области образования шпилькообразных вихрей. В этом случае следует включить дополнительные (квадратичные) члены в описание профиля внешнего потока.

Авторы выражают глубокую благодарность В. Супоницкой (Технион, Хайфа) за предоставленную возможность ознакомления с результатами пока не опубликованных численных расчетов по нелинейной эволюции вихря и ряд полезных замечаний, д-ру С. М. Чурилову (ИСЗФ, Иркутск) и академику РАН А. М. Фридману (Институт Астрономии РАН, Москва) за интерес к работе и полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kline S. J., Reynolds W. С., Schraub F. A. and Runstadler P. W. "The structure of turbulent boundary layers", J. Fluid Mech., 30, 741-773 (1967).

2. Bakewell H. P. and Lumley J. L. "Viscous sublayer and adjacent region in turbulent pipe flow", Phys. Fluids, 10, 1880-1889 (1967).

3. Smith C. R. and Schwartz S. P. "Observation of streamwise rotation in the near-wall region of a turbulent boundary layer", Phys. Fluids, 26, 641-652 (1983).

4. Head M. R. and Bandyopadhyay P. "New aspect of turbulent boundary-layers structure", J. Fluid Mech., 107, 297-338 (1981).

5. Robinson S. K. "Coherent motions in the turbulent boundary layer", Ann. Rev. Fluid Mech., 23, 601-639 (1991).

6. Smith C. R. and Walker J. D. A. "Turbulent wall-layer vortices", Fluid mechanics and its applications, 30, 235-290 (1995).

7. Benney D. J. and Gustavsson L. Н. "A new mechanism for linear and nonlinear hydrodynamic instability", Studies in Appl. Math., 64, 185-209 (1981).

8. Butler К. M. and Farrell B. F. "Three-dimensional optimal perturbations in viscous shear flow", Phys. Fluids, A 4, 1637-1650 (1992).

9. Reddy S. C. and Hanningson D. S. "Energy growth in viscous channels flows", J. Fluid Mech., 252, 209-238 (1993).

10. Reshotko E. and Tumin A. "Spatial theory of optimal disturbances in a circular flow", Phys. Fluids, 13, No 4, 991-996 (2001).

11. Asai M. and Nishioka M. "Boundary-layer transition triggered by hairpin eddies at subcritical Reynolds numbers, J. Fluid Mech., 297, 101-122 (1995).

12. Malkiel E., Levinski V. and Cohen J. "The evolution of a localized vortex disturbance in external shear flows. Part 2. Comparison with experiments in rotating shear flows", J. Fluid Mech., 379, 351-380 (1999).

13. Levinski V. "On the dynamics of a three-dimensional disturbance in the external shear flow", Preprint of Institute of Limnology, Irkutsk, 19 pp., 1991.

14. Levinski V. and Cohen J. "The evolution of a localized vortex disturbance in external shear flows. Part 1. Theoretical considerations and preliminary experimental results", J. Fluid Mech., 289 159-177 (1995).

15. Levinski V., Rapoport I. and Cohen J. "A new criterion of non-linear instability for localized vortex disturbance in shear flows of weakly conducting liquids", Phys. Fluids, 9(6), 1847-1849 (1997).

16. Levinski V. "The evolution of a localized vortex in stably stratified shear flows", Proceedings of the 5th International Symposium on stratified flows, 91-96. Vancouver, Canada, 10-13 July, 2000.

17. Drazin P. G. and Reid W. H. "Hydrodynamic Stability", Cambridge U.P., 1981.

18. Batchelor G. K. "An introduction to Fluid Dynamics", Cambridge U.P., 1967.

19. Kelvin Lord (W. Thomson). "Stability of fluid motion: rectilinear motion of viscous fluid between two parallel plates", Phil. Mag. 24,(5), 188-196 (1887).

20. Criminale W. D. and Drazin P. G. "The evolution of linearized perturbations of parallel flows", Stud. Appl. Math., 83, 123-157 (1990).

21. Craik A. D. D. and Criminale W. O. "Evolution of wavelike disturbances in shear flows: a class of exact solutions of Navier-Stokes equations", Proc. R. Soc. Lond. A 406, 13-26 (1986).

22. Suponitsky V., Cohen J, Bar-Yoseph P. Z. and Shukhman I. "Numerical and theoretical investigation of the evolution of a localized vortex disturbance in uniform shear flow", Thesises of the 33-rd Fluid Dynamics Conference, Florida, June 23-26, 2003.

23. Градштейн И. С. и Рыжик И. М. "Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений", Москва, Наука, 1971.

24. Ellingsen Т. and Palm Е. "Stability of linear flow", Phys. Fluids, 18, 487-488 (1975).

25. Squire H. B. "On the stability for three-dimensional disturbances of viscous fluid between parallel walls", Proc. Roy. Soc. London Ser. A 142, 621-628 (1933).

26. Henningson D. S., Gustavsson L. H. and Breuer K. S. "Localized disturbances in parallel shear flows", Appl. Sci. Research, 53, 51-97 (1994).

27. Landahl M. T. " Wave breakdown and turbulence", J. Fluid Mech., 28 735-756 (1975).

28. Theodorsen T. "Mechanism of turbulence", Proc. 2nd Midwestern Conf. on Fluid Mech. Ohio State University (1952).

29. Левич В. Г. "Курс теоретической физики", т. 1, стр. 67, Москва, Наука, 1969.

30. Suponitsky V. Private communcation (2002).

31. Дикий A. JI. "Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы", Ленинград, Гид-рометеоиздат, 1976.

32. Acalar М. S. and Smith С. R. "A study of hairpin vortices in a laminar boundary layer. Part 1. Hairpin vortices generated by a hemisphere protuberance", J. Fluid Mech., 175, 1-41 (1987).

33. Acalar M. S. and Smith C. R. "A study of hairpin vortices in a laminar boundary layer. Part 2. Hairpin vortices generated by fluid injection", J. Fluid Mech., 175, 43-83 (1987).

Приложение А. Свойства модифицированного импульса Лэмба

Независимость МИЛ от выбора начала отсчета

В этом пункте мы покажем, что определение модифицированного импульса Лэмба, введенное в § 2, является достаточно хорошим, в том смысле, что эта характеристика, в принципе, могла бы служить заменой введенного в [13,14] "импульса Лэмба ядра" р7.1 По крайней мере, МИЛ обладает одним необходимым свойством - его значение не зависит выбора начала отсчета (т.е. от выбора положения центра сферы, фигурирующей в его определении)

р = Jim | У rxw(r)dV. (AI)

Мы хотим показать что если

(г) существует по крайней мере одно начало отсчета, (совпадающее с центром сферы) для которого предел (AI) существует, и если

(и) |и>(г)| убывает достаточно быстро, так что объемный интеграл от w(r) существует в обычном смысле, и если

(ш) этот интеграл равен нулю, т.е.

Ju>{r)dV = 0. (А2)

то предел (AI) существует при произвольном выборе начала отсчета и его значение не зависит от этого выбора.

Доказательство. Пусть новое начало отсчета О' сдвинуто относительно старого О на вектор а: О'О. Тогда г' = г + а. Пусть новое значение МИЛ будет

р'= lim | / r'xw(r)dV', или р'= lim \ / (г + а) х w(r) dV. (A3)

R—^OG J R—^OG J

r...../.• r ■ а...../,•

Покажем, что p' = р. Имеем

р' - р = | Jim | J (т + а) х ш(т) dV - jг х и»(г) dV j.

Ввиду условия (А2) |г+а|<я |г|<я

р' - р = | lim < / г х w(r) dV - / г х w(r) dV | = f lim < / г x w(r) dV - г x w(r) dV | (A4) R—^сю l 7 J J R—^og l / J J

|г+а|<я |г|<я r>i d2

Области Di и Г>2 показаны на рисунке 13. Уже отсюда можно увидеть, что предел интегралов по заштрихо-

Рис, 13: К доказательству независимости МИЛ от выбора начала отсчета.

ванным областям равен нулю. Действительно, пусть для больших г

---'

1Однако, напомним, как мы уже показали в §2, что эта модификация импульса Лэмба (или, скажем, его "суррогат") в отличие от настоящего импульса Лэмба, никак не связана с истинной дипольной структурой вихря, и по его динамике фактически невозможно ничего сказать об истинной динамике вихря.

(IV ~ аВ2Р(в, ф) ёо, X] = Впгде п(0, (р) вектор нормали к сфере радиуса В в точке (в, (р), <к> = зт0 <Ш Р(0, (р) - некоторый фактор, зависящий от углов. Следовательно,

D

Мы можем прийти к этому результату более формально. Подставим в первом интеграле в (А4) г = г' — а. Тогда

р' — р = | Jim | J (т'- а) х ш(т'- а) dV'- Jrxu}(r)dVj

|г'| <R |г| <Я

= | lim J / rxw(r — a)dV— / rxu>(r)dFl (A5)

а • > l J J J

r<R r<R

Фактически, интегрирование в (A5) производится только по областям Di, где г а. Следовательно, мы можем разложить в (А5) по малому параметру а/В,. Имеем р' — р = —| lim f г х [(aV) w(r)] dV, или

R^°°r<R

ip' -p)i = Ит [ tijkXjdi^p1 dV = lim j <£ €ijkXjWk{niai)dS - f eijkajUJkdv\.

R—^OG / (JXi R—^OG V / / )

r<R r=R r<R

Объемный интеграл исчезает в силу (А2). Для поверхностного интеграла имеем

(fi'-ß)i = -\ lim <£ €ijk{njR)wk{niai) В2 do ~ lim ¿=0.

Я-s-oo J Я-s-oo K l

r=R

Итак, мы показали, что МИЛ (если он существует!) не зависит от выбора начала отсчета (центра сферы). Поскольку мы уже показали в §2 ,что в нашей задаче МИЛ действительно существует, то только что приведенное доказательство о независимости его от выбора начала отсчета, придает ему разумный физический смысл.

Связь МИЛ с Фурье образом завихренности

В случае, когда завихренность спадает настолько быстро, что существует обычный ИЛ, мы легко можем выразить его через фурье-образ завихренности:

р = %- (2/т):; [Vk х u>(k)]

k=o'

где операция Vjj-X означает взятие ротора в к- пространстве.

Покажем, что в случае МИЛ эта связь может быть модифицирована следующим образом:

р= limJ(27r)3<Vkxu,(k)), (А6)

где угловые скобки (■ ■ ■) означают усреднение по углам в fc-пространстве. То есть, имеет место равенство

fR г

р = lim р(Д) = lim | / 4тгг2 dr {г х w(r)) = lim - (2тг)3 {V^ х w(k)), (А7)

R—^og R—^OG J q к—r 0 2j

угловые скобки (г x w) означают усреднение по углам в координатном пространстве.

Итак, мы хотим показать, что если предел р(К) при В —> оо существует, то также существует и предел (Vjj. х w(k)) при к —>■ 0, и эти пределы связаны соотношением (А6). И наоборот,, если предел в ^-пространстве существует, то также существует и МИЛ.

Имеем

w(k) = (2тг)-3 [ J г ikr ш(г) dV + J e-ikr w(r) dvj.

r<R r>R

Для кВ < 1 мы можем разложить экспоненту в первом интеграле. Во втором интеграле подставим вместо и» (г) его асимптотическое выражение

Шг -Л--1--г--!-■■■.

Получим для к <С 1/R:

r<R r<R r>R

Для Vjj. х uj(k) находим

u.(k)«(2»)-s{ Iu{v)dV-i J{i-v)w{v)dV+ /[+ r(f'yl +■■■] e-kr<№}.

r<i? r>i? r>i?

(4) (5)

■"У ""У f ^ f ^

Здесь то = | r x w(r), для больших r mj = —у- H--^—I----, где 7^ (0,93) = | e^i njV\s)(e, ip).

Равенство (A8) может быть записано как

Vk х w(k) « р(Л) - ^ £ / doe-^r [7(4,(fl> ^ + 0(1/г)].

Разложим ехр(^гкг) по сферическим функциям (см.[23], (8.511.4), стр. 987):

(А8)

I- 00 п ( V

n=0 m=l ^

где в и ф - сферические углы в к-проетранетве: 0 < в < 7г, 0 < < 27т (напомним, что в = /3 + тг/2).

Интегрирование по углам в к-пространстве оставляет в сумме только один член с ш = 0 и п = 0. В результате мы получаем для усреднения в к- пространстве при к <С 1/Д

Устремим к к нулю (при фиксированном Л). Мы имеем для первого "радиального" интеграла

7г dr [ж f°° dz f°° sinz

,л v JiMkr) ~ = V 2 L ^Ji/2iz)=L —dz•

При (jbB) ^ 0

ein 2

^-(iz wln(l/fcE) + C>(l),

/гЯ z

а для второго "радиального" интеграла имеем

L {wrJi,2{kr)di=kL^dz^i/R-

IR V ' .//гЯ

Итак, для kR <С 1

2i _, _ 8ти

(Vk х ^(k))|fcß<<i * ~Р(Л) - <7(4)) [1п(1/*Л) + 0(1)] + <7(5)) (1/Л)}. (А9)

Пусть теперь существует предел lim р(Л). Тогда из (А9) следует, что (7^) = 0, и

Я-s-oo

р = lim р(Д) = lim %- (27г)3 (Vk х W(k)), (А10)

Я-s-oo fe-s-0 2 »IV

Пусть теперь, наоборот, существует предел lim (Vi, xw(k)). Мы хотим доказать, что в этом случае предел

fe-s-0

lim p(R) также существует, и имеет место соотношение (А10). Предположим, что lim p(R) не существует.

Я-s-oo Я-s-oo

Тогда это означает, что (7^) Ф 0- Но в этом случае мы можем найти приближенное выражение для р(Д) при больших R. Благодаря логарифмической расходимости радиальной части интеграла имеем, исходя из определения p(R):

р(Д) и4тг(7(4))1пД + С>(1). (АН)

Подстановка (All) в (А9) дает

(Vk х «(к)>|^о * ^^ (7(4)) In(l/fc) + ö(i).

Это соотношение противоречит предположению о том, что предел lim{Vk х о?(к)) существует. Значит,

= о, Иш р(Д) существует и равенство (А10) действительно имеет место. Я-s-oo

Связь МИЛ с полем скорости на больших расстояниях

Следует понимать, что МИЛ не обладает свойствами истинного импульса Лэмба. Для нас здесь самым существенным является тот факт, что он не отражает дипольную структуру вихря и поэтому, вопреки первоначальным надеждам, возлагавшимся на него, не может адекватно описывать геометрию вихря (см. Резюме в конце § 2.)

Этот факт находит свое выражение, в частности, в связи между ИЛ и полем скорости на больших расстояниях. Для случая истинного ИЛ мы имеем известное соотношение

1 D X Г 1

u = V х А, А = ——,--h Oír"3), или и — —-—

47Г rJ 47Г 3\

р Зг(гр)

С^г-

Главный вклад в поле скорости, Uo = 0(г ), является потенциальным, т.е.

V х и0 = 0, или uu = V#, где # = + 0(г 3).

47Г rJ

В случае же, когда ИЛ в обычном смысле не существует, но существует МИЛ, поле скорости уже не может быть выражено в представленном выше виде. Поле скоростей в этом случае не является потенциальным. Для нас наиболее интересен случай, когда на больших расстояниях завихренность ведет себя как г-4:

ш.г_г?Че,<р) | г?\ом |

Мы можем показать, что условие существования МИЛ,

f €ijknjrf do = 0 (А12)

означает, что поле скорости на больших расстояниях по-прежнему u ~ ö(r-3), однако теперь оно включает также и непотенциальную компоненту того же порядка.

Важно подчеркнуть, что в случае, когда МИЛ существует т.е. условие (А12) выполнено, поле скоростей тем не менее не включает логарифмических вкладов типа ~ In г/г3. (Но такие вклады обязательно присутствуют, когда условие (А12) не выполнено и МИЛ не существует.)

Заметим еще, что если завихренность спадает еще более медленно, чем г-4, скажем, как г4^п, -ц > 0, то непотенциальная составляющая поля скорости оказывается даже более сильной, чем потенциальная:

N р

где и ' означает непотенциальныи и потенциальный вклад в и.

Приложение В. Вычисление компонент TED

В Фурье-представлении TED имеет вид

(Ш,

Используя представление (2.27) для u>i(k), т.е.

с* (к) = ¿(27г)-3р0(к), Сг(к) = ¿(/3,0;г)ехр(-1д252),

запишем тензор в виде

гр 1 [ ли д(р(п(Ю) д(р(п(Ю) то\

= (27гр" / --(В2)

Обозначим (п = р(п и перейдем от переменных к к переменным С^: = (£¿1,£¿2,(^3), Яг = кг, £}2 = ¿2 — £>з = *з, так чт0 д/дкг = д/д£}1 — д/дк2 = д/д£>2, д/дк3 = д/д£}ъ- Получаем

Л = г1'«, - 2г«2 + И = «|. С = ^тах + а2, I) = (Ц. (ВЗ)

где

Используя явный вид ¿ (2.28)-(2.31) и выполняя интегрирование по Q, найдем:

ai = ттг-Tf / cos A) d/30 dф У~Д ¥ cos2 Д) sin2 Д) Сг2 - 3 sin A)cos A Cíw¿ + и2 J, (B4)

\¿7r) Jo Jo i=14 7

j j ['К/2 r-л 3 ^ ^

= (2тт^ J cosPodP0 J cos^sinftcos^ § (cos2/?0 cos ^№ + sin A cos/?0 Сг«г), (B5)

/чт/2 гчх 3 ^ ^

аз = 77r4f / cosД, d/30 # У~Д т cos4 Д) cos2^ (2 - 3 cos2^0 cos ф + u¡ J, (B6)

v2?r; io io i=14 7

4/0 r"/2 r^ 3 / „ \

сц = / cosfiodPo / # > f cos4A sin2<K2 - 3 cos2A, sin ф (iWi + w? . (B7)

(2т) JO Л) i=1 ^ 7

где

«i = íiCi, «i = í2Ci, wí = 4Cí, Io = jo°°Q2e-Q2s2/2dQ = ^S-3.

л д д ^ д ^ д д

lx = cos Ф — sin Д) COS Д) cos Ф —--sin ф——, l2 = COS2 Д) ТГ7Г , ¿3 = sin ф — sin Д) COS Д) sin ф —— + cos ф——,

OPo оф OPo OPo оф

Случаи г = 0 и г » I

С целью контроля численных расчетов, представленных на рисунках 11 и 12, рассмотрим аналитические результаты для г = 0иг> 1. Из (5.10) и (ВЗ) мы имеем

Ах = v/(,l Bf-U-Щ = aiCVai,

А2

и "объем" вихря

F2 AiA2A3 a4(aia3 - a|) [£(г)]з [£(г)]з '

Случай т = 0. Для т = 0 имеем начальные значения:

Ai = . = —т=———• Х2 = A3 = 2Аi. £

(2тг)3 4л/2тг3/2(53 ' л/27ГЗ/2(55 '

а оси, объем и начальный наклон равны

h = = i = V = abc = j S3, Ф(0) = a.

Случай т 1. При больших т мы имеем следующее соотношение между различными Q:

Ci = ад, с2 = 0(1), Сз = од.

На первый взгляд это сразу дает для порядков величин ец оценку: ец = 0(т2), т.е.

а1=с1т2, а2 = с2т2, а3 = с3т2, а4 = с4т2,

и

Следовательно Для Х{ тогда имеем

Л % г, г1. % г, т2 < Л. Си^схт3. / 2(7 \

Ф = Ь arctan ( —-— I + и ^ж — 1 /т.

2 \A-BJ 2 2 1

„2

Ах* а1"3 2"2 =0(1). А2»4й еят2 и ат4, А3*а4=с4т2.

Однако, более детальное рассмотрение дает

с3 = т, если ц2 ф 0, и с3 = J41пт, если ц2 = 0,

и

С4 = 0(1), если цх = 0 и г.) = ./.) 1» г = с3, если цх ф 0,

что и приводит к асимптотическим оценкам размеров осей, приведенным в основном тексте. Здесь

т — Р — Р а - 2?г^0 1

— ^3 - —¿-А! Ь =

(2тг)3 3 тг 3' (2тг)3 4л/2тг3/2'

/о С08^° соя4/? ^ап/30^ап/3)2 (С°8 ^ tan/Зo^tan/з) ~ 1.5611, </4 д-тг 5,