О единственности рядов по системе характеров диадической группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ ХАРАКТЕРОВ ДИАДИЧЕСКОЙ ГРУППЫ

Н.С. Полякова

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

В работе указаны условия на ряд по системе характеров диа-дической группы, при которых конечное или счетное множество является множеством единственности.

Ключевые слова: множество единственности, диадическая группа, характеры, ряды по системе характеров.

On the Uniqueness of Series with Respect to Characters of Dyadic Groups

N.S. Polyakova

Saratov State University,

Chair of Mathematical Analysis E-mail: [email protected]

Conditions on series with respect to characters of dyadic groups are specified by which finite or countable set is the set of uniqueness.

Key words: set of uniqueness; dyadic group; characters; series with respect to characters.

Пусть Ъ2 — группа целых диадических чисел. Элементами этой группы являются последовательности Ь = (Ь0,...,Ьп,...), где Ьп может принимать значения 0 или 1. Топология в множестве таких последовательностей определяется следующим образом: п-я окрестность элемента Ь0 = (¿о0) ,Ь10), Ь^0^,..., ьП0),...) состоит из элементов Ь = (Ь0 , ...,Ьп,...), для которых Ь^- = ¿0 при

0 < з < п — 1. Будем обозначать такую окрестность как Уп(Ь0), число п называют рангом окрестности. В дальнейшем, если нам будет неважно, где располагается окрестность, и будет интересовать лишь ее ранг, то будем писать просто Уп.

Отметим, что две произвольные окрестности ранга п или совпадают, или не пересекаются. В дальнейшем для объединения двух непересекающихся окрестностей будем использовать знак «У».

Операция сложения в Ъ2 определяется как покоординатное сложение по модулю 2 с переносом единицы в следующий разряд [1, с. 23]. В дальнейшем эту групповую операцию будем обозначать «+».

Функции

n —1

Xa,n(g) = exp 2пъ ^2 a9k2

k-n

xo(g) = i,

(i)

k=0

где g = (go,..., gn,...), a = 1,3,..., 2n — 1 являются характерами диадической группы [1, с. 62]. Преобразуем (1) к виду

n-1

n-1

, , I \—л a2n ъ \ 1—т I ( a2ni \ \ ^

Xa,n (g) = exP 2^ irn-k gk = П exP ^n-k

k=o 2 k=o 2

k=o

Обозначим

Тогда

ва,к = exp

( a2ni

2k

Xa,n (g) = П(еа,к )Qn-k = (ea,1 ■ (ва,2)

gn-2

k=1

Отметим, что ea i = —1 для любого нечетного a. Тогда

Xa,n(g) = ( — 1)gn-1 ■ (ea,2)gn-2

(e )g

a,n

(ea,n)

go

(2)

(3)

(4)

Отметим несколько свойств, связанных с характерами диадической группы и вытекающих непосредственно из определения и формул (2), (3).

1°. еа,т = вь,т, где а = 6(mod2т).

2°. Ха,п(д) — постоянна на окрестностях Уп.

© Н.С. Полякова, 2009

3°. Пусть Xa,n(g) = c, c = 0 на некоторой окрестности Vn. Рассмотрим окрестность Vn_i, содержащую данную окрестность Vn. Тогда для всех g е Vn-1 \ Vn xa,n(g) = -с.

4°. (Xa,n(g))2 = (Xa,n(g))(Xa,n(g)) = Xa,n-l(g), в частном случае (ва,п)2 = (ва)П)(ва)П) = в«,п-1.

5°. Если нечетные числа a, b, c связаны соотношением a + b = 2mс, то (Xa,n(g))(Xb,n(g)) =

= Xc,n-m(g).

6 . Пусть m > П. Тогда Xa,n (g)Xa,m(g) = X(2m-n + 1)a,m (g), Xa,n(g) ' Xb,m(g) = X(2m-n a+b),m(g)-

7°. Пусть a — произвольное целое положительное нечетное число, такое что 1 < a < 2n, и пусть 0 < k < n — 1. Рассмотрим последовательность чисел {aj }2=1 , таких что a1 = a, aj+1 = = (aj + 2n—k+1)mod 2n, j = 1,..., 2k—1 — 1. Тогда еато,n—k+1 = e^-,n—k+1, 1 < m,j < 2k—1.

8°. Пусть a — произвольное целое положительное нечетное число, такое что 1 < a < 2n-1. Тогда X2n—a,n (g) = Xa,n (g).

Для целых неотрицательных a и b положим по определению a ® b = (a + b)mod2.

Выберем произвольную точку t = (to,..., tn, • • • ). Точку t = (to,..., tn—1, tn ® 1, tn+ъ • • • ) будем называть симметричной к точке t относительно окрестности Vn и писать t t. При этом, если tn = 0, то будем говорить, что t — левая симметричная точка, а t — ее правая симметричная относительно Vn точка. Если tn = 1, то наоборот.

Пусть t, т, t,g, р е Z2, тогда очевидны следующие свойства:

9°. t -n i <=> i-n t.

10°. g -n t, т -n+1 t, р -n+1 g => т -n p.

Обозначим 10 = (1,0,0,... ), 1k = 1k—1-+1k—1, где k е N.

Пусть k и n некоторые натуральные числа, такие что k > n, t g. Окрестности Vk (t) и Vk (g) будем называть симметричными относительно окрестности Vn и обозначать Vk (t) " Vk (g), то есть

Vk (t) = Vk (g) ® 1n. Будем говорить, что Vk (t) — левая симметричная окрестность, а Vk (g) — ее правая симметричная относительно Vn окрестность, если t — левая симметричная точка, а t — ее правая симметричная относительно Vn точка.

Разобьем Z2 на 2n дизъюнктных окрестностей Vn и пронумеруем их следующим образом:

Vn(1) = Vn(0,..., 0,... ), Vn(2k +i) -n—(k+1) Vn(i),

т.е. Vn(2 +i) = Vn(i) ® 1n—(k+1), где k = 0,..., (n — 1), i = 1,..., 2k. Используя формулу (4), получим

Xa,n (Vn(1) ) = 1, Xa,n(Vn(j) ) = Xa,n(Vn(j —^ ))ea,k, (5)

где j — произвольное целое число, такое что 1 < j < 2n, а k выбрано таким образом, что 2k—1 < j < 2k. При этом Vn(j) = Vn(j—2 ) ® 1 n—k .

Укажем еще одно свойство характеров диадической группы, которое непосредственно следует из свойства 7° и формулы (5).

11°. Пусть p — произвольное число, такое что 1 < p < n, a,b — нечетные числа, удовлетворяющие условию a = (b + k2p)mod2n, где 1 < k < 2n—p — 1. Тогда в любой точке g окрестности Vn(—)p

Xa,n(g) Xb,n(g).

Рассмотрим ряд

œ 2n —1

co Xo(g) + E E Ca nXa,n(g), (6)

n=1 a=1

где a — нечетные целые числа, ca,n — комплексные числа, g = (g0,... ,gn,... ).

2n — 1

Обозначим Xn(g) = ^ Ca,nXa,n(g), Xo(g) = Co. Тогда ряд (6) примет вид

a=1

EXn(g)- (7)

n

n=o

Через Sn обозначим частные суммы Sn(g) = n=0 Xk(g). Очевидны следующие свойства пачек Xn(g) 12°. Xn(g) постоянны на Vn.

13°. Если Xn(Vn) = c = const, то Xn(Vn-1 \ Vn) = —c.

Теорема 1. Для любой последовательности (е7- комплексных чисел найдется такая функ-

ция Хп (д), что

Г ^, если д є Ур3 1,

Х (д) — \ (2^)

I —, если д є Уп .

Доказательство. Выберем в каждой окрестности У^27 ^ по одной произвольной фиксированной точке д7. Рассмотрим следующую систему уравнений:

2п-1 Е

а=1

са,пХа,п (д3 ) — С?,

(8)

где і — 1,..., 2п-1. Очевидно, что доказав совместность этой системы, мы докажем утверждение теоремы.

Выпишем матрицу Сп размерности 2п-1 х 2п-1 системы (8). При этом і-я строка матрицы СП будет иметь вид (Х1,п (д3 ),Хз,п (д3 ),Хб,п(дг),..., Х2"-1,п (д3)), где і — 1,..., 2п-1. Воспользуемся определением характеров диадической группы, формулами (5), а также свойствами

2° и 7°. Тогда первая строка матрицы будет иметь вид (1,1,1,..., 1), где единицы повторяются 2п-1 раз. Вторая строка матрицы имеет вид (е1>2, е3,2,..., е1>2, е3,2), где кортеж (е1>2, е3,2) повторяется 2п-2 раз. Строка матрицы Сп с номером (2к-2 + 1), к — 2, ...,п, будет иметь вид

(е1,к, е3,к, . . . , е2^-1,к, е1,к, . . . , е2*>-1,к7 ... 7 е1,к, . . . , е2^-1,к), где кортеж (е1,к, . . . , е2^-1,к) повторяется

2п-к раза. Пусть число т такое, что 2к-2 + 1 < т < 2к-1, где 2 < к < п. Используя формулы (5), получим, что элементы т-й строки матрицы Сп получаются умножением соответствующих элементов (2к-2 + 1)-й и (т — 2к-2)-й строк.

Договоримся об обозначении. Если А — (ак>7) — матрица размерности п х п, то через (А)к будем обозначать к-ю строку матрицы А. Будем говорить, что к-я строка есть 5-я степень т-й строки матрицы А и писать (А)к — ((А)т)в, если ак7 — (ат-)в для каждого і, 1 < і < п. Аналогично, через (А) к (А) т будем обозначать почленное произведение строк (А)к и (А)т).

Вернемся к доказательству теоремы. Покажем, что для любого натурального числа п > 1 матрица Сп содержит все натуральные степени до (2п-1 — 1) включительно своей (2п-2 + 1)-й строки и строку, состоящую только из единиц. Доказательство проведем по индукции.

Заметим, что случай п — 2 тривиален, так как матрица С2 содержит только две строки, причем первая состоит только из единиц.

Пусть п — 3. Тогда матрица С3 имеет вид

1 1 1 1

е1,2 е3,2 е1,2 е3,2

е1,3 е3,3 е5,3 е7,3

е1,3е1,2 е3,3е3,2 е5,3 е1,2 е7,3 е3,2/

Используя свойства 1° и 4° видим, что (С3)2 = ((С3)3)2. Так как по построению (С3)4 = ((С3)3) х х ((С3)2), то получаем, что (С3)4 = ((С3)3)3. Таким образом, матрица С3 имеет вид

1 1 1 1

2 2 2 2

е1,3 е3,3 е5,3 е7,3

е1,3 е3,3 е5,3 е7,3

3, со 1-Г е е3 е3,3 3, СОю" е е7,3^

Предположим, что для случая п — N — 1 утверждение верно. Докажем теперь, что матрица С^ содержит все натуральные степени до (2м-1 — 1) включительно своей (2м-2 + 1)-й строки и строку, состоящую только из единиц. Разобьем матрицу См на три блока

А1 А2 А3

где матрица А1 имеет размерность 2м-1 х 2м-1, матрица А2 — размерность 2м-1 х 2м-1, матрица А3 — размерность 2м-1 х2м. При этом можно заметить, что матрицы А1 и А2 совпадают и равны матрице См-1, которая по предположению содержит все натуральные степени до (2м-2 — 1)-й включительно своей (2м-3 + 1)-й строки и строку, состоящую только из единиц. Объединим матрицы А1 и А2 в один блок В размерности ^ — 1) х N. Таким образом, матрица См примет вид (В А3)т. Заметим, что блок В так же как и матрица См-1 содержит все натуральные степени до (2м-2 — 1)-й включительно своей (2м-3 + 1)-й строки и строку, состоящую только из единиц. Используя свойства 1° и 4° видно, что (См)2^—з+1 — ((См)2N-2+1 )2. Отсюда получаем, что блок В состоит из строки, состоящей только из единиц, и строк, являющихся различными четными степенями от степени 2 до степени (2м-1 — 2) включительно строки матрицы См с номером (2м-2 + 1). По построению матрицы См видно, что если 1 < і < 2м-2, то (А3)з — ((А3)1)((В)з). Поэтому блок А3 состоит из различных нечетных степеней от 1 до (2м-1 — 1) включительно строки матрицы См с номером (2м-2 + 1). Таким образом, вся матрица См содержит все натуральные степени до (2м-1 — 1)-й включительно своей (2м-2 + 1)-й строки и строку, состоящую только из единиц.

Осталось только заметить, что определитель матрицы См — определитель Вандермонда с инверсией строк. Поскольку элементы (2м-2 + 1)-й строки матрицы См являются различными, то ее определитель не равен нулю, а значит, исходная система совместна, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Каждая функция /(д), которая принимает постоянные значения на окрестностях ранга т, есть многочлен вида

т 2П —1

ео хо(д) + пХа,п(д).

--а,пЛа,п \

п=1 а=1

Доказательство. Доказательство проведем по индукции. Пусть т = 0. Тогда У0 = ^2 и /(д) = Л. Отсюда следует, что /(д) = Л = Лхо(д). Предположим, что для т = N — 1 любую функцию /(д), принимающую постоянные значения на окрестностях ранга N — 1, можно представить в виде

м-12П-1

са,пха,п \

п=1 а=1

/ (д) — со хо(д) + пха,п (д).

Пусть функция /(д) постоянна на окрестностях ранга N, то есть /(д) = Л7-, если д е Уд7 (1 < ] < 2Д). Рассмотрим функцию /1 (д), постоянную на окрестностях ранга N — 1, и пусть /1 (д) = , если д е Уд- (1 < I < 2Д-1). И рассмотрим функцию (д), которую по теореме

1 можно представить в виде

Г , ч / еь если де 421-1),

(д) = 1 с т/(21)

[—ег, если д е УД

где 1 < I < 2Д-1. Причем коэффициенты ег и дг выбраны таким образом, чтобы для любого I, 1 < I < 2Д-1, выполнялось

\ й + ег = Л2г-1,

\ й — ег = Л2г •

Но тогда функцию /(д) можно представить в виде

Д-12П-1 2м-1

/ (д) — /1 (д) + хм (д) — со хо(д) + £ £ Са, пХа,п (д)+ ^ са,мХа,м (д)

п=1 а=1 а=1

м 2П —1

— сохо(д) + ^ ^ ] са,пха,п(д),

а,п а,п

п=1 а=1

что и требовалось доказать.

Определение 1. Пусть Е с Ъ2 — конечное или счетное множество. Множество /д = {к е Nи{0} :

3 Ук, V Ук+1 с Ук, Ук+1 П Е = 0} будем называть индексным множеством для множества Е.

Теорема 3. Пусть: 1) Е с Ъ2 — конечное или счетное множество, 1Е — индексное множество для Е; 2) ряд (7) сходится к нулю всюду на Ъ2 \ Е; 3) Хо = 0,Хк+1(д) = 0, для любого к Є 1Е. Тогда Хк (д) = 0 для всех к Є N.

Доказательство. Доказательство будем проводить от противного. Предположим, что не все Хк = 0. Пусть к1 — наименьший из таких индексов. Тогда существует д Є Ъ2, что Х^ (д) — с, с — 0 и для любого к < к1, Хк(д) = 0. Но тогда по свойствам 12° и 13° найдется такая окрестность У^, что Х,1 (Ук7)) — с и Хк1 (Ук1-1 \ У^) — —с. Заметим также, что номер к1 — 1 не принадлежит индексному множеству Ід. Следовательно, одна из окрестностей У^ или Ук1 -1 \ У^ не содержит точек из Е. Будем обозначать такую окрестность просто Ук1. При этом Хк1 (д) = с1 для всех д Є Ук1, где с1 — с, если Ук1 — У^, с1 — —с, если Ук1 — Ук1 -1 \ У^. Отметим также, что поскольку с1 — 0, то либо Ие с1 — 0, либо 1т с1 — 0. Пусть для определенности Ие с1 — а1, а1 > 0.

Если бы при всех к > к1 на Ук1 имело место тождество Хк(д) = 0, то ряд (7) не сходился бы к нулю на Ук1, что противоречит условию теоремы. Поэтому существует наименьший индекс к2 (к2 > к1), такой что (Хк2) ф 0 на Ук1, но тогда Ие(Хк2(д)) = а2, а2 > 0, на некоторой окрестности Ук2 С Ук1 .

Продолжая это рассуждение, найдем последовательность вложенных окрестностей Ук1 э Ук2 Э

Э ... Э Укр Э ..., имеющих в пересечении точку до, в которой действительная часть ряда (7) равна а1 + а2 + ■ ■ ■ + ар + ■ ■ ■ > 0. Но это невозможно, так как до Є Е. Теорема доказана.

Теорема 3 является окончательной в том смысле, что если рассмотреть индексное множество хотя бы без одного какого-либо элемента, то теорема будет неверна.

Определение 2. Пусть Уп — некоторая окрестность ранга п. Возьмем любую точку д — (дк) Є УП. Точки (до, д1,..., дп—1, 1, 0,0,...) и (до ,д1 ,...,дп-1, 0,1,1,...) будем называть крайними точками окрестности Уп.

В дальнейшем будем обозначать N — N и {0}.

Теорема 4. Для любого непустого множества I с ^, такого что множество N\І счетно, существует множество Е с Ъ2, такое что

1) его индексное множество совпадает с указанным множеством I,

2) для любого фиксированного кг Є I найдется ряд вида (7), такой что Хк.+1 — 0,Хо ф 0 и Хк+1 ф 0 для всех к Є I, к — кг, и который сходится к нулю всюду на Ъ2 \ Е, расходится во всех точках множества Е, и при этом неверно, что все остальные Хк (д) ф 0.

3) найдется ряд вида (7), такой что Хо — 0 и Хк+1 ф 0 для всех к Є I, и который сходится к нулю всюду на Ъ2 \ Е, расходится во всех точках множества Е, и при этом неверно, что все остальные Хк (д) ф 0.

Доказательство. Доказательство проведем для счетного множества I. Случай, когда I конечно рассматривается аналогично.

1) Пусть нам дано счетное множество I — {к1,..., кр,... } С N, такое что множество ^\! счетно, и пусть к1 < к2 < .... Будем строить множество Е, для которого множество I будет индексным множеством. Представим группу Ъ2 в виде объединения окрестностей ранга к1: Ъ2 — У Ук1, где к1 — наименьший элемент из множества I. Выберем одну такую окрестность Ук1, отметим ее крайние точки и включим их в множество Е. Представим Ук1 в виде дизъюнктного объединения окрестностей Ук2: Ук1 — и Ук2. В тех окрестностях Ук2, которые уже содержат точку из Е, отметим оставшиеся крайние точки и включим их в Е. Продолжая этот процесс, мы получим множество Е — {£1,£2,... ,£2Р,... } такое, что его индексное множество совпадает с данным I — {к1,..., кр,... }.

2) Выберем теперь произвольное к7- Є I и зафиксируем его. Пусть Хо ф 0, Хк+1 ф 0 для всех к Є I, к — к7-. Построим такой ряд вида (7), который будет сходиться всюду на Ъ2 \ Е, расходиться во всех точках множества Е и для которого Хк +1 — °.

Положим Хк ф 0 для к — 0,..., к7-.

Шаг 1. Представим группу Ъ2 в виде объединения окрестностей ранга к7-, т.е. Ъ2 — У У^.. По построению, среди них есть 27-1 окрестностей, которые содержат точки из Е. Обозначим их У^ а), а Є J.

Построим Хк.+1 (д) так, чтобы Хк.+1 (д) — 0 вне У У^ а), и при этом Хк.+1 (д) ф а, если д Є У^ 2_а-|_ 1),

а £ 3

Хк4+1(д) = —а, если д е У.*!, где а — некоторое комплексное число не равное нулю. В этом случае,

Шаг 2. Представим заданное множество / в следующем виде:

/ = {Къ К1 + 1, • • •, К1 + т1 — 1, К2, • • •, К2 + т2 — 1, • • •, Кр, • • •, Кр + тр — 1, • •. },

где Кг + тг < Кг+1 для всех I > 1.

Таким образом, мы множество / разбиваем на пачки последовательно идущих элементов. При таком разбиении окажется, что для каждого I > 1 число тг есть количество элементов в 1-й пачке.

Тогда в новом представлении множества / указанное будет иметь вид Кг + г, где

I > 1,0 < г < тг — фиксированные числа. Тогда ХКг+г+1 = X.+1 и Бк, +г+1 = Б+1.

Рассмотрим два случая: А) г = тг — 1, В) г < тг — 1.

А) Пусть г = тг — 1, тогда к будет иметь вид Кг +тг — 1. Представим рассматриваемые окрестности

У. в виде дизъюнктного объединения двух окрестностей У.+1. Так как + 1 = Кг + тг е /, то для каждой такой окрестности У.+1 только одна окрестность У. +2 с У.+1 содержит точки из Е. Поэтому X. +2(д) = Хк,+т,+1 (д) будем строить так, чтобы

В) Пусть г < тг — 1. Тогда положим Хк, +г+2 = 0, •••,Хк,+т, = 0, а значит и Бк, +г+2 = ••• • •• = Бк, +т, = БКг+г+1. Представим рассматриваемые окрестности Ук,+Г в виде дизъюнктного объединения окрестностей Ук,+т,. Так как Кг + тг е /, то для каждой такой окрестности Ук,+т, только одна окрестность Ук, +т,+1 с Ук, +т, содержит точки из Е. Поэтому Хк, +т,+1(д) будем строить так, чтобы

Шаг 3. Поскольку Кг + тг < Кг+1, то Кг+1 = Кг + тг + гг, где гг > 1. Обозначим

Кг + тг + Л, (1 < Л, < гг) как Нг. Строим ХНг+1 (д), так чтобы

0,

ХКг+тг + 1 (д) — Бк, +тг (д),

— Бкг+тг (д),

если Бк, +шг (д) = 0,

если д е Ук, +т,+1 и Ук, +т,+1 П Е = 0, если д е Ук, +т,+1 и Ук, +ш,+1П Е = 0^

Таким образом,

К; +т;+1

2|а|, если д е Ук, +т,+1 и Ук, +т,+1 ПЕ = 0, 0, если д е Ук, +т,+1 и Ук +т,+1 П Е = 0^

|^кг +тг+1(д)| — ^ Хк (д)

0,

ХКг+тг + 1 (д) — < Б^г +т; (д)

— £кг+тг (д),

если Бк, +т, (д) = 0,

если д е УК, +т,+1 и Ук, +т,+1 П Е = 0, если д е УК, +т,+1 и Ук, +т,+1 П Е = 0^

Таким образом,

2|а|, если д е УК, +т,+1 и Ук, +т,+1 ПЕ = 0, 0, если д е Ук, +т, +1 и Ук, +т, + 1 П Е = 0-

0, если Бн, (д) = 0,

Хн,+1 (д) = < Бн, (д), если д е УН,+1 и Ун,+1 П Е = 0,

—Бн,(д), если д е Ун,+1 и Ун,+1р| Е = 0^

Тогда

если д е Ун,+1 и Ун,+1 П Е = 0, если д е Ун,+1 и Ун,+1 П Е = 0^

Шаг 4. Повторяя рассуждения, аналогичные рассуждениям в пункте В) шага 2 и в шаге 3, получаем при д > I

|sk„+1 (g)| =

Kq

£ Xk (g)

k=0

'2Kq+i-Ki-(тг+...+Ш,) |a|, если g є Vk9+1 и VKq+^E = 0,

0,

если g є Vk

VK,+^ E = 0.

Видно, что полученный таким образом ряд вида (7) сходится к нулю всюду на Ъ2 вне Е и расходится во всех точках множества Е.

В случае конечного множества I, когда все кг исчерпаны, дальнейшие шаги описываются следующим образом.

Пусть кг е I и для любого ] е N кг + ^ е I, тогда полагаем

Xki

+j+i

(g) =

0, если Ski (g)=0,

— Sk; +j (g)5 если g є Vk;+j + 1 и Vk;+j + 1 П E = 0

Sk,+j (g), ЄСЛи g Є Vk,+j+1 и Vk,+j + ^ E = 0.

ki +j + 1

E Xk (g)

k=0

Аналогично 2) доказывается 3).

При этом |Ski +j+1 (g)| =

2j | Ski I, если g є Vk, +j+1 и Vkj+j+1 П E = 0, 0, если g є Vk, +j+1 и Vk,+j+^ E = 0.

Работа поддержана грантом Президента РФ для государственной поддержки коллективов ведущих научных школ (проект НШ-2970.2008.1).

Библиографический список

1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубин- 2. Морева Н.С. О единстенности кратных рядов Уолша

для сходимости по двоичным кубам // Мат. заметки.

штейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: Элм, 1981.

2007. Т. 81(4). С. 586-598.

УДК 517.5

ОБ АСИМПТОТИКЕ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА, ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА РАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ

Э.Ш. Султанов

Дагестанский научный центр РАН, Махачкала Отдел математики и информатики E-mail: [email protected]

В настоящей работе исследуются асимптотические свойства полиномов Чебышева Tn(x, N) (0 < n < N — 1), ортогональных на равномерной сетке = {0,1,..., N — 1} с постоянным весом ^(x) = N (дискретный аналог полиномов Лежандра) при n = O(N1), N ^ то. Установлена асимптотическая формула, связывающая полиномы Tn(x, N) с полиномами Лежандра Pn(t) для x = N (1 +t) — 1, для остаточного члена которой получена равномерная относительно t е [—1,1] оценка, которая, в свою очередь, позволяет доказать неулучшаемую весовую оценку для полиномов Чебышева Tn(x, N).

About Asymptotics of Chebyshev Polynomials Orthogonal on an Uniform Net

E.Sh. Sultanov

Dagestan Center of Science RAN,

Department of Mathematics and Informatics E-mail: [email protected]

In this article asymptotic properties of the Chebyshev polynomials T„ (x,N) (0 < n < N - 1) orthogonal on an uniform net Qn = {0,1,..., N - 1} with the constant weight ^(x) = N (discrete analog of the Legendre polynomials) by n = O(N2), N —— to were researched. The asymptotic formula that is relating polynomials Tn(x,N) with Legendre polynomials Pn(t) for x = NN (1 + t) - 2 was determined. The uniform estimation of remainder term of the formula relative to t e [—1,1], that in turn allows to prove unimprovable estimation of Chebyshev polynomials T„(x, N), was obtained.

Ключевые слова: ортогональные многочлены, асимптотика. Key words: orthogonal polynomials, asymptotics.

и

© Э.Ш. Султанов, 2009