Об одном обобщении неравенство Бора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проблемы анализа Issues of Analysis

Том 2(20), №2, 2013 Vol. 2(20), No. 2, 2013

УДК 517

Б. Ф. Иванов

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ НЕРАВЕНСТВА БОРА

Аннотация. Пусть р Е (1,2], п > 1, Б С Яп и Г(Б,р) — множество всех тех функций, ^(1) Е Ьр(Кп), носитель преобразования Фурье которых лежит в Б. В работе получены условия выполнения неравенства

где t = (ti ,t2,tn) £ Rn, Et = {t | T = (ti ,T2,... ,Tn) £ Rn, Tj £ [0,tj], если tj > 0 и Tj £ (tj, 0], если tj < 0, 1 < j <

< n}, y(t) £ T(S,p) и константа C не зависит от y(t)■ Также рассмотрены некоторые условия выполнения неравенства на нетривиальных подмножествах T(S,p) в случаях, когда оно не выполняется на всем T(S,p).

Ключевые слова: неравенство Бора.

2010 Mathematical Subject Classification: 26D99.

Пусть Л > 0 и Р (Л) — множество всевозможных конечных тригонометрических сумм вида:

показатели Фурье которых удовлетворяют условию

Введение

n

p(t) =Y1 PmeiXmt

© Иванов Б. Ф., 2013

В апрельском номере журнала [1] за 1935 г. Х. Бор анонсировал, а позднее в том же году опубликовал в [2] для таких сумм р(Ь) доказательство неравенства, названного впоследствии ([4] и др.) неравенством Бора:

п

\рШ < 2Л ИФСОМИь- (Д1) , р(ь) £ Р(Л)-

Далее Ж. Фавар [3] обобщил это неравенство на случай /(Ь) — непрерывных, периодических, а позже — в [4] — равномерных почти периодических функций (т. е. почти периодических функций Бора). В 1937 г. Б. М. Левитан [5] усилил результат Фавара, распространив неравенство на более широкий класс функций, производные которых ограничены, измеримы и удовлетворяют некоторому дополнительному ограничению. В 1954 г. Л.Хермандер [6] обобщил результат Левитана. Согласно [6], вместо дополнительного ограничения Левитана достаточно потребовать, чтобы носитель преобразования Фурье функции /(Ь) не содержал интервал (-Л, Л).

Впоследствии обобщение неравенства Бора продолжалось разными авторами: [7-10]; фактически один из вариантов обобщения неравенства Бора содержится в работе [11]; свое доказательство для почти периодического случая, но без точной оценки константы дано в [12].

В настоящей статье, в отличие от работ перечисленных выше авторов, неравенство Бора в форме оценки интеграла от функции через норму самой этой функции распространено на некоторые классы функций из Ьр(Яп), п > 1, р £ (1, 2], и при этом точки носителя преобразования Фурье функций из этих классов могут иметь нулевые координаты. Такого рода неравенство, но только для функций, носители преобразования Фурье которых отделены от нуля, существенным образом использовалось автором при п = 1 для построения частотного критерия ограниченности и гладкости в смысле Фреше по параметрам решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений [13,14].

Пусть р > 1, п > 1, Б С Яп и Г(Б,р) — множество всех тех функций 'у(Ь) £ Ьр(Яп), носитель преобразования Фурье которых лежит в Б. Для каждого Ь = (Ь\,Ь2,..., Ьп) £ Ип обозначим

Е = {т \ т = (п, т2,... , тп) £ Яп, т3 £ [0, ], если tj > 0, и £ (tj, 0],

если tj < 0, 1 < ] < п}.

В настоящей работе устанавливаются условия выполнения неравенства

7(т)йт

Е*

< с ||7(т) Иь^Я"-),

(0.1)

Ь^(Пп)

где 7(Ь) принадлежит Г(Б,р) или, если (0.1) не выполняется на всем Г(Б,р), то — специально построенному нетривиальному подмножеству множества Г(Б,р), а константа С не зависит от выбора 7(т) из Г(Б,р) или, соответственно, его подмножества.

Если р £ (1, 2], то, согласно основному утверждению настоящей работы, содержащемуся в теореме 2.1, для выполнения неравенства (0.1) достаточно при некоторых дополнительных предположениях относительно Б, чтобы функция

* (А’Ь) = 1^

Ку,Ъ)

Я"

П

1

■ (y)dy

удовлетворяла условию

К (Б, Ь) £ (Яп),

(0.2)

где + — = 1, у = (у1, у2,..., Уп) и Ся(у) — характеристическая

Р Я

функция множества Б. Если же р = 2, то (теорема 2.2) при тех же предположениях относительно Б условие (0.2) является необходимым и достаточным для выполнения (0.1). В случае, когда (0.2) не выполняется, в пространстве Г(Б,р) можно (теоремы 3.0-3.2) выделить нетривиальные подмножества, на которых (0.1) выполняется с константой С, не зависящей от функции 7 (т), выбранной из соответствующего подмножества. Отметим, что если р =1, то неравенство (0.1), очевидно, выполняется при любом Б С Яп.

Работа состоит из введения и трех параграфов. Первый носит вспомогательный характер. Он начинается с выбора формы записи преобразования Фурье и сводки (с учетом введенных обозначений) ряда известных теорем и формул. Далее доказываются леммы 1.0—1.2, характеризующие строение множества Б С Яп, удовлетворяющего некоторому (определение 1.1) условию N).

п

е

Во втором параграфе доказывается (теорема 2.0), что если р £ £ (1, 2], то условие

8ир ||К(Б,г,г)\\Ь9(ип) < +го, геяп

(0.3)

11

где - + - = 1, Р Я

К(Б^,т) = ( 2^

Лу,т )

ип

П

т=1

гуг,

& (y)dy,

У = (у1 ,У2 ,•••, Уп), t = (11,Ь2 ,••• , ), является достаточным для вы-

полнения (0.1) при любом 7(т) € Г(Б, р); если же р = 2, то — необходимым и достаточным. Далее доказывается упоминавшаяся выше теорема 2.1 и устанавливается (следствие 2.1.1), что при п = 1 и выполнении (0.2) существуют всевозможные несобственные интегралы от функций 7(т) € Г(Б, р). Согласно теореме 2.2, условие (0.2) при р = 2 является необходимым и достаточным для выполнения (0.1) при 7(т) € Г(Б,р). Если р = 2 и п =1, то, по следствию 2.2.1, множество Г(Б, 2), на котором выполняется (0.2), целиком состоит из функций, для которых существуют всевозможные несобственные интегралы. Завершает второй параграф теорема 2.3, в которой утверждается, что, если Б С Яп отделено от каждой из п координатных гиперплоскостей на расстояние ет > 0, 1 < т < п соответственно, то

7 (т)йт

<

С

22

Ь™ (Пп)

п

\ш=1

1/я

||7(т )\\ьр (ип), - + - = 1,

4 ' р д

где С22 > 0 не зависит от 7(т) £ Г(Б, р). Это неравенство, представляющее собой при п = 1 прямое обобщение неравенства Бора (замечание 2.2), использовалось автором в работах [13,14].

Пусть Б С Яп произвольное множество, БПЕ = 0, где Е — объединение координатных гиперплоскостей, и не выполняются достаточные условия, сформулированные в теоремах 2.0-2.1, тогда неравенство (0.1) может не выполняться, например из-за наличия в Г(Б, р) функций с неограниченными интегралами. В теоремах 3.0-3.2 из третьего

п

т

параграфа рассмотрен вопрос о выполнении неравенства (0.1) на некоторых нетривиальных подмножествах Г(Б, р), таких, что неравенство сохраняется и при некоторых малых возмущениях функции 7(т).

Помимо перечисленных утверждений, работа содержит и некоторые другие результаты, а также примеры. Утверждения, полученные в настоящей работе, позволяют усилить результаты по ограниченности и гладкости по параметрам в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также расширить область применения построенного автором частотного критерия.

§1. Некоторые обозначения и вспомогательные утверждения

Пусть п > 1 и п(Ь) £ Ь1 (Яп). Как и в [15, с. 77] будем обозначать преобразование Фурье функции п(Ь) £ Ь1(Яп) через П(у), где у £ Яп, но, следуя [16, с. 425], выберем П(у) в виде

П(у) = J е~г(у,^п(1)д;Ь. ип

Обратное преобразование Фурье функции у(у) £ Ь1(Яп), опять-таки следуя [15, с. 77], будем обозначать через Ъ(Ь), £ £ Яп, где Ъ(Ь), согласно [16, с. 427], имеет вид

щ = (2П) / е1{у'г)у(у)лу-ип

Пусть п > 1 и р £ (0, 2], тогда [17, с. 128], если 7(£) £ Ьр(Яп), то существует 7(у) £ Ья(Яп), —|— = 1. Будем обозначать через Нр

рд

константу из неравенства Хаусдорфа-Юнга

||7(у)11ь(ип) < Нр\\1 (£)\\ьр(ип), р + - = 1-

Если п > 1, р £ (1,2], а(т) £ Ьр (Яп), в (у) £ Ьр(Яп) и 7(т) £ £ Ь2 (Яп), то в силу введенных обозначений

{а(у)в (у)} ~(т) = а(т) * в(т) (1-1)

и

J а(У)в(У)йу = (2п)п J а(т) /3(т)йт,

Дп Дп

( 1 \п/2

117(т)1Ь2(Д") = ( 2^ / 117(У)1^2(Д")•

Построим две вспомогательные функции. Выберем произвольное 5 > 0 и обозначим через ш(5, Ь) такую функцию, преобразование Фурье которой имеет вид:

^(5, У) = 52 £[-&/2,8/2] (У) * £[-5/2,5/2] (У), (12)

где £м (у) — характеристическая функция множества М С Я1 • Тогда, согласно (1.2):

J ^(5,у)Лу = 1

д1

^(5,у) Л 52(5 — |у|) при |у|< 5 (13)

I ° при Ы > 5

Пусть а,Ь Е Я1, а < Ь и число 5 > 0 столь мало, что а + 5 < Ь — $• Обозначим через 0([а, Ь],5, Ь) такую функцию, преобразование Фурье которой имеет вид:

О([а,Ь],5,у) = £[а)Ь](у) * и!(6,у)^ (14)

Тогда

0 < О ([а, Ь],5,у) < 1 ^

0([а,Ь],5,У) = 0, У Е (а — 5,Ь + 5) I (1 5)

О ([а, Ь], 5, у) = 1, у Е [а + 5, Ь — 5]

о([а, ь], 5, Ь) Е Ьр(Я1), при любом р > 1J

Теперь рассмотрим некоторые утверждения о множестве Б С Яп при п > 1, параметре р > 1 и множестве Г(Б, р), являющимся нормированным подпространством пространства Ьр(Яп )•

Определение 1.1. Будем говорить, что множество Б С Яп, п > 1,

Б = 0 удовлетворяет условию N), если для каждой точки Уо Е Б

можно указать такую функцию 70(т) Е Г(Б,р), что у0 Е впрр 70 (у)

Таким образом, если Б удовлетворяет условию (Ы), то Г(Б, р) = 0• Ясно, что функция 70 (Ь) из определения (1.1) не может равняться нулю для почти всех Ь Е Яп, так как в противном случае 70 (у) = 0 для у Е Яп • Но тогда впрр 70(у) = 0, и условие у0 Е впрр 70 (у) не выполняется.

Пример 1.1. Если Б С Яп открыто, Б = 0, то оно удовлетворяет условию (Ы)•

Действительно, для любой точки у0 = (у01,у02, • • • ,у0п) Е Б в качестве 70 (Ь) можно взять функцию

П

ф(Ь) = <р(*1,*2, •••,Ьп) = П 0([у0й — 25, Уок + Щ,5,гк),

к=1

поскольку ^(Ь) Е Ьр(Яп) при любом р > 1 и при 5 > 0 достаточно малом у0 Е впрр 70 (у) С Б•

Лемма 1.0. Пусть р > 1, п > 1, Б С Яп — произвольное множество, удовлетворяющее условию (Ы), и для любой функции 7 (т) Е Г( Б, р) выполняется (0.1). Тогда Б = Яп •

Доказательство. Пусть р > 1, п > 1 и, вопреки утверждению леммы, Б = Яп • Рассмотрим вспомогательную функцию

7(т) = П

п . 2

йШ Тк

к=1

тк

Е Ьр(Яп) =Г(Яп,р),

где т = (т1 ,т2^„,тк), впрр 70(У) = {у 1 у = (У1 ,У2 ^••/Уп), \ук1 < 2, 1 < к < п} С Яп• Так как Ц7(Ь)\\ьр(Яп) < +ж и

Г п

/ 7(т)йт =п

и Еь к=1

81П2 тк

тк

Лтк

— ж,

при Ш1П \Ьк I — +ж, то невозможно указать константу С, обеспечи-

1<к<п

вающую выполнение неравенства (0.1). □

Пусть а = (а1, а2, • • •, ап), Ь = (Ь1,Ь2, • • •, Ьп), ак < Ьк, 1 < к < п и П[а,Ь] = {у I у = (у1,у2, • • • ,Уп), ак < ук < Ьк, 1 < к < п}•

к

Выберем произвольный вектор 8 = (8і, 82,. . . , 8к) с положительными, но столь малыми координатами, что ак + 8к < Ьк — 8к, 1 < к < п, и обозначим

П

О(П[а,Ь],8,і) = Д 0([ак,Ьк],8к,*к), к=1

где і = (іі ,І2, . . .,іп).

Лемма 1.1. Пусть п > 1, є = (єі, Є2, • • •, єп) — произвольный вектор с положительными координатами, 1 < р < 2, 7(і) Є Ьр(Яп), и у о Є Є впрр 7 (у) — произвольная точка. Тогда

тевп {(П[уо — є, уо + є]) П впрр 7 (у)} > 0.

Доказательство. Допустим вопреки утверждению леммы, что существует вектор є = (єі,Є2,... ,єп), для которого

тевп{(П[уо — є, уо + є]) П впрр 7(у)} = 0.

Рассмотрим функцию К(і) = 7(і)*О І П

22

уо — з є, уо + з є

, 3 єд

Так как О ( П

и,

22

у0 — з є, у0 +3 є

, 1 є, і) Є Ь1 (Яп), то Н(і) Є Ь (Яп)

следовательно, Н(у) Е Ья (Яп), —|— = 1.

р д

Найдем впрр Н(у). По построению функции Н(Ь) и определению О(П[а, Ь], 5, £):

впрр Н(у) С {П[уо - е,уо + е]} П впрр 7(у),

так что в силу исходного предположения тевп впрр Н(у) = 0.

Пусть Б(Лта) — пространство основных функций [15, с. 73], т. е. пространство бесконечно дифференцируемых функций, быстро убывающих на бесконечности. Для любой основной функции р(г) Е Б(Яп) имеем:

J J ^уЖу^у =

Пп Пп

2^ J Ку)ф(у)йу = °.

вирр Н(у)

Следовательно, к(Ь) = 0 для п. в. t Е Яп. Но тогда к (у) = 0 и впрр к (у) = 0, т. е. уо Е впрр к(у), что противоречит условию леммы. □

Лемма 1.2. Пусть р Е (1, 2], п > 1, Б = 0, Б С Яп измеримо и удовлетворяет условию (Ы). Тогда шевпБ > 0.

Доказательство. Выберем произвольную точку уо Е Б. В силу условия (Ы), для этой точки уо Е Б можно указать функцию 70 (т) Е Е Г(Б, р) такую, что у0 Е впрр 70 (у) ^ Б. Выберем произвольный вектор е Е Яп с положительными координатами. Тогда по лемме 1.1: тевпБ > шевп{(П[уо - е, уо + е]) П Б} > тевп{(П[уо - е, уо + е]) П П впрр 7о(у)} > 0. □

Замечание 1.1. Учитывая результат леммы 1.2, в дальнейшем при рассмотрении измеримых множеств Б, удовлетворяющих условию (Ы), мы будем дополнительно предполагать, что шевпБ > 0.

§2. Условия выполнения (0.1) при 7(1) Е гее, р)

Пусть п > 1, Б С Яп, шевпБ > 0 и т Е Яп. Так как по определению

1 _ е—^Ук*к

К(Б,і,т)=(2-) М1'" 1

п

Яп

п

где у = (уі, у2,..., уп) и і = (іі,і2, • • •, іп), то, согласно обозначениям из параграфа 1:

К (Б,і,у) =

& (у)

для п. в. у Е Яп. Легко видеть, что при каждом і Е Яп и г Е (1, +то] функция К(Б,і, ■) Е Ьт(Яп), и, если г Е (1, 2], то в силу теоремы

Хаусдорфа - Юнга функция К (Б,і, ■) Е Ьт (Яп), где Г = г/(г — 1) Е

Е [2, +то).

Для каждой точки і = (іі,І2, • • • ,іп) Е Яп будем обозначать через п(і) число ее отрицательных координат. Тогда в соответствии с определением множества Ег для любой функции 7(і) Е Ьр(Яп) получаем:

(—1)п(і) ! 7 (т )йт = J ■■■ ! 7 (ті ^••,Гп)^1 • ••йтп•

Ег 0 0

Лемма 2.0. Пусть р Е (1, 2], п > 1, Б С Яп и тевпБ > 0. Тогда при каждом Ь Е Яп имеет место равенство

(-1Гиу 7(т)Лт = у К (Б,г,т) 7(г) Е г(Б,р). (2-1)

Ег Кп

Доказательство. Так как р Е (1, 2], то [17, с. 128] для любой функции 7(Ь) Е Г(Б,р) С Ьр(Яп) существует

1(У) = у е г(у’

Кп

и

где

Пт ||7(т) - 7(т, Я)\\ЬР) = °,

7(т,я)^2^^ j тег(у’т)лу.

\\у\\<к

Пусть Ь = (^1,^2) Е Яп — произвольная точка, не имеющая нулевых координат. Сделав в случае необходимости замену переменных, можно без ограничения общности полагать, что Ьт > 0, т = 1, 2,..., п. Выберем произвольное е > 0 и обозначим через Яо такое число, что

117(т) - 7(т,Яо)\ьр(яп) < е.

Тогда

! 7(т)Лт = J 7(т, Яо)Лт + J[7(т) - 7(т, Яо)]Лт.

Ег Ег Ег

Рассмотрим каждое слагаемое из правой части этого равенства. Имеем:

[7(т) - Y(т, Яо)]Лт

Ег

< ||7(т) - 7(т,Яо)Цьг(п.п) ■ {тввп Ег)1/я

и

J 7(т, Яо)Лт = J

Ег Ег

1

2^

7(уК<у’т > Лу

|у||<Ко

Лт =

п

2п

1(У)

|у||<До

г(у,т )Л,

Т

Ег

Ау =

1

2п

. П еіут~^т _______ 1

7Ы П ----------------“--------- Ї АУ’

|у||<До

. т=1

гУг

где у = (У1 ,У2,. . . ,Уп).

Переходя к пределу при Яо ^ +то, получим:

7(г)Лт = ( 2п

п

т=1

оіут^т ____ 1

іут,

7(У)АУ-

Ег Д"

Так как впрр 7(у) С Б для любой функции 7(т) Є Г(Б,р), то

7(т)Ат = ( 2П

Е+

Д"

П

.т=1

оіут^т ___ 1

іут

& (У)7(У)АУ =

2п

Д"

П

т=1

Є іут ^т _______ 1

гуг,

&(У) • 7(У)АУ =

= ( 2П і <к(б,і,у) 7(у)ау>

(2.2)

Д"

откуда в силу теоремы Планшереля и следует утверждение леммы:

1

— ) І к(Б,і,у) 7(У)АУ = І к(Б,і,т) 7(т)Ат-

Д"

Д"

□

Обозначим через

/ 7(т)Ат

Ег

С(Б,Р) = йиР и ( )ц

7 (т )ЄГ(ЗД ІІ7(т ЛІЬр (Д")

(2.3)

П

1

е

П

п

П

П

1

П

П

наименьшую из констант C, при которой для любого y(т) Е T(S,p) выполняется неравенство (0.1).

Теорема 2.0. Пусть p Е (1, 2], n > 1, S С Rn и mesnS > 0. Тогда:

1) если выполнено условие (0.3):

sup \\K(S, t, т)||Lq< +ro, 1 + 1 = 1,

teRn p q

то справедливо неравенство (0.1):

Y (т)dT

Et

< C(S,P) IIY(t)\\lp(Rn), Y(т) Е r(S,P)>

Lx‘(Rn)

где

C(S,p) < sup \\K(S,t,T)\\Lq(Rn);

te Rn

2) если же р = 2, то условие (0.3):

эир \\К(Б,г,т)\\Ь2(Й„) < геяп

является необходимым и достаточным для выполнения неравенства (0.1):

y(t)dT

Et

< C(S, 2) \\Y(T)\\L2(Rn), Y(т) Е r(S,p),

L'x(Rn)

где

C(S, 2)= sup \\K(S, t, т) ||l2(Rn).

te Rn

Доказательство. 1) Если выполнено (0.3), то при каждом t Е Rn

Y (т)dT

Et

< \\K (S,t, OIL (Rn) • |y(t )\\lp (Rn);

откуда следует первое утверждение теоремы, поскольку С(Б,р) — наименьшая константа при оценке модуля интеграла через норму подин-тегральной функции.

2) Пусть p = 2 и выполнено неравенство (0.1) с константой C =

= C(S, З) :

Y (т)dт

Et

К C(S, З) Iy(т)Il2(Rn).

Тогда по тереме Планшереля

Y (т)dт

Et

/2

L2(Rn).

L'x(Rn)

Но, согласно (2.2),

(-i)n(t) f Y(T)dT =1^1 / K(S,t,y) Y(V)dV

Et

І

Зп

Rn

для любой функции Y(y) Е L2(S). Следовательно,

Зп

/2

K(S,t, ■) К C(S, З),

L2 (S)

а так как

IK (S, t, -)|L2(Rn) =

Зп

/2

K (S,t, ■)

L2(S)

и константа C(S, 2) по определению минимальная, то sup \\K(S,t,T) ||l2(Rn) = C(S, 2).

te Rn

Теорема доказана. □

Продолжим рассмотрение достаточных условий выполнения неравенства (0.1). Пусть е = (ei, £2,... , en) — произвольный вектор с поло-

П

жительными координатами и Q(e) = U {y | y = (yi,У2^-^УпХ \yk\ <

k=1

< £k}. Множество Q(e) представляет собой замкнутую окрестность

І

І

системы координатных гиперплоскостей Е = и {у \ у = (У1 ,У2 ,---,Уп)

Ук = °}-

Так как р Е (1, 2], то

П

.т—1

к=1

Щг

Сз(у) Е ьр(Яп \ д(е))

и, следовательно,

1 " 2п

Аут )

Кп\Я(е)

П

1 гуг

Сз(у)Лу Е Ь(Яп).

По определению, условие (0.2) будем понимать в том смысле, что существует функция К(Б,т) Е Ь (Яп), для которой

Пт

|е||-> о

К (Б,т) -( 2П

г(у,т)

Кп\Я(е)

П

г =1

1

гуг

= 0.

Теорема 2.1. Пусть п > 1, Ь Е Яп, Б С Яп, тввпБ > 0 и р Е (1, 2]. Тогда, если выполняется условие (0.2):

К (Б, т) Е Ь (Яп), 1 + 1 = 1,

р Я

то для интеграла от любой функции ^(т) Е Г(Б, р) имеет место равенство:

(—1)n(t)J ^(т)Лт = J К(Б,т) 7(т)Лт-

Ег Кп

п р

- У~] К (Б,..., та - Ьа ,■■■) 7 (т )Лт+

а-К

п р

+ К (Б,..., та - Ьа,...,тъ - Ьь,...) 7 (т )Лт + ... +

а,Ъ-1

а<Ъ

Кп

1

1

п

е

+(_1)п К ^,Г1 _ _ іп) 7(т)Лт,

(2.4)

Пп

где Т = (ті ,Т2,---,Тп), І = (^1,^2, ■ ■ ■ и выполняется неравен-

ство (0-1):

7(т)Лт

Ег

< С(Б,р) ||7(т)\\Ьр(йп)

при

Ь™(Пп)

С(ЗД < 2П\\К($,т)\|„(Дп).

(2.5)

Замечание 2.1. Ясно, что (0.2) выполняется, если

1

П

1 гУг,

& (у) є (Яп).

Доказательство теоремы 2.1 Пусть р Є (1, 2], 7(т) Є Г(Б,р), і = = (іі, І2,) — произвольная точка, є = (єі, Є2,, єп) — произвольный вектор с положительными координатами и у = (уі, у2,, уп). Согласно (2.1):

(_1)п(ь) J ^(т)Лт = J К(Б,Ь,т) 7(т)Лт =

Ег Пп

1 (ТНІ Ь

Пп

Ку,т )

Пп

П

к=1

1 — е іук ~^к

їУк

& (у)лу >Лт =

= 7 (т )'

Пп

— Ііт

2п / ІМІ^о

^{ут )

Пп\Я(є)

П

к=1

1 — е іук ~^к

їУк

&(у)ЛуЛт, (2.6)

п

е

п

где в силу (0.2):

Пт ( —

|е||->о V 2п

г(у,т)

Пп\Я(е)

= Пт < —

||е||-ю |\ 2п

П

к-1

Ау,т )

1 _ е-гукtk

гук

Пп\Я(е)

П

|_к=1

гук

& (у^у-

£

а-1

2п

Ау,т )

Пп \1(е)

П

к - 1 к-а

гук

е гуа ~^а

Ща

& (У)dУ+

+ Е,(Й I

а,Ъ -1 Пп\Ке)

а < Ъ

п

к - 1 к - а Ъ

гук

е гуа^а е гуЬ~^Ъ

гуа гуЪ

& (у^у+

+ - + (-:1)п( 2П

=г(у > т)

Ип\1(е)

П

к-1

е гук^к

гук

= К(Б,т) ^ ] К^, ... ,та - ta, . . .) +

а-1

п

+ ^ ] К (Б,...,та - Ьа, . . . ,тЪ - tъ, . . .) + ... +

а, Ъ - 1 а < Ъ

+ (-1)пК(Б,т1 - Ь1, ... ,тп - Ьп). (2.7)

При любом Ь Е Яп каждое слагаемое, стоящее в правой части (2.7), принадлежит Ь (Яп). Поэтому в равенстве (2.6) можно перейти к сумме интегралов, что и дает (2.4). Из (2.4) получаем:

7 (т)dт

Ег

< 2п||К (б,ь)\\ья (Дп) 117 (т )\\ьр (Rn),

Ь™ )

и тогда из (2.3), очевидно, следует (2.5). □

п

е

п

1

п

1

1

1

п

Следствие 2.1.1. Пусть п = 1, Б С Я1, шее Б > 0, р Е (1,2] и выполняется условие (0.2). Тогда для любой функции 7(т) Е Г(Б, р) :

1) / 7(т)dт = - 7(т)dт, (2.8)

2)

7 (т)Лт

о

< \\К ЙТ^Іі, (Д1) • Вт МЦр^) ,

(2.9)

причем если р =2, то оценка

7 (т)Лт

< \К($,т)\і2(Я1) • \І7(т)\і2(П1)

(2.10)

точная.

Доказательство. 1) Выберем произвольную функцию 7(т) Е Г(Б, р). При п = 1 из (2.4) получаем:

7(т)Лт = Ііт / 7(т)Лт =

і Ііт \ I К(Б,т) 7(т)Лт _ I К(Б,т _ і) 7(т)Лт

П1

Покажем, что

Ііт

К(Б,т _ і) 7(т)Лт

П1

= 0.

Действительно, для любого е > 0 можно указать такие Т, Ьо > 0, что:

£

ІІ7(т)Вьр(П1 \[-т,т]) < 2\К(Б,

Т Лі (П1)

и при і > і0

т

\\к (б,т _ ті, [-т, т] =

т

1Р(П1)

і

Тогда

К(Б,т _ і) 7(т)Лт

П1

т

У + у } К(Б,т _ і) 7(т)Лт

ІП1 \[-т,т ] -т

< \\К (Б, т _ і)І\і, (П1) ІІ7 (Т )\| 1Р(П1\[-т,т ]) +

+ ІІК(Б,т _ і)\\і,[-т,т] ІІ7(т)Вір(П1) < є-Следовательно,

у 7(т)dт = у К(Б,т) Y(т)dт.

о R1

Аналогично рассматривается и второй интеграл

<

(_1) у 7(т)Лт = ^ К(Б,т) 7(т)Лт.

о П1

Таким образом,

у 7(т)dт = (-1) у 7(т)dт = у К(Б,т) 7(т)dт. (2.11)

о о R1

2) Неравенство (2.9) очевидным образом следует из (0.2) и (2.11).

Покажем, что при р = 2 оценка (2.10) точная. В силу (0.2) для лю-

бой функции 7(т) Е Г(Б, 2) выполняется неравенство (0.1), поэтому, согласно (2.11),

К (Б, т) 7 (т)Лт

П1

Л

= / 7(т)Лт

и о

< С (Б, 2) |І7(т) ||і2(П1),

где

К (Б, т) 7 (т )Лт

П1

— К(Б,у) 7(У)лУ

П1

К (Б,у) 7(у)лу

и 11

||7 (т)1Ь2 ^) = ^2П |7(у) Нь2^1) = ^2П |7(у)|ь2(5),

поскольку впрр 7 (у) С Б.

Следовательно, для любой функции 7(у) Е Ь2(Б) выполняется неравенство:

К(Б У) 7(У)лУ

< v/2Пc(Б, 2) |І7(У) IIі2(з).

Так как оценка

К(Б У) 7(У)лУ

< 11К(Б,у)112(3) Нт(У)\і2(3)

точная, то

откуда

І\К(Б,у)|і2(3) < ^2жС(Б,2),

\/2п ||К(Б,т)Hь2(Rl) < (Б, 2).

Константа С (Б, 2) в неравенстве (0.1) минимальная, поэтому из (2.9):

С (Б, 2) <11К (Б,т )||ь2(№ ).

Таким образом, С (Б, 2) = ||К (Б, т )||ь2^1), и оценка (2.10) является точной. □

Прежде чем переходить к теореме 2.3, рассмотрим одно вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1. Пусть п > 1, Б С Яп, шевпБ > 0 и р =2, тогда НК (Б,т)||ь2^п) < тпд ^ НК (Б,Ь,т)\\ь2 (Rn ) .

Доказательство. Так как

П

к=1

1 _ е іукік іУк

2п

1 _ 008 Укік

к=1

Ук2

2

+ £

а,Ь=1

а<Ь

= 2п

п1

п ук

к=1 Ук к=а,Ь

п1

пі ^

к=1 У к а=1

п

к=1

к=а

Ук

008 у а ід

уа

008 у а іа 008 уьіь

Уа2

У22

+... + (_1)пП

к=1

008 Ук ік

Ук

то для любого вектора р = (р1, р2,..., рп) с положительными координатами имеем:

2п

Пп\Я(р)

п1 пУ2

к=1

& (У)ЛУ =

где

пп\д(р)

п

к=1

1 _ е іукік

гУк

Ся (У)ЛУ + Т (р,і),

Т(Р, і) = 2п Е /

а=1г> пЛ,

Пп\Я(р)

п

к=1

к=а

Ук2

008 Уаіа

------2 Ся (У)ЛУ_

Уа2

п г.

2п

~ Ї,_________1 V

аО\«(р)

п1

п 1

к =1 Ук к = а,Ь

008 Уаіа 008 У і

• 2 Ся (у)Лу+

Уа2

+ ... + (_1)п-12п

Пп\Я(р)

П

к=1

008 Ук ік

У2

У

Ся(У)ЛУ,

откуда

/ (п «»* <

Пп\Я(р)

(2.12)

<

Пп

П 1 _ е-ІУк ік

п

к=1

гУк

Ся (У)ЛУ + \Т (Р,і) \ =

1

2

1

п

2

2

К (Б, і, •)

і2(Пп)

+ \Т (р,і)\.

Для і = (і1 ,і2,... ,іп) обозначим т(і) = тіп \ік\. Имеем

1кп

Ііт

т(і) ——+^

Покажем, что

К (Б, і, у)

< 8ир

і2(Пп) іЄПп

К (Б, і, у)

і2 (Пп )

Ііт Т (р,і) = 0.

т(і) ——+^

Рассмотрим первое слагаемое из первой суммы, стоящей в правой части (2.12):

2п

Функция

Пп\Я(р)

п1

пі

к=1 Ук

п

к=2

1

Ук

008 У1і1 ( )

2 СЯ \У)^У.

У12

Ся (у) є ь1(яп \ я(р)).

Следовательно,

Ііт

і1—+^

008 У1 і1

пп\Я(р)

п1

ПІ

к=1 Ук

Ся (у)^,у = 0.

Аналогично устанавливается, что все слагаемые из правой части (2.12) стремятся к нулю при ш(Ь) ^ +то. Следовательно, для любого е > 0 можно указать такое шо = шо (р, е) > 0, что при ш(Ь) > шо будет выполняться неравенство

Пп\Я(р)

п1

к=1 Ук

Ся(у)^,у < К(Б,і,у)

і2 (Пп )

+ є,

откуда следует, что для любого вектора р є Яп с положительными координатами имеет место оценка

Пп \Я(р)

п1 пУ2

к=1

12

Ся(У^у < — 8ир К(Б,і,у)

2п іЄПп і2(Пп)

2

2

2

2

п

2

Таким образом,

К (Б, у)

2

= Ііт і2 (Пп) ||рП— о

< ----- 8Ир

2

іЄПп

пп\Я(р)

К (Б, і, у)

п1 к=1 Ук

і2 (Пп)

Ся(y)dy <

откуда в силу теоремы Планшереля и следует утверждение леммы. □

Теорема 2.2. Пусть п > 1, Ь Е Яп, Б С Яп, шевпБ > 0 и р = 2. Условие (0.2)

К(Б,т) Е Ь2(Яп)

является необходимым и достаточным для выполнения равенства (2.4):

(_1)п(і) у ^(т)dт = J К(Б,т) 7(т^т_

Ег Пп

п р

_^ К (Б, . . . , Та _ іа,...) 7 (т )dт+

а=1Пп

П р

+ ^ / К (Б, . . . , Та _ іа,...,ТЬ _ і Ь,...) 7 (т )dт + ... +

а, Ь=1 а<Ь

Пп

+ (-1)п J К(Б,т1 - Ь1,...,тп - Ьп) 7(т )dт,

Rn

где т = (т1,т2,..., тп), Ь = (Ь1 ,Ь2,..., Ьп), и неравенства (0.1):

7(т)dт

Ег

где

< С(Б, 2) В7(т)Вl2(Пn), 7(т) є Г(Б,P),

і<х,(Пп)

С (Б, 2) < 2п\|К(Б,і)||і2(яп).

2

Доказательство. Необходимость. Согласно теореме 2.0, условие (0.3)

sup \\K(S,t,r)\\L2(Rn) < +TO

t£Rn

является необходимым для выполнения (0.1). Но если выполнено (0.3), то по лемме 2.1 выполняется и условие (0.2):

\\K (S,t)||L2 (Rn) < +ГО,

являющееся в соответствии с теоремой 2.1 достаточным для выполнения (2.4) и (2.5).

Достаточность следует из теоремы 2.1. □

Следствие 2.2.1. Пусть n = 1, S С R1, mes S > 0 и p = 2. Тогда, если для любой функции y(т) Е r(S, p) выполняется неравенство (0.1)

Y (т)dT

< C(S, 2) ||y(т)\l2(ri),

где С (Б, 2) не зависит от 7 (т) Е Г(Б, р), то для каждой функции 7 (т) Е Е Г(Б, р) имеет место и равенство (2.8):

J 7(т)йт = — J 7(т)йт.

0 0

Доказательство. В силу теоремы 2.2, для выполнения неравенства (0.1) при р = 2 и любой функции 7(т) Е Г(Б, р) необходимо и достаточно выполнение (0.2)

К (Б, т) Е Ь2 (Я1).

Но если выполнено (0.2), то, согласно следствию 2.1.1, выполняется и (2.8). □

Теорема 2.3. Пусть п > 1, Б С Яп, тевпБ > 0, е = (е1 ,...,еп) — вектор с положительными координатами, Б П Q(е) = 0 и р Е (1, 2]. Тогда:

1) К(Б,т) Е Ь(Яп), ! + 1 = 1;

р я

t

2) для интеграла от любой функции 7(т) Е Г(Б, р) имеет место представление (2.4);

3) выполняется неравенство

7 (т)Лт

<

С

22

(ее • • • еп)1/я

Ь™ (Д-)

где С22 > 0 не зависит от 7(т) Е Г(Б,р). Доказательство. 1) По условию теоремы 2.3

ЬМИьчя») , (2.13)

п

1 гУг,

Сз(У) Е Ьр(Яп \ Q(е)) С Ьр(Яп),

и, следовательно, существует

1

2^

К(Б, £) = | — | I ег(у’ь)

Д-

П

т=1

хуг

СзШу е ь(Яп),

при этом по теореме Хаусдорфа-Юнга:

\\К(Б,*)\Ь«(Д-) < Нр

п

т=1 1/р

гут

С3 (у)

<

< Нр

\Д- ^(е)

п

1 гуг,

= Нр 2п/р

= Нр

Лу

П

НР |2“П /

т=1 У

ЬР(Д-)

1/р

р Лут ут

1

_т=1 ет

р—1

(Р-1)/Р

р—1

п/р

/р

п

Л/я

(2.14)

1

п

1

1

р

1

1

2

1

2) В силу (2.14) и теоремы 2.1, для любой функции 7(т) € Г(Б, р) имеет место представление (2.4).

3) Неравенство (2.13) следует из (2.5) и (2.14):

/ 7(т)йт

Ег

< 2п И„

Ьр(й")

2

р-1

г/р

п

т=1 ^1/ч

& т

|7 (т)\\ьр (й") • □

1

п

Замечание 2.2. Неравенство (2.13) можно рассматривать в качестве прямого обобщения неравенства Бора, связывающего Ь^ (И,1) норму интеграла от функции и норму самой функции, при условии отделен-ности спектра функции от нуля.

§3. Случай, когда 8 П Е = 0

Пусть р € (1,2], п > 1, Б С Ип, тевпБ > 0 — произвольное множество, удовлетворяющее условию (Ы), Б П Е = 0, и не выполняются достаточные условия, сформулированные в теоремах 2.0-2.1. В этом случае неравенство (0.1) может не выполняться, например из-за неограниченности интегралов от некоторых функций из Г( Б, р)-Однако в Г(Б, р) всегда можно выделить (теорема 3.0) нормированное подпространство Г(Бо,р) = 0, Б о П Е = 0, тввпБо > 0, Бо С Б, Бо = Б, на котором выполняется (0.1). Также существует (теорема 3.1) и множество Г31 С Г( Б, р), функции из которого удовлетворяют неравенству (0.1)

ц(т)йт

Ег

< С31 ИМт)|| Ьр(й") ,

Ь™(й")

где С31 > 0 не зависит от ц(Ь) € Г31 • Множество Г31 не является подпространством Г(Б,р), но (теорема 3.2), если ц(Ь) € Г31, то (0.1) выполняется и при некоторых малых возмущениях функции ц(Ь); кроме того

|^| впрр /)(у) = Б-

М(^)£Г31

Теорема 3.0. Пусть р € (1, 2], п > 1, Ь € Ип, Б С Яп, тевпБ > 0 — произвольное множество, удовлетворяющее условию (Ы)• Тогда существует множество Б о С Б, также удовлетворяющее условию (Ы) и

такое, что Б о П Е = 0, и для любой функции 7 (т) Е Г(Бо ,р) выполняется неравенство (0.1):

! 7(г)йт

< С(Бо,р) ||7(т)\\ьр(д«),

Ь™ (Пп)

где константа С(Бо,р) > 0 не зависит от 7(т) Є Г(Бо,р).

Доказательство. Пусть уо = (уоі,Уо2,.. . ,Уоп) Є Б, уо Є Р ~ произвольная точка. В силу условия (Ы) существует функция До (і) Є Є Г(Б, р) такая, что у0 Є впрр До (у) С Б. Выберем какой-либо вектор 8 = (81, 82,... , 8П) с положительными координатами и столь малой нормой, что множество П[уо — 38, у о + 38] = {у | у = (уі, . .. ,уп), у0т — 38т < ут < уот + 38т, 1 < т < п} не пересекается с Р. Обозначим

То (і) = До (і) * ^(П[уо — 28, у о + 28], 8, і), Бо = впрр 7о (у), где (§1):

П

0(П[уо — 28, уо + 28^8, і) = ^(П[уош — 28 т, уот + 28т], 8т, іт) ,

т=1

І = (і1 ,t2, . . . , Іт).

Тогда Бо = впрр /7о (у) П (П[уо — 38, уо + 38]) С Б и удалено от каждой из 1 < т < п координатных гиперплоскостей на расстояние не менее чем 38т соответственно. А так как в силу (1.5) 0(П[уо — 28, уо + 28],8,і) Є Ь1 (Яп), то 7о(і) Є Ьр(Яп).

Покажем, что ||7о(і) |Ьр(д«) > 0. Из (1.5) получаем, что О(П[уо —

П

28, уо + 28^8, у) О([уот 28т, уот + 28т],8т,ут) = ~1, если

т=1

у = (уъ ...,уп) Є П[уо — 8,уо + 8]. Так как 7о(у) = До(у) • 0 (П[уо —

—28, уо+28], 8, у), то 7о (у) = До (у) для у Є П[уо—8, уо+8]. По лемме 1.1,

тввп{(П[уо — 8, уо + 8]) П впрр До(у)} > 0

и, следовательно, ||7о(у)||ь«(Яп) > 0. Но тогда в силу неравенства Хаус-дорфа - Юнга получаем, что ||7о(£)||ьр(Д") > 0.

При этом Бо удовлетворяет условию (Ы), поскольку для любой точки у1 Є Бо С Б можно указать функцию 71 (і) Є Г(Бо ,р) такую,

что у1 Е впрр 71 (у). В качестве такой функции 71 (Ь) можно взять, например, функцию 70 (Ь).

По теореме 2.3, для функций, носители преобразований Фурье которых лежат в йо, выполняется неравенство (0.1). □

Рассмотрим некоторые вспомогательные утверждения и построения. Пусть й С Вп, шевпй > 0 — произвольное множество, удовле-

?п с>1

значим через ^31(У) . В

удовлетворяющую условиям:

творяющее условию (Н). Обозначим через к31(у): Вп ^ В функцию,

1) кз1(у) Е Ь™(Вп); (3.1)

2) кз1 (у) > 0, у Е Вп \ Р; (3.2)

3) ( П Л &(у) • кз\/Р(у) Е Ьр(Вп); (3.3)

1 ут ^т=1 )

4) для любой функции а(Ь) Е Г(й,р)

{кз1(у) а (у)} ~(Ь) Е Ьр(Вп). (3.4)

Пример 3.1. Если й С Вп, шевпй > 0 удовлетворяет условию

п О

^ (у) Е Ьр(Вп), то в качестве к31 (у) можно взять к31(у) = а.

1 ут т=1 )

Пример 3.2. Пусть р Е (1,2], й С В1 и шевпй > 0. Функция

у2

С (у) = ------;т удовлетворяет условиям (3.1)—(3.4), предъявляемым

1 + у2

к функции к31(у).

Условия (3.1)—(3.3), очевидно, выполняются. Проверим выполнение (3.4). Для любой функции а(Ь) Е Г(й, р), согласно (1.1), имеем:

{о(у)а(у)}~(Ь) = <! Т+у* а(у^ (Ь) = {<7(у) - Т+у? а(у) ^ (Ь) =

1 1 1

= а(Ь) - ^ е"уЬ л + 2 а(у)йу = а(Ь) - - а(Ь) * е-

2ъ } 1 + у2 2

д1

Следовательно,

11{£(у) 7(у)}~(ь)\\ьр(Д1) =

а(у) - 2 а(ь) * е-

<

ЬР(П1)

<{ 1 +

а(Ь)\\ьр(П1).

Ь1(П1) ■

Лемма 3.1. Пусть п > 1, й С Вп, шевпй > 0, р Е (1, 2] и функция к31 (у) удовлетворяет условиям (3.1)-(3.4). Тогда, если а(Ь) Е Г(й,р), то впрр 7(у) = впрр [к31(у) 7(у)].

Доказательство. Очевидно, что

впрр [к31 (у) 7(у)] С впрр к31(у) П впрр 7(у) С впрр 7(у). Покажем, что справедливо и обратное:

впрр 7(у) С впрр [к31(у) 7(у)].

Пусть, напротив, существует точка уо Е впрр 7(у), но

уо Е впрр [к31(у) 7(у)].

Тогда существует У (уо) — окрестность точки уо, не пересекающаяся с впрр [к31 (у) 7(у)], в которой для любой бесконечно дифференцируемой функции <7(у) с носителем в V (уо) будет выполняться равенство

J [к31(у) 7(у)] Ф(у)Лу = J [к31 (у) 7(у)] <7(у)^у = 0.

дп V (уо)

Но тогда, как следует из [15, с. 75], к31 (у) 7(у) = 0 для п. в. у Е

Е V(уо), что невозможно, так как 7(у) не является функцией, равной

нулю, для п. в. у Е V(уо ), а к31 (у) > 0 для у Е Р,у Е й.

Полученное противоречие показывает, что

впрр 7(у) С впрр [к31(у) 7(у)],

откуда и следует утверждение леммы. □

Обозначим Г(й,р) = {в(у) | в(т) Е Г(й,р)} и Ф: Г(й,р) ^ Г(й,р) — отображение, задаваемое следующим образом:

Ф7(у) = к31(у) 7(У), 7(у) Е Г(й,р).

Лемма 3.2. Пусть р Е (1, 2], п > 1, й С Вп, шевпй > 0 — произвольное множество, удовлетворяющее условию (Н), и функция к31 (у) удовлетворяет (3.1)—(3.4). Тогда Ф = 0.

Доказательство. Так как й = 0 и удовлетворяет условию (Н), то Г(й,р) = 0.

Пусть а(Ь) Е Г(й,р), тогда в силу леммы 1.1 шевп впрр а(у) > 0 и, следовательно, ||7(у)(Яп) > 0.

В силу леммы 3.1

шевп впрр [к31 (у) 7(у)] = шевп впрр 7(у) > 0,

поэтому ||к31 (у) 7(у)|ь«(Дп) > 0. Но тогда

||Ф|| > 11к31 (у) 7(у)\\ьд(дп) > 0 " " ||7(у)Ь (дп) > ’

откуда и следует утверждение леммы. □

Выберем какое-либо число ш31 Е (0, ||Ф||)) и обозначим

Г31 = Г31(й,р,к31 (у),ш31) = {МЬ) 1 МЬ) Е Г(й,p), Му) = к31(у) А(у^

А(Ь) Е Г(й,p), \\7(у)\\ь*(Дп) > ш31|А(у)|Ьч(дп)} С Г(й,р).

С геометрической точки зрения Г31 — это множество, построенное следующим образом.

Пусть д Е [2, +то) и р > 0. Обозначим через:

1) вя(р) = {А(у) | А(у') Е Ьч(Вп), \\А(у)\\Ь9(дП) < р} шар радиуса р> 0 в пространстве Ьч (Вп);

2) йч(Р) = {А(у) 1 А(у) Е ьч(Вп), \\А(у)\\ь*(дп) = р} сферу радиуса

р > 0 в пространстве Ьч (Вп).

Отображение Ф1: Ьч(Вп) ^ Ьч(Вп), задаваемое формулой

Ф1 А(у) = к31(у) &(у)А(у), А(у) Е Ьч(Вп),

переводит шар Вч (1) в некоторое множество Ф1 Вч (1).

Если, например,

к31 (у) > а> 1, (3.5)

то Ф1 Вч (1) содержит внутри себя шар Вч (а) радиуса а. Но условие (3.5) не всегда выполняется. Например, если п = 1, 0 Е й и

I Т1- ву = +го,

У 1у1р

я

то для выполнения (3.3) необходимо, чтобы

Ііт кзг(у) = 0.

у—0

(3.6)

Следующий пример 3.3 показывает, что если п = 1, р Е (1,2], 0 Е й и выполнено (3.6), то ноль может принадлежать замыканию

множества Ф1 |йч(1) П Г(й, р)|.

у2

Пример 3.3. Пусть р Е (1,2], п =1, к31(у) = ---------------~, йт =

1 + у2

ат (у) = [2ш(2ш + 1)]1/ч ^я (у), ш = 1, 2 ..., - + - = 1

1

1

2т+1 5 2т

п

И й =

р я

т=1

Тогда при т = 1, 2 ... :

ат

т(У)\\Ь* (Д1)

= 1 и

иш \кз1(у) ат

т——

т(У)\\Ьч (Д1)

= 0.

Проверим это. Имеем

1 /2т

1/я

\аг

т (У)\\Ь* (Д1)

2т(2т + 1)^у

= 1,

І1/(2т+1)

||кз1 (у) ат(у)\\ья(Д1) = [2т(2т + 1)]1/я

1 /2т

11 / (2т+1)

1/Я

1 + у2

Лу

<

А — о

2т

при т — +то.

В силу определения числа тз1, по крайней мере, часть множества Ф{йЯ(1) П Т(Б,р)} будет располагаться вне открытого шара ВЯ (т31) радиуса т31. Таким образом, Г31 = {Д(у) \ ц(Ь) Є Г31} — это множество лучей, проходящих через часть образа сферы

ф{йя(1) П Г(й,Р)}) \ Вд (т31).

Я

2

у

Теорема 3.1. Пусть п > 1, р Е (1,2], й С Яп, шевпй > 0 — произвольное множество, удовлетворяющее условию (Н), функция к31 (у) удовлетворяет условиям (3.1)-(3.4), ш31 Е (0, ||Ф||) и Г31 = = Г31 (й,р,к31(у),ш31). Тогда для любой функции /л(£) Е Г31 выполняется неравенство (0.1):

Е±

ц(т)вт < С31 ||ц(т)\\ьр(дп),

Ь^(дп)

где константа С31 > 0 не зависит от /л(£) Е Г31.

Доказательство. Пусть А(£) Е Г(й,р), ||А(у)|^«(дп) = 0. Обозначим ц(Ь) = {к31 (у) ^у)}'^). В силу (3.4) ц(Ь) Е Ьр(Яп). Для каждого £ = (£1 ,Ь2,. .., tn) имеем:

(-1)п<<>/ ,(г )Лг =(±

Е±

П ріут 1

П —“------------) Ку)лу =

Дп

^т=1

Щг,

1

2п

Дп

т=1

Щг

(3.7)

где п(і) — число отрицательных координат точки і и А(у) = к31(у) А(у). Предложение 3.1.1. При сделанных выше предположениях спра-

ведлива оценка:

п

п

Дп

П ~ } к31 (у) А(у)Лу

ут

чт=1

< С31

где

С31 =

п

1/Р

& (у)к31 (у)Лу\ , А(у) = к31(у) А(у)-

1

Доказательство предложения 3.1.1. Воспользуемся неравенством Гельдера для трех показателей [19, с. 232]:

1а(у) %) с(у) | dy < ||а(у)||ь«(Б)

(Б) \\с(у)\\ь™(Б)

в

где Л измеримо и —|------1---= 1, и,у,т > 0. Обозначим:

и V ю

а(у) = \ П Л ( %я(У)k3/P(У), и = P,

1 \ут\

Ъ(у) = |к31 (У) А(У)|1/ч, V = д2, с(у) = |А(y)|1/p, ю = рд.

Так как вирр А(у) С й, то < Д — > к31 (у) 7(у) = < Д —

1т=1 У^ 1т=1 Ут

X

х%я (у)к31(у) А (у) и, на основании неравенства Гельдера для трех показателей, получаем:

1

Лп

П ~ } к31(У) А(У)dУ

ут

. т=1

<

<

Лп

П

х

А (у)

1/р

1 \ут |

%я(У) к1/р(у)\ к31(У) А(у)

п

1/ч

х

1 |Ут|р .т=1

1/ч2

1/р

%я(у) k3l(У)dУX

1 /рч

X

к31(У) А(У)

dУ

А(у)

dУ

п

т=1

& (у) к31 (у)

ь/ч(Л") 11А(у)|ь/Р(Дп).

Ьр(Лп)

1

1

ч

1

у

т

Предложение 3.1.1 доказано. □

Следовательно, из (3.7) получаем:

ц(т)йт

Е*

2П

п

т=1

2

& (у) к31(у)

X

Ьр (Дп)

X

1/р

Ьч (Дп)

Ьч (Дп)

<

Ьч (Дп)

< С311 ■ Нр ■ \\^(т) \|ьр(Дп

1/р

Ьч (Дп)

Ьч (Дп)

(3.8)

где С311 = ( -

п

т=1

ут

& (у) к31(у)

и Нр

константа

ЬР(Дп)

из неравенства Хаусдорфа - Юнга. Так как ш31 Е (0, ||Ф||), то для любой функции ^(£) Е Г31, не являющейся равной нулю при п. в. £ Е Яп, из определения Г31 следует, что 7(у) = к31(у) А(у),

Ьч (Дп)

к31(у) А(у)

Ьч (Дп)

> т31

А(у)

Ьч (Дп)

Следовательно, из (3.8) получаем, что для любой функции ^(£) Е Г31:

ц(т)йт

Е*

< С311 ■ Нр ■ —/р НМт)\\ьр(Дп), т31

откуда

ц(т)йт

Е*

< С31 ||Мт) \\ьр(Дп), р(т) Є г31,

Нр

где С31 = С311. □

т

1/р

31

Замечание 3.1. Если

П — & (у) Є 1р (Я"),

ут

т=1

п

у

т

п

1

то, полагая в условии теоремы 3.1 кзг (у) = 1, получаем, как следствие, утверждения теорем 2.1 и 2.3 о существовании констант, для которых выполняется неравенство (0.1), при этом, согласно примеру 3.1, Гз1 = Г(Б,р).

Замечание 3.2. Как видно из доказательства теоремы 3.1, если

1(у) = к31(у) А(У) и в (0.1) — строгое.

ьч (Я») > тз1

Чу)

Ьч (Я»)

, то неравенство

Теорема 3.2. Пусть р € (1,2], п > 1, Б С Яп, тевпБ > 0 — произвольное множество, удовлетворяющее условию N), функция к31 (у) такова, что выполняются (3.1)-(3.4); т31 € (0, ||Ф||) и Г31 = = Гз1 (Б,р,к31(у),т31). Тогда:

1) если А (г) € Г(Б,р), ц(г) = {к31 (у) А(у)}~(г) и

Ьч (Д») > т31

11

Ьч (Я»), I = 1,

к ' р д

(3.9)

то существует £ = е(А) > 0 такое, что для любой функции £ (г) € € Г(Б,р), ||£(г)|ьр(Я») < £ выполняются условия:

(л(т) + ц(т) € Г31, где п(т) = {к31 (у) £(у)}~(т), и справедливо неравенство:

(3.10)

[Мт) + п(т )]^т

< С31 ||^(т) + п(т)11ьр(Я»), (3.11)

Ь’х(Яп)

где С31 > 0 — константа из теоремы 3.1;

2) Б = и впрр а(у).

а(т )еГэ1

Доказательство. 1) Пусть выполнены условия теоремы 3.2, А(г) € € Г(Б, р) удовлетворяет (3.9) и

И„

Ьч (Я») — т31|А(у)|Ьч (Я»)) / (||к31 (у)11Ь^(Я») + т31).

(3.12)

Выберем произвольное £ (г) € Г(Б,р) такое, что ||£(г)||ьр (Я») < £. Тогда ||£(у)||ьч(я») < £НР,

т31 А(у) + £(у) < т31 А(у) + £т31 Ир (3.13)

ьч (Я») ьч (Я»)

И, если п(т) = {к31(у) £(у)}~(т), то п(у) = к31 (у) А(У),

Гы(у) + пШьч(Я») > Ыу^ьч(Я») - Шьч(Я») >

> 11Ы(у)11ьч(Я») — |к31 ) • £ ■ Нр. (3.14)

Следовательно, в силу (3.12), (3,13) и (3.14)

|Ы(у) + пШьч(Я») — т31 IIА(у) + АШьч(Я») >

> |Ы(у) IIьч (Я») — т31||А(у) IIьч (Я») — £Нр (||к31 (у) ||ь^(Я») + т31) > 0,

откуда в силу определения Г31 следует (3.10). Неравенство (3.11) следует из (3.10) и замечания 3.2.

2) Пусть вопреки утверждению теоремы существует точка уо € Б такая, что

уо Е и впрр А (у). (3.15)

а(т )еГэ1

Выберем произвольную функцию А(г) € Г(Б,р), для которой ы(г) = = |к31 (у) А(у)} (г) € Г31. В силу (3.15) уо € впрр Ы(у). Согласно условию (Ы), существует функция £о (г) € Г(Б, р), для которой у о € € впрр £о(у). Выберем столь малые а1 , а2 > 0, а1 = а2, что ы(г)+ +а1По(г), ы(г) + а2По (г) € Г31.

Обозначим по(г) = |к31 (у) £о(у)| (г). Из леммы 1.1 следует, что

уо € впрр По (у).

Тогда, согласно (3.15),

уо € впрр {Ы(у) + а1 По (у)} у о € впрр {Ы(у) + а2 По (У)},

т. е. функции Ы(у) + а1г}о(у) и Ы(у) + а2По(у) тождественно равны нулю в некоторой малой окрестности точки уо. Но тогда их разность, т. е. функция (а1 — а2)По(у) тождественно равна нулю в этой окрестности точки уо и, следовательно, уо € впрр По (у).

Полученное противоречие доказывает второе утверждение теоремы. □

Библиографический список

[1] Bohr H. Un thdordme general sur l’intdgration d’un polynome trigonomdtrigue // Comptes Rendus De L’Academie des sciences. 1935. Vol. 200. No. 15. P. 1276-1277.

[2] Bohr H. Ein allgemeiner Sats uber die Integration eines trigonometrischen Polynomials // Prace Mathematyzcne Fizyczne. 1935. H. 43. P. 273-288 (Collected Mathematical works. 1952. Vol. 2. P. 36).

[3] Favard J. Sur une propriete extremale de l’integrale d’une function periodique // Cjmptes Rendus De L’Academie des Sciences. 1936. Vol. 202. P. 273-276.

[4] Favard J. Application de la formule sommatorie d’Euler d la demonstration de quelques propridtds extremales des integrales des fonctions periodiques on Presque-periodiques // Matematisk Tidsskrift. 1936. P. 81-94.

[5] Левитан Б. М. Об одном обобщении неравенств С. Н. Бернштейна и Н. Bohr’a // ДАН СССР. 1937. T.XV. №4. C. 169-172.

[6] Hormander L. A new proof and a generalization of an inequality of Bohr// Mathematica Scandinavica. 1954. Vol. 2. P. 33-45.

[7] Камзолов А. И. О неравенстве Бора-Фавара для функций на компактных симметрических пространствах ранга I // Математические заметки. 1983. Т. 33. №2. С. 187-193.

[8] Акопян Р. Р. Неравенства Бора и Бернштейна для аналитических и ограниченных в полуплоскости функций // Современные проблемы математики, механики, информатики. Материалы международной научной конференции — Россия. Тула 28-30 ноября 2006 г.

[9] Баскаков А. Г., СинтяеваК. А. О неравенствах Бора-Фавара для операторов // Известия вузов. Математика. 2009. № 12. С. 14-21.

[10] Юдин В. А. К неравенству Бора // Труды института математики и механики Уральского отделения РАН. 2010. Т. 16. №4. С. 312-313.

[11] Купцов Н. П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов // Успехи математических наук. 1968. Т. XXIII, вып.4(142). С. 118-178.

[12] Бредихина Е. А. О приближении почти-периодических фунций с ограниченным спектром // Математический сборник. 1962. Т. 56(98). №1. С. 59-76.

[13] Иванов Б. Ф. Частотный критерий ограниченности решений одного класса линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. №5. С. 704-706.

[14] Иванов Б. Ф. Частотный критерий гладкости по параметрам решений одного класса линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. №7. С.1001.

[15] Функциональный анализ. Серия: «Справочная математическая библиотека». Под ред. С. Г. Креина; М.: Наука, 1972.

[16] Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

[17] Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.; Л.: Гостехиз-дат, 1948.

[18] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

[19] Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М.: Наука, 1967.

Работа поступила 11 июля 2013 г.

Санкт-Петербургский государственный технологический

университет растительных полимеров. E-mail: [email protected].