CC BY
13
УДК 519.718
Д. С. Романов, Е. Ю. Романова2
О ЕДИНИЧНЫХ ПРОВЕРЯЮЩИХ ТЕСТАХ КОНСТАНТНОЙ ДЛИНЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ИТЕРАТИВНЫХ КОНТАКТНЫХ СХЕМ*
В статье устанавливается, что для произвольной отличной от константы булевой функции f(x 1,... ,х„) существует тестопригодная, реализующая функцию f(x 1,... ,x„), обобщенная итеративная контактная схема, допускающая единичный проверяющий тест константной длины.
Ключевые слова: проверяющий тест, контактная схема, обобщенная итеративная контактная схема, функция Шеннона, легкотестируемая схема.
1. Введение и основные определения. Контактные схемы (КС) — одна из классических моделей управляющих систем без памяти, допускающая целый ряд известных обобщений. Анализ функционирования КС при возникновении в них неисправностей традиционно осуществляется с помощью тестового подхода, предложенного в работах С. В. Яблонского и И. А. Чегис [1, 2] в середине 1950-х годов. В рамках этого подхода предполагается, что на схему действует источник неисправностей, способный преобразовать эту схему к одной из схем некоторого заранее известного списка (конечной длины), содержащего и исходную схему. Действие источника неисправностей однократное, т. е. во время исследования схемы источник неисправностей уже перестал действовать
1 Факультет ВМК МГУ, доц., e-mail: romanovQcs.msu.ru
2 Российский государственный социальный университет, доц., e-mail: klenar2001Qmail.ru
* Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 13-01-00958-а и № 15-01-07474-а и Государственного задания № 2014/601 от 06.02.2014.
на схему. Исследование схемы заключается в подаче на входы схемы входных наборов и в изучении выходных значений на этих наборах. При этом формулируется цель контроля — некоторое множество пар функционирований схем из упомянутого конечного списка. Под тестом для заданных схемы и цели контроля понимается множество входных наборов, на котором любая пара функционирований (при условии их неравенства) из цели контроля отличима на наборах теста.
Все не введенные в работе определения (в частности, связанные с графами, контактными схемами и обобщенными контактными схемами) можно найти в книгах [3, 4]. Определим по аналогии с [4, с. 143, 144] понятие обобщенной итеративной контактной схемы.
Пусть Е = Е(ж1,... ,хп; а; ..., гто) — контактная схема с входным полюсом а и выходными полюсами ,... ,гт, реализующая систему функций (/1(3;™),..., /то(жп)) (здесь Д(жп) — функция проводимости между входным полюсом а и выходным полюсом к = 1,т). Пусть контакты переменной Хг не встречаются ни на каких простых цепях, соединяющих входной полюс а с выходным полюсом г-у Тогда применима операция присоединения управляющей переменной х$ к выходу г-у Эта операция заключается в том, что вершина исключается из числа выходных полюсов (и становится итеративным полюсом), ей приписывается символ новой итеративной переменной и, все контакты х,1 заменяются на контакты и, а все контакты хзаменяются на контакты и (переменная х,1 перестает быть управляющей переменной в полученной схеме). Новая схема по сравнению со старой реализует между входным полюсом а и выходным полюсом функцию, полученную
из Д(жп) подстановкой функции ¡¡{хп) вместо переменной х^, к € {1.2.....- I.//' + 1 ,...,т}.
Аналогично определяется операция присоединения в КС Е управляющих переменных х^,..., х%г к выходам г^,..., (соответственно), при этом различные присоединяемые переменные должны присоединяться к различным выходам, и одна переменная может присоединяться лишь к одному выходу. Контакты каждой переменной х% не должны встречаться ни на каких простых цепях, соединяющих входной полюс а с выходным полюсом . Тогда для каждой пары (ж* , к = 1,1, последовательно применяется операция присоединения управляющей переменной х% к выходу . При этом вершина исключается из числа выходных полюсов и становится итеративным полюсом, ей приписывается символ новой итеративной переменной ид, все контакты х% заменяются на контакты ид, а все контакты ж* заменяются на контакты йд (переменная х% перестает быть управляющей переменной в полученной схеме). Новая схема по сравнению со старой называется обобщенной итеративной контактной схемой (ОИКС) Е' и реализует между входным полюсом а и выходным полюсом функцию, полученную из Д(жп) подстановкой функций fj1 (хп),..., /^(ж™) вместо переменных ж^,..., Жг{ соответственно, к € {1, 2,..., п} \ {31,32, ■ ■ ■ Функционирование полученной схемы Е' представляет собой систему булевых функций, реализуемых на ее выходах (т.е. систему функций проводимости между входным полюсом и каждым из выходных полюсов). Всякий объект, который невозможно построить указанным выше способом как обобщенную итеративную контактную схему, не может считаться обобщенной итеративной контактной схемой. В дальнейшем о каждом итеративном полюсе подсхемы, использующемся вне подсхемы, мы будем говорить как о выходном итеративном полюсе подсхемы. Аналогично символ, приписанный выходному полюсу схемы, будем считать символом итеративной переменной.
Отметим, что отличие ОИКС от итеративных контактных схем (ИКС) состоит в том, что в ИКС все контакты присоединяемых к выходам управляющих переменных должны быть замыкающими (т.е. они не могут содержать отрицаний). В работе [5] получены асимптотические оценки высокой степени точности для функции Шеннона сложности реализации систем функций с помощью ИКС.
Пусть /(жп) — произвольная булева функция, отличная от константы и зависящая от переменных х,\,х,2, ■ ■ ■ ,хп (/ € Рг(и)), Б — двухполюсная КС или двухполюсная ОИКС (с одним входным и одним выходным полюсом; количество внутренних итеративных полюсов в ОИКС может быть произвольным), реализующая функцию / (т.е. функция проводимости между входным и выходным полюсами в схеме Б равна функции /). Пусть на схему Б действует источник неисправностей и, способный вызывать размыкания и замыкания контактов в схеме. Схема Б называется тесто-пригодной (относительно обнаружения неисправностей для источника неисправностей II) тогда и только тогда, когда при любой неисправности схемы Б, вызванной действием на нее источника и, полученная вследствие этой неисправности схема Б' реализует функцию /'(жп), не равную /. Обозначим через Ш множество всех попарно неравных функций, каждая из которых может быть реализована в результате действия на схему Б источника неисправностей II (в частности, / € Ш).
Пусть в схеме Б произошла неисправность, и в неисправном состоянии схема стала реализовывать функцию /'(хп). Будем говорить, что данная неисправность в схеме Б обнаруживается на наборе ап, если /'(а) ф /(а)- Множество Т наборов значений переменных Х1,Х2, ■ ■ ■ ,хп называется проверяющим (диагностическим) тестом для схемы Б относительно источника неисправностей II тогда и только тогда, когда для любой функции /' € Ш, такой, что /' ф /, найдется набор а из Т, для которого выполнено неравенство /'(а) ф /(а) (соответственно для любых двух функций /', /" из Ш, таких, что /' ф /", найдется набор а из Т, для которого выполнено неравенство /'(а) ф /"(а)). Количество различных наборов в тесте Т называется его длиной и обозначается через 1{Т) или через \Т\. Тест минимальной длины называется минимальным. Тест называется полным, если источник неисправностей может повреждать произвольное количество контактов в схеме, и единичным, если в схеме может быть поврежден не более чем один контакт. Будем говорить, что двухполюсная схема (КС или ОИКС), реализующая функцию д(х\,... ,хп,хп+1,... ,хп+4+г), моделирует функцию /(х\,..., хп), если существует такой набор булевых констант («1,..., аг), что д(х\,..., жп, жп+1,..., хп+4, «1,..., аг) = /(х\,..., х„). Минимально возможная величина г при этом называется входной избыточностью моделирования функции / схемой Б. (Отметим, впрочем, что когда о последовательно-параллельной контактной схеме говорится, что она моделирует формул,у в базисе {ж&у, х V у, ж}, в которой отрицания находятся лишь над символами переменных, то это означает, что индуктивная склейка схемы осуществляется в соответствии с данной формулой; схема при этом реализует функцию, реализуемую формулой, см. [2]. Обозначим через Оц(Б) длину минимального проверяющего теста относительно источника неисправностей II в схеме Б, через !)[/(/(жп)) — минимум величины Ои(Б) по всем тестопригодным относительно обнаружения неисправностей для источника неисправностей II реализующим функцию /(хп) схемам Б. Пусть Рг(и) — множество всех булевых функций, существенно зависящих от всех своих переменных Х\,Х2, ■ ■ ■ ,жп (в частности, Р2(0) = {0,1}). Всюду в дальнейшем будем, не ограничивая общности, считать, что любая не равная тождественно константе функция /(хп) существенно зависит от всех своих переменных. Через 1?[/(п) обозначим функцию Шеннона длины проверяющего теста относительно источника неисправностей II, т.е. функцию Оц(п) = тах Вц(/(хп)).
Аналогично вводится функция Шеннона длины диагностического теста относительно источника неисправностей II. Верхний индекс (КС или ОИКС) в обозначении слабой или обычной функции Шеннона длины теста будет указывать на класс схем.
2. Обзор предшествующих результатов. Первые оценки функций Шеннона длины тестов для контактных схем (которые являются частным случаем ОИКС) появились уже в работе [2]. Фактически было доказано, что без требования тестопригодности схем функция Шеннона длины единичного диагностического (а значит, и проверяющего) теста для двухполюсных кон/ 9п \
тактных схем есть О ( 1. В работе [6], в частности, установлено, что точное значение функции
Шеннона длины полного диагностического теста для контактных схем равно 2п, а в работе [7] доказано, что рост функции Шеннона длины единичного проверяющего теста для контактных схем
щий тест для контактных схем не обязан содержать все наборы и что соответствующая функция Шеннона не превосходит • 2п. В работе [9] установлено, что функция Шеннона длины полного проверяющего теста размыкания в контактных схемах есть 0(2П//2), а также получена нетривиальная верхняя оценка 0(22п1оё2П//(1+21°ё2П^) функции Шеннона длины полного проверяющего теста замыкания в контактных схемах. А. И. Рыбко в работе [10] предложил асимптотически оптимальный метод синтеза (2,2)-КС, таких, что для произвольной булевой функции / от п переменных
и при Ь = о ^^ в КС между одной парой полюсов функция / моделируется (с входной избы-
точностью, не большей 2|_|] +2) подсхемой, корректирующей Ь замыканий, а вторая пара полюсов используется для тестирования так, что схема в целом допускает проверяющий тест замыкания, имеющий длину не более 2|_|] + 2. В работе [11] устанавливается, что для произвольной отличной от константы булевой функции /(х\,... ,хп) существуют допускающие единичный проверяющий тест линейной по п длины тестопригодные КС: а) трехполюсная контактная схема (с одним
/(х«)ер2(п)
Редькиным в статье [8] доказано, что полный проверяю-
входным и двумя выходными полюсами), реализующая систему функций (/,/); б) двухполюсная контактная схема, реализующая функцию /(х\,..., хп) Ф хп+\.
3. Основной результат статьи. В настоящей работе предлагается константная верхняя оценка функции Шеннона длины единичного проверяющего теста для ОИКС, демонстрирующая легкотестируемость ОИКС в рамках задачи обнаружения одиночных неисправностей (замыканий или размыканий контактов).
Опишем сначала некоторые двухполюсные КС, которые будут использоваться далее в качестве подсхем двухполюсных ОИКС. Обозначим через Ит(х1,х2, ■ ■ ■ ,хт), т ^ 2, минимальную построенную по методу каскадов двухполюсную контактную схему счетчика четности х\ Ф ж 2 Ф • • • Ф хт (см., например, [4, с. 207, рис. 3.6]). Блоком в этой схеме считается нерасширяемая связная подсхема из контактов, управляемых одной переменной; число блоков указывается нижним индексом в названии схемы, названия блоков суть 1}\. /}■>...../},„. Блоки не объединяются и не меняют названий при отождествлениях или переименованиях переменных (и даже контактов) в схеме Ето(ж1, Х2, ■ ■ •, хт). Размыкающие контакты в этой схеме будут считаться изображаемыми горизонтально, а замыкающие — наклонно. Порядок переменных в названии схемы (здесь и далее) определяет, какая переменная участвует в управлении очередного блока в схеме (в дальнейшем, впрочем, будут рассматриваться и схемы с таким же графом контактов, у которых в управлении одним блоком участвуют две переменные, но одна из них будет общей для всех таких блоков — она будет в названии схемы указываться в конце списка переменных после точки с запятой). Опишем более подробно, как устроен блок И, для переменной в схеме 1, ...; хт ), г = 1;т. У блока при % = 2,т — 1 два входных ("левый верхний" и "левый нижний") и два выходных ("правый верхний" и "правый нижний") полюса. Два замыкающих (наклонных) контакта х^ соединяют левый верхний полюс блока с правым нижним (первый контакт), а левый нижний — с правым верхним (второй контакт). Два размыкающих контакта х^ соединяют левый верхний полюс блока с правым верхним (первый контакт — верхний горизонтальный), а левый нижний полюс — с правым нижним (второй контакт — нижний горизонтальный). Блок В\ таков: его левый (и единственный входной) полюс а' соединяется контактом х\ с правым нижним (одним из выходных) полюсом блока В1, а контактом х\ — с правым верхним (вторым из выходных) полюсом блока В\. Блок Вт таков: его правый нижний (один из входных) полюс соединяется контактом хт с левым (и единственным выходным) полюсом У, а его правый верхний (один из входных) полюс соединяется контактом хт с полюсом У. Блоки соединяются так: правый верхний (соответственно правый нижний) полюс блока отождествляется с левым верхним (соответственно левым нижним) полюсом блока В,. 1. г = 1,т — 1. Вершина а! объявляется входным полюсом построенной схемы Ит(х1,х2, • • •, хт), а вершина У — ее выходным полюсом.
Схема Ж1, жг, • • •, жто, ^з; ^г), т ^ 1, получается следующим образом из схемы
х\, Х2, • • •, хт, гз): все верхние горизонтальные контакты блоков В2, ■ ■ ■, Вт+1 переименовываются в контакты ¿2, все нижние горизонтальные контакты этих блоков инвертируются (и оказываются контактами хг,..., хт), все наклонные контакты этих блоков переименовываются в контакты ¿2, оба контакта блока Вт+2 инвертируются (и верхний становится контактом ^з, а нижний — контактом ¿з). Легко видеть, что при = = ^з = 0 схема х\, Х2, • • •, хт, ^з; ^г) моделирует функцию, задаваемую монотонной конъюнкцией Ж1&Ж2& • • • &жто. Кроме схем вида И'т+2(г1,Х1,Х2, • • •, хт, ^з; ^2) в работе будут также использоваться схемы, полученные из них инвертированием некоторых переменных (т.е. инвертированием всех контактов этих переменных), что будет обозначаться навешиванием отрицаний на соответствующие переменные.
Теорема 1. Пусть /(хп) — произвольная булева функция, отличная от константы. Тогда функцию /(хп) можно реализовать тестопригодной двухполюсной ОИКС, допускающей единичный проверяющий тест, имеющий длину, не превосходящую 30.
Доказательство. Построим для отличной от константы булевой функции /(хп) реализующую ее ОИКС с одним входным и одним выходным полюсом следующим образом. Пусть в полиноме Жегалкина для функции / имеется я отличных от констант слагаемых К\, К2, ■ ■ ■, К8, являющихся монотонными конъюнкциями, а сам полином Жегалкина можно привести к виду Кг ф К2 Ф • • • Ф К8 ф /30, где /?о € {0,1}. Обозначим через N общее количество символов переменных, встречающихся в указанном полиноме (т. е. сумму рангов всех монотонных конъюнкций полинома Жегалкина). Для каждого слагаемого Ki, г = 1,5, полинома Жегалкина функ-
ции / строится своя подсхема Si с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь¿. Пусть К^ = хЬ1хЬ2 ■ ■ ■ , где 1 ^ «1 < «2 < • • • < ^ п. Для каждой переменной ж„я
= 1,д(г), строится подсхема ^^(ж^) с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом моделирующая формулу V яЦу4 (заметим: = хЬ} Ф у4). Затем строится подсхема
вида , ,..., , у5? Уа) с входным полюсом а и выходным итеративным
полюсом (У всех построенных подсхем общим является лишь входной полюс а.) Подсхемы 6'|1'!(жг,1),..., объединяются в подсхему с входным полюсом а и выходным ите-
ративным полюсом Ь^К В таблице приводится вид булевых функций от переменных х\,...,хп, реализуемых важными (для дальнейшего исследования) итеративными переменными подсхемы в зависимости от значений переменных у3, у4, у5 с учетом четности д(г).
0(0- нечетное 0(0- четное
2/32/42/5 Ь(з) ь!4) ь!2) Ь(з) К Щ Ьг
ООО Кг 0 К,. 1 0 1 К,. К,.
0 0 1 0 Кг 1 Кг 0 Кг Кг 1 Кг Кг Кг
0 10 К1 1 0 1 Кг К>. 0 Кг К,. К,.
0 11 1 Кг 0 Кг К» 1 0 Кг Кг Кг Кг
10 0 0 1 1 Кг 0 1 Кг 1 1 Кг Кг
10 1 1 0 1 1 0 1 К1. 1 К,. К,.
110 1 Кг 0 1 Кг 1 0 1 Кг 1 Кг
111 Кг 1 1 0 1 К1 1 0 Кг 1 Кг
Подсхема Б^2-1 с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь^ получается как копия подсхемы <5^, в которой инвертирована переменная у5, а все верхние индексы "(1)" заменены на верхние индексы "(2)". Подсхема Р{ с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь\
моделирует формулу Ь^Ь^ уЦ^Ь^ (т. е. Ь\ = Ь^ фЬ^). Общим у подсхем б^1"®, Б^ и /'/ является лишь входной полюс а. Эти три подсхемы объединяются в подсхему с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь\. С использованием таблицы легко видеть, что между полюсами а шЬ^в случае, когда наборами значений переменных (у3, у4, у5) являются наборы (1, 0, 0) или (1, 0,1), реализуется константа 1, а при иных наборах значений переменных (уз,у4,уб) между полюсами а и реализуется функция К^ = хЬ1хЬ2 ■ ■ ■ . Подсхема с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь'1 получается как копия подсхемы Б\, в которой инвертирована переменная у4, все верхние индексы "(1)" заменены на верхние индексы "(3)", все верхние индексы "(2)" заменены на верхние индексы "(4)", а штрих всюду заменен на два штриха. С использованием таблицы легко видеть, что между полюсами а и Ъ" в случае, когда наборами значений переменных (уз,у4,уб) являются наборы (1,1,0) или (1,1,1), реализуется константа 1, а при иных наборах значений переменных (уз,у4,уб) между полюсами а и Ь'( реализуется функция К^ = хЬ1хЬ2 Подсхема /' с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь^ моделирует формулу Ъ[Ъ". Общим у подсхем Б\, Б" и /', является лишь входной полюс а. Эти три подсхемы объединяются в подсхему Бг с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь^. Ясно, что при отсутствии неисправностей подсхема Б^ реализует функцию К^ = хЬ1хЬ2 ■ ■ (см. таблицу; переменные уз, у4, у5 оказываются фиктивными). Затем строится подсхема вида
Е7в+4*+з(У1, Ь(г\ Ь(2\ Ь{4\ Ь[, Ь'1, Ьи ..., Ь12\ Ь™, Ь<?\ Ь'в, Ъ'',Ъ8,
г{1) г{2) г{4) г™ ¿(2) ¿(3) ¿(4) т Уо)
с входным полюсом а и выходным итеративным полюсом Ь3+\ (эта подсхема реализует сумму по модулю 2 переменной уг и всех встречавшихся ранее при построении схемы итеративных переменных). Наконец, при /30 = 0 (при /30 = 1) к схеме добавляется подсхема Б3+2 с входным полюсом а и выходным полюсом Ь, моделирующая формулу Ь3+\у2 V Ь3+\у2 (соответственно моделирующая формулу Ь3+\у2 V Ь3+\у2)- При этом Ь = Ь3+\ Ф уг (соответственно Ь = Ь3+\ ~ уг).
Отметим, что у построенных подсхем Бг,..., <5в+2 только входной полюс а является попарно общей вершиной. Для завершения построения схемы 'Ef остается выходным полюсом этой схемы объявить полюс Ь. Так как при г € {1, 2,..., «}
ь\ ^ Ф ь\ ^ ф ^ = ь\ ^ Ф ь\ ^ Ф =0, г^Д Ф .¿¿Д Ф г^Д Ф г^Д = О,
то ОИКС при отсутствии в ней неисправностей реализует функцию, равную / (переменные ?/1, • • •, У5 являются фиктивными).
Основная идея дальнейшего доказательства сводится к тому, что все одиночные неисправности контактов в схеме 'Ef, кроме, быть может, нескольких, обнаруживаются на наборах с одинаковыми значениями переменных х\, • • •, хп. Далее будем рассматривать наборы длины п + 5 значений переменных х\, • • •, хп, у\, у2, Уз; Уа-, Уъ (в этом порядке), при этом символ 2 будет обозначать произвольность (т. е. несущественность) значения соответствующей переменной на данном наборе, а запись вида (ап), где а € {0,1,2}, равносильна записи (а, а,..., а). Рассмотрим сначала
4-V-'
П
случай, когда неисправность произошла в какой-то подсхеме г € {1,...,«}. Для неисправностей в подсхеме (хЬ1) будем подыскивать такие наборы, на которых вследствие неисправности изменяется выходная итеративная переменная неисправной подсхемы, и из остальных итеративных переменных меняется только Ьв-ц (а значит, и Ъ). Напротив, при неисправностях в подсхеме на обнаруживающем неисправность наборе обязано измениться значение итеративной переменной ь\г\ что автоматически приведет к изменению ибо Ц = Ф Ь\2\ но тогда нужно требовать изменения и значения переменной что возможно лишь при Щ = 1 (тогда в подсхеме ¿>$+1 ровно три из суммируемых переменных, управляющих тремя блоками, примут неправильные значения, следовательно, итеративная переменная Ь3+\ изменит значение, а вслед за ней изменит значение переменная Ь, так что неисправность будет обнаружена). Пусть имеет место размыкание
контакта хЬ} или у4 в подсхеме (ж^). На наборе (1п, 2, 2,1, 0, 0) значение итеративной пере- (!) - 1 п , (1)
меннои вследствие указанной неисправности меняется с 1 на и, итеративная переменная Ь\ не меняет значения, оставаясь равной нулю, в подсхеме ровно один блок управляется переменной с неправильным значением, следовательно, итеративная переменная Ь8.ц меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (0П, 2,2,0,1,0) обнаруживается размыкание контакта хь или у4 в подсхеме (при этих неисправностях итеративная переменная не меняет
значения, оставаясь равной единице). Пусть имеет место замыкание контакта хЬ} или у4 в подсхеме
(ж^). На наборе (бп, 2, 2, 0, 0, 2) значение итеративной переменной вследствие указанной
неисправности меняется с 0 на 1, итеративная переменная Ь^ не меняет значения, оставаясь равной нулю, в подсхеме ровно один блок управляется переменной с неправильным значением, следовательно, итеративная переменная Ь3+\ меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (1п, 2, 2,1,1,1) при четном д(г) и на наборе (1п, 2, 2, 0,1,1) при нечетном д(г) обнаруживается замыкание контакта аЦ или у4 в подсхеме (при этих неисправностях итеративная переменная Ъ^ не меняет значения, оставаясь равной единице).
Рассмотрим неисправности в подсхеме На наборе (1п,2,2,0,0,0) переменная Ъ" равна
1, при размыкании любого контакта, лежащего на проводящей между вершинами а и Ь^ цепи, содержащей все нижние горизонтальные контакты блоков подсхемы значение итеративной переменной Ь^ изменится с 1 на 0, изменятся также значения и Значит, в подсхеме ровно три блока управляются переменными с неправильными значениями, следовательно, итеративная переменная Ь3+\ меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (1п, 2, 2,1, 0,1) переменная Ъ" равна 1, при размыкании любого контакта, лежащего на проводящей между вершинами
а и Ь^ цепи, содержащей все верхние горизонтальные контакты блоков подсхемы <5^, значение итеративной переменной Ь^ изменится с 1 на 0, изменятся также значения Ь\ и Ь^. Значит,
в подсхеме <5в+1 ровно три блока управляются переменными с неправильными значениями, следовательно, итеративная переменная Ь3+\ меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (1П, 2, 2, 0,1, 0) при четном д(г) и на наборе (1п, 2, 2, 0,1,1) при нечетном д(г) переменная Ь" равна 1, при размыкании любого контакта, лежащего на проводящей между вершинами а и Ь^ цепи, содержащей контакт у3 и контакты у4 из блоков подсхемы значение итеративной перемен-
ной Ь^ изменится с 1 на 0, изменятся также значения и ЬЗначит, в подсхеме ровно три блока управляются переменными с неправильными значениями, следовательно, итеративная переменная Ь3-1_1 меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (1п, 2, 2,1,1,1) при четном д(г) и на наборе (1п, 2, 2,1,1, 0) при нечетном д(г) переменная Ъ" равна 1, при размыкании любого контакта, лежащего на проводящей между вершинами а и Ъ^ цепи, содержащей контакт
уз и контакты у4 из блоков подсхемы значение итеративной переменной изменится с 1
на 0, изменятся также значения Ь\ и у. Значит, в подсхеме ровно три блока управляются
переменными с неправильными значениями, следовательно, итеративная переменная Ь8.ц меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (1п, 2,2,0,0,1) переменная Ь" равна 1,
при замыкании любого контакта уз, у4, |/5 подсхемы значение итеративной переменной Ь^ изменится с 0 на 1, изменятся также значения и Ь^. Значит, в подсхеме ровно три блока управляются переменными с неправильными значениями, следовательно, итеративная переменная Ь3.|_1 меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (1п, 2, 2,1,1, 0) при четном д(г) и на наборе (1п,2, 2,1,1,1) при нечетном д(г) переменная Ь" равна 1, при замыкании любого
контакта уз, у4 подсхемы значение итеративной переменной Ь^ изменится с 0 на 1, изменятся также значения Ь\ и Ь^. Значит, в подсхеме ровно три блока управляются переменными с неправильными значениями, следовательно, итеративная переменная Ъ8.|_1 меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. На наборе (1п, 2,2,1,0,0) переменная Щ равна 1, при замыкании
контакта у5 подсхемы значение итеративной переменной Ь^ изменится с 0 на 1, изменятся также значения Ь[шЬг. Значит, в подсхеме ровно три блока управляются переменными с неправильными значениями, следовательно, итеративная переменная Ъ8.ц меняет значение, в результате чего на выходном полюсе Ь схемы проводимость будет отлична от правильной, и неисправность будет обнаружена. Значит, любую неисправность в подсхеме б^1"® можно обнаружить на наборах из множества Т^ = {(бп, 2, 2, 0, 0, 2), (бп, 2, 2, 0,1, 0), (1п, 2, 2, 0, 0, 0), (1п, 2, 2, 0, 0,1), (1п, 2, 2, 0,1, 0), (1П, 2, 2, 0,1,1), (1п, 2, 2,1, 0, 0), (1п, 2, 2,1, 0,1), (1п, 2, 2,1,1, 0), (1п, 2, 2,1,1,1)}.
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что на наборах из множества Т^ = {(бп,2, 2, 0, 0, 2), (бп, 2, 2, 0,1,1), (1п, 2, 2, 0, 0, 0), (1п, 2, 2, 0, 0,1), (1п, 2, 2, 0,1, 0), (1п, 2, 2, 0,1,1), (1п, 2, 2,1, 0, 0), (1П, 2, 2,1, 0,1), (1п, 2, 2,1,1, 0), (1п, 2, 2,1,1,1)} обнаруживаются все неисправности в подсхеме (эти наборы получены из наборов множества Тинвертированием значений переменной у§). Чтобы пояснить, почему наборов множества Т^ достаточно, следует учесть, что подсхема Б^ получена из подсхемы ¿>> инвертированием переменной у5 и переименованием итеративных переменных без отождествления, что эта замена не меняет значений переменной Ъ" в таблице, а также, что геометрия проводящих цепей в подсхемах Б^ и б^1-® на каждом наборе а из Т^ в точности такая же, как и геометрия проводящих цепей в подсхемах б^1-® и б^2-® соответственно на соседнем с а по у 5 наборе из и что аналогичные друг другу выходные итеративные переменные этих подсхем входят во внешнюю часть схемы симметричным образом.
Изучим обнаружение неисправностей в подсхеме Р/. На наборе (0П, 2, 2,1, 0, 0) при отсутствии неисправностей = 0, = 1, Ь" = 0, следовательно, при размыкании одного из контактов Ь|2"® значение переменной Ц изменится с 1 на 0, значение У не изменится, значения Ь изменятся на неправильные, и неисправность будет обнаружена. На наборе (0П, 2, 2,1, 0,1) при отсутствии неисправностей Ь^ = 1, = 0, Ь" = 0, следовательно, при размыкании одного из контактов ь\г\
—/о\
Ь\ значение переменной изменится с 1 на 0, значение не изменится, значения bs+i, b изменятся на неправильные, и неисправность будет обнаружена. На наборе (0П, 2, 2, 0,1, 0) при отсутствии неисправностей Ь^ = 1, Ь^ = 1, Ъ" = 0, следовательно, при замыкании одного из контактов
— (о)
Ъ\ значение переменной изменится с 0 на 1, значение не изменится, значения bs+i, b изменятся на неправильные, и неисправность будет обнаружена. На наборе (0П, 2, 2, 0, 0, 0) при отсутствии неисправностей Ъ^ = 0, bf^ = 0, Ь" = 0, следовательно, при замыкании одного из контактов ь\г\ bj2"® значение переменной Ц изменится с 0 на 1, значение не изменится, значения bs+i, b изменятся на неправильные, и неисправность будет обнаружена.
Таким образом, на наборах из множества Т' = {(0П, 2, 2, 0, 0, 0), (0П, 2, 2, 0,1, 0), (0П, 2, 2, 0,1,1), (бп, 2, 2,1,0,0), (бп, 2, 2,1,0,1), (ín, 2, 2, 0,0,0), (1п, 2, 2, 0, 0,1), (1п, 2, 2, 0,1, 0), (1п, 2, 2, 0,1,1), (ín, 2, 2,1, 0, 0), (1п, 2, 2,1, 0,1), (1п, 2, 2,1,1, 0), (1п, 2, 2,1,1,1)} обнаруживаются все одиночные неисправности в подсхеме S¡. Построим по множеству Т' множество наборов Т" инвертированием значений переменной у4. Так как подсхема S" получена из подсхемы S¡ инвертированием переменной у4 и переименованием итеративных переменных без отождествления, то геометрия проводящих цепей в подсхемах S" и S¡ на каждом наборе а из Т" в точности такая же, как и геометрия проводящих цепей в подсхемах S¡ и S" соответственно на соседнем с а по наборе из Т'. Кроме того, аналогичные друг другу выходные итеративные переменные этих подсхем входят во внешнюю часть схемы симметричным образом. Поэтому на наборах из множества Т" обнаруживаются все одиночные неисправности в подсхеме S¡'.
Пусть неисправен один из двух контактов подсхемы /', . Размыкание любого из этих контактов обнаруживается на наборе (1П, 2, 2, 0, 0, 0), а замыкания этих контактов обнаруживаются на наборах (0П, 2, 2,1, 0, 0) и (0П, 2, 2,1,1, 0) (см. таблицу). Таким образом, все неисправности в подсхеме Si, i G {1,..., s}, можно обнаружить на наборах из множества Т = {(0П, 2, 2, 0, 0, 0), (0П, 2, 2, 0, 0,1), (бп, 2, 2, 0,1,0), (бп, 2, 2, 0,1,1), (бп, 2, 2,1,0,0), (бп, 2, 2,1, 0,1), (бп, 2, 2,1,1, 0), (бп, 2, 2,1,1,1), (ín, 2, 2, 0,0,0), (1п, 2, 2, 0, 0,1), (1п, 2, 2, 0,1,0), (1п, 2, 2, 0,1,1), (1п, 2, 2,1, 0, 0), (1п, 2, 2,1, 0,1), (Iй, 2, 2,1,1,0), (Iй, 2, 2,1,1,1)}.
Остается обнаружить одиночную неисправность в подсхемах ^s+i, Ss+2- Заметим (см. таблицу): при нечетном q(i) на наборе (1п, 2,2,0,0,0) значения переменных (b^, b\2\ b\3\ b\4\ Ь", b¿) суть (1,0,0,1,1,1,1), а на наборе (1п, 2,2,0,0,1) значения переменных (b^, b\2\ b\3\ b\4\ Ь", b¿) суть (0,1,1, 0,1,1,1). При четном q(i) на наборе (1п, 2, 2, 0, 0, 0) значения переменных b\2\b\3\ b\4\ Ь\, Ь", Ьг) суть (1,0,1,0,1,1,1), а на наборе (1п, 2,2,0,0,1) значения переменных b\2\b\3\ Ь\4\Ь^,Ь",bi) суть (0,1,0,1,1,1,1). Поэтому на восьми наборах (1п,0,0,0,0,0), (1п,0,1,0,0,0), (ín, 1,0,0,0,0), (1п, 1,1,0,0,0), (1п, 0,0,0,0,1), (1п, 0,1,0,0,1), (1п, 1,0,0,0,1), (1", 1,1,0,0,1) об-
,(1) ,(2) ,(3) ,(4)
наруживаются все замыкания и размыкания контактов переменных b\ , b¡ , b¡ , b¡ , а также размыкания контактов b\, bи замыкания контактов Ц, Ь", i € {l,...,s}, в подсхеме ^s+i.
На этих же восьми наборах обнаруживаются размыкания всех контактов z^, z\2^, z¡3j , z¡4j и замы-
(3) (4) _(1) -(2) -
кания всех контактов z¡J, z¡J, z¡J, z¡J, размыкания и замыкания контактов самого левого блока (в подсхеме ^s+i), а также замыкания всех контактов переменной yi и замыкание по крайней мере одного контакта переменной у2, i G {1,..., s}, j G {1,...,п}. Два из этих наборов можно считать лежащими в Т. На четырех наборах (бп, 0,0,0,0,0), (бп, 0,1,0,0,0), (бп, 1,0,0,0,0), (бп, 1,1,0,0,0)
(один из них лежит в Т) в подсхеме ^s+i обнаруживаются замыкания всех контактов b\, b
Ti Tu Т (1) (2) -(з) -(4)
и размыкания всех контактов o¿, o¿, o¿, а также замыкания всех контактов z¡J, z¡J, z¡J, z¡J
(3) (4) _(1) _(2) тя 0
и размыкания всех контактов z¡ ■, z¡ ■ , z¡ ■, z¡ ■ . Из-за того что в подсхеме <bs+i переменная у i управляет двумя блоками, на приведенных выше наборах могут не обнаруживаться размыкания трех попарно смежных контактов в последних двух блоках подсхемы, а также замыкание одного из контактов переменной у2- Но так как по построению bs+i = f(xn) Фу2 Ф А), а функция / отлична от константы, то, добавив еще три набора, завершим обнаружение неисправностей в подсхеме Ss+1. Неисправности всех 4 контактов подсхемы Ss+2 обнаруживаются еще на четырех наборах, два из которых обязаны содержаться в построенном ранее множестве наборов. Итак, построен единичный проверяющий тест длины не более 30 для схемы Sj. Теорема доказана.
Следствие. Пусть U1 — источник одиночных замыканий или размыканий контактов. Тогда при любом натуральном п справедлива оценка: D™KC(n) ^ 30.
В заключение статьи отметим, что в случае контактных схем функция Шеннона D™KO(n) длины единичного проверяющего теста обязана неограниченно возрастать с ростом п к бесконечности.
Теорема 2. Пусть U1 — источник одиночных замыканий или размыканий контактов. Тогда при любом натуральном п, п ^ 2, справедлива оценка: D^ß(n) ^ п + 2.
Доказательство. Рассмотрим булеву функцию h(xn) — характеристическую функцию единичной сферы с центром в нулевом наборе: h(ân) = 1 тогда и только тогда, когда в наборе а'1 ровно одна единица. Так как функция h существенно зависит от всех своих переменных и не является монотонной и антимонотонной по каждой из них, то в любой контактной схеме, реализующей функцию h, обязан присутствовать хотя бы один размыкающий и хотя бы один замыкающий контакт каждой переменной (см. [4, с. 194, 195, лемма 2.2]). В тестопригодной двухполюсной контактной схеме, реализующей h, размыкание каждого контакта ж*, г G {1,...,п}, должно быть обнаруживаемо. Но это размыкание может быть обнаружено лишь на таком наборе äa, в котором переменная xi принимает значение 1 и при этом h(äa) = 1. Но такой набор ровно один (с точностью до введения фиктивных переменных) — это набор с единственной единицей в позиции переменной ж¿. Такой набор для каждой xi обязан войти в единичный проверяющий тест размыкания, и минимальная длина такого теста не меньше п. Еще по крайней мере два набора нужно добавить в единичный проверяющий тест, чтобы обнаружить замыкания всех контактов (одного набора не хватит, так как на этом наборе не будут обнаружены замыкания замкнутых на данном наборе контактов). Теорема доказана.
Авторы выражают благодарность профессору С. А. Ложкину за обсуждение работы и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Яблонский C.B., Чегис И. А. О тестах для электрических схем // Успехи матем. наук. 1955. 10. Вып. 4 (66). С. 182-184.
2. Чегис И. А., Яблонский C.B. Логические способы контроля электрических схем // Тр. МИАН СССР. 1958. 51. С. 270-360.
3. Редьки н Н. П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
4. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.
5. Ложкин С. А., Кондратов A.B. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности реализации систем функций итеративными контактными схемами // Прикладная математика и информатика. № 21. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 102-110.
6. Мадатян X. А. Полный тест для бесповторных контактных схем // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. С. 103-118.
7. Мадатян X. А. Построение единичных тестов для контактных схем // Сборник работ по математической кибернетике. М.: ВЦ АН СССР, 1981. С. 77-86.
8. РедькинН. П. О полных проверяющих тестах для контактных схем / / Методы дискретного анализа в исследовании экстремальных структур. Вып. 39. Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1983. С. 8087.
9. Редьки н Н. П. О проверяющих тестах замыкания и размыкания // Методы дискретного анализа в оптимизации управляющих систем. Вып. 40. Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1983. С. 87-99.
10. Рыб к о А. И. О контактных схемах, корректирующих замыкания и допускающих контроль // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука, 1988. С. 168-190.
11. Романов Д. С. О синтезе контактных схем, допускающих короткие проверяющие тесты // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физико-математические науки. 2014. 156. № 3. С. 110-115.
Поступила в редакцию 18.03.15
ON THE SINGLE FAULT DETECTION TEST SETS OF CONSTANT CARDINATITY FOR GENERALIZED ITERATIVE SWITCHING CIRCUITS
Romanov D.S., Romanova E. Yu.
It is constructively proved that any nonconstant Boolean function of n variables may be implemented by a testable generalized iterative switching circuit admitting a single fault detection test set whose cardinatity does not exceed a constant.
Keywords: fault detection test set, switching circuit, generalized iterative switching circuit, Shannon function, easily-test able circuit.
