CC BY
7
2017 Теоретические основы прикладной дискретной математики №37
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
УДК 512.541, 512.552, 512.711
О ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ СТЕПЕНИ ФУНКЦИИ НАД АССОЦИАТИВНЫМ КОММУТАТИВНЫМ КОЛЬЦОМ1
М. И. Анохин
Институт проблем информационной безопасности Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия
Пусть К — ассоциативное коммутативное кольцо и р: Кт ^ К, где т ^ 0. Обозначим через degп р наименьшее число п ^ -1, такое, что р представима многочленом степени п от т переменных над К. (Степенью нулевого многочлена считаем -1.) Пусть также degRM р обозначает наименьшее число п ^ -1, такое, что д^ .. .дъп+1 р = 0 для всех У\,... ,уп+\ € Кт. Здесь (д^ф)(х) = ф(х + у) — ф(х) для любых у,х € Кт и любой функции ф: Кт ^ К. Если такого числа п не существует, то полагаем соответственно degп р = то или degRM р = то. В работе рассматривается проблема характеризации класса Э всех ассоциативных коммутативных колец К, таких, что эти степени совпадают для функций над К, т. е. degп р = degRM р для всех т ^ 0 и всех функций р: Кт ^ К. Проблема решается в случае, когда аддитивная группа ^ кольца К принадлежит некоторым широким классам абелевых групп. Основные результаты: 1) если ^ периодична или конечно порождена, то К € Э тогда и только тогда, когда К = Z/dZ для некоторого свободного от квадратов числа й ^ 1; 2) если ^ не редуцирована, то К € Э тогда и только тогда, когда К = (Ъ/йЪ) ® Q для некоторого свободного от квадратов числа й ^ 1; 3) если ^ является прямой суммой подгрупп ранга 1, то К € Э тогда и только тогда, когда К = Z/dZ или К = (Ъ/бЖ) ® Q для некоторого свободного от квадратов числа й ^ 1; 4) если ^ редуцирована и копериодична, то
К € Э тогда и только тогда, когда К = П для некоторого множества Р
реР
простых чисел. Доказательство этих результатов основано на том факте, что любое кольцо из Э является Е-кольцом.
Ключевые слова: ассоциативное кольцо, коммутативное кольцо, абелева группа, аддитивная группа кольца, многочлен, степень функции, Е-кольцо, формула Ньютона.
БОТ 10.17223/20710410/37/1
1 Работа поддержана грантом РФФИ №16-01-00226.
ON THE TWO DEFINITIONS OF DEGREE OF A FUNCTION OVER AN ASSOCIATIVE, COMMUTATIVE RING
M.I. Anokhin
Information Security Institute of Lomonosov University, Moscow, Russia E-mail: [email protected]
Let R be an associative, commutative ring and let (: Rm ^ R, where m ^ 0. Denote
by degn ( the smallest integer n ^ —1 such that ( can be represented by an m-variate
polynomial of degree n over R. (By convention, the degree of the zero polynomial
is —1.) Also, let degRM ( denote the smallest integer n ^ —1 such that dv1 ... dVn+1 ( =
= 0 for all vi,..., vn+1 e Rm. Here (dvф)(ж) = ф(ж + v) — ф(ж) for any v,x e Rm
and any function ф: Rm ^ R. If no such integer n exists, then we put degn ( = то or
degRM ( = то, respectively. In this paper, we study the problem of characterizing the
class D of all associative, commutative rings R such that these degrees coincide for
functions over R, i.e., degn ( = degRM ( for all m ^ 0 and all functions (: Rm ^ R.
We solve this problem when the additive group R of the ring R belongs to some large
classes of abelian groups. Namely, our main results are as follows: 1) if R is torsion
or finitely generated, then R e D if and only if R = Z/dZ for some square-free integer
d ^ 1; 2) if R is not reduced, then R e D if and only if R = (Z/dZ) ф Q for some
square-free integer d ^ 1; 3) if R is a direct sum of rank 1 subgroups, then R e D if
and only if R = Z/dZ or R = (Z/dZ) ф Q for some square-free integer d ^ 1; 4) if R
is reduced and cotorsion, then R e D if and only if R = П (Z/pZ) for some set P of
peP
prime numbers. The proof of these results is based on the fact that any ring in D is an E-ring.
Keywords: associative ring, commutative ring, Abelian group, additive group of a ring, polynomial, degree of a function, E-ring, Newton's formula.
Введение
В настоящей работе аддитивная группа произвольного кольца обозначается рукописным вариантом буквы, обозначающей это кольцо. Например, Q, Z и Zn (где n целое положительное число)—это аддитивные группы поля q рациональных чисел, кольца z целых чисел и кольца zn = z/nz соответственно. Для произвольного k e z положим nfc = {n e z : n ^ k}. Пусть также p — множество всех простых чисел. Все абелевы группы записываются аддитивно. Будем придерживаться соглашения о том, что сумма пустого множества элементов абелевой группы (в частности, аддитивной группы кольца) равна 0. Аналогично, произведение пустого набора элементов ассоциативного кольца с единицей считается равным 1; в частности, r0 = 1 для любого элемента r такого кольца.
Для m e n0 через Xm обозначается прямое произведение m экземпляров множества, группы или кольца X. В частности, X0 состоит из одного элемента. Пусть
(Xi : i e I) — семейство колец или абелевых групп. Тогда через П Xi и ф Xi будем
iei iei
обозначать соответственно прямое произведение (называемое также полной прямой
суммой) и внешнюю прямую сумму этого семейства. Разумеется, если I конечно, то
П Xi = ф Xj. Символом ф обозначается бинарная операция прямой суммы (как внеш-iei iei
ней, так и внутренней). Операция П используется и для произвольных (не обязательно
абелевых) групп, записываемых мультипликативно; для них она называется операцией декартова произведения. Элементы ]/[ X обозначаются (xi : i G I), где xi G Xi для
iei
всех i G I.
Пусть m G n0 и R — ассоциативное коммутативное кольцо (вообще говоря, без единицы). Для каждого n G n_i обозначим через nn(R,m) множество всех функций из Rm в R, представимых многочленами степени не более n от m переменных над кольцом R. Нулевому многочлену приписываем степень -1. Другими словами, nn(R,m) состоит из всевозможных сумм функций вида (x1,...,xm) М- rxi1 ... xis (x1,...,xm G R), где r G R, 0 ^ s ^ n и 1 ^ i1 ^ ... ^ is ^ m. В частности, n_i(R,m) = {0} (функция, тождественно равная 0, также обозначается через 0). Из определения следует, что Пп(R, m) С nn+1(R, m) для всех n G n_1. Пусть так-
оо
же n(R,m) = (J nn(R,m). Естественно определить степень произвольной функции
n=_1
р: Rm ^ R как min{n G n_1 : р G nn(R,m)}, если р G n(R,m), и то в противном случае. Эту степень обозначим через degn р.
С другой стороны, для каждого n G n_1 можно определить множество RMn(Rm, R), следуя [1]. Подчеркнём, что в определении этого множества участвует не кольцо R, а лишь его аддитивная группа R. Приведём определение множеств RMn(G, A) для произвольной группы G и произвольной абелевой группы A (см. также [2]; там эти множества обозначаются через Фга^, A)). Напомним, что производной функции р: G ^ A по направлению g G G называется функция dgр: G ^ A, определённая равенством (dgр)(х) = р(xg) — р(х) для каждого x G G. Множества RMn(G, A) определяются индукцией по n следующим образом:
RM_1(G,A) = {0}, RM„(G,A) = {р: G ^ A : Vg G G (дйр G RM„_1(G,A))} при n G no.
Отметим, что в работе [1] таким образом определены множества RMn(G, A) (n G n_1) в случае, когда G и A — конечные абелевы группы. Легко видеть, что
RMn(G, A) = {р: G ^ A : Vg1,... ,gn+1 g G (dgi.. .дЯп+1 р = 0)}, поэтому RMn(G, A) С RMn+1(G, A) для каждого n G n_1. Положим также RM(G, A) =
оо
= U RMn(G,A).
Обозначение RMn(G, A) указывает на связь этого множества с кодом Рида — Мал-лера порядка n. Действительно, p-ичный код Рида — Маллера порядка n и длины pm (где p — простое число) может быть определён как nn(zp, m). В то же время известно, что nn(zp,m) = RMn(Zpm Zp) для всех p G p, m G n0 и n G n_1 ([3, свойство B7], а также следствие 1 ниже). Можно также рассматривать RMn(Rm,R) как множество функций степени не более n, альтернативное nn(R, m). Соответствующую степень произвольной функции р: Rm ^ R обозначим через degRM р, а именно:
fmin{n G n_ 1 : р G RMn(Rm,R)}, если р G RM(Rm,R),
degRM р = S
I то в противном случае.
Замечание 1. Непосредственно проверяется, что если п G nn(R,m), где n G n0, то dvп G nn_1(R,m) при любом v G Rm. Поэтому индукция по n показывает, что nn(R,m) С RMn(Rm, R) для всех n G n_1. Следовательно, degRM р ^ degn р для любой функции р: Rm ^ R.
В настоящей работе изучается следующий вопрос: для каких ассоциативных коммутативных колец Я равенство degп ^ = degRM ^ верно для всех т € n0 и всех функций ^: Ят ^ Я? Эквивалентным образом этот вопрос можно сформулировать так: для каких ассоциативных коммутативных колец Я равенство Пп(Я,т) = КМга(^т, справедливо при любых т € n0 и п € n-1? Класс всех таких колец обозначим через ф. Ранее было известно, что zp € ф для всех простых чисел р ([3, свойство В7]; для р = 2 этот факт отмечается в разд. 2 работы [1]). Отметим также результат А. В. Черемушкина [4, теорема 6]: для любой функции п € П(Ърк, т), где р € р и к,т € n1, имеет место равенство degп п = degRM п. Это утверждение эквивалентно тому, что Пп(Ърк, т) = ИМп(2Гт, 2рк) П П(zpfc, т) для всех п € и всех р, к и т указанного вида. Отметим, что из этого результата, следствия 1, замечания 5 и эквивалентности из доказательства леммы 3 вытекает, что данный результат верен для
колец z( и zd Ф о при всех d € n1, а также для колец вида П zpfcp, где Р С р и
реР
кр € n1 для всех р € Р.
Полное описание класса ф автору неизвестно. В настоящей работе даётся частичное описание этого класса при некоторых достаточно общих предположениях о группе Чтобы сформулировать основные результаты, напомним некоторые определения из теории абелевых групп. Пусть А — абелева группа. Определение ранга группы А дано, например, в [5, т. 1, разд. 16; 6, гл. 3, разд. 4]. Для наших целей достаточно знать, что группа А имеет ранг 1, если и только если А является либо ненулевой циклической р-группой, либо квазициклической р-группой (где р — простое число), либо изоморфна некоторой ненулевой подгруппе <2 [5, т. 1, разд. 16, упр. 6 (Ь); 6, гл. 3, разд. 4, упр. (2)]. Группа А называется делимой, если кА = А для всех к € р-делимой для простого числа р, если рА = А, и редуцированной, если она не содержит ненулевых делимых подгрупп [5, т. 1, разд. 20, 21; 6, гл.4, разд. 1]. Наконец, группа А называется копе-риодической, если А имеет прямое дополнение во всякой своей абелевой надгруппе В, такой, что В/А не имеет кручения [5, т. 1, разд. 54; гл. 9, разд. 6].
Напомним, что число d € n называется свободным от квадратов, если d = р1.. .рг, где I € n0 и р1,..., рг — различные простые числа; поле называется простым, если оно не содержит собственных подполей. Известно, что поле просто тогда и только тогда, когда оно изоморфно о или zp для некоторого простого числа р. Приведём основные результаты настоящей работы (см. теорему 1):
1. Если группа ^ периодична или конечно порождена, то Я € ф тогда и только тогда, когда Я = z( для некоторого свободного от квадратов числа d € n1.
2. Если группа ^ не редуцирована, то Я € ф тогда и только тогда, когда Я = = zd Ф о для некоторого свободного от квадратов числа d €
3. Если группа ^ является прямой суммой подгрупп ранга 1, то Я € ф тогда и только тогда, когда Я = z( или Я = z( Ф о для некоторого свободного от квадратов числа d € n1 (другими словами, когда Я изоморфно прямой сумме конечного числа простых полей различных характеристик).
4. Если группа ^ редуцирована и копериодична, то Я € ф тогда и только тогда,
когда Я = П zp для некоторого множества Р простых чисел. реР
Здесь и далее через = обозначается отношение изоморфизма. Доказательство основных результатов работы основано на том, что все кольца из класса ф являются Е-кольцами (утверждение 1; определение Е-кольца приведено в п. 3), а именно используются результаты П. Шульца [7] и Р. Боушелла и Шульца [8], в которых описаны Е-кольца,
аддитивные группы которых удовлетворяют условиям, указанным в основных результатах, за исключением условия конечной порождённости (см. лемму 5).
Результаты работы позволяют описать все алгебры над полями, принадлежащие d, а именно: если R — алгебра над каким-либо полем F, то R e d тогда и только тогда, когда либо R = F, причём F — простое поле, либо R = {0}. Этот факт легко вывести как из приведённых выше основных, так и из некоторых промежуточных результатов (утверждение 2). В частности, поле принадлежит классу d, если и только если оно является простым.
1. Случай, когда R является прямым произведением
Введём некоторые обозначения. Через Fun(X, Y) обозначим множество всех функций из X в Y. Если e Fun(X, Y) и ф e Fun(Y, Z), то ф(^) e Fun(X, Z) —композиция функций ^ и ф (в этом порядке). Пусть также Hom(G, H) —множество всех гомоморфизмов группы G в группу H. Если H — абелева группа, то Hom(G, H) является абелевой группой относительно поточечного сложения. Кроме того, через End A обозначается кольцо всех эндоморфизмов абелевой группы A, в котором сложение осуществляется поточечно, а умножением является композиция.
Пусть G — группа и A — абелева группа. Удобно рассматривать множество Fun(G, A) как левый модуль над групповым кольцом zG, в котором сложение осуществляется поточечно, а действие кольца zG определяется формулой
Е кг#г (х) = Е кг^(хд*), где € БЪп(С, А); X € С; 5 € n0; кг € z и дг € С
г=1 / / г=1
для всех г € {1,..., з}. Такой подход используется в работе [2] (там рассматривается несколько другое действие, однако его отличие от действия настоящей работы не принципиально). Очевидно, что если ^ € Рип(С, А) и д € С, то
д9 ^ = (д - 1)^. (1)
Поэтому
^ € ЯМп(С, А) ^ Vд1,..., дп+1 € С ((д1 - 1)... (дп+1 - % = 0) (2)
для произвольных € Рцп(С, А) и п €
Замечание 2. Легко видеть, что ЯМ0(С,А) есть множество всех функций-констант из С в А, а ЯМ1(С, А) —множество всех функций вида х м п(х) + а (х € С), где п € Нот(С, А) и а € А [1, разд. 2; 2, замечание 5]. Поэтому если Нот(С, А) = {0}, то ЯМ(С, А) состоит из всех функций-констант из С в А, т. е. совпадает с ИМ0(С, А).
Очевидно, что П-1(Я,т) = {0} = ЯМ-1(^т,Используя приведённое выше описание ЯМ0(С, А), получаем, что П0(Я, т) = ЯМ0(^т, "&). Кроме того, Пп(Я, 0) = = П0(Я, 0) = ЯМ0(^0, = И,Мп/(^0, для всех п, пП € n0, так как все функции из одноэлементного множества Я0 в Я являются константами.
Замечание 3. Пусть £ € Нот(С, Н) для некоторой группы Н. Продолжение этого гомоморфизма до гомоморфизма кольца zG в кольцо zH по линейности также будем обозначать через £. Непосредственно проверяется, что а(ф(£)) = (£(а)ф)(£) для любых ф € Рип(Н, А) и а € zG. Кроме того, функция ф м ф(£) (ф € Рип(Н, А)) является гомоморфизмом аддитивной группы Рип(Н, А) в аддитивную группу Еип(С, А). Таким образом, эта функция обладает свойством, аналогичным полулинейности. Легко также видеть, что если п € Нот(А, В), где В — абелева группа, то функция ^ м п(^) (^ € Рип(С, А)) —гомоморфизм zG-модуля Еип(С, А) в zG-модуль Еип(С, В).
Соберём нужные свойства множеств И,Мга(С, А). Замечание 4. Пусть п € n-1. Тогда:
1) И,Мга(С, А) — подмодуль zС-модуля Рцп(С, А);
2) если А — подгруппа некоторой абелевой группы В, то И,Мга(С, А) = И,Мга(С, В) П П Рип(С,А);
3) если р € И,Мга(С, А), то р|н € И,Мга(Н, А) для любой подгруппы Н группы С;
4) если ф € ЯМга(Н, А) и £ € Нот(С, Н) для некоторой группы Н, то ф(£) € € ИМга(С, А);
5) если р € И,Мга(С,А) и п € Нот(А, В) для некоторой абелевой группы В, то п(р) € ИМ„(С, В).
Все эти свойства проверяются непосредственно с использованием эквивалентности (2) и замечания 3 (см. также [2, замечания 2-4]).
Пусть С = П Сг и А = П А,, где Сг — группа и Аг — абелева группа для каждого ге/ ге/
г € I. Для произвольного г € I считаем Сг подгруппой группы С, отождествляя произвольный элемент дг € Сг с (д : € I) € С, где д = 1 при всех € I \ {г}. Обозначим через проекцию С на Сг, а через п — проекцию А на Аг (г € I).
Лемма 1. Предположим, что Нот^^дд С, Аг) = {0} для всех г € I. Пусть р € Рип(С, А) и п € n-1. Тогда
р € ИМга(С, А) ^ Vг € I (пг(р) = Пг(р(Сг)) & Пг(рк) € КМ„(Сг, Аг)).
Доказательство. Докажем импликацию «=^». Пусть р € И,Мга(С, А) и г € I. Обозначим через Нг подгруппу С, состоящую из всех (д : ^ € I) € С, таких, что дг = 1. Тогда Нг = П С/ и С является прямым произведением подгрупп Нг и Сг. ¿е/\М
Пусть также дг € Сг. Из свойств 1, 3 и 5 замечания 4 следует, что п((д»р)|я4) € € КМга(Нг,Аг) С ИМ(Нг,Аг). Но ввиду замечания 2 И,М(Нг,Аг) состоит из функций-констант из Рип(Нг,Аг), так как Нот(Нг,Аг) = {0} согласно предположению леммы. Поэтому Пг(р(^гдг)) = Пг(рЫ) = Пг(р(Сг(^гдг))) для любого Л,г € Нг. Таким образом, Пг(р) = Пг(р(Сг)). Кроме того, из свойств 3 и 5 замечания 4 вытекает, что п(р|с4) € € И,Мга(Сг, Аг). Импликация «=^» доказана.
Докажем теперь импликацию «^=». Предположим, что Пг(р) = Пг(р(&)) и Пг(р|с4) € КМ„(Сг,Аг) для всех г € I. Пусть д1,..., дп+1 € С. Положим для краткости а = (д1 — 1) ... (дп+1 — 1). Тогда для каждого г € I
Пг(ар) = а(пг(р)) = а(Пг(р(Сг))) = ((£гЫ — 1) ... (6(^+1) — 1)(Пг(р)))(&) = 0
ввиду замечания 3 и эквивалентности (2). Следовательно, ар = 0. Таким образом, р € И,Мга(С,А) (см. эквивалентность (2)). Импликация «^=» доказана. ■
Лемма 1 может быть сформулирована следующим образом: если Нот ПС, Аг
уе/\М
= {0} для всех г € I, то ИМга(С,А) (п € ^^ состоит из тех и только тех функций р € Рип(С, А), которые имеют вид
(х : г € I) М- (рг(хг) : г € I) (х € С,),
где рг € КМга(Сг, Аг) при любом г € I. Очевидно, что функции рг определяются такой функцией р однозначно, а именно: рг = Пг(р|с4) для всех г € I.
Пусть теперь Я = Яг, где Яг — ассоциативное коммутативное кольцо для каж-ге/
дого г € I. Тогда Ят естественно отождествляется с П Ят. Для произвольного
ге/
г € I считаем Яг идеалом кольца Я, отождествляя произвольный элемент гг € Яг с (г, : € I) € Я, где г, = 0 при всех ] € I \ {г}. Обозначим через пг проекцию Я на Яг, а через £г — проекцию Ят на Ят, определённую равенством £г(х1,...,хт) = = (Пг(х1), . . . ,Пг(хт)) для всех хЬ . . . ,хт € Я.
Замечание 5. Пусть ^ € Рип(Ят, Я) и п € n-1. Тогда непосредственно проверяется, что
€ Пп(Я,т) ^^ Vг € I (Пг(^) = Пг(^(£г)) & ПгМят) € П«(Я,т)). Лемма 2.
1. Пусть п € n-1. Тогда если Пп(Я,т) = ИМп(Ят,Я), то Пп(Яг,т) = ИМп(Ят, Яг) для всех г € I.
2. Если П(Я,т) = ИМ(Ят,Я), то П(Яг,т) = ИМ(Ят,Яг) для всех г € I.
Доказательство. Докажем утверждение 1. Предположим, что Пп(Я,т) = = ИМп(Ят,Я). Пусть г € I и ^ € ИМп(Ят, Яг). Положим ^ = ^¿(£г). Тогда ^ € ИМп(Ят, Я) ввиду свойств 4 и 2 замечания 4. Следовательно, ^ € Пп(Я, т). Из замечания 5 вытекает, что = Пг(^г) = пД^Д™) € Пп(Яг,т) (очевидно, что = ). Таким образом, ИМп(Ят, Яг) С Пп(Яг,т), а обратное включение имеет место ввиду замечания 1. Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2 доказывается так же, за исключением того, что ^ € Пп/ (Я,т) и € Пп(Яг,т) для некоторого п' € ^^ вообще говоря, отличного от п. Поэтому если П(Я,т) = ИМ(Ят,Я), то ИМ(Ят,Яг) С П(Яг,т) для любого г € I, а обратное включение следует из замечания 1. ■
Лемма 3. Предположим, что Нот^-^д^} Я,, Яг) = {0} для всех г € I. Пусть п € Тогда
Пп(Я,т) = ИМп(Ят,Я) ^ Vг € I (Пп(Яг, т) = ИМп(Ят,Яг)).
В частности, Я € если и только если Яг € ® для каждого г € I.
Доказательство. Ввиду утверждения 1 леммы 2 достаточно доказать лишь импликацию «<^=». Пусть ^ € Рип(Ят,Я). Из предположения леммы следует, что
Нот ( П Ят, ЯП = {0} для всех г € I. Поэтому
уе/\{г} /
^ € ИМп(Ят, Я) ^ V г € I (ПгЫ = Пг(^(£г)) & ПгМдГ ) € ИМп^, Яг))
согласно лемме 1. Требуемая импликация «<^=» непосредственно вытекает из замечания 5 и этой эквивалентности. ■
Отметим, что если множество I конечно (в этом случае Я = ф Яг), то предполо-
ге/
жение леммы 3 выполнено тогда и только тогда, когда Нот(Яг, Я,) = {0} для любых различных г,^ € I.
2. Случай, когда Я — простое поле
Далее предполагаем, что кольцо Я содержит единицу. Для произвольного к € ^ будем обозначать элемент к1 этого кольца через к, если это не вызывает недоразумений. Аналогично предыдущему, рассматриваем множество Рип(Я.т,Я) как модуль над групповым кольцом ЯЯ.т. Для удобства записи элементов этого группового кольца введём формальный символ g и вместо произвольного элемента V € будем писать gv. При этом, разумеется, gu+v = gugv для любых и, V € Я™; обозначим также g0 через 1. Таким образом, элементы группового кольца ЯЯ.т будут записываться
в виде £ г^^, где 5 € n0, гг € Я и vг € Я™ для всех г € {1,...,з}; результатом
г=1
действия этого элемента на произвольную функцию р € Рип(Я.т, Я) является функция х М £ ггр(х + VI) (х € Я.т). Сложение в Рип(Я.т, Я) осуществляется поточечно.
г=1
Формула (1) для производной в данной ситуации приобретает вид
д* р = ^ — 1)р, (3)
где р € Еип(Ят, Я) и V € Я™. Отметим, что если Я конечно, то Рип(Ят, Я) и ЯЯт изоморфны как ЯЯт-модули; изоморфизмом первого из этих модулей на второй является функция р М £ р(х^-ж (р € Еип(Ят, Я)).
Очевидно, что для любого п € n-1 множества Пп(Я,т) и КМга(Ят, Я) являются подмодулями ЯЯт-модуля Еип(Ят,Я). Легко также видеть, что для любого V € Ят оператор взятия производной по направлению V (обозначаемый через ) является эндоморфизмом ЯЯт-модуля Еип(Ят, Я), отображающим И,Мга(Ят, Я) в ИМга-1(Ят, Я) для каждого п € n0.
Для каждого г € {1,..., т} положим ег = (0,... , 0,1, 0,... , 0), где единица стоит на г-м месте. В зависимости от контекста ег может быть элементом как Ят, так и Будем рассматривать n2^ как прямое произведение т упорядоченных множеств n0 с обычным отношением порядка Другими словами, к ^ I (или I ^ к), где к = = (к1,... , кт) и I = (/1,... , /т) — произвольные наборы из n2^, если и только если кг ^ /г для всех г € {1,... , т}. Для произвольной функции р € Рип(Ят, Я) и произвольного к = (к1,..., кт) € ^ положим дкр = ... р.
Пусть теперь Я — поле, с — его характеристика. Положим !с = n0, если с = 0, и Ic = {0,... , с — 1} в противном случае. Пусть также
!Г(п) = {(к1, . . . , кт) € ^ : к1 + ■ ■ ■ + кт ^ п}
для произвольного п € n-1. Как обычно, если у € Я и £ € !с, то
^ = у(у — 1)... (у — £ + 1)
Кроме того, для произвольных х = (х1,... , хт) € Ят и к = (к1,..., кт) € ^ положим
/х\ = /хЛ /хт\
Ы = ..\к^.
Лемма 4. Предположим, что Я — простое поле. Пусть р € КМга(Ят,Я), где п € ^1. Тогда для любого х € Ят имеет место равенство
р(х) = Е к (дкр)(0), (4)
где с — характеристика поля Д.
Доказательство. Пусть I = (/ь ..., /т) е /т. Непосредственно проверяется, что
8'р = (п(Г )'') V = (й((8е- - 1) + 1)'Л р = (п ( .Е(£) (8е- - Ч") ) р = = е (к к р = е (к V Р = 5: (к к р.
Здесь мы воспользовались формулой (3) и следующими фактами:
— если к е /т \ /т(п), то ('р = 0 (вытекает из того, что р е КМга(Ят, Я));
— если к е /т и к ^ /, то ^^ = 0 (вытекает из того, что ^^ = 0 при любых * е /с
и у е{0,...,* - 1}). Взяв значения функций из (5) в 0, получаем
р(1) = Е (Г) (д'р)(0). (6)
ке/^п) \ к/
Из этой формулы непосредственно вытекает утверждение леммы в случае, когда с = 0.
С этого момента и до окончания доказательства леммы будем рассматривать случай, когда с = 0. Тогда можно считать, что Д = q. Для доказательства леммы в этом случае воспользуемся индукцией по п. При п = —1 утверждение леммы верно, так как ИМ-1(2т, <2) = {0} и /0т(—1) = 0. Пусть теперь п е n и формула (4) верна для всех функций из ИМп-1(2т, <2) и всех х е о™. Определим функцию п: о™ ^ о равенством
п(х)= Е (х) (д'ер)(0)
'е/^га) \ 1/
для всех х е и положим ф = р — п. Очевидно, что п е Пп(о,т) С ИМп(2т, 2) (см. замечание 1) и, следовательно, ф е ИМга(2т, 2). Для завершения доказательства требуется показать, что ф = 0. Так как ф(х) = 0 для всех х е /т = (ввиду формулы (6)), для этого достаточно доказать, что ф — константа. В свою очередь, последнее условие эквивалентно тому, что д^ф = 0 для всех V е (см. замечание 2). Положим Ь = {V е <2т : д^ф = 0} и покажем, что Ь = <2т. Это вытекает из следующих утверждений:
1) б1,... ,ет е Ь;
2) Ь — подгруппа <2т;
3) если V е Ь и d е м1, то v/d е Ь.
Докажем утверждение 1. Пусть г е {1,... , т} и х е Из известного и легко проверяемого равенства
'у + Л _ (Л = ( у
* / V V V* — 1
справедливого для всех у е о и * е м1, следует, что
(де-п)(х) = Е х ) (дер)(0) = Е (х) (д'+е-р)(0).
Здесь мы воспользовались тем, что l М- l — е» — биекция {l G /¿""(n) : l ^ e» j на /m(n— 1). С другой стороны, предположение индукции, применённое к deiр, даёт равенство
(dei р)(х) = Е (У) (dk+ei р)(0) fce/m(ra-lA '
(очевидно, что операторы взятия производных по разным направлениям коммутируют). Поэтому deiф = deiр — deiп = 0, т.е. e» G L. Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2 непосредственно вытекает из равенств д0ф = 0, ф = gudvф + + диф и ф = —g-vф, имеющих место для любых u, v G Qm. Эти равенства легко получить, используя формулу (3).
Докажем утверждение 3. Обозначим через А фундаментальный идеал групповой алгебры qQm, т.е. ядро гомоморфизма q-алгебр т: qQm М q, такого, что
т I rigvM = Е Г для всех s G n0, г» G q и v» G Qm (i G {1,... , sj). Легко видеть,
\i=1 J i=1
что А порождается как векторное пространство над q и как qQm-идеал множеством {gv — 1 : v G Qmj.
Пусть v G L и d G n1. Положим u = v/d. Обозначим через А(п) n-ю степень идеала А; при n = 0 полагаем А(0) = qQm. Так как д„ф G RM„-i(Qm, Q), из формулы (3) вытекает, что А(п)диф = {0} (см. также лемму 2 из [2]). Непосредственно проверяется (с использованием формулы (3)), что ф = адиф, где а = 1 + gu + ■ ■ ■ + g(d-1)u g qQm. Теперь воспользуемся тем, что по модулю А(п) любой элемент qQm \ А (в частности, а) обратим, а именно: пусть 8 =1 — а/d и в = (1 + 8 + ••• + 8n-1)/d. Тогда легко видеть, что 8 G А (так как т(а) = d) и ва = 1 — 8n = 1 (mod А(п)). Поэтому диф = вадиф = edvф = 0, т. е. u = v/d G L. Утверждение 3 доказано. ■
Формулу (4) можно рассматривать как вариант формулы Ньютона. Другие варианты формулы Ньютона см., например, в [4, разд. 4; 9, разд. 6.2]. Из доказательства леммы 4 (см. формулу (6)) вытекает, что формула (4) верна, если R — произвольное поле характеристики 0 и р G nn(R,m). (Здесь используется также известное утверждение о том, что если R — поле, X — его бесконечное подмножество, а р и п — функции из n(R,m) такие, что р|хт = п|х™, то р = п.) Вероятно, этот факт известен специалистам, так же как и формула (4) для функций из nn(zp,m), где p — простое число. Однако нашей задачей является доказательство формулы (4) для функций из RMn(Rm, R) (а не просто из nn(R, m)), если R — простое поле. Это позволяет показать, что RMn(Rm, R) С nn(R, m) для всех n G n-1, так как в правой части формулы (4) стоит п(х) для некоторой функции п G nn(R, m). Обратное включение имеет место ввиду замечания 1. Таким образом, получаем
Следствие 1. Все простые поля принадлежат классу D.
Для конечных простых полей это утверждение известно (см. [3, свойство B7], где оно сформулировано на языке степеней). При p =2 оно отмечается в [1, разд. 2].
3. Доказательство основных результатов
Ассоциативное кольцо S с единицей называется E-кольцом, если выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
— всякий эндоморфизм группы S является эндоморфизмом S как правого S-модуля, т. е. имеет вид x М sx (x G S) при некотором s G S;
— кольцо S коммутативно и S = End S;
— кольцо End S коммутативно
(см. [6, гл.18, разд. 6; 7, разд. 3; 8, разд. 1]). Понятие E-кольца понадобится потому, что всякое кольцо из класса d является E-кольцом (см. утверждение 1 далее).
Пусть P С p. Через z[1/P] будем обозначать подкольцо q, порождённое множеством {1} U {1/p | p G P}. Другими словами, z[1/P] —это множество всех k/Z, где k G z, Z G n1, причём все простые делители Z принадлежат P. В частности, z[1/0] = z и z[1/p] = q. Для произвольного простого числа p через jp будем обозначать кольцо целых p-адических чисел.
Замечание 6. Пусть S — кольцо с единицей, аддитивная группа которого является группой ранга 1 без кручения. Тогда для любого s G S существуют ks G z и Zs G n1, удовлетворяющие равенству Zss = ks1. Непосредственно проверяется, что s М ks/Zs (s G S) — корректно определённый инъективный гомоморфизм из кольца S в поле q. Образ S при этом гомоморфизме содержит z, поэтому этот образ есть z[1/X], где X = {p G p : 1 G pS} (см. теорему 2.2 из работы [10] и её доказательство). Таким образом, S = z[1/X].
Утверждение 1. Кольцо R является E-кольцом (в частности, имеет единицу) тогда и только тогда, когда n1(R, 1) = RM1(R,R). В частности, если R G d, то R — E-кольцо.
Доказательство. Согласно замечанию 2, RM1(R, R) есть множество всех функций вида x М- e(x) + r (x G R), где e G EndR и r G R. Поэтому если R — E-кольцо, то RM1(R, R) С n1(R, 1) и, следовательно, n1(R, 1) = RM1 (R, R) ввиду замечания 1. Обратно, пусть n1(R, 1) = RM1(R,R). Тогда из описания множества RM1(R,R) вытекает, что все эндоморфизмы группы R имеют вид x М sx (x G R), где s G R. В частности, кольцо R имеет единицу. Таким образом, R является E-кольцом. ■
Приведём нужные свойства E-колец.
Лемма 5. Предположим, что R является E-кольцом. Тогда:
1) если R = A ф B для некоторых подгрупп A и B группы R, то Hom(A, B) = {0};
2) если S — ассоциативное кольцо с единицей, такое, что S = R, то S = R;
3) если группа R периодична, то R = zd для некоторого d G n1;
4) если группа R не редуцирована, то R = zd ф q для некоторого d G n1;
5) если группа R является прямой суммой подгрупп ранга 1, то R = zd ф
k
ф ф z[1/Xj], где d G n1; k G no; X1,...,Xk — множества простых чисел, со-i=1
держащие все простые делители числа d, причём Xj ^ Xj при i = j (i, j G
G {1,... , k});
6) если группа R редуцирована и копериодична, то R = П Rp, где P С p и
peP
Rp G {zpfc : k G n1} U {jp} для каждого p G P.
Доказательство. Утверждение 1 следует из свойства D E-колец [6, гл. 18, разд. 6]. Впрочем, это утверждение легко доказать непосредственно: если R = A ф B, £ — проекция R на A и п — ненулевой гомоморфизм из A в B, то эндоморфизмы £ и п(£) группы R не коммутируют. Утверждение 2 вытекает из следствия 4 в [7]. Оно тоже легко доказывается: если S = R, то S — E-кольцо (так как End S изоморфно коммутативному кольцу End R) и S = End S = End R = R. Утверждение 3 следует из теоремы 1 в [7] (см. также [6, гл. 18, лемма6.4, (i); 8, предложение 1.4, (ii)]). Утверждение 4 вытекает из теоремы 3 работы [7] (см. также [6, гл. 18, лемма6.4, (ii); 8, предложение 1.4, (iii)]). Пусть теперь R является прямой суммой подгрупп ранга 1. Тогда
k
из теоремы 2 в [7] следует, что R = zd ф ф R», где d G n1; k G n0; R1,..., Rk — ассо-
¿=1
циативные коммутативные кольца с единицей, аддитивные группы которых не имеют кручения, имеют ранг 1, являются p-делимыми для любого простого делителя p числа d и имеют попарно несравнимые типы. О типах абелевых групп без кручения ранга 1 см. [5, т. 2, разд. 85; 6, гл. 12, разд. 1]. Замечание 6 показывает, что R» = z[1/X,j] для каждого i G {1,... , kj, где X» С p. При этом множество X» для каждого i G {1,..., kj содержит все простые делители числа d, так как группа Z [1/X] p-делима (где p G p и X С p) тогда и только тогда, когда p G X. Кроме того, тип Z[1/X] не превосходит типа Z[1/Y], если и только если X С Y (X, Y С p). Это показывает, что X» £ Xj при i = j (i,j G {1,... , kj). Таким образом, утверждение 5 доказано. Наконец, утверждение 6 доказано в теореме 3.3 в [8] (см. также [6, гл. 18, теорема6.6]). ■
Утверждение 2. Пусть R — алгебра над каким-либо полем F. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) R G d;
2) n1(R, 1) = RM1(R,R);
3) R — E-кольцо;
4) либо R = F, причём F — простое поле, либо R = {0j.
Доказательство. Импликация 1 2 тривиальна, импликация 2 3 доказана в утверждении 1, а импликация 4 1 вытекает из следствия 1. Осталось доказать импликацию 3 4. Достаточно рассмотреть случай, когда R — ненулевое E-кольцо. Тогда группа R изоморфна прямой сумме dim^ R экземпляров группы F. Из утверждения 1 леммы 5 следует, что dimF R =1. Поэтому R = F и R = F (см. утверждение 2 леммы 5). Пусть теперь K — простое подполе поля F. Рассуждая аналогично, получим, что F = K. Импликация 3 4 доказана. ■
Замечание 7. Пусть п G n(R, m). Пусть также / — идеал кольца R и x1,y1, ... , xm, ym G R. Тогда легко видеть, что
Vi G {1,..., mj (x» = y (mod /))=^ п^,...^) = п(уь...,ут) (mod /).
Лемма 6. Пусть p — простое число и k G n2. Тогда n(zpk, 1) = RM(Zpk, Zpk). В частности, zpk G d.
Доказательство. Согласно теореме 2 (или теореме 1) из [2], RM(Zpk, Zpk) совпадает с множеством всех функций из zpk в zpk. Известно, что не все такие функции принадлежат n(zpk, 1). Действительно, из замечания 7 следует, что если функция р : Zpk у zpk удовлетворяет условиям р(0) = 0 и р(^) = 1, то р G n(zpk, 1). ■
Лемма 7. Пусть X — собственное подмножество множества p. Тогда RMp(Z[1/X], Z[1/X]) £ n(z[1/X], 1) для любого p G p\X. В частности, n(z[1/X], 1) = RM(Z[1/X], Z[1/x]) и z[1/X] G d.
Доказательство. Пусть p G p \ X. Определим функцию п G np(z[1/X], 1) формулой п^) = xp — x (x G z[1/X]). Легко видеть, что z[1/X]/pz[1/X] = zp (так как каждый элемент z[1/X] представим дробью, знаменатель которой обратим по модулю p). Поэтому ^z[1/X]) С pz[1/X] и п/p отображает z[1/X] в z[1/X]. Кроме того, ... dVp+1 (п/p) = (5V1 ... dVp+1 п)/p = 0 для любых v1,..., vp+1 G Z[1/X], так как п G RMp(Z[1/X], Z[1/X]) (ввиду +амечания 1). Поэтому п/p G RMp(Z[1/X], Z[1/X]). Но легко видеть, что п/p G n(z[1/X], 1). Действительно, в противном случае функ-
ция п на бесконечном подмножестве z[1/X] поля о была бы представима многочленом с коэффициентами из рй[1/Х], что невозможно. ■
Замечание 8. В работе [11] Р. Димитрич ввёл понятие коузкой абелевой группы, а именно: абелева группа А коузка, если и только если Нот(А, 2) = {0} или, что эквивалентно, А не содержит бесконечной циклической подгруппы, имеющей в А прямое дополнение (см. теорему 3 указанной работы). Предположим, что Д — Е-кольцо и П(Д, 1) = ИМ(Я,Я) (ввиду утверждения 1 это верно, если Д е ф). Покажем, что тогда группа Я коузка. Пусть это не так. Тогда Я = 2 ф В для некоторой абелевой группы В. Утверждение 1 леммы 5 показывает, что Нот(2, В) = {0}. Следовательно, В = {0}, так как для любого Ь е В существует гомоморфизм из 2 в В, переводящий 1 в Ь. Таким образом, Я = 2 и Д = z (см. утверждение 2 леммы 5). Но тогда ИМр(Я,Я) ^ П(Д, 1) для любого р е р ввиду леммы 7 (так как z = z[1/0]), что противоречит сделанному выше предположению.
Лемма 8. Пусть р — простое число. Тогда ИМр(^р, ^р) ^ П(1р, 1). В частности,
п(1р, 1) = им(^р, ^р) и 1р е
Доказательство. Известно, что 1р/р1р = zp. Кроме того, 1р является бесконечным подкольцом поля р-адических чисел. Поэтому, рассуждая так же, как в доказательстве леммы 7, легко показать, что функция х М- (хр — х)/р (х е 1р) принадлежит ИМр(^р, ^р), но не П(1р, 1). ■
Теорема 1.
1. Если группа Я периодична или конечно порождена, то Д е ф тогда и только тогда, когда Д = zd для некоторого свободного от квадратов числа d е м1.
2. Если группа Я не редуцирована, то Д е ф тогда и только тогда, когда Д = = zd ф о для некоторого свободного от квадратов числа d е м1.
3. Если группа Я является прямой суммой подгрупп ранга 1, то Д е ф тогда и только тогда, когда Д = zd или Д = zd ф о для некоторого свободного от квадратов числа d е (другими словами, когда Д изоморфно прямой сумме конечного числа простых полей различных характеристик).
4. Если группа Я редуцирована и копериодична, то Д е ф тогда и только тогда,
когда Д = П zp для некоторого множества Р простых чисел. рер
Доказательство. Докажем сначала импликации «только тогда». Предположим, что Д е ф. Тогда, в частности, Д — Е-кольцо и П(Д, 1) = ИМ(Я, Я) (см. утверждение 1). Если Я периодична, то Д = zd для некоторого d е согласно утверждению 3 леммы 5. Если Я конечно порождена, то из замечания 8 следует, что Я конечна, поэтому данный случай сводится к предыдущему. Если Я не редуцирована, то Д = zd фо для некоторого d е n1 ввиду утверждения 4 леммы 5. Пусть теперь Я является прямой суммой подгрупп ранга 1. Тогда утверждение 5 леммы 5 показывает, что к
Д = zd ф 0 z[1/X¿], где d е n1, к е n0, а Х1,..., X' множества простых чисел, со-
г=1
держащие все простые делители числа d, причём Х^ ^ Х^ при г = ] (г,] е {1,..., к}). Из утверждения 2 леммы 2 вытекает, что П^[1/Х^], 1) = ИМ(2[1/Х^], 2[1/Х^]) для всех г е {1,... , к}. Лемма 7 показывает теперь, что Х1 = • • • = Х' = р. Следовательно, к ^ 1, так как Х^ ^ Х^ при г = ^. Таким образом, в рассматриваемом случае Д = zd или Д = zd ф о (напомним, что z[1 /р] = о).
Для завершения доказательства импликаций «только тогда» в утверждениях 1-3 настоящей теоремы осталось доказать, что во всех рассмотренных выше случаях чис-
ло d свободно от квадратов. Пусть d = П pkp, где D — конечное подмножество p, а
peD
Xp G n1 для всех p G D. Тогда zd = ф zpkp. Пусть теперь p G D. Снова приме-
peD
нив утверждение 2 леммы 2, получаем, что n(zpkp, 1) = RM(Zpkp, Zpkp ). Из леммы 6 вытекает требуемое равенство Xp — 1.
Пусть теперь R редуцирована и копериодична. Тогда утверждение 6 леммы Б показывает, что R = П Rp, где P С p и Rp G {zpk : X G n1} U {jp} для каждого p G P. peP
Из утверждения 2 леммы 2 вытекает, что n(Rp, 1) = RM(Rp, Rp) для всех p G P. Следовательно, Rp = zp ввиду лемм 6 и S. Таким образом, импликации «только тогда» доказаны.
Докажем теперь импликации «тогда». Очевидно, что Hom(Zp, Zq) = {О} для любых
различных простых чисел p и q. Легко также видеть, что Hom(Q, Zp) = {О} (так
как группа Q делима) и Hom(Zp, Q) = {О} (так как группа Q не имеет кручения)
для каждого p G p. Поэтому из следствия l и леммы З вытекает, что ф zp G d и
peD
ф zp ®q G d для любого конечного множества D простых чисел. Отсюда следуют \peD J
импликации «тогда» в утверждениях l-З теоремы.
Пусть теперь P — произвольное подмножество p. Тогда для любого p G P группа
л Zq p-делима и, следовательно, Hom ( П„еР\{и} Zq, Zp 1 = {О}. Поэтому ]/[ zp G d qeP\{p} V } ' peP
ввиду следствия l и леммы З, что и требовалось. Импликации «тогда» доказаны. ■
Замечание 9. Доказательство теоремы l показывает, что указанные в её формулировке изоморфизмы имеют место, даже если R — E-кольцо и n(R, 1) = RM(R, R) (а не только если R G d). Поэтому если группа R удовлетворяет хотя бы одному из условий, указанных в теореме l, то R G d тогда и только тогда, когда R является E-кольцом и n(R, 1) = RM(R, R)
ЛИТЕРАТУРА
1. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Некоторые характеристики «нелинейности» групповых отображений jj Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2001. Т. В. №1. С. 40-54.
2. Анохин М. И. О некоторых множествах групповых функций jj Матем. заметки. 2003. Т. 74. №1. С. 3-11.
3. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции jj Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8). С. 22-33.
4. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции на циклической группе примарного порядка // Прикладная дискретная математика. 2013. №2(20). С. 26-38.
5. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Academic Press, 1970 (v. I), 1973 (v. II). Русс. пер.: Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974 (т. 1), 1977 (т. 2).
6. Fuchs L. Abelian Groups. Springer, 2015.
7. Schultz P. The endomorphism ring of the additive group of a ring jj J. Austral. Math. Soc. 1973. V. 15. No. 1. P. 60-69.
8. Bowshell R. A. and Schultz P. Unital rings whose additive endomorphisms commute jj Math. Ann. 1977. V. 228. No.3. P. 197-214.
9. Riordan J. Combinatorial identities. John Wiley & Sons, 1968. Русс. пер.: Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.
10. Jaballah A. Subrings of Q //J. Sci. Technol. 1997. V. 2. No. 2. P. 1-13.
11. DimitricR. On coslender groups // Glasnik Matem. 1986. V. 21(41). No. 2. P. 327-329.
REFERENCES
1. Logachev O. A., Sal'nikov A. A., and Yashchenko V. V. Nekotorye kharakteristiki "nelineynosti" gruppovykh otobrazheniy [Some characteristics of "nonlinearity" of group mappings]. Diskretn. Anal. Issled. Oper., Ser. 1, 2001, vol.8, no. 1, pp.40-54. (in Russian)
2. Anokhin M. I. On some sets of group functions. Math. Notes, 2003, vol. 74, no. 1, pp. 3-11.
3. Cheremushkin A. V. Additivnyy podkhod k opredeleniyu stepeni nelineynosti diskretnoy funktsii [An additive approach to nonlinear degree of discrete function]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2010, no. 2(8), pp. 22-33. (in Russian)
4. Cheremushkin A. V. Additivnyy podkhod k opredeleniyu stepeni nelineynosti diskretnoy funktsii na tsiklicheskoy gruppe primarnogo poryadka [An additive approach to nonlinearity degree of discrete functions on a primary cyclic group]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2013, no. 2(20), pp. 26-38. (in Russian)
5. Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Academic Press, 1970 (v. I), 1973 (v. II).
6. Fuchs L. Abelian Groups. Springer, 2015.
7. SchultzP. The endomorphism ring of the additive group of a ring. J. Austral. Math. Soc., 1973, vol. 15, no. 1, pp. 60-69.
8. Bowshell R. A. and SchultzP. Unital rings whose additive endomorphisms commute. Math. Ann., 1977, vol.228, no.3, pp. 197-214.
9. Riordan J. Combinatorial identities. John Wiley & Sons, 1968.
10. Jaballah A. Subrings of Q. J. Sci. Technol., 1997, vol.2, no.2, pp. 1-13.
11. Dimitric R. On coslender groups. Glasnik Matem., 1986, vol. 21(41), no. 2, pp. 327-329.
