Абсолютно замкнутые группы в квазимногообразиях абелевых групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

Абсолютно замкнутые группы в квазимногообразиях абелевых групп

С.А. Шахова

Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия)

Absolutely Closed Groups in Quasivarieties of Abelian Groups

S.A. Shakhova

Altai State University (Barnaul, Russia)

Для произвольного квазимногообразия М групп, группы О из М и ее подгруппы Н определим множество ¿ош^(Н), называемое доминионом подгруппы Н группы О в квазимногообразии М, как множество всех элементов группы О, каждый из которых имеет одинаковые образы на любой паре гомоморфизмов группы О в произвольную группу М € М, совпадающих на Н. Группа Н € М называется абсолютно замкнутой в М, если ¿ош^ (Н) = Н для любой группы О € М, содержащей Н в качестве подгруппы. Изучаются абсолютно замкнутые группы в квазимногообразиях абелевых групп. Пусть М — произвольное квазимногообразие абелевых групп, £(М) — множество простых чисел р, для каждого из которых найдется натуральное число к = к(р) такое, что Zpk-l € М, Zpk € М, где Zpk-l, Zpk — циклические группы порядков р(к-1), рк соответственно. Доказано, что группа Н € М абсолютно замкнута в М тогда и только тогда, когда для любого элемента у бесконечного порядка из редуцированной подгруппы Нг группы Н и для любого числа р € М выполнено: ур € Нр .

Ключевые слова: квазимногообразие, абелева

группа, доминион, абсолютно замкнутая группа.

БМ 10.14258/izvasu(2016)1-34

For an arbitrary quasivariety M of groups, a group G in M and a subgroup H of G we introduce a set domM(H), which is referred to as the dominion of the subgroup H of the group G in the quasivariety M. Similarly for the set of all elements of G, each of them has equal images under any pair of homomorphisms from G into an arbitrary group M e M which coincide on H. A group H e M is said to be absolutely closed in M if domM (H) = H for every group G e M containing H as a subgroup. In this paper, the absolutely closed groups in the quasivarieties of Abelian groups are studied. Let M be an arbitrary quasivariety of Abelian groups, £(M) be a set of prime numbers p, for which of them there exists a natural number k = k(p) that the following conditions are true: Zpk-1 e M, and Zpk e M, where Zpk-1, Zpk are cyclic groups of orders p(k-1), pk respectively. It is proved that a group H e M is absolutely closed in M if and only if the following is true: for any element y of infinite order, belonging to reduced subgroup Hr of the group H, and for any number p e M the statement yp e Hp is true.

Key words: quasivariety, Abelian group, dominion,

absolutely closed group.

Введение. Для произвольного квазимногообразия М групп, группы О из М и ее подгруппы Н определим, следуя [1, 2], множество ¿ошМ (Н), называемое доминионом подгруппы Н группы О в квазимногообразии М, следующим образом:

¿ошМ (Н) = {д € О | УМ € М Уу, ф : О ^ М,

если у |н = ф |н, то у(д) = ф(д)},

где у, ф : О ^ М — гомоморфизмы группы О в группу М; у |#, ф |# — сужение гомоморфизмов у, ф на подгруппу Н; у(д), ф(д) — образы элемента д при гомоморфизмах у, ф.

Существует тесная связь понятия доминиона со свободными произведениями и амальгамами [2, 3], а именно: ¿ош^М(Н) = Ол П Ор, где Л, р : О ^ О О — естественные вложения группы О в свободное в квазимногообразии М произведение изоморфных копий группы О с объединенной подгруппой Н.

Строение доминионов групп изучалось в различных классах групп: абелевых [4-6], нильпо-тентных [7-9], метабелевых [10, 11].

Группа Н € М называется абсолютно замкнутой в М, если ¿ош^ (Н) = Н для любой группы О из М, содержащей Н в качестве подгруппы.

Пусть N — множество натуральных чисел. Группа G называется полной, если для любых g G G и n G N уравнение xn = g имеет в G хотя бы одно решение.

В [7] доказано, что полные группы, и только они, абсолютно замкнуты в квазимногообразии 2-ступенно нильпотентных групп без кручения. Абсолютная замкнутость абелевых групп без кручения в классе метабелевых групп изучалась в [11]. В данной работе найдено необходимое и достаточное условие абсолютной замкнутости группы в произвольном квазимногообразии абе-левых групп.

Группа, не содержащая ненулевых полных подгрупп, называется редуцированной. Как следует из [12], произвольная абелева группа разлагается в прямое произведение полной и редуцированной подгрупп.

Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп, £(M) — множество всех простых чисел p, для каждого из которых найдется число k = k(p) G N такое, что Zpk-i G M, Zpk G G M, где Zpk-i, Zpk — циклические группы порядков pk-1, pk соответственно. В работе доказано, что группа H G M абсолютно замкнута в квазимногообразии абелевых групп M тогда и только тогда, когда для любого элемента y бесконечного порядка из редуцированной подгруппы Hr группы H и для любого числа p G £(M) выполнено: yPk-1 G Hpk.

Из данного признака абсолютной замкнутости абелевой группы, в частности, вытекает, что периодическая абелева группа абсолютно замкнута в любом содержащем ее квазимногообразии абе-левых групп. Кроме того, из данного признака следует, что конечно порожденная абелева группа абсолютно замкнута в произвольном квазимногообразии M абелевых групп, отличном от класса A всех абелевых групп, тогда и только тогда, когда она конечна.

Используемые в работе обозначения и сведения из теории групп можно найти в [12], а из теории квазимногообразий групп — в [13-15].

1. Предварительные замечания. Приведем список обозначений, применяемых в работе.

H < G — H является подгруппой группы G.

H < G — H является нормальной подгруппой группы G.

G/H — фактор-группа группы G по нормальной подгруппе H.

gr(H) — подгруппа группы G, порожденная элементами множества H. Если H состоит из одного элемента a, то вместо gr(a) пишут просто (a).

| g | — порядок элемента g.

т(G) = {g G G | | g | = œ} — периодическая часть абелевой группы G. Очевидно, т(G) < G.

Gn = gr(gn | g G G).

(n, r) — наибольший общий делитель чисел n, r G N.

В работе используются следующие определения и теоретические факты.

Теорема 1 [4]. Доминион подгруппы H группы G в произвольном квазимногообразии абелевых групп M совпадает с наименьшей нормальной подгруппой группы G, содержащей H, фактор-группа по которой из M.

Из этой теоремы вытекает, что если M — квазимногообразие абелевых групп, G G M, H < G, то domM (H) = H в том, и только в том случае, когда G/H G M. Таким образом, произвольная абелева группа абсолютно замкнута в классе A всех абелевых групп.

Лемма 1 [7]. Пусть G GM, H < G, H -

полная группа, HnG = (1), где G — коммутант группы G. Тогда domM (H) = H.

Из леммы 1 [7] сразу же получаем, что любая полная абелева группа абсолютно замкнута в произвольном квазимногообразии абелевых групп M.

Лемма 2 [7]. Если G G M, K < H < < G, K < G, G/K G M, domM/K(H/K) = H/K, то domM (H) = H.

Далее потребуется описание квазимногообразий абелевых групп, данное в [16]. Согласно [16], два квазимногообразия абелевых групп совпадают тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые пересечения с множеством групп Q, состоящим из бесконечной циклической группы Z, единичной группы E = {e} и циклических р-групп Zpn, где р пробегает множество всех простых чисел P, а n пробегает множество N.

Из [16] вытекает, что произвольное квазимногообразие M абелевых групп порождается некоторым множеством групп S С Q. Будем обозначать этот факт записью M = q(S) либо M = qS, если S состоит из одной группы. Циклическая p-группа принадлежит квазимногообразию q(S) в том и только в том случае, когда она изоморфна подходящей подгруппе некоторой группы из S.

Отметим также, что если группа Z не принадлежит квазимногообразию M = q(S), то множество S состоит из конечного числа неизоморфных циклических р-групп, а квазимногообразие M является многообразием. В этом случае для произвольной группы G GM и H < G выполнено G/H G M. По теореме 1 [4] это означает, что domM (H) = H. Следовательно, любая группа из произвольного многообразия M абелевых групп абсолютно замкнута в нем.

Принимая во внимание замечания, сделанные выше, необходимо рассмотреть вопрос об абсолютной замкнутости групп в квазимногообразии абелевых групп M, когда M = A и Z GM.

2. Основной результат. Прежде всего заметим, что если М — произвольное квазимногообразие абелевых групп, М = А и 2 ё М, то 2 не является абсолютно замкнутой в М. Действительно, поскольку М = А, то найдутся р ё Р

и к ё N такие, что 2рк ё М. Обозначим С =

к

= 2 = (а), Н = (ар ). Ясно, что Н = С. Рассмотрим произвольные гомоморфизмы у, ф : С ^ М

группы С в произвольную группу Мё М такие,

к к . что у |н = ф 1н . Тогда у(ар ) = ф(ар ). Перепишем данное равенство в виде (у(а)ф(а)-1 )р = 1. ^^ к— 1 Поскольку ё М, то (у(а)ф(а) )р = 1,

у(ар ) = ф(ар ). По определению доминиона получаем, что ар 1 ё ¿ошм (Н), ¿ошм(Н) = Н.

Лемма 3. Полные абелевы группы, и только они, абсолютно замкнуты в М =

Доказательство. Предположим, что группа Н абсолютно замкнута в М. Согласно теореме 9.1.3 [12] произвольная абелева группа изоморфна подгруппе некоторой полной абелевой группы С. По теореме 9.1.6 [12] можно считать, что С есть прямое произведение подгрупп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел, и С М.

Если Н не является полной, то для некоторого п ё N найдется уравнение хп = Н ё Н, не имеющее решений в Н. Пусть д ё С — корень этого уравнения. Рассмотрим произвольные гомоморфизмы у, ф : С ^ М группы С в произвольную группу М ё М такие, что у |н = ф |н. Тогда у(Н) = ф(Н), у(дп) = ф(дп). Перепишем данное равенство в виде (у(д)ф(д)-1)п = 1. Поскольку С — группа без кручения, то у(д) = = ф(д). Значит, д ё ¿ош,М(Н) и ¿ош^(Н) = Н. Это противоречит абсолютной замкнутости Н. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть М — произвольное квазимногообразие абелевых групп, Сё М, Н < т (С). Тогда ¿ошм (Н) = Н. В частности, любая периодическая группа Н ё М является абсолютно замкнутой в М.

Доказательство. Пусть С ё М, Н < т(С). Покажем, что С/Н ё М. Достаточно убедиться в том, что каждая конечно порожденная подгруппа группы С/Н принадлежит М. Как следует из теоремы 8.1.2 [12], произвольная конечно порожденная абелева группа разлагается в прямое произведение циклических р-групп и бесконечных циклических групп.

Пусть д (Е С/Н — произвольный элемент, и (д) = Zpm для некоторых то (Е N и р (Е Р. Докажем, что г ё М. Так как др ё Н < т(С), то д — элемент конечного порядка п. Обозначим й = (п,рт). Хорошо известно, что существуют целые числа и, V такие, что выполнено равенство пи + ртV = Отсюда получаем, что д^ =

= gnugpmy G H, pm делит d, d = pm. Значит, pm делит n, и Zpm g M. Лемма доказана.

Лемма 5. Если группа H абсолютно замкнута в квазимногообразии абелевых групп M и подгруппа A выделяется в группе H прямым сомножителем, то A абсолютно замкнута в M.

Доказательство. Пусть теперь H абсолютно замкнута в M. Предположим, что A не является абсолютно замкнутой в M. Тогда найдется группа G G M, содержащая A в качестве подгруппы, причем G/A G M. Поскольку H = A х B < < G х B, и G х B/H = G х B/A х B = G/A G M, то получаем противоречие тому, что H абсолютно замкнута в M. Лемма доказана.

Лемма 6. Группа H абсолютно замкнута в произвольном квазимногообразии абелевых групп M тогда и только тогда, когда ее редуцированная подгруппа абсолютно замкнута в M.

Доказательство. Пусть Hd — полная, Hr — редуцированная подгруппы группы H такие, что H = Hd х Hr. Если группа H абсолютно замкнута в M, то по лемме 5 Hr абсолютно замкнута в M.

Предположим теперь, что Hr абсолютно замкнута в M. Пусть G — произвольная группа, G G M, H < G. По теореме 9.1.4 [12] полная подгруппа абелевой группы выделяется в ней прямым сомножителем. Значит, G = = Hd х G. Отсюда имеем изоморфизмы H/Hd = = Hr, G/Hd = С?. Следовательно, G/Hd G G M. По условию Hr абсолютно замкнута в M. Значит, domM/н (H/Hd) = H/Hd. По лемме 2 domM (H) = H. Лемма доказана.

Нетрудно видеть, что при M = A множество £(M) = {p G P | 3k = k(p) : Zpk-i G M, Zpk G M} пусто. Если же M = qZ, то £(M) = P.

Теорема 2. Пусть M — произвольное квазимногообразие абелевых групп. Группа H G M абсолютно замкнута в квазимногообразии M тогда и только тогда, когда для любого элемента y бесконечного порядка из ее редуцированной подгруппы Hr и для любого p G £(M) выполнено: ypk-1 GHrpk, где k = k(p).

Доказательство. Если M = qZ, и H абсолютно замкнута в M, то по лемме 3 H — полная группа. Тогда Hr = (1), и теорема верна. Предположим теперь, что для любого элемента y бесконечного порядка из ее редуцированной подгруппы Hr и для любого p G £(M) выполнено: ypk—1 G Hpk, где k = k(p). Если Hr = (1), то она является неединичной полной подгруппой, так как £(M) = P. Это противоречит определению Hr. Следовательно, H = Hd.

Можно считать, что M = qZ, M = A, Z G M. По лемме 6 группа H абсолютно замкнута в M тогда и только тогда, когда ее редуцированная

подгруппа абсолютно замкнута в М. Если Нг — периодическая группа, то по лемме 4 Нг абсолютно замкнута в М. Предположим, что для любого элемента у бесконечного порядка из -Нг и для любого числа р € £(М) выполнено: ур € Нр . Докажем, что Нг абсолютно замкнута в М.

Для этого достаточно показать, что для любой группы С € М, содержащей Нг в качестве подгруппы, выполнено С/Нг € М. Проведем рассуждения, как в лемме 4. Рассмотрим произвольный элемент д (Е С/Нг. Если (д) = Z1 то (<?) (Е Л4.

Пусть (д) = ^рт для некоторого простого числа р. Докажем, что Zpm € М. Если р € £(М), то Zpm € М. Предположим, что р € £(М). Докажем, что тогда т < к — 1, т.е. Zpm € € М. В случае, когда д — элемент конечного порядка, получаем требуемое, рассуждая, как в лемме 4. Пусть теперь д — элемент бесконечного порядка. Имеем: др € Нг. По условию теоремы (др )р = Нр для некоторого элемента Н1 € Нг. Тогда имеем равенство (дРт-1 )Рк = Нрк, и (дРт- 1 Н-1/ = 1. В силу того, что Zp к € М, получаем (др ^-1)р =1,

(дР )р = Нр . Снова применяем условие теоремы, по которому найдется элемент Н2 € Нг

" 1 " -рт_ 1 )рк - 1 = нрк.

такой, что hp Отсюда (gpm 2 )p k

hl , и (flP-1)

hP

2 , и, как на предыдущем

шаге, получаем (др )р = Нр . Продолжая процесс, на т-ом шаге будем иметь равенство др = Нт для некоторого элемента Нт € Нг. Значит, (<;) = Zpm, где т < к — 1, т.е. (Е ./И. Таким образом, Нг абсолютно замкнута в М.

Докажем обратное утверждение. Пусть теперь Нг абсолютно замкнута в М. Предположим, что существуют элемент у € Нг бесконечного порядка и простое число р € £(М) такие, что ур € Нр .

Обозначим через Нр совокупность всех элементов подгруппы Нг, порядки которых есть степени числа р. Легко видеть, что Нр < Н"г, Нр сер-вантна в Нг и имеет конечный период. По теореме 10.1.12 [12] Нр выделяется в Нг прямым сомножителем: Нг = Нр х Н.

По лемме 5 Н абсолютно замкнута в М. Тогда у = ду, где д € Нр, у € Н. Имеем равенства ур = ур , Нр = Нр . По предположению ур € . Ясно, что отображе-— — к к ние ф : Н ^ Нр , при котором ф(Н) = Нр

для любого элемента Н € Н, является изомор-

^_1 — — — ^

физмом. Так как ур € Нр , то Н/Нр € М.

Это противоречит абсолютной замкнутости Н.

Теорема доказана.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность профессору А.И. Будкину за ценные замечания и постоянное внимание к работе.

Библиографический список

1. Isbell J.R. Epimorphisms and Dominions // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. — New York 1966.

2. Budkin A. Dominions in Quasivarieties of Universal Algebras // Studia Logica. — 2004. — Т. 78, №1-2.

3. Higgins P.M. Epimorphisms and Amalgams // Colloq. Math. — 1988. — Т. 56.

4. Шахова С.А. О решетках доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Алгебра и логика. — 2005. — Т. 44, №2.

5. Шахова С.А. Условия дистрибутивности решеток доминионов в квазимногообразиях абе-левых групп // Алгебра и логика. — 2006. — Т. 45, №4.

6. Шахова С.А. О существовании реше-ки доминионов в квазимногообразиях абелевых групп // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2011. — Т. 69, №1.

7. Шахова С.А. Абсолютно замкнутые группы в классе 2-ступенно нильпотентных групп без кручения // Математические заметки. — 2015. — Т. 97, №6.

8. Magidin A. Dominions in Varieties of Nilpotent Groups // Comm. Algebra. — 2000. — Т. 28, №3.

9. Magidin А. Absolutely Closed Nil-2 Groups // Algebra Univers. — 1999. — Т. 42, №1-2.

10. Будкин А.И. О замкнутости локально циклической подгруппы в метабелевой группе / / Сиб. матем. журнал. — 2014. — Т. 55, №6.

11. Будкин А.И. Об абсолютной замкнутости абелевых групп без кручения в классе мета-белевых групп // Алгебра и логика. — 2014. — Т. 53, №1.

12. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М., 1977.

13. Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М., 1970.

14. Будкин А.И. Квазимногообразия групп. — Барнаул, 2002.

15. Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий групп. — Новосибирск, 1999.

16. Виноградов А.А. Квазимногообразия абелевых групп // Алгебра и логика. — 1965. — Т. 4, №6.