О движении по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух эллиптических пластинок Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36+531.384

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3

О ДВИЖЕНИИ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ТЕЛА, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПЛАСТИНОК*

А. С. Кулешов1, М. О. Ицкович2

1. Московский государственный университет,

канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

2. Московский государственный университет, студент, [email protected]

Введение. Пусть по неподвижной горизонтальной плоскости движется без проскальзывания твердое тело, состоящее из двух одинаковых симметричных пластинок, соединенных перпендикулярно друг другу так, что оси симметрии пластинок образуют единую ось, являющуюся осью симметрии тела. Данное тело при движении по горизонтальной плоскости в каждый момент времени касается ее двумя точками (рис. 1).

Наиболее известными телами, построенными по этому принципу, являются оло-ид [1-3] и тело, описанное в работе [4]—так называемый Т"дао-С1гс1е-И,о11ег. Олоид (рис. 1,а) состоит из двух одинаковых дисков радиуса Д, соединенных перпендикулярно друг другу так, что окружность одного диска проходит через центр другого и наоборот. Тело, описанное в работе [4], имеет схожий с олоидом вид — оно состоит из двух одинаковых взаимно перпендикулярных дисков, но расстояние между их центрами равно не Д, как в случае олоида, а Д^ (р ис. 1, б). Движение обоих описанных тел по плоскости было исследовано в работах [1-4]. Однако представляет интерес исследование движения и других тел подобного типа, форма которых отличается от олоида или Т"дао-С1гс1е-И,о11ег.

Теория, предложенная в работах [2, 3], позволяет исследовать движение по неподвижной горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух одинаковых симмет-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №11-01-00322). Доклад на Международной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения» 31 января — 3 февраля 2012 г., Санкт-Петербург, Россия.

© А. С. Кулешов, М. О. Ицкович, 2012

(б)

Рис. 1. Олоид и Two-Circle-Roller.

ричных пластинок произвольной формы. В данной работе изучается движение тела, состоящего из двух одинаковых эллиптических пластинок, соединенных перпендикулярно друг другу вдоль большей полуоси. В предположении,что тело движется без проскальзывания, построены траектории точек касания тела с опорной плоскостью. Найдены также положения равновесия тела на плоскости и получены условия их устойчивости.

Постановка задачи. Пусть по неподвижной горизонтальной плоскости движется твердое тело, состоящее из двух одинаковых эллиптических пластинок с полуосями а и 6, а > 6. Пластинки соединены перпендикулярно друг другу вдоль большей оси симметрии так, что расстояние между их центрами С и С2 равно 2Д, Д < а (рис. 2). Следуя теории, изложенной в работах [2, 3], введем подвижную систему координат Ох Ж2Ж3, жестко связанную с телом. Начало О этой системы координат является серединой отрезка СС2 (т.е. точка О является центром масс системы). Ось Охз перпендикулярна плоскости первой пластинки, а ось Ох перпендикулярна плоскости второй пластинки. Ось Ох является осью симметрии тела и проходит через большие полуоси эллиптических пластинок, составляющих тело (рис. 2). Обозначим через ех, е2, ез единичные векторы системы координат ОххЖ3.

Рис. 2. Твердое тело, состоящее из двух эллиптических пластинок.

Пусть А и В —точки касания тела с горизонтальной плоскостью. Положение точки А будем определять углом в между отрицательным направлением оси Ох и направлением из центра С первой пластинки в точку А. Заметим, что угол в связан с натуральным параметром в — длиной дуги эллипса, ограничивающего первую пластинку, соотношением

¿в

~сЮ

эт2 в + 64 сов2 в

О

I2 8Ш2 в + 62 СОВ2 I

,3/2 '

(1)

Положение точки В будем определять углом ф между положительным направлением оси Ох и направлением из центра С2 второй пластинки в точку В (рис.2). Тогда радиус-векторы точки А и точки В записываются следующим образом:

ОА

Г1

а6 эт в

у/о2 вт2 в + Ь2 соэ2 в

ех - Д +

а6 соэ в

\/о2 вт2 в + Ь2 соэ2 в

е2,

ОВ = Г2

Д +

а6 соэ ф

\/о2 эт2 ф + Ь2 соэ2 ф

е2 -

а6 эт ф

\/о2 эт2 ф + Ь2 соэ2 ф

ез-

При движении рассматриваемого твердого тела по плоскости три вектора Г2 — r 1, (ri)'e и (r2)'ф все время лежат в плоскости движения. Соответствующее условие имеет вид:

(r2 — rb (ri)'e, (r2)',ф) = О,

где через (-, •, •) обозначено смешанное произведение векторов. Из этого условия находится связь между переменными в и ф. Используя ее, мы можем записать, как компоненты радиус-вектора GB = r2 зависят от в:

(. a2b cos в \ А----- е2-

a a2 sin2 в + b2 cos2 в + 2bA cos в /

Ь-\/а4 sin2 tí + 4abA eos é^a2 sin2 tí + b2 cos2!? + 4Ь2 Д2 cos2 tí -е3. (2)

а Va2 sin2 tí + b2 cos2 в + 2b A cos é>

Выражение (2) для радиус-вектора r2 должно иметь смысл, поэтому в дальнейшем будем считать, что

a4 sin2 tí + 4аЬД cos в л/a2 sin2 tí + Ъ2 cos2 в + 4 Ь2 Д2 cos2 tí > О,

следовательно, cos в должен удовлетворять неравенству

a2

COS0 > — -

Va4 + 4аДЬ2 + 4Д2Ь2 т. е. угол в изменяется в следующих пределах:

. „ \ 0 ( a2 А

— arceos----= < tí < arceos — -

л/а4+4аДЬ2+4Д2Ь2 / V л/а4+4аДЬ2+4Д2Ь2 J '

Для угла ф должны выполняться аналогичные условия.

Траектории точек касания. Запишем уравнение неподвижной плоскости, по которой движется тело, в системе координат GxiХ2Х3. Это уравнение можно получить из условия, что точки A и B, а также касательный вектор к границе первой пластинки, построенный в точке A, во все время движения принадлежат данной плоскости. Пусть X, Y, Z — координаты произвольной точки этой плоскости относительно системы координат Gxi Х2Х3. Тогда уравнение плоскости записывается в виде

- a2 sin tíX + b2 cos tíY + b (a,Va2 sin2 tí + b2 cos2 tí + ЪА cos tí^j +

+ Z\¡'a4 sin2 tí + 4abA cos tí л/a2 sin2 tí + b2 cos2 tí + 4b2A2 cos2 tí = 0. Единичный вектор

/ /--N —1/2

n = Í2a4 sin2 в+b4 cos2 в+4abAcos в Va2 sin2 в+b2 cos2 в+4b2A2 cos2 в) x x ^-a2 sin в ei + b2 cos tí e2 + \Ja4 sin2 в+4abA cos в \/a2 sin2 в + b2 cos2 tí+Ab2 A2 cos2 tí

есть вектор нормали к данной плоскости. Следовательно, угол наклона первой пластинки к плоскости движения определяется по формуле

у a4 sin2 в + 4аЪА cos в л/a2 sin2 é> + Ь2 cos2 в + 4Ь2 Д2 cos2 в cos(f>=(n • e3) = —l—

у 2a4 sin2 в + Ъ4 cos2 в+4аЪА cos в л/a2 sin2 в+b2 cos2 в+4Ь2 Д2 cos2 в

Кривизна эллипса, ограничивающего первую пластинку, в зависимости от угла в имеет вид

к_аЪ (a2 sin2 в + Ъ2 cos2 0)3/2

(a4 sin2 в + b4 cos2 0)3/2

Эта кривизна связана с кривизной траектории точки A, точки касания тела с опорной плоскостью, формулой [2, 3]

K = k cos у.

Имея выражение для K, легко найти параметрические уравнения траектории точки A на опорной плоскости в зависимости от угла в. Для этого введем неподвижную систему координат OXYZ. Начало O этой системы совпадает с точкой касания первой пластинки с неподвижной плоскостью при в = 0. Ось OX направлена по касательной к границе первой пластинки при в = 0, а ось OZ перпендикулярна плоскости движения. Ось OY образует правую тройку с осями OX и OZ. Пусть а — угол между касательным вектором к траектории точки A и осью OX. Тогда (см. [2, 3])

1ь=КМ> т-е- Тв=к{-в)Тв- <3>

Для производных координат точки касания тела с плоскостью Xa и YA имеем следующие выражения:

dXA dYA

—-— = cos а, —— = sin а,

ds ds

поэтому,

dXA ds dYA ds

-lf = Tecosa^ ~df = dosma~ (4)

Учитывая, что производная натурального параметра s по в определяется по формуле (1), можно переписать уравнения (3)—(4) в виде

dXa ab\/a4 sin2 <9 +б4 cos2 в dYA аЪл/а4 sin2 в + Ь4 cos2 в

—77— = -ттт: COS а, —— = -^pr S1I

de (a2 sin2 в + b2 cos2 в) ' de (a2 sin2 в + b2 cos2 в) da a2b2

(5)

¿в (a4 sm2 в+Ъ4 cos2 в)_

V a4 sin2 в + 4а6Д cos в л/a2 sin2 в + Ъ2 cos2 в + 4 b2A2 cos2 в ^

х ,

у 2а4 sin2 в + Ъ4 cos2 в+4аЪА cos в л/a2 sin2 в + Ъ2 cos2 в+4Ь2 Д2 cos2 в

Уравнения (5)—(6) имеют весьма сложный вид. В общем случае невозможно получить явные выражения для Xa, Ya и a в зависимости от в. Поэтому уравнения (5)—(6) интегрировались численно для различных значений параметров a, b и Д. Аналогичные уравнения могут быть получены и для координат точки касания B на плоскости.

На рис. 3-4 показаны траектории точек касания А и В с опорной плоскостью. Нижняя кривая представляет собой траекторию точки А, а верхняя кривая — траекторию точки В.

2 10 1 2 х

Рис. 3. Траектории точек касания А

(нижняя кривая) и В (верхняя кривая): а = 2, Д = 1, Ь =1.

2 1 0 1 2 д-

Рис. 4. Траектории точек касания А (нижняя кривая) и В (верхняя кривая):

а = уД/У/2, Д = 1, Ь = 1.

Равновесия тела на плоскости и их устойчивость. Имея выражения для радиуса-вектора ОА = т\ и вектора нормали п к плоскости движения, легко найти выражение для потенциальной энергии тела, состоящего из двух эллиптических пластинок:

_, МдЪ [АЪ cos в + ал/a2 sin2 в + Ъ2 cos2 в)

V=—Mg [GA-n)=— V J

\J2a4 sin2 в+Ь4 cos2 6»+4abA cos в у/a2 sin2 в+Ь2 cos2 <9+4Ь2Д2 cos2 в

Критические точки потенциальной энергии соответствуют положениям равновесия тела на плоскости, причем точки минимума — устойчивым положениям равновесия.

Производная потенциальной энергии имеет вид

Mga3b3 sin в cos в (a2 sin2 в+b2 cos2 в) -1/2 (b2 - 2a2 + 2Д2)

V 'e =

2a4 sin2 9+b4cos2 6>+4а6Д соввл/a2 sin2 6>+62 cos2 в+Аb2A2 cos2 в

3/2 '

следовательно, система имеет два положения равновесия: в = 0 и в = п/2. Устойчивость каждого из этих положений определяется знаком второй производной функции V, вычисленной в соответствующем положении равновесия. Таким образом, в случае в = 0 имеем

М^а3 (б2 - 2а2 + 2Д2)

V'

0=0

b (b2 +4аД + 4Д2)3/2 '

т. е., положение равновесия в = 0 устойчиво при б2 — 2а2 + 2Д2 > 0 и неустойчиво при б2 — 2а2 + 2Д2 < 0. Аналогично, для положения равновесия в = п/2 имеем

V'

V2МдЪ3 (Ъ2 - 2а2 + 2Д2) ^^ q

0=п/2 4«4

положение в = п/2 устойчиво при b2—2а2+2Д2 < 0 и неустойчиво при b2—2а2+2Д2 > 0.

В случае, когда b2 — 2a2 + 2Д2 = 0, система находится в безразличном равновесии. Потенциальная энергия тела будет в этом случае постоянной во все время движения.

Литература

1. Dirnbök H., Stachel H. The Development of the Oloid // J. Geometry Graphics. 1997. Vol. 1. P. 105-118.

2. Кулешов А. С., Хаббард М., Петерсон Д. Л., Джеде Дж. О движении олоида по горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. №4. С. 825-835.

3. Ицкович М. О., Кулешов А. С. О движении твердого тела, состоящего из двух дисков, по горизонтальной плоскости // Современные проблемы математики и механики. К 190-летию П. Л. Чебышева: Сб. статей / под ред. А. Н. Ширяева, А. В. Лебедева, В. М. Федорова, А. С. Кулешова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2011. С. 140-150.

4. Stewart A. T. Two circle roller // American Journal of Physics. 1966. Vol. 34. N2. P. 166167.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.