Движение твердых тел, опирающихся на тонкую кольцевую область, по горизонтальной плоскости с ортотропным трением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ,

ОПИРАЮЩИХСЯ НА ТОНКУЮ КОЛЬЦЕВУЮ ОБЛАСТЬ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ С ОРТОТРОПНЫМ ТРЕНИЕМ*

Н. Н. Дмитриев

С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

В статье [1] было рассмотрено скольжение диска и тонкого кольца по плоскости, в [2] изучалось движение тела, опирающегося на круг и окружность по горизонтальной плоскости. В упомянутых работах предполагалось, что трение между телом и плоскостью изотропное. В работе [3] приведены уравнения плоскопараллельного скольжения твердого тела и в качестве примера рассмотрено скольжение неоднородного кольца. Проведение многочисленных экспериментов позволяет утверждать, что сила трения часто обладает сильно выраженными анизотропными свойствами. Для описания такого трения в [4, 5] был введен тензор анизотропного трения и записан закон Кулона—Амонтона в виде

где Т — вектор силы трения, действующий на точку, N — величина нормальной реакции со стороны поверхности на точку, Ух, Уу, V — проекции скорости точки на оси прямоугольной системы координат, связанной с плоскостью скольжения, и ее величина. Матрица, содержащая компоненты /хх,/ху,/ух,/уу, называется тензором трения. В [4] изучены некоторые свойства этого тензора, в [4, 6] приведены экспериментальные данные для компонентов тензора трения для некоторых пар трения. Закон трения (1) справедлив, когда твердость одного из материалов значительно больше твердости материала второго элемента пары трения. В работах [4, 7] затронут случай, когда учитывается шероховатость обоих материалов, и приведен несколько видоизмененный закон (1).

В данной работе предполагается, что закон трения (1) при повороте исходной системы координат на некоторый угол [4, 5, 7] имеет вид

Если в выражении (2) / = 0, /х = /у, то трение называется ортотропным, при / = 0, /х = /у — трение изотропное.

Постановка задачи и вывод основных соотношений. Рассмотрим твердое тело, опирающееся кольцевой областью на горизонтальную плоскость. Будем считать, что давление распределено равномерно по всей области контакта и центр тяжести

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-90006-Бел-а).

© Н. Н. Дмитриев, 2011

(1)

(2)

тела совпадает с центром C этой области. Момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку C, обозначим через J. На плоскости, по которой скользит тело, система координат Oxy выбрана так, что закон трения имеет вид (2). Скорость точки C представим в виде v = v(cos$ i + sin$ j), где v — величина скорости, $ — угол, отсчитываемый от оси Ox до вектора v против часовой стрелки. Вектор угловой скорости тела перпендикулярен плоскости скольжения: ш = wk.

Сделанные предположения позволяют записать силу трения, отнесенную к единице площади, для точки тела A на площадке контакта в виде

Т = ( fx f \(vAx/va\

TA = -!>'Ч-f fj IVAy/VA)

mg a / q і /

PA = —ПТ’----’ VAx = V COS ^ _ ШУ ’ l’AV = V S111 ^ WX ’

n(Rl - Rl)

x = £ cos p - n sin p, y = £ sin p + n cos p,

где £, n — оси прямоугольной системы координат, связанной с площадкой контакта рассматриваемого тела (см. рис. 1).

Рис. 1. Неподвижные и связанные с областью контакта оси координат.

(3)

Введем полярные координаты r, ф точки A, причем угол ф будем отсчитывать от вектора скорости. Тогда

x' = r cos($ + ф), y' = r sin($ + ф),

VAx = V cos $ - wr sin($ + ф), VAy = V sin $ + wr cos($ + ф), (4)

і’А = \A’2 + w2?’2 — 2ujvr&m.^

Проекции вектора Та на оси координат Ox, Oy и его момент относительно оси Cz таковы:

rp fxvAx + fvAy rp fv Ax + fy vAy

1 Ax = Pa-----------------, 1 Ay = Pa-------------------, ,K,

VA VA (5)

momCz(TA) = TAyx' - TAxy'.

Интегрирование выражений (5) по области контакта приводит к следующим выражениям для проекций сил трения, приложенных к телу, и для момента этих сил относительно оси Cz:

R2 2п

гг _ f (fxcosft + fsinft)(v - wrsinVO^j

х ~ РА гъ-------7г~о о--------:—г гагагр,

J J \ v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Ri 0 R2 2n

Ty = — f + (6)

J J \ v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Ri 0

R2 2n

т ft (fx + M sin2 ft)(ur — v sin W) + uru cos2ft cos2 W 2 T,

Lcz = ~ PA-----------------. 9 9 0 • ,-------------Г drd%^

J J \ v2 + u2r2 — 2uvr sin w

Ri 0

здесь введена величина m = fy — fx, которая предполагается положительной без ущерба для общности.

Проекции силы трения на касательную и нормальную оси естественного трехгранника, введенного для траектории движения точки C, таковы:

TT = Tx cos ft + Ty sin ft =

(7)

y

. 2 R2 2П v — ur sin W

= ~(fx+Vsin I?) J J Pa , 9 9 . =rdrdФ,

r1 0 \/v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Tn = —Tx sin ft + Ty cos ft =

/ • q q ,4 Rr2 2П v — ur sin W

= —la sin v cos v — t) I pa—, гагаф.

йг О ^v2+uj2r2 -2uvr sin ф

Уравнения движения твердого тела при наличии только сил трения, т. е. при

движении его по инерции, имеют вид

mi) = Tt , mvft = Tn, JU = Lcz (8)

или, в развернутом виде,

R2 2n

fx, ■ 2 o\ f f v — ur sin W

mv = -{fx+jj,sm ft) pa rdrd-ф,

J J \/v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Ri 0

R2 2n

mvft = —(/a, sin ft cos ft — f ) j f pa—/ ' ^ rdrd'tp,

J J \/v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Ri 0

R2 2n

(9)

2

T- , • 2 n\ f f (ur — v sin W)r

Ju = - (fx +MSin ft) PA — dr d-ф —

J J \ v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Ri 0

R2 2n

ni l r3 cos2 W

— wfj, cos 2ft pa , 990 ==drd'ip,

J J \ v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Ri 0

Вводя безразмерные переменные и безразмерный момент инерции по формулам

^ ^ , 9 / тг ________/Д2тг т J

t'* ---- t 4 1 ^ Л 1 Cc^jk ------- С<^ Л , «--/sfc

Д2^ * У^’ V ^ ’ т(Д22 + Д2)

и опуская в дальнейшем для простоты звездочки, приходим к уравнениям

1 2п

1 - (Iх2

dv , . ■ 1 а\ f f V — wr sin ф

17 = - (fx +MSin ії) / 0 „ „ „ . rdrd-ф,

dt J J ^Jv2 + uj2r2 — 2uivr sin ip

Ri 0

1 1n

R>

J

dw . 1 Г f (wr — v sin ф)г1

-TT = -(fx+V sin ti) , o 0 0 „ . , dr dip -

/Ra21 dft . a ^ f f v — ur sin W

1 — -=— v— = — n sm $ cos $ — t) —, гагаф,

Vi?2 / -I dt J J ^Jv2 Ш2Г2 _ 2u;vr sin ф

Ri 0 V

i Z <1CI>

1-r^iVl, ........... , ,___________________________________

dt J J \ v2 + u2r2 — 2uvr sin W

«1 о v

Ri

1 2n

r3 cos2 W

— lv/j, cos2t? dr dip,

J J \ v2 + u2r2 — 2uvr sin W

Rl 0 V Ri

Движение твердого тела по инерции при ортотропном трении и узкой кольцевой полосе контакта. Уравнения (10) при Ri ^ R2 приводятся к виду

2п

dv 1 , , . 2 п, f v — u sin ф

-ТГ = - rSfx +/xsin ■&) dip,

dt 2 J \Jv2 + u2 — 2uv sin у

2n

dft 1 m sin ft cos ft — f f v — u sin W

=ш/>,

dt 2 v J y/v2 ^2 _ 2u;v sin ф

О 1n

(11)

dw І . 1 f w — v sin ф

JTt =-4<^ + '‘s,n0)J

d'p—

dt A J *Jv2 + ui2 — 2ujv sin ip

0

2n

1 cos2 W

----LVjJ, COs2t? — ---dip

4 J v2 + u2 — 2uv sin W

0

Введение величин в = v/u и S = в-1 = u/v позволяет записать правые части системы (11) через эллиптические интегралы первого и второго рода K и E, причем при в < 1 будем иметь

,ь = _,/, + уг<? [Е(3) _ (1 _ Лкот] 1

f = -2',т"7"-/[Е(Я-(1-^)К(Я]. (12)

= ~U‘+ ,,si”2 <,)Е(,9) “ “5? К1 + ,92)Е(,9) “(1 “ ■

Если же в > 1, то

— = —2(fx + /isin2 $)E(J), aft

— = — 2(yU,sint9cos'!9 — ЛЕШ,

dt 2

^ = _ If, + „sin 0) [вд _ (1 _ й2)к(й)] _ [(1 + г2)Е(г) _ (1 _ й2)к(й)]

(13)

Из первых двух уравнений системы (11) следует, что при стремлении скорости центра кольцевой области к нулю угол ft стремится к значению ft* = 1/2 arcsin(2//yu).

Далее будем рассматривать случай ортотропного трения: / = 0, /х = /у. При этом ft* =0.

Из системы (12) следует, что при введении величины Л = в2 = v2/и>2 получаем

Л = (/х + Мsin2 ft){Е(в)[—2 + 3<тЛ + ак(1 + Л)] + К(в)(2 — ак)(1 — Л)}. (14)

Здесь

1 м cos 2ft м

3J’ fx + sin2ft 0^0 fx

Выражение, стоящее в фигурных скобках (14), обозначим через Ф(Л) и полные эллиптические интегралы будем рассматривать как функции Л. Тогда имеем соотношение

0(f “Х. 2 о, =Ф(Л)- (16)

2(/х + М sin ft)

При в > 1 введем величину Л1 = w2/v2. Из системы уравнений (13) следует, что

2 { }

Ai = —(fx + yU-sin2 t9){E(Ai)[—За — <jk(1 + Ai) + 2Ai] + K(Ai)(3<j + <tk)(1 — Ai)} (17)

v

или

А1 = Ф(А!), (18)

2(/x + М sin ft)

где через Ф(Ах) обозначена функция, стоящая в фигурных скобках в правой части соотношения (17).

Утверждения. Пусть твердое тело опирается на горизонтальную плоскость узкой кольцевой областью. Взаимодействие между телом и плоскостью характеризуется ортотропным трением по закону (2) при f = 0. Пусть безра,змерный момент инерции определяется формулой 3* = 3/\ш(Й2 + Й\)\г где и Н.2 —внутренний и внешний радиусы кольца и определены величины а = 1/33*, к = (л/^. Тогда следующие утверждения:

а) если а € (0; 2/(6 + 3к)), то функции Ф(А) и Ф(Ах) корней на интерва,ле (0; 1) не имеют и фазовые траектории входят в начало координат с углом наклона касательной п/2;

б) при а € (2/(6 + 3к); 2/(3 + 2к)) функция Ф(А) имеет единственный корень А* € (0,1); а Ф(А1) > 0 при Ах € (0; 1); прямая V = л/ХЙ^ является фазовой траекторией и касательной для всех остальных (отличных от чисто поступательного и вращательного движений) траекторий в начале координат;

в) при а Є (2/(3 + 2к);4/(3(к + 1))) функция Ф(А-) имеет единственный корень Аі* Є (0, 1), прямая ю = л/Аі*гі является фазовой траекторией и касательной для всех остальных траекторий (отличных от чисто поступательного и чисто вращательного движений) в начале координат;

г) при а Є (4/(3(к + 1)); +то) функции Ф(А) и Ф(А-) корней на интерва,ле (0; 1) не имеют и фазовые траектории (кроме V = 0) входят в начало координат с нулевым

наклоном касательной.

(см.

Доказательство. Найдем производную от функции Ф(А), применив формулы

сЖ(А) 1 Е(А) — К(А) Ж (А) 1 Е(А) - (1 - А)К(А)

2 ~

dА

А

<1Ф(\)

(IX

и отметим, что

Ф(0) =0, Ф(1) = а(3 + 2к) - 2

dА 2 А(1 - А)

Е(А) + 7}ак) ~ К(А) + і) ,

dФ(А)

(19)

ІА

л=0 = - (а(6 + Зк)-2). (20)

Аналогичные действия проведем с функцией Ф(А-):

ЙФ(Аі)

ІА-

= Е(А1)(3-|СТ«) -К(А1)(^а+і),

(21)

Ф(0)=0, Ф(1) = 2 - а(3 + 2к),

<№( Аі) 1А-

Лі=о — ^ (4 - За(1 + к)). (22)

а) Пусть

а0

2

6 + 3к/

Так как К(А) > Е(А) > 0, из (19) следует неравенство

(23)

< 0,

а<2/(6+3к)

а с учетом соотношения Ф(0) = 0 получаем Ф(А) < 0 при любом А € (0, 1). Следовательно, при указанных величинах а функция Ф(А) корней не имеет.

Для функции Ф(Ах) справедливо неравенство

Ф(А1) > Е(А1)А1(2 - 3а - 2ак)|сте(0, 2/(3+2к)) > 0-

Поэтому при условии (23) функция Ф(Аг) корней не имеет. б) Рассмотрим интервал

а

2

2

6 + 3к 3 + 2к

(24)

В п. а доказательства было показано, что при условии (24) Ф(Аг) > 0, Аг € (0, 1). Функция Ф(А) будет иметь корень А* € (0, 1), так как Ф(0) = 0, йФ(А)/^А|л=0 > 0, и, следовательно, в окрестности нуля Ф(А) возрастает и принимает положительные

значения, а Ф(1)|СТ<2/(3+2К) < 0. Единственность этого корня следует из условия отрицательности второй производной по А от функции Ф(А) при всех А € (0, 1) и принадлежности величины а отрезку (24):

І2Ф(А) _ 1

ІА2 4А(1 - А)

Е(А)(6а + 3ак — 2 — А(9а + 3ак)) — К(А)(1 — А)(6а + 3ак — 2)

<

Другими словами, функция Ф(А) возрастает от нуля, достигает положительного максимума в некоторой точке, и далее только убывает.

в) Пусть теперь

( 2 4 \

" НзТ^’ 3(ТТ^)' (25)

При этом условии коэффициент, стоящий в функции Ф(А) при К(А) положительный:

2 — ак > 0. Из свойства эллиптических интегралов К(А) > Е(А) следует

Ф(А) > Е(А)А(3а + 2ак — 2) > 0,

где последнее неравенство выполняется в силу (3а + 2ак — 2) > 0 при включении (25). Таким образом, на рассматриваемом интервале Ф(А) > 0 и корней на отрезке (0, 1) не имеет.

Функция Ф(Аг) при Аг =0 имеет нулевое значение, а

. 0

ё,А1 ’

что означает возрастание рассматриваемой функции от нулевого значения. Другими словами, в окрестности нуля Ф(А1) принимает положительные значения. При условии (25) Ф(1) < 0. Следовательно, при (25) функция Ф(А1) имеет корень. Единственность этого корня следует из отрицательности второй производной по А1 при А1 € (0, 1) при условии (25):

І2Ф(Аі)

Е(А-)(4 — 3а — 3ак — 6А- + 3акА-) — -К(Лі)(1 - Лі)(4 - За - Зак)] < -щ^у(2 + За) < 0.

г) Покажем теперь, что при

"е (щт!)’ +“) (26)

функции Ф(А) и Ф(А1) на интервале (0, 1) корней не имеют.

Функция Ф(А) при выполнении неравенства а>2/(3 + 2к) (2/(3 + 2к) <4/(3+3к)) положительная:

• если 2 — ак > 0, то, применив свойство эллиптических интегралов К(А) > Е(А), имеем

Ф(А) > Е(А)А(3а + 2ак — 2) > 0

если 2 — ак < 0, то из свойства Е(А) > К(Л)(1 — Л) следует Ф(А) > Е(А)А(3а + ак) > 0.

Функция Ф(Лх) при Лх =0 обращается в ноль, производная от нее по Лх при условии (26) отрицательная,

'Н'(А1> Е(Л,)6 ~ - К1Л!)2 + »» < Е(А,)“ ~ ^ - » < 0,

dА1

2

2

2

что означает убывание функции от нулевого значения при Аі Є (0, 1). Другими словами, Ф(А-) при условии (26) отрицательная и корней не имеет.

Описание поведения фазовых траекторий основывается на уравнениях движения тела (12), (13) и производных по безразмерному времени от функций Ф(А), Ф(А-), из которых выводятся соотношения

V = «(0) ехр

1

____________________ [ ПАї)

2(/ж + /Лєіп2 г?) У Ф(Аі)

Аіо

сІА-і

(27)

ш = ш(0) ехр

1 [ Мс(Л)

2^(/ж + /л віп2 г?) У Ф(Л)

Ао

dА

(28)

Здесь Г(Лх) —функция, стоящая в правой части первого уравнения системы (13), Мс(Л) —правая часть третьего уравнения системы (12) при соответствующих заменах в и 6 на Л и Лх. Исследование поведения фазовых траекторий и выражений (27) и (28) производится полностью аналогично тому, как это было сделано при изучении движения тела, опирающегося на круг [9], и поэтому здесь не приводится. Утверждение доказано.

Заключение. Так как безразмерный момент инерции и величина а связаны соотношением .1 = 1/(3а), в утверждении вместо промежутков для а можно записать интервалы для более привычной величины — безразмерного момента инер-

ции: а) 3 е ((2/х + р)/(2/х), +го); б) 3 е ((3/х + 2^i)/(6fx), (2/х + ^)/(2/ж)); в) 3 е

((/х + М)/(4/x), (3/х + 2М)/(6/х)); г) 3 е (0, (/х + М)/(4/х)).

В качестве примера рассмотрим тонкое кольцо (Д2 ^ Иг), скользящее по инерции по плоскости. В введенных выше обозначениях безразмерный момент инерции принимает значение 3 = 1/2. Поэтому, так как имеют место неравенства /х > 0, ц > 0, оказывается, что первые два пункта утверждения для тонкого кольца не реализуются, третий пункт имеет место при ц е (0, /х), четвертый пункт — при ц е (/х, +го). Введем величину V = ц//х. Некоторые значения величины 6 = и/у в зависимости от V, соответствующие третьему пункту утверждения, представим в табл. 1.

Таблица 1. Значения величины & = ш/у в момент остановки тонкого кольца, соответствующие значению V = р//х

V & V &

0 1,000 0,7 0,696

0,1 0,984 0,8 0,588

0,2 0,960 0,9 0,431

0,3 0,928 0,95 0,310

0,4 0,888 0,99 0,140

0,5 0,838 0,999 0,0447

0,6 0,776 1 0,000

Литература

1. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусько Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №4. С. 17-28.

2. Розенблат Г. М. Динамические системы с трением. Москва; Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. 156 с.

3. Аргатов И. И. О движении твердого тела с кольцевой площадкой опоры вдоль шероховатой плоскости // Механика машин, механизмов и материалов. 2008. №1. С. 49-52.

4. Zmitrowicz A. A theoretical model of anisotropic dry friction // Wear. 1981. 73. P. 9-39.

5. Александрович А. И., Векшин В. С., Потапов И.Н. Тензор коэффициентов трения анизотропных поверхностей // Трение и износ. 1985. Т. VI, N6. С. 996-1004.

6. Konyukhov A, Vielsack P., Schweizerhof K. On coupled models of anisotropic contact surfaces and their experimental validation // Wear. 2008. N 264. P. 579-588.

7. Дмитриев Н. Н. Движение диска и кольца по плоскости с анизотропным трением // Трение и износ. 2002. Т. 23. №1. С. 10-15.

8. Журавский А. М. Справочник по эллиптическим функциям. М.; Л., 1941. 235 с.

9. Дмитриев Н. Н. Скольжение твердого тела, опирающегося на круговую площадку, по горизонтальной плоскости с ортотропным трением. Часть I. Равномерное распределение нагрузки // Трение и износ. 2009. Т. 30. №4. С. 317-326.

Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.

ХРОНИКА

24 ноября 2010 г. состоялось заседание секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН. На заседании выступила д-р физ.-мат. наук, проф. Е. А. Иванова (СПбГПУ) с докладом на тему «Теория термовязкоупругости гиперболического типа».

Краткое содержание доклада:

Рассматривается механическая модель двухкомпонентной среды, одна компонента которой представляет собой классический континуум, а другая компонента — континуум, обладающий только вращательными степенями свободы. Показано, что предложенную модель можно использовать для описания тепловых и диссипативных явлений. Показано, что в частных случаях математическое описание предложенной модели сводится к хорошо известным уравнениям, таким как уравнение теплопроводности, уравнение самодиффузии и уравнения связанной задачи термоупругости. В рамках данной модели дана оригинальная трактовка физической сущности механизма теплопроводности и внутреннего трения. Показано, что предлагаемая теория позволяет описать зависимость коэффициента затухания акустических волн от частоты сигнала, наблюдаемую в эксперименте с твердыми телами.