CC BY
39
УДК 517.9
И. В. Бойков, В. А. Рязанцев
О ДОСТАТОЧНЫХ КРИТЕРИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Аннотация. Работа посвящена анализу устойчивости в смысле Ляпунова решений систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени. Исследование устойчивости основано на применении преобразования Фурье по пространственным переменным для перехода от исходной задачи к параметрической системе обыкновенных дифференциальных уравнений в спектральной области и на последующем анализе устойчивости решения этой системы при использовании преобразований Ляпунова и логарифмических норм. Предложен алгоритм, позволяющий получать достаточные критерии устойчивости решений конечных систем линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени, а также даны примеры применения этого алгоритма к исследованию устойчивости решений гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами. Предложенный метод может быть использован при исследовании динамических систем, описываемых системами гиперболических уравнений.
Ключевые слова: устойчивость, гиперболические уравнения, преобразование Ляпунова, логарифмическая норма.
I. V. Boykov, V. A. Ryazantsev
ON THE STABILITY CRITERIA OF SOLUTIONS OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF HYPERBOLIC TYPE
Abstract. The paper is dedicated to the analysis of Liapunov stability of solutions of systems of linear partial differential equations of hyperbolic type with time-depending coefficients. Investigation of stability is based on the use of Fourier transformation in space variables for the transition from original problem to parametric system of ordinary differentials equations in spectral domain, and the further analysis of solutions of the system with the use of Liapunov transformations and logarithmic norms. An algorithm that enables to obtain criteria of stability of solutions of finite systems of linear hyperbolic equations with time-depending coefficients has been proposed, and also several examples of application of the algorithm for the investigation of stability of solutions of hyperbolic equation and of the system of hyperbolic equations with constant coefficients have been given. The devised algorithm can be used for investigation of dynamical systems that are governed by systems of hyperbolic equations.
Key words. Liapunov stability, hyperbolic equations, Liapunov transformation, logarithmic norm.
Введение
Анализ устойчивости решений уравнений в частных производных представляет огромный интерес в связи с многочисленными приложениями в физике и технике. Устойчивость решений дифференциальных уравнений
в частных производных является предметом большого числа исследований, результаты которых широко представлены в литературе; в первую очередь следует назвать публикации [1-4], включающие в себя обширные библиографии.
Предметом настоящей работы является проблема устойчивости тривиальных решений линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. В данной публикации развивается подход, ранее использованный в работах [5, 6], для исследования устойчивости решений уравнений параболического типа. Этот подход основывается на применении преобразования Фурье для перехода от гиперболических уравнений к соответствующим обыкновенным дифференциальным уравнениям в спектральной области и последующей оценке их решений с помощью логарифмических норм. Логарифмическая норма некоторого оператора А задается формулой [7]
Л(А) = ШпМ±М_1,
и в случае, если А - комплексная матрица, логарифмическая норма Л(А) в пространстве с нормами
1/2
n V2 nn 2
xll— Z xk Г _k—i _ и И— ZZI aj| _ i—i j—i _
вычисляется по следующей формуле [7, S]:
ЛИ—к
A + A* 2
(i)
где ^тах - максимальное собственное значение матрицы; А* - матрица, сопряженная к А.
В данной работе формулируется и доказывается теорема, связывающая устойчивость тривиального решения гиперболического уравнения с существованием для соответствующего дифференциального уравнения в спектральной области матрицы Ляпунова, переводящего матрицу исходного уравнения в матрицу с отрицательной логарифмической нормой. Описывается возможный подход к нахождению матрицы Ляпунова, а также приводятся примеры получения критериев устойчивости с помощью построения такой матрицы для некоторых простых классов гиперболических уравнений.
1. Основная теорема
Рассмотрим задачу Коши для системы линейных уравнений в частных производных гиперболического типа с коэффициентами, зависящими от времени:
д 2u (t, x) ,/4du (t, x) -Д d 2u (t, x) ...
v ’ ' — A(t) \’ ' + ZBk(t) _/2’ + Bn+i(t)u(t,x);
dt2
dt
k—i dxk
u (tQ, x) u00(x) ;
(2)
(З)
-u (tQ, x)
-t
—uoi(x);
(4)
Т ------
где и (Ц, х) = (щ(Ц, х),..., ит (Ц, х)) , х = (,..., хп), и А(0 и Бк (Ц) , к = 1, п +1 -
квадратные матрицы порядка т .
Исследование устойчивости решения задачи Коши (2)-(4) будем проводить в банаховом пространстве вектор-функций /(х) = ((х),...,/т(х))Т с нормой
j ... j [|fi(x)|2 + ... + | fm (x)|2
dxi...dxn
V2
(5)
При каждом фиксированном значении Ц норма функции и (Ц, х) определяется формулой
11/2
llu (t, x)|| —
j ... j |ui(t, x)|2 + ...|um (t,x)|2
dxi...dxn
(б)
Будем считать, что решение и (Ц, х) задачи (2)-(4) существует при Ц > Ц
o
Л
ди (ґ, х) д и(ґ, х)
и вместе со своими производными ------------------ и --------2--- суммируемо
-t
-t
2
с квадратом по пространственным переменным.
Применим к задаче (2)-(4) преобразование Фурье по пространственным переменным, в результате чего получим
д2и(ґ, ш) = а(ґ)ЩМ _ £ Вк ({)ю2и(ґ, Ю) + вп+1 (ґ)и(ґ, ю); (7)
-t2
-t
k—i
-U (tQ, ю) -t
— U0i(ro);
(S)
(9)
и ю) = и00 (ю)
где № = ((,...,юп ) .
Сделаем замену неизвестных функций V (Ц, ю) = и (Ц, ю) и
V (Ц, ю) = ди(Ц, ю) . Тогда вектор-функции V (Ц, ю), Р2 (Ц, ю) при каждом фикси-дЦ
рованном юе Яп подчиняются следующему операторному уравнению [7, 8]:
-V
— — ¥(t, ra)V,
-t
(iQ)
і '
где V = (Уі,У2) - (2га)-мерная вектор-функция,
(t, ю) =
( 0
I Л
B(t, ю) A(t)
(11)
причем Б(Ц, ю) = Бп+1 (Ц, ю) - ^ ю2БI (Ц), а 0 и I - соответственно нулевая и
/=1
единичная квадратные матрицы порядка т .
Т
Введем новую неизвестную вектор-функцию Р = (Р[, Р2) такую, что V (Ц, ю) = Г(Ц, ю) Р(Ц, ю), и преобразуем уравнение (10):
= Ф(t, ю)Р,
at
(12)
где Р(Ц,ю) = (Р1(Ц,ю),...,Р2т(Ц,ю))Т , Ф=Г ^Г-Г1 дГ; Г - матрица
дЦ
Ляпунова, удовлетворяющая при всех фиксированных юе Яп следующим условиям [9]:
дГ
1) матрица Г(Ц, ю) имеет непрерывную производную — при Ц > ^;
дЦ
ъ ч. Т-/ ч дГ(Ц, ю)
2) коэффициенты матриц Г (Ц, ю) и ------------ ограничены в интервале
дЦ
к ~);
3) величина |<1е1Гр,ю)| ограничена снизу некоторой положительной постоянной.
Замечание 1.1. Условие п. 2, наложенное на матрицу Г(Ц, ю), в частности, означает, что существует матрица Г(ю) = {7у (ю)} такая, что при каждом фиксированном юе Яп при всех I, ] = 1,2т выполняются неравенства
\jij- Р,ю)| ^ \ъ (ю)| , где Г(Ц,ю) ={Уу(t,ю)} .
Нормы вектор-функции Р(Ц, ю) определяются формулами
\2ш
1Р ( ю)|| = 4 71 Pk (t, ю) , llP(t, ю)111 = max.\pk (t, ю)|.
к=1
к=1,2 m
Справедливы следующие неравенства:
||Р (t, ю)|1 = ma^\Рк (t, ю)| = „
к=1,2 m
max \Р к (t, ю)|
к=1,2 m
2 2m 2
^ЕРк (t, «С =H(t, “)|,
к=1
2m 2m г -|
7Р(t,ю)|2 ^ 7 max Р (t, ю)|
к=1 1 к=1 к=1,2 m
llp(t, ю)| = а
Следовательно, справедлива оценка
: 72га||Р^, ю)|.
~^= ||Р(Ц,ю)||<||Р(Ц,ю)Ц <||Р(Ц,ю)||. (13)
\]2т
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.1. Пусть функции /(ю) и g(ю) непрерывны, неотрицательны
»
и интегрируемы на всей вещественной оси, причем I /(ю)g(ю)dю > 0.
—»
Тогда справедливо представление
» »
I /(Ш)g (»Мш=ц | g (14)
—» —»
где константа ц определяется формулой
ц = /(с), — »< с <».
Доказательство. По определению несобственного интеграла I рода в смысле главного значения имеем
» А
I /(ю)g(ю)dю = Пт I /(ю)g (ю)dю,
—» —А
где А - некоторая бесконечно возрастающая последовательность действительных чисел. По обобщенной теореме о среднем для любого значения А справедливо представление
А А
I /(ю)g(юМю = /(ю) I g(ю)dю.
—А — А
А А
Поскольку пределы Пт I /(ю)g(ю)dю и Пт I g (ю)dю существуют
—А —А
и конечны, то существует и конечен предел Нт /(ю|), причем
А »
11т I /(ю)g(ю)dю I /(ю)g (ю)dю
11т /(ю) =------------^^-------------------------= ц.
11т I g (ю)dю I g(ю)dю
I—» л ^
—А —»
Тот факт, что число ц является значением функции /(ю), где —» <ю <», следует из непрерывности функции /(ю) на всей вещественной
прямой, условия 0 < ц <» и формулы 11т /(ю) = 0, вытекающей из
ю——±»
условия интегрируемости функции / (ю) на числовой оси. Лемма доказана.
Исследуем устойчивость тривиального решения уравнения (7) к возмущению начальных условий (8), (9). При этом исследовании будем использовать логарифмическую норму, определяемую формулой (1).
Зафиксируем малые возмущения ^0 (ю) = £1 (ю), и01 (ю) = £2 (ю). Тогда
Т
вектор-функция V(?0, ю) принимает вид V(^, ю) =(е1(ю), £2(0)) , а вектор-
функция Р(*0, ю) при каждом фиксированном юе Яп удовлетворяет неравенству
Р
(to,ю|^|б1(ю)|2 +|£2(ю)|2 • Г 1 (to,ю)
(15)
Введем обозначение Б [ а, г ] для замкнутого шара в пространстве Л2т радиуса г с центром в точке а . Пусть логарифмическая норма Л(Ф(Ц,ю)) матрицы Ф(Ц, ю) при всех Ц > ^ и юе Яп удовлетворяет неравенству
Л(Ф(Ц,ю))<—а(ю), а(ю)>0. (16)
Докажем, что при всяком фиксированном юе Кп траектория Р(Ц,ю)
уравнения (12) при ^ < Ц <» не покидает шара В [0,60 ], где 60 =||Р (0, ю)||.
Для доказательства предположим противное: пусть при некотором значении ю = ю в момент времени Т траектория уравнения (12) покидает шар Б [0,60 ]. Тогда представим это уравнение следующим образом:
дР(Ц, ю)
dt
= Ф(Т, ю )Р (t, ю )+Ф (t, (о )Р (t, (о),
(17)
где Ф р, со ) = Ф(ц, ю) — Ф(Т, Ю).
Решение операторного уравнения (17) можно представить в виде
Р(Ц, Ю) = еФ (Т т—Т) Р(Т, со) +1 еФ (Т ,&)(г—5)Ф (5, Ю)Р(5, ю
(18)
Т
Переходя к нормам, имеем
||P(t, ю)|| <
еф (Т,ю)(t-Т) Р(Т, ю)
+
I еф(Т m-s)<Ф(s, ю)Р(s, &)ds
Оценим первое слагаемое в правой части формулы (19):
< е—а(Ю )(Ц—Т )| |Р(Т, Ю)||.
еф(Т,ю)(t Т)р(т, й)
(19)
(20)
Для второго слагаемого, используя двустороннюю оценку (13), получаем
j еф (Т ,®)(t-s) Ф (s, ю) Р( s, fa)ds
< V2rn
j еф (Т ,&)(t-s) ф (s, ю) p( s, m)ds
<42Г j||єФ(T,&)(t—s) I • ||Ф(s, Ю)P(s, Ю)|| ds <
Ti
t
< V2rn j eф(T,“)(t—s-||«Ф(s, Ю)P(s, Ю)|| ds <
T
t
< V2rn je—a(“)(t—s) ^ЦФ(s, Ю)P(s, сЮds <
T
t
<л/2^|е—а(Ю)(Ц—5) ||Ф(5,Ю)Р(5,Ю)||Л5. (21)
Т
Из структуры оператора Ф р, Ю) следует, что для любого как угодно малого 6(Т), 6(Т) > 0, найдется такой промежуток времени АТ(ю), что
||Ф (Ц, Ю)Р(Ц, Ю)|| <6(Т )||Р(Ц, Ю)||. (22)
Из неравенств (21), (22) следует оценка
jе^(Т,ю)(t s)ф(s, ю)p (s, ю)ds Т
Из выражений (19), (23) имеем
<6(Г)V2mje a(“)(f s)||P(s,Ю)||ds. (23)
||P(t, ю)|| < е a(a)(t Т)||Р (Т, ю)| + 6(Т )yf2m j е a(S)(t s)||P(s, ю)|| ds.
Т
Введем в рассмотрение функцию фр) = е-a(c°)(t-s)|p(s,ю)||. Тогда последнее неравенство запишется следующим образом:
t
фр )<ф(Т) + 5(Т )V2m j 9(s)ds. (24)
Т
Применяя к (24) неравенство Гронуолла - Беллмана и возвращаясь к нормам, получим
||P(t, ю)|| < е[-а(ю )+8(Т )л/2т](t-Т) |\Р(Т, ю)||. (25)
Поскольку число 5(Т) может быть выбрано таким, что
-а(ю) + 5(Т)V2m < 0, то из (25) следует неравенство
||P(t, ю)|| <| p(to, ю)||.
Таким образом, получаем противоречие, обосновывающее справедливость при любом юе Rn неравенства
\\Р(Ц,ю)|| <||Р(^,ю)||.
Так как V(Ц, ю) = Г(Ц, ю)Р(Ц, ю), то, используя (15), имеем следующую оценку:
||и(Ц,ю)||2 <|^,ю)||2 <||гр,ю)Р(Ц,ю)||2 <||гр,ю)12 \\Р(Ц,ю)||2 <
2
^ГИЦ2 П1 Р(Ц0,ю)||2 <|_|е1 (ю)|2 +|£2(ю)|2] ЛГ(ю)|2 •||г—1 р0,ю)|| . (26)
Существование матрицы Г(ю) следует из замечания 1.1.
Фиксируя векторы начальных возмущений £1(0) и £2(0) достаточно
малыми, мы можем сделать множитель |£1 (ю)|2 +1£2 (ю)|2 малым. Следовательно, если матрица Г(Ц, ю) непрерывна по ю, то для любых ||г(ю)|| и Г 1 р0, ю) можно выбрать такие функции £1(0) и £2(0), что правая часть неравенства (26) оказывается суммируемой по ю в пространстве ^2(Яп). Кроме того, легко видеть, что £1(0) и £2(0) можно выбрать такими, что (£2(ю) + £2)) <£(ю)(| и00(ю)|2 +1 и01(ю)|2), где £(ю) ((£(ю)>0) такая
2 —1 2
функция, что выражение £(ю)|| Г(ю) |||| Г (^,ю) || ограничено при всех ю.
Поэтому интегрируя неравенство (26) и применяя доказанную лемму, получаем
сколь угодно
||U(t,ю)|2 <|£(ю*)| г(ю* ) • Г-1 (,ю* )
Х j ... j[lU00(ю)| + U01 (ю)|
d e>1...d юп,
где ю* - фиксированная точка в Яп, а через ||и(Ц, ю)^ обозначена норма
вектор-функции и(Ц, ю) в пространстве (Яп). Применяя формулу Планшереля и извлекая квадратный корень, имеем окончательно
112
\ы(Ц,х)\2 < С\ | ... | |^м00(ю) + «^(ю) йю1...йюп
где
С = ||г(ю1 )||г-1 р0, ю2)
. Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть элементы матриц А(Ц) и Б(Ц) уравнения (2) непрерывны и ограничены по переменной Ц и существует матрица Г(Ц, ю), удовлетворяющая условиям:
дГ
1) матрица Г(Ц, ю) имеет непрерывную производную — при Ц > ^;
дЦ
дГ
2) коэффициенты матриц Г(Ц,ю) и — ограничены в интервале [^,те);
дЦ
3) величина Гр,ю) ограничена снизу некоторой положительной
постоянной.
4) матрица Г(Ц, ю) непрерывна по ю;
5) при каждом значении Ц > ^ и юе Яп логарифмическая норма
дГ
матрицы Ф = Г ¥Г — Г —, вычисляемая по формуле (1), отрицательна.
дЦ
Тогда тривиальное решение системы гиперболических уравнений (2) устойчиво.
Теорема 1.1 позволяет свести анализ устойчивости к поиску матрицы Г(Ц, ю), удовлетворяющей сформулированным условиям. Покажем, что при определенных ограничениях на коэффициенты уравнения соответствующая матрица Г(Ц, ю) существует.
Введем следующее определение.
Определение 2.1. Будем говорить, что квадратная матрица Ф порядка 2п, п = 1,2,..., принадлежит классу 0,п, если ее можно представить в виде
( Н1 К Л
Ф= *
I—К * Н 2
где Н1 , Н2 и К - квадратные матрицы порядка п , причем элементы диагональных матриц Н1 и Н2 имеют отрицательные действительные части.
Нетрудно убедиться, что вычисляемая по формуле (1) логарифмическая норма матрицы Л(Ф), принадлежащей классу 0.п , будет отрицательной, а из
доказательства теоремы следует, что решение дифференциального уравнения
с такой матрицей будет устойчивым.
Воспользуемся теоремой 1.1 для анализа устойчивости тривиальных
решений гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, для
котороых указаннный анализ является особенно простым в силу того, что
Г Ц дГ 0
искомая матрица Г не зависит от Ц и, тем самым, = 0 .
Рассмотрим задачу Коши для линейного одномерного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами:
д 2« = ди д 2и
= а1 — + *1—2 + ^2«; (27)
дх
= «01( х); (28)
at2 1 dt 1 dx2
du (tQ, x)
дЦ
и (^, х) = «00( х). (29)
Исследование устойчивости решения задачи Коши будем проводить в банаховом пространстве функций / (х) с нормой
\\f(x)ll=
dx
12
При каждом фиксированном значении Ц норма функции и (Ц, х) определяется формулой
\\u (t, x)|| =
j |u(t, x)|2
dx
12
Будем считать, что решение и (Ц, х) задачи (27)-(29) существует при
2 2
всех значениях Ц > ^ и вместе со своими производными ди / дЦ и д и / дЦ суммируемо с квадратом по пространственной переменной.
Применим к задаче (27)-(29) преобразование Фурье по пространственной переменной, в результате чего получим
d2U
dU , 2гт , ТТ
a---------Ь^ю U + b^U;
dt
dU (t0, ю)
dt
= U01(g>);
и ю) = и00(ю).
Сделаем замену независимых функций:
^(Ц, ю) = и (Ц, ю), ди (Ц, ю)
(30)
(31)
(32)
V2(t, ю) =-
dt
Тогда функции Vl(t,ю), V2(t,ю) при каждом фиксированном юе Я подчиняются следующему операторному уравнению:
дV (Ц, ю)
dt
= ¥^)V (t, ю),
(33)
где V(t, ю) = (V1(t, K>),V2(t, ю))Т и ¥(ю) =
0
b2 - Ь^ю ^1
Поставим задачу отыскания удовлетворяющей условиям теоремы 1.1 матрицы Г такой, что матрица Ф= Г 1^Г принадлежит классу ^. Для этого введем представление
Г =
(34)
Матрица Г удовлетворяет матричному уравнению ГФ = ¥Г . С учетом представления (34) это уравнение можно записать в виде системы:
ГіЩ —Г2 K *— Гз,
ГiK + Г 2 H 2 — Г4,
Г3 H, — Г4 K *— B (ю)ГІ + АГ3, Г3 K + Г4 H2 — Bfa)^ + АГ4,
(З5)
где А — (a,) и B(ю) — (2 -Ь,ю2 ).
Так как Н1, Н2 и К - квадратные матрицы порядка 1 х1, то они коммутируют. Следовательно, систему (35) можно переписать следующим образом:
Н1Г1 — К ^Г2 — Г3 = 0,
К Г1 + Н 2Г2 —Г 4 = 0,
Ь,ю
Ь,ю2
Г, +Hi — a, ]Гз — K *Г 4 — 0, Г2 + K Гз +H 2 — a, ]Г 4 — 0.
Выразив из первых двух уравнений неизвестные Г3 и Г4, подставим их в два последних уравнения, в результате чего получим следующую систему:
{^ю2 -Ь2 + НХ2 -аХНХ -КК*}гХ + {аХК* -НХК* -Н2К*}г2 = 0 {НХК + Н2К - аХК}Г! + {б!®2 - Ь2 + Н2 - аХН2 - КК*}г2 = 0. Обозначим матрицу системы (36) символом 0 :
[ -Нх -Н2]К*
(Зб)
0 —
Г Ь,ю2 — b2 + H,2 — aiHi — KK*
[H, + H2 — a, ]Г Ь,ю2 — b2 + H2 — a,H2 — KK *
Предположим, что коэффициенты ах, Ьх, Ь удовлетворяют условиям:
a, <Q, b, >Q, b2 <—a, /4.
(З7)
ai
Тогда выбором К = ^ /^ю2 — *2 —4- и Н1 = Н2 = мы можем сделать
матрицу 0 нулевой. В этом случае системе уравнений (36) будет удовлетворять любая пара чисел (Г1, Г2), а искомая матрица Г будет иметь вид
Г —
i
Л
^ Г, — KГ2 KГІ + a| Г2
,2і 2 1 2 2
(3S)
Легко видеть, что при любых действительных и не равных одновременно нулю значениях Г1, Г2 определитель заданной таким образом
матрицы Г, равный К (2 +Г2), отличен от нуля. Следовательно, матрица
Г имеет обратную и матрица Ф = Г 1^Г принадлежит классу ^1. Фиксируя, например, Г1 = 1 и Г 2 = 0, получаем матрицу
(1 0 Л
Г =
к
v 2 j
Нетрудно убедиться, что указанная матрица Г удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1. Следовательно, доказана следующая теорема.
Теорема 2.1. Пусть коэффициенты а1, Ь1 и Ь2 уравнения (27) удовлетворяют условиям (37). Тогда тривиальное решение задачи Коши для уравнения (27)устойчиво.
Замечание 2.1. Матрица Г может быть задана по формуле, отличной от формулы (38), в этом случае устойчивость тривиального решения уравнения (27) может быть доказана при ограничениях, отличных от ограниченй (37). Например, матрицу Г можно ввести по формуле
Г 1
Г(ю) =
a a
Ч(ю) 1+^(ю)
где значения функции ^(ю) при любом юе Я и при *2 < 0 могут быть вы-
браны на промежутке
Ь1ю2
•-1,
Ь1ю2
так, чтобы соответствую-
а1 у а1
щая матрица Ф(ю) = {фгу (ю)} системы (12), где
а2^2 (ю) + Ь2 — Ь1ю2
Ф11 (ю) = -
«1 (1 + 2^(ю))
Ф22 (ю) =
Ь1ю2 - b2 - a2 (1 + £(ю))
Ф12(ю) = -ф12(ю) = -
«1 (1 + 2^(ю))
Ь1ю2 - b2 + a2 (J;2 (ю) + ^(ю)
«1 (1 + 2£(ю))
принадлежала классу ^1. Приведенное замечание дает возможность сформулировать следующее утверждение.
Теорема 2.2. Пусть коэффициенты а1 , Ь1 и Ь2 уравнения (27) удовлетворяют условиям
(39)
Тогда тривиальное решение задачи Коши для уравнения (27) устойчиво.
Теперь воспользуемся теоремой 1.1 для анализа устойчивости тривиального решения задачи Коши для системы гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами:
д 2u
i
du,
„ a—- + bi, „
dt2 dt dx,2
д u, + b д u, + u д U2 + u д U2
i2
дx2
- + b
13'
д 2u2 — a ^2 + b2i^i+ b22^i + b23^2 + b
дt2
— a-
2 -x1 ил2
д2Ui д2Ui д2U2 , д2U2
+ b14 2 + b15ui + U16u2 ,
-X2
(4o)
^22' о
дx2
23 дxi2
24 дx2
дt ■ 2Г дxi2
дui (t0, xb x2 ) д дt
ui (t0, xi, x2 ) — u01(xi, x2), u2 ((, xi,x2 ) — u02(xi, x2).
+ b25ui+ U26u2;
( ) ^u2 (to,xi,x2) ( ) (4i)
— Uii(xi, X2), ---------г---------— u,2(xi, X2); (41)
(42)
Будем считать, что решение задачи (40)-(42) существует при всех ґ > І0 и вместе со своими частными производными второго порядка по
2
пространственным переменным суммируемо с квадратом в Я . При этом предположении применим к (40)-(42) преобразование Фурье по Хх и Х2,
2
в результате чего при каждом фиксированном наборе значений ює Я получим следующую задачу Коши:
д2и, — дР
дt2 д2Р
2
дt2
дР 2 2 2 2
a—-ь11ю1 ui — Ь12Ю2Р1 — Ь13ю1 U2 — Ь14Ю2Р2 + b15U1 + Ь1бР2,
дt
a -p2 + b2iю2 Ui + Ь22Ю2Р1 + Ь23ю2и2 + Ь24ю2и2 + b25U1 + Ь2бР2; дt
(43)
Э^Х(?0-:ЮЬЮ2) = ^хх(Юх,Ю2), ^2('0-’<°1’Ю2) = ^(ю,.®2); (44)
ОҐ ОҐ
UХ(t0,ю2) = и0Х(юХ,ю2Х и2(t0,ю2) = и02(юХ,ю2). (45)
В операторной форме система (43)-(45) записывается следующим образом:
д 2Р дt2
— А дР + B (ю)Р, дt
(4б)
где u — (U1P2 )
А —
a 0 Л 0 a
B (ю) —
Г b15 — Ь11ю2— Ь12ю2 Ь1б — Ь13ю2 — Ь14ю2 ^
b25 — Ь21ю2 — Ь22ю2 Ь2б — Ь23ю2 — Ь24ю2
(47)
dUi
к уравнению
dt
dV
— = ¥(ю)К,
dt
4 =-----, приходим
dt
(48)
В(ю)
Поставим задачу нахождения квадратной матрицы Г порядка 4, удовлетворяющей условиям теоремы 1.1 и переводящей матрицу ¥ в принадлежащую классу ^2 матрицу Ф. Представим блочную матрицу Г
в виде (34), тогда система уравнений относительно неизвестных Г^ , к = 1,4, запишется в виде (35), где матрицы А и В(ю) задаются формулами (47).
Положим, что матрица К является симметрической и чисто мнимой,
т.е. для нее справедливо тождество К = — К *; кроме того, положим Н = Н1 = Н2. Тогда система (35) может быть переписана следующим образом:
Г1Н + Г2 К = Г3,
Г1К + Г 2 Н = Г 4,
Г 3 Н + Г 4 К = В (ю) Г1 + АГ 3,
Г3 К + Г4 Н = В (ю)Г2 + аг4 .
Подставляя выражения для Г3, Г4 в два последних уравнения системы, получаем следующую систему относительно Г, Г2 :
H2 + K2
- АГ1Н - В(ю)Г1 + Г2 [KH + HK] - АГ2K = 0,
Г1 [KH + HK ] - АГ1К + Г2
Н 2 + K2
- АГ2H - В(ю)Г2 = 0.
(49)
Введем в рассмотрение матрицы В^ю) и В2(ю) как симметрические матрицы, являющиеся решениями уравнений В(ю)Г1 =Г1В1(ю) и В(ю)Г2 = Г2В2 (ю). Пусть матрица Г1 ищется в виде
Г1 =
Г y11) 0
0
y21)
Л
матрица Г2 связана с матрицей Г1 соотношением Г2 = оГ 1, где а -фиксируемый произвольно ненулевой параметр (вещественный или комплексный). Тогда АГ1 =Г1 А и АГ2 =Г2А; кроме того, непосредственно
легко убедиться, что В^ю) = В2(0) = В (ю), причем матрица В (ю) может быть представлена следующим образом:
B (ю) —
B11(ю)
Y2І)(ю) y|1) (ю)
B12 (ю)
y|1) (ю) Y2І)(ю)
B21(g>) B22(ю)
(5o)
где Ву (ю), /, у = 1,2, - соответствующие элементы матрицы В(ю), задаваемой второй формулой (47), причем коэффициенты у11)(ю), у21)(ю) (вещественные или комплексные) матрицы Г выбираются так, чтобы при всех
ює R выполнялось условие
B 21(ю) —
'y21)'
Yi
(і)
-B 12(ю) .
При сделанных предположениях система (49) сводится к системе
|Н2 + К2 - АН - В (ю) = 0,
ІКН + НК - АК = 0.
(5i)
А ~ А2 Зафиксируем Н = — и К = Л В(ю) + -^; тогда непосредственной подстановкой легко убедиться, что система (51) выполняется. Стало быть система (49) имеет нетривиальные решения на описанных классах матриц Гх , Г2 . Ранее было потребовано, чтобы элементы диагональной матрицы
Н А й
Н = — имели отрицательные действительные части, а матрица
K — J B (ю) +-
(52)
была симметрической и чисто мнимой. Для того чтобы эти требования выполнялись, достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
a < Q, и,, > Q, b,2 > Q, b23 > Q, b24 > 0;
b,5 < —a /4, Ь2б < ~a / 4.
(53)
(54)
Из системы (35) следует, что искомая матрица Ляпунова Г определяется формулой
Г —
аГ,
(г + aK )Г, (oH + K )Г,
(55)
2
Нетрудно убедиться, что построенная согласно (55) матрица Г удовлетворяет всем условиям теоремы 1.1. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2.2. Пусть коэффициенты a, bц, i = 1,2, j = 1,6,
удовлетворяют условиям (53), (54). Тогда тривиальное решение задачи Коши для уравнения (43) устойчиво.
Замечание 2.2. Критерий устойчивости, определяемый теоремой 2.2, по соображениям простоты получен для системы (43), в которой матрица
А = {ац } определяется формулами ац = a22 = a , ayy = a21 = 0 . Однако
i, j=1,2
проведенные рассуждения могут быть распространены и на случай матрицы
А = {aj } с произвольными элементами aц .
i J -1 i, j=1,2 J
Список литературы
1. Крейн, С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / C. Г. Крейн, М. И. Хазан // Итоги науки и техники. Математический анализ. - М. : ВИНИТИ, 1983. - Т. 21. - С. 130-264.
2. Сиразетдинов, Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами / Т. К. Сиразетдинов. - М. : Наука, 1987. - 232 с.
3. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М. : Мир, 1985. - 376 с.
4. Шес таков, А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
5. Бойков, И. В. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4. -С. 84-100.
6. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2008. - 244 с.
7. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 1970. - 536 с.
8. Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Декккер, Я. Вервер. - М. : Мир, 1988. - 334 с.
9. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М. : Физматлит, 2010. -560 с.
References
1. Kreyn S. G., Khazan M. I. Itogi nauki i tekhniki. Matematicheskiy analiz [Science and technology results. Mathematical analysis]. Moscow: VINITI, 1983, vol. 21, pp. 130264.
2. Sirazetdinov T. K. Ustoychivost’ sistem s raspredelennymi parametrami [Stability of distributed parameter system]. Moscow: Nauka, 1987, 232 p.
3. Khenri D. Geometricheskaya teoriya polulineynykh parabolicheskikh uravneniy [Geometric theory of semilinear parabolic equations]. Moscow: Mir, 1985, 376 p.
4. Shestakov A. A. Obobshchennyy pryamoy metod Lyapunova dlya sistem s raspredelennymi parametrami [Generalized direct Lyapunov’s method for distributed parameter systems]. Moscow: Nauka, 1990, 320 p.
5. Boykov I. V., Ryazantsev V. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences]. 2012, no. 4, pp. 84-100.
6. Boykov I. V. Ustoychivost’ resheniy differentsial’nykh uravneniy [Stability of differential eqations’ solutions]. Penza: Izd-vo Penz. gos. un-ta, 2008, 244 p.
7. Daletskiy Yu. L., Kreyn M. G. Ustoychivost’ resheniy differentsial’nykh uravneniy v ba-nakhovom prostranstve [Stability of differential eqations’ solutions in Banach space]. Moscow: Nauka, 1970, 536 p.
8. Dekker K., Verver Ya. Ustoychivost’ metodov Runge-Kutty dlya zhestkikh nelineynykh dif-ferentsial’nykh uravneniy [Stability of Runge-Kutta methods for rigid non-linear defferential equation]. Moscow: Mir, 1988, 334 p.
9. Gantmakher F. R. Teoriya matrits [Matrix theory]. Moscow: Fizmatlit, 2010, 560 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Рязанцев Владимир Андреевич аспирант, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,
Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Ryazantsev Vladimir Andreevich Postgraduate student, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
УДК 517.9 Бойков, И. В.
О достаточных критериях устойчивости решений дифференциальных уравнений гиперболического типа / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 2 (26). - С. 33-49.
