CC BY
22
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
DOI 10.21685/2072-3040-2018-4-1
И. В. Бойков
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ.
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Работа посвящена анализу устойчивости в смысле Ляпунова установившихся решений систем линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от времени, и с запаздываниями, зависящими от времени. Рассматриваются случаи непрерывного и импульсного возмущения.
Материалы и методы. Исследование устойчивости основано на применении метода «замораживания» коэффициентов, зависящих от времени, и последующем анализе устойчивости решения системы в окрестности точки «замораживания». При анализе преобразованных таким образом систем дифференциальных уравнений используются свойства логарифмических норм.
Результаты. Предложен алгоритм, позволяющий получать достаточные критерии устойчивости решений конечных систем линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами и с запаздываниями, зависящими от времени. Алгоритмы эффективны как в случае непрерывных, так и в случае импульсных возмущений.
Выводы. Предложенный метод может быть использован при исследовании нестационарных динамических систем, описываемых системами обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с запаздываниями, зависящими от времени.
Ключевые слова: устойчивость, системы обыкновенных дифференциальных уравнений, запаздывания, зависящие от времени.
I. V. Boykov
SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE STABILITY OF SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL TIME-DEPENDENT DELAY EQUATIONS.
PART I. LINEAR EQUATIONS
1 Работа поддержана РФФИ. Грант 16-01-00594.
© Бойков И. В., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Abstract.
Background. The paper is devoted to the analysis of stability in the sense of Lyapunov steady-state solutions of systems of linear differential equations with time-dependent coefficients and with time-dependent delays. Cases of continuous and pulsed perturbations are considered.
Materials and methods. The study of stability was based on the application of the method of freezing of time-dependent coefficients and the subsequent analysis of the stability of the solution of the system in the vicinity of the freezing point. When analyzing systems of differential equations thus transformed, the properties of the logarithmic norms were used.
Results. An algorithm is proposed that allows one to obtain sufficient stability criteria for solutions of finite systems of linear differential equations with coefficients and time-dependent delays. The algorithms are effective in both continuous and impulsive perturbations.
Conclusions. The proposed method can be used in the study of nonstationary dynamic systems described by systems of ordinary linear differential equations with time-dependent delays.
Keywords: stability, systems of ordinary differential equations, time-dependent delays.
Введение
Почти сто лет назад Вольтерра начал исследовать влияние запаздывания на протекание различных физических процессов, введя понятие эреди-тарности [1, 2] и продемонстрировав применение эредитарной идеи ко многим конкретным моделям. С тех пор исследование динамических процессов с запаздываниями является предметом многочисленных исследований в математике, физике, технике.
Начиная с середины прошлого века активно развиваются методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с последействием и более общих функционально-дифференциальных уравнений. Результатам этих исследований посвящены многочисленные публикации, в первую очередь нужно отметить монографии [3-7], в которых также имеются обширные библиографии.
Одним из основных методов исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с запаздываниями является второй метод Ляпунова, основанный на применении функционалов Ляпунова - Красовско-го в случае нелинейных уравнений, и метод функциональных рядов в случае линейных уравнений.
В работах автора [7-9] предложены критерии устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с последействием, основанные на оценке логарифмических норм семейств достаточно специфических матриц.
Практическое применение этих критериев к достаточно общим системам дифференциальных уравнений с последействием может вызвать затруднение.
В работе [10] исследовалась устойчивость решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, зависящими от времени:
dxk(t) = fk (t, xl(t ), -, xn (t ), x (t - hki (t )),..., xn (t - tkn (t ))), (1)
dt
к = 1,2,..,«, t > ¿о, с начальным множеством ф(У ) = (ф1(^),..., фп ^)), ¿0 -Н < t < ¿о, где x(t) = ф(0 при ¿о -Н < t < ¿о, ф(0 = (ф1(0,...,фи(¿)) -непрерывная вектор-функция; х^) = (х^),...,хп(¿)) - искомое решение. Подобное решение обозначим через Хф (t).
В работе [10] получены достаточные условия устойчивости решения системы уравнений (1) в метрике пространства Яп векторов х = (х1,...,хп)
с нормой У х ||з= тах | хк |. Достаточные условия устойчивости были
1<к <п
выражены через логарифмические нормы семейств матриц, построенных на частных производных первого порядка функций /к.
Соответствующие логарифмические нормы были ассоциированы с метрикой пространства Яп; логарифмическая норма матрицы А = {ау},
/,у = 1,2,.,п, в пространстве Яп с нормой || х ||з= тах | хк | определяется
1<k <n
f n ^
формулой [11] Л( A) = max
+ Z i aij j=1, j &
При получении достаточных условий устойчивости решений систем уравнений вида (1) в работе [10] существенно использовались свойства упомянутой выше метрики пространства Яп.
Кроме того, на функции куу (¿) были наложены условия:
*
1) уравнения t - ку ^) = 0, ¡, у = 1,2,., п, имеют только одно решение ¿у;
2) t > куу ^) при t > .
Представляет значительный интерес получение достаточных условий устойчивости решений систем неавтономных дифференциальных уравнений с запаздываниями, зависящими от времени, справедливых в любых п -мерных пространствах, на основе методологии свободной от использования свойств метрики конкретного пространства и от выполнения вышеупомянутых условий.
Этим вопросам посвящена данная работа.
Напомним определения устойчивости и асимптотической устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение 1. Решение хф (¿) системы уравнений (1) называется
устойчивым, если для любого £ >0 существует такое 5(е) > 0, что из неравенства | ф(0 -у(01< 6(£) на начальном множестве следует | хф(¿) -х^(¿) |< £ при t > ¿0, где ) - непрерывная начальная вектор-функция.
Определение 2. Устойчивое решение хф ^) называется асимптотически устойчивым, если Пт | хф^) - х^ ^) |= 0 для любой непрерывной началь-
г
ной функции у(0, удовлетворяющей при достаточно малом 61 >0 условию
|ф(t) -V(t)|< 61.
Наряду с этими определениями имеет смысл рассмотреть случай, когда возмущение носит импульсный характер. В этом случае можно определить функцию ) следующим образом: ) = ф(У) при ¿0 -Н < t < ¿о, ^(^о) = ф(tо) + 6. При этом определения устойчивости и асимптотической устойчивости остаются прежними.
Приведем определения, используемые в статье.
Через Dk g ^, н^.., ип) обозначена частная производная Dkg (t, и^,.., ип) = = д (¿, иъ..., ип)/ дик, к = 1,2....,п.
Пусть X — банахово пространство; К — оператор, действующий из X в X; В(а, г ) = {х, а е Х:|| х — а ||< г}; Б (а, г) = {х, а е Х:|| х — а ||= г}; Л(К) -логарифмическая норма линейного оператора К, определяемая [11] выражением Л(К) = НтИ^о(|| I + ИК || —1)/ И, где символ И 0 означает, что И стремится к нулю, убывая.
2. Устойчивость решений систем линейных дифференциальных уравнений с импульсным возмущением
Рассмотрим систему линейных неавтономных дифференциальных уравнений с запаздываниями
И (Л п п
^ = ^ (Оху (О + (Ох,- ^ — И(0), 1 = 1,2,..., п, (2)
У=1 у=1
где а- ^), Ьу ^), 1, у = 1,2,..., п, - непрерывные функции; И(1) - непрерывная
*
функция, удовлетворяющая следующим условиям: 0 < И^) < Н +1 при
0 < t < Здесь и ниже полагаем ¿о = 0.
*
Пусть при — Н < t < 0 выполняется условие
х1 ^ ) = п (t), 1 = 1,2,..., п, (3)
где П (t), 1 = 1,2,..., п, непрерывные функции.
Будем считать, что при условиях (3) система уравнений (2) имеет
* * *
установившееся решение х ^) = (х1 ^), • • •, хп ^)), t > 0.
*
Будем исследовать устойчивость установившегося решения х ^) при возмущении х0 =(х0,..., хЩ), возникшем в момент времени ¿о =0:
хг- (0) = х* (0) + х0,1 = 1,2,..., п. (4)
Исследовать устойчивость будем в пространстве п -мерных векторов Я (х = (хь... , хп)) с нормой Ух ||. Конкретный вид нормы не указываем, так как полученные ниже условия устойчивости имеют общий вид.
*
Введем новые переменные и{ ^) выражением х{ ^) = х{ ^) + и{ ^),
1 = 1,2,..., п.
В результате система уравнений (2) принимает вид
—ы О) п п
--—1 = ^)ыу (t) + ТРч (t)ыу ^ -к()), 1 = 1,2,...,п, (5)
У=1 У=1
причем ыг- (¿) = 0 при < t <0.
Возмущения (4) трансформируются в начальные условия
ы((¿) = 0, — < t <0,1 = 1,2,...,п; ы((0) = х0,1 = 1,2,...,п. (6)
Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений (5) при начальных условиях (6).
Пусть 6 - достаточно малое положительное число. Пусть | | ы(0) 11 <6, ы(0) = (ы1(0),..., ып (0)).
Найдем условия, при которых траектория решения задачи Коши (5), (6)
при | |ы(0) 11<6 не покидает шар 5(0,6).
*
Обозначим через ,1 = 1,2,.,5, корни уравнения t = k(t).
* * *
Для простоты изложения предположим, что 0 < ¿1 < ¿2 < ... < .
**
Рассмотрим промежуток времени 0 < t < ¿1. Случай, когда ¿1=0,
рассматривается по аналогии с исследованием временного промежутка
* *
¿1 < t < ¿2.
Предположим вначале, что в этом промежутке к^) > t. Тогда система уравнений (5) имеет вид
—ы ; (t) -Дл
-—Г = (¿)ыу (¿). (7)
У=1
Обозначим через A(t) матрицу А(1:) = {ауу(¿)}, 1,у = 1,2,.,п. Пусть выполнены условия
Л(A(t)) <-х, 0 < t < ¿1*, х >0. (8)
Повторяя рассуждения, приведенные в [7, 10], убеждаемся, что
*
в течение промежутка времени t е [0, ¿1 ] траектория решения задачи Коши (6), (7) не покидает шар 5(0,6).
*
Более того, можно показать, что при t е [0, ¿1 ]
| | х(Г)| | < /2| |х(0)| |. (9)
Доказательство проведем от противного. Пусть в момент времени
*
Т е [0, ¿1) неравенство (9) нарушается. Представим уравнение (7) в виде
п
—-1 = (Т)ыу (¿) + gi(t,T,ы), 1 = 1,2,.,п, (10)
у=1
п
где gi (¿,Т, и ) = ^(ау (t) — а, (Т))и,- (t), 1 = 1,2,., п. -=1
В операторном виде система уравнений (10) имеет вид
^ = А(Т )и «) + О ^), (11)
И
где А(Т) = {а-(Т)}, 1,- = 1,2,.,п; О(0 = Ш,Т,и),.,gn(t,Т,и)).
*
Уравнение (11) имеет при Т < t < ^ решение
и (t) = еА(Т )(t—т )и (Т) + ¡еА(Т )(t—5)О( s)ds. Т
Переходя к нормам, имеем
|| и(t) ||< еЛ(А(т^—т) || и(Т) || + |еЛ(А(т))(t—5) || О(5) || Ж.
Т
Так как а-(t), 1,- = 1,2,.,п, - непрерывные функции, то существует
*
промежуток времени [Т,Т + ДТ] с [Т,^ ) в течение которого || О(5) ||< е || и(5) ||, е <| Л(А(Т)) | /2, следовательно,
|| и(t) ||< еЛ(А(т))(t—т) || х(Т) || +е|еЛ(А(т))(t—5) || и(5) || И5.
т
Переходя к уравнению
t
ф(t) < ф(Т) + е|ф(s)ds,ф(t) = е—Л(А(т))t || u(t) ||
т
и используя неравенство Гронуолла - Беллмана, приходим к неравенству
|| и(t) ||< е(Л(А(т))+е)(г—т) || и(Т) ||< еЛ(А(т))(г—т)/2 || и(Т) ||< е—*(г—т)/2 || и(Т) ||,
справедливому при t е [Т, Т + ДТ].
Из полученного противоречия следует справедливость неравенства (9).
*
Рассмотрим теперь случай, когда И(^) < t при t е (0,^ ). Тогда система уравнений (5) имеет вид
1 n
Щ ■ = Ъ*У (t) + Tbij(t)uj(t - i = 1,2,...,n. (12)
dt . . . .
j=1 j=1
Пусть
A(t) = a(t)}, B(t) = {bj(t)}, i = 1,2,...,n.
Систему уравнений (12) представим в виде
-U(г) = А(Оы(¿) + Б(Оы^ - к(0). (13)
—
При выполнении условия
Л(АЦ))+ ||Б^)| | < -х,х >0,tе [0,¿1*)
*
траектория решения задачи Коши (6), (13) не покидает шар 5(0, ¿1).
*
Более того, при t е [0, ¿1 ] справедливо неравенство
| | ы ^) 11< в(А(1)+||Б(Г > | )г/2| |ы(0) | |. (14)
Справедливость этих утверждений доказывается ниже при
* *
рассмотрении временного интервала [¿1, ¿2 ].
*
Таким образом, | |ы^)| | < 6 при tе (0,¿1].
* *
Рассмотрим теперь промежуток времени t е [¿1, ¿2). В этом промежутке система уравнений (5) имеет вид
—ы; (t) -Дл
——у- = ^(ау (¿)ыу (¿) + Ьу (¿)ыу ^ -к(0)), 1 = 1,2,...,п. (15)
у=1
Пусть будут выполнены условия
Л(A(t))+ 11 Б(t) | | < -х, X >0, tе [¿*,¿2). (16)
* *
Тогда траектория решения уравнения (15) при t е [¿1, ¿2] и при начальном условии
ы(0 = (ы1(0,.,ып(¿)), tе [¿1* -Н*,¿1*], (17)
не покидает шар Б(0,6). Отметим, что | |ы(¿) | | * * *<6.
С[1-Н ,t1]
Замечание. В определение начального значения в (17) входят как
*
значения ы ^) при t е [0, ¿1 ], так и значения вектора возмущений. Запишем систему (15) в матричном виде:
—ы^)
dt
■ = A(t )u (t) + Bu(t - h(t)), (18)
где А(0 = {ау (¿)}, Б(0 = {Ьу (¿)}, ы^ - k(t)) = (ыl(t - к(0),..,ып ^ - к(0))Т.
Нужно показать, что при выполнении условий (16) траектория решения
* *
задачи (17), (18) не покидает шар 5(0,6) в течение промежутка времени [¿1, ¿2 ].
Доказательство проведем от противного. Предположим, что в момент времени 71, < Т1 < , траектория решения задачи Коши (17), (18) покидает шар 5(0,6).
*
Замечание. Отметим, что при t е (0, ^ ] || и ^) ||< 6. Представим уравнение (18) в виде
Ии^)
dt
■ = A(Ti)u(t) + B(T1)u(t - h(t)) + G (t, T1, u, h(t)), (19)
где
A(T) = {aj(T1)}, B(T1) = {bj(T1)}, i,j = 1,2,.,n,
G (t, T1, u, h(t )) = ( g1(t, T1, u, h(t)),..., gn (t ,T1, u, h(t )))T,
gi (t,T1, u, h(t)) = ^((агу (t) - aij (T1))uj (t) +
j=1
+(bj (t) - bj (T1 ))uj (t - h(t))), i = 1, 2,., n.
*
При t e [T1, t2) решение уравнения (19) имеет вид t
u(t) = eA(T1)(t-T1)X(T1) + JeA(T1)(t-s)(B(T1)u(s - h(s)) + G(s,T1,u,h(s)))ds.
T1
Переходя к нормам, имеем
|| u(t) ||< eЛ(A(T1))(t-T1) || u(T1) || +
t
/еЛ(A(T1))(t-S)(|| B(T1)u(s -h(s)) || +1| G(s,T1,u,h(s)) ||)ds <
+
T1
< еЛ(A(T1))(t-T1) | u(T1) || + jеЛ(A(T1))(t-s) || B(T1)u(s - h(s)) || ds
+
T1
t
+
JeЛ(A(7l))(t s) || G(s,T1,u,h(s)) || ds = J1(t) + J2(t) + J3(t). (20)
T1
Оценим слагаемое J2(t).
Здесь нужно рассмотреть два случая:
1) T1= t*;
2) T1> t*.
Вначале рассмотрим второй случай. Здесь имеется две возможности: h(T1) > T1, h(J1) < T1. Рассмотрим первую возможность. Если T- h(T1) < 0 , то u(T - h(71)) = 0, и, следовательно, существует промежуток времени [71, T1 +A1T1], в течение
которого | | u(t — h(t)) 1|<£ 11 u(t) || , где £ - как угодно малое положительное число.
Следовательно, в этом промежутке
t
J2(t) < | | B(T1) 11 £ J еЛ( A(T1))(t—s) | | u(s) ||ds. (21)
T1
Рассмотрим вторую возможность.
Как отмечалось выше, | |u (t)| | < 5 при t е (0, ?]), следовательно, существует промежуток времени [7],T +A2TJ такой, что | |u(s — h(s)) | | < 5 при sе [T],T] +A2T]].
Так как по предположению | | u(Tj)| | = 5, то существует промежуток времени [Tj,T] +A3T1] такой, что | | u(s)|| > (1 — а) 11 u(Tj) || =(1 — а)5, где а>0 — вещественное число.
Следовательно, в промежутке времени [TiT +A4T1], где A 4T1 =min(A1T1,.., A3T1), справедливо неравенство
| | u(s — h(s)) | | < 11 u(T1) 11< 11 u(s) | | /(1 — а)
и оценка
J2(t) <| | B(T1) 11Л(A(T1))(t—s) ||u(s)|| ds. (22)
1—а
T1
Нетрудно видеть, что а можно выбрать таким образом, что из (21), (22) вытекает оценка
J2
t
(t) <(| |B(T1) 11+£) JеЛ(A(T1))(t—s) ||u(s)|| ds. (23)
T1
Приступим к оценке Jз.
Так как ау(1), Ъу(1), I,у = 1,2,.,п, - непрерывные функции, то найдется такой промежуток времени [71,71 + Аз?!], в котором
I \0^,ГЪ и, Й(5))| |<£ 11 м(5)| |. (24)
Из(24)следует, что
Jз(
5(t) <£|еЛ(A(T1))(t—s)||u(s)|| ds. (25)
T1
Из неравенств (20)-(25) следует, что
| |u(t )| |< еЛ( A(T1))(t—T1)| |u(T1) 11 +
t
+ "' "
(|| BiT,)||+2е)/еЛ(A(T1))(t) || u(s) || ds.
т1
Отсюда имеем
|| u(t) ||< ехр{(Л(А(Т1))+1| В(Т1) || +2е)(Г — Тх)} || иТ) ||. (26)
Следовательно, при Л(А(Т1))+1| В(7|) ||< % траектория задачи Коши (17), (18) не покидает шар В(0,6).
*
Рассмотрим первый случай. Так как Т = tl, то и(Т1 — И(Т1)) = и(^ — И(Т1*)) = и(0) и || и(Т1 — И(Т1)) ||=|| и(0) ||= 6 =|| и(Т1 ||.
Следовательно, существует промежуток времени [Т1,Т1 +ДТ1] в течение которого
|| и (5 — И(5)) ||< (1 + е1) || и (0) ||, (1 — е1) || и(0) ||<|| и(5) ||<(1 + е1) || и(0) ||. Тогда при t е [Т1, Т1 + ДТ1 ]
t
<|| В(Т1) || |еЛ(А(Т1))^—5) || и(5 — И(5)) || < Т1
t
< || B(T1) || ГеЛ(A(T1))(t-s) || u(s) || ds,
1 -£1 J
T1
где е1 — как угодно малое положительное число. Для простоты обозначений положим
1 + е1
1 -£1
Следовательно,
|B(T1) ||=|| B(T1) || +е.
J2
(
(t) < (|| B(T1) || +£) jeЛ(A(7l))(t-s) || u(s) || ds. (27)
T1
Аналогичным образом доказывается справедливость неравенства (25)
*
при Т1 = tl.
Из неравенств (20), (25), (27) следует оценка
|| и(t) ||< ехр{(Л(А(Т1))+1| В(Т1) || +е)(t — Т1)} || и(Т{) ||. (28)
Из (26), (28) следует, что эта оценка справедлива при Т1 е [^ ,t^).
Таким образом, показано, что при выполнении условий (16) траектория
решения задачи (17), (18) не покидает шар В(0,5) в течение промежутка
* *
времени [^ , ].
* *
Покажем теперь, что в интервале [11, 12 ] выполняется неравенство
| | и(1) 11< ехр{(Л(А(1))+ 11 В(1) | | )(1 -1*)/ 2} 11 и(1*) | |. (29)
Доказательство проведем от противного. Предположим, что в интер* *
вале [ 11,12) найдется точка 72, в которой неравенство (29) нарушается.
*
Повторяя проведенные выше рассуждения, имеем при 1 е [72,12): | | и (1) 11< ехр {(Л(А(72))+ 11 В(72) 11 +е)(1 - 72)} 11 и(72) 11< < ехр{(Л(А(72))+ 11В (72) 11 +е) - 72)}х хехр{(Л(А(72))+ 11 В(72) 11 )) -1*) / 2} 11 и(1*) 11<
<{ехр{(Л(А(72))+ 11 В(72) 11 ) -1*) / 2}} 11 и(1*) | |.
Таким образом, существует интервал времени (72,72 +А72], в течение которого
| | и(1) | | < {ехр{(Л(А(72))+ 11 В(72) | |)(1 -1*) / 2} 11 и(1*) | |. (30)
Из неравенства (30) следует справедливость неравенства (29)
* *
в промежутке времени [ 11,11). Из непрерывности функции | | и ( 1) | | следует
* *
справедливость неравенства (29) в интервале [ 11,12].
* *
Аналогичные рассуждения проводятся в каждом интервале [Ц , 11+1], 1 = 2,3,..., -1.
Не останавливаясь на рассмотрении каждого из перечисленных
*
интервалов, перейдем к промежутку времени [ 15,
*
Прежде всего покажем, что при 1 е [ 18, выполняется неравенство
| И 1) 11 < 5.
Доказательство проведем от противного. Пусть в момент времени 73,
*
73 > 15 траектория решения задачи Коши (5), (6) покидает шар В(0,5).
Представим систему уравнений (5) при 1 > 73 следующим образом:
1 / п
и = Таи (73 )и у (1)+&(1,73, мо, и), 1=1,...,п, (31)
где
dt . . J=1
gi (t, T3, h(t), u) = ^ (aij (t) — ay (T3 ))uj (t) + Ypij (T3 )uj (t — h(t)) + j=1 j=1
+Х(Ьу- (t) — Ьу (Тз))иу ^ — И(t)), 1 = 1,2,., п. У=1
Система уравнений (31) в операторной форме представима уравнением ИИр = А(Тз)и(0 + О(,Тз,И^),и), (32)
где
А(Т3) = {а- (Т3)}, 1, - = 1,2,., п,
О(t,Т3,И(t),и) = (gl(t,Т3,И(t),и),.,gn(t,Т3,И(t),и))Т . Решение уравнения (32) при t > Т3 имеет вид
t
и (0 = е^^К (Т3) + | еА<Т3)(^—5 )О (5,Т3, И(0, и (*))И5.
т3
Переходя к нормам, имеем <(0 ||< еЛ(А(Т3))^—Т3) || и(Т3) || + |еЛ(А(Т3))(^5?) || О(5,Т?,И(5),и(5)) || <
T3
< еЛ( A(T3))(t-T3) || u (T3) || + j еЛ( A(T3))(t-s) || (A(s) - A(T3))u(s)|
T3
+ jеЛ(A(T3))(t-s) „ g*(S
,T3,h(s),u(s)) У ds +
T3
t
+
I
jеЛ(A(T3m-s) || G**(s,T3,h(s),u(s)) || ds = ^(t) +12(f) + I3(t) +14(t).
T3
Здесь A(s) = {aij (s)}, i, j = 1,2,., n;
G (s,T3, h(s), u (s)) = G*(s,T3, h(s), u (s)) + G**(s,T3, h(s), u (s)), G*(s,T3, h(s), u (s)) = ( g*(s,T3, h(s), u (s)),., gn (s,T3, h(s), u (s))T,
* n
g* (s,T3,h(s),u(s)) = Ybij(T3)uj(s -h(s)),i = 1,2,.,n, j=1
** ** ** T
G (s,T3,h(s),u(s)) = (g1 (s,T3,h(s),u(s)),.,gn (s,T3,h(s),u(s))) , 14 University proceedings. Volga region
» п
& С^,Кв),и(э)) = Т(Ъу (в) -Ъу (72))и-(в -к(э)),1 = 1,2,.,п. У=1
Повторяя рассуждения, проведенные выше при рассмотрении
* *
промежутка времени [11,12], можно показать, что существует интервал [73,73 +А73], в течение которого выполняется неравенство
| | и (1) 11 < ехр{(Л( А(7,))+ 11 В(7,) 11 +3е)(1 - 73)} 11 и (7,) | | ,
из которого следует, что в момент времени 73 траектория решения задачи Коши (5), (6) не покидает шар В(0,5).
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть {а-- (1)}, {Ъ- (1)}, 1, у = 1,2,., п, - функции,
непрерывные при 1 > 10, 10=0. Пусть при всех 1, 0 < 1 < Л(А(1))+ 11 В(1) | | < 0. Тогда установившееся решение системы уравнений (2) устойчиво.
Повторяя рассуждения, проведенные при рассмотрении интервала
* *
времени [11,12], можно показать, что если выполняется неравенство Л( А(1))+ | |В(1 )| | <-х, X >0 при 1 е [0, то справедливо неравенство
| | и(1) 11< ехр{(Л(А(1))+ 11 В(1) | |)(1 -10)/ 2} 11 и(10) | |.
Из последнего неравенства следует асимптотическая устойчивость установившегося решения задачи Коши (5), (6).
Таким образом, приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть {а- (1)}, {Ъ- (1)}, 1, у = 1,2,., п, - функции,
непрерывные при 1 > 10, 10=0. Пусть при всех 1, 0 < 1 < Л(А(1))+ ||В(1)||<-%, X >0. Тогда установившееся решение системы уравнений (2) асимптотически устойчиво при импульсном возмущении.
3. Устойчивость решений систем линейных дифференциальных
*
уравнений. Возмущение на сегменте [-Н ,0]
В этом разделе исследуется устойчивость установившегося решения системы уравнений (2) в предположении, что начальные условия (3) возмущаются вектор-функцией у(1) = (^1(1),.,уп(1)), 1 е [-Н*,0], с нормой | |у(1)||<5.
*
В результате замены х1 (1 ) = х1 (1) + и1 (1), 1 = 1,2,.,п, система (2) принимает вид (5), а начальные условия трансформируются в следующие:
щ(1) = у(1),1 е [-Н*,0], 1 = 1,2,..,п. (33)
Исследуем устойчивость решения системы уравнений (5) при начальных условиях (33). При этом воспользуемся обозначениями, введенными в разд. 2.
*
Вначале рассмотрим промежуток времени 0 < 1 < 11.
*
Здесь нужно рассмотреть две возможности при t е (0, ):
1) / - Л(/)>0;
2) / - Л(/)<0.
*
При первой возможности из условия 0 < И(/) < Н + / и непрерывности функции ) следует, что Н(0) = 0.
Следовательно, исследование устойчивости решения системы (5) при начальных условиях (33) сводится к исследованию устойчивости решения системы (5) при начальном условии
щ (0) = у (0), ; = 1,2,.., и. (34)
Это исследование было проведено в предыдущем разделе. Было показано, что при выполнении условия
Л(А(/))+ IIЖ0 ||<-х, X >0, /е (0,/*)
траектория решения задачи Коши (5), (34) не покидает шар В(0,5) и, более того, справедливо неравенство
|| и(/) ||< ехр{(Л(А(/))+1| В(/) ||)(/ -/0)/2}|| и(/0) ||,/0=0,/е [0,/*]. (35)
Рассмотрим теперь вторую возможность, при которой задача Коши (5), (33) трансформируется в задачу Коши:
И (/) и и
= ^(/) + ^ (/)Уу (/ -МО),/ = 1,2,.,и, (36)
И У=1 У=1
щ (0) = У; (0),; = 1,2,., и. (37)
Задача Коши (36), (37) исследовалась в работе [10], где было показано,
*
что при выполнении условия Л(А(/)) < -X, X >0, / е [0, /1), траектория ее решения не покидает шар В(0, 5) и, более того, справедливо неравенство
|| и(/) ||< еЛ(А(/))//2 || и(0) ||, /е [0,/*].
* *
Рассмотрим теперь промежуток времени [/1, /2]. Здесь также нужно
* *
рассмотреть две возможности при / е (/1, /2):
1) / > Н(/);
2) / < Л(/).
Первый случай рассмотрен в разд. 2, где было показано, что при
*
выполнении условия Л(А(/))+1| В(/) ||<-Х, X > 0, / е [/1, /2), траектория решения задачи Коши (5), (33) не покидает шар В(0,5) и справедливо неравенство
|| и(/) ||< е(Л(А(/))+||В(/)||)//2 || и(0) ||, /е [0,/2]. (38)
Рассмотрим вторую возможность.
Покажем, что траектория решения задачи Коши (5), (32) не покидает
* *
шар В(0,5) в течение промежутка времени [11,12).
Доказательство проведем от противного. Пусть в момент времени 7
траектория решения задачи Коши (5), (33) покидает шар В(0,5). Тогда при
*
1 е [7, 12) решение уравнения (5) можно представить в виде
г
и(1) = еА(7)(1 -7)и(7) + |еА(7)(1 -в)В(в)и(в - И(э))Ж
+
г
+|еА(7)(1 -в) ((А(в) - А(7))и(в) + (В(в) - В(7))и(в - И(э))Ж.
Г
Переходя к нормам, имеем
| |и (1 )| | < еЛ (А(7 ))(1-7) | |и (7 )| | + |еЛ (А(7 ))(1 ^ 11 В(7) | 11 |и (в - И(в))\
t
+
T
|ел(A(T))(t-5)(| | A(s) — a(T) I 11 I u (s) 11 + 11 B(s) — B(T) I 11 I u (s — h(s)) 11)ds.
Так как | |и(1 -к(1)) 11 <5 при 1 е [0,7], то найдется такой интервал [7, 7 + А7], в течение которого | | и (в - h(s))| |< (1 + е)| | и (в) | |. Следовательно, в этом интервале
1
| | и(1) 11 < еЛ(А(7))(1-7) 11 и(7) 11 + |еЛ(А(7))(1 -( | | В(7) | | (1 + е) + е) 11 иШ?.
г
Отсюда стандартными рассуждениями получаем
| |и (1 )| |< е( Л(А(7))+| В(7 * |+£)(Г-7 )| |и (7 )| |.
Замечание. Выше через е обозначено | | В(7)| |е + е. Из этого неравенства следует, что в момент времени 7 траектория задачи Коши (5), (33) не покидает шар В(0,5).
*
Повторяя рассуждения разд. 2, можно показать, что при 1 е [0,12]
| |и(1)| |< е(Л( А(< ))+| ^ )1 | )г/2| |и (0) | |. (39)
Аналогичные рассуждения приводят к неравенству (39), справедливому при 1 е [0,го).
Таким образом доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть а-(1), Ъ-(1), 1,у = 1,2,.,п, непрерывные функции
при 1 е [0,го). Пусть функции п(1) и у (1), 1 = 1,2,.,п, непрерывны при
tе [—H ,0]. Пусть выполнено условие Л(A(t))+ 11 B(t)|| <—%, X >0, при
tе [0,го). Тогда установившееся решение задачи Коши (2), (3)
асимптотически устойчиво.
Библиографический список
1. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование / В. Вольтер-ра. - Москва : Наука, 1976. - 286 с.
2. Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференци-альных уравнений / В. Вольтерра. - Москва : Наука, 1982. - 304 с.
3. Красовский, Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. - Москва : Физматгиз, 1959. - 211 с.
4. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. -Москва : Мир, 1967. - 548 с.
5. Мышкис, А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом / А. Д. Мышкис. - Москва : Наука, 1972. - 352 с.
6. Азбелев, Н. В. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений / Н. В. Азбелев, В. П. Максимов, Л. Ф. Рахматуллина. - Москва : Наука, 1991. -277 с.
7. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2008. - 244 с.
8. Бойков, И. В. Об устойчивости движения в одной системе с последействием / И. В. Бойков // Прикладная математика и механика. - 1997. - Т. 61, Вып. 3. -С. 398-402.
9. Бойков, И. В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с последействием / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. 34, № 8. -С. 1134-1138.
10. Бойков, И. В. Устойчивость установившихся решений систем нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений с запаздываниями / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. - 2018. - Т. 54, № 4. - С. 435-457.
11. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 1970. - 536 с.
References
1. Vol'terra V. Matematicheskaya teoriya bor'by za sushchestvovanie [A mathematical theory of struggle for existence]. Moscow: Nauka, 1976, 286 p. [In Russian]
2. Vol'terra V. Teoriya funktsionalov, integral'nykh i integrodifferentsial'nykh uravneniy [The theory of functionals, integral and integral-differential equations]. Moscow: Nauka, 1982, 304 p. [In Russian]
3. Krasovskiy N. N. Nekotorye zadachi teorii ustoychivosti dvizheniya [Some problems of the theory of motion stability]. Moscow: Fizmatgiz, 1959, 211 p. [In Russian]
4. Bellman R., Kuk K. L. Differentsial'no-raznostnye uravneniya [Differential-difference equations]. Moscow: Mir, 1967, 548 p. [In Russian]
5. Myshkis A. D. Lineynye differentsial'nye uravneniya s zapazdyvayushchim argumen-tom [Linear differential equations with retarder argument]. Moscow: Nauka, 1972, 352 p. [In Russian]
6. Azbelev N. V., Maksimov V. P., Rakhmatullina L. F. Vvedenie v teoriyu funktsional'no-differentsial'nykh uravneniy [Introduction into the theory of functional-differential equations]. Moscow: Nauka, 1991, 277 p. [In Russian]
7. Boykov I. V. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy [Stability of solutions of differential equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2008, 244 p. [In Russian]
8. Boykov I. V. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied mathemtatics and mechanics]. 1997, vol. 61, iss. 3, pp. 398-402. [In Russian]
9. Boykov I. V. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 1998, vol. 34, no. 8, pp. 1134-1138. [In Russian]
10. Boykov I. V. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations]. 2018, vol. 54, no. 4, pp. 435-457. [In Russian]
11. Daletskiy Yu. L., Kreyn M. G. Ustoychivost' resheniy differentsial'nykh uravneniy v ba-nakhovom prostranstve [Stability of solutions of differential equations in Banach space]. Moscow: Nauka, 1970, 536 p. [In Russian]
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: [email protected]
УДК 517.929 Бойков, И. В.
Достаточные условия устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, зависящими от времени. Часть I. Линейные уравнения / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. -№ 4 (48). - С. 3-19. - БОТ 10.21685/2072-3040-2018-4-1.
