О дискретной арбитражной схеме на счетном множестве Текст научной статьи по специальности «Математика»

A

A2 + B2 B

=а

A2 + B2

=в

Возводя оба уравнения системы (11) в квадрат и складывая, получаем:

а2 + в 2 =

1

A2 + B2

(ll)

(l2)

Учитывая (12) из (11) имеем

лучаем окончательно:

A=

и

а2 + в2

B =

а2 + в2

. Т. к. A = 1 + x • (є' - 1) и B = x • є” по-

є' =

а2 + в2

-1

ю

+ 1 и

є” = x

а =

9 9 , где

а2 + в

ю

в =

Д

0/

10

/20

Д/ 10/20

-1

, и

x =

Q

є 'Э - 1

Полученные формулы позволяют решать задачу определения комплексной диэлектрической проницаемости материалов по результатам измерения параметров резонанса в объемных резонаторах при их частичном заполнении.

Работа выполнена при поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 22 «Неавтономные нанофазы гидратов и льда в наноструктурированных системах».

Список литературы

1. Брандт А. А. Исследование диэлектриков на сверхвысоких частотах. М., 1963. 403 с.

2. Бордонский Г. С., Филиппова Т. Г. Отличие электромагнитных свойств льда D2O и H2O при измерениях в резонаторе / / ФТТ. 2001 43. № 9 С. 1575-1579.

3. СВЧ-свойства кристаллогидратов в нанопорах силикагеля / Г. С. Бордонский и [и др.] // Ультрадисперсные порошки, наноструктуры, материалы: получение, свойства, применение. Красноярск, 2009. С. 42-43.

а

в

а

в

ю

ю

УДК 517.9 ББК В 161.6

А. Э. Менчер

О дискретной арбитражной схеме на счетном множестве

Рассматривается игра с нулевой суммой, связанная с арбитражной схемой Фарбера. Для случая, когда предложения арбитра сосредоточены на множестве целых чисел, найдено равновесие в смешанных стратегиях.

Ключевые слова: арбитражная схема, дискретное распределение, смешанные стратегии, равновесие.

A. E. Mentcher

About discrete arbitration scheme on a countable set

We consider a zero-sum game related with Farber's arbitration scheme. The arbitrator's offers are concentrated in the set of integers. The equilibrium in mixed strategies is derived.

Key words: arbitration scheme, discrete distribution, mixed strategies, equilibrium

Введение

Рассматривается антагонистическая игра, в которой игроки L и M, именуемые, соответственно, как работник и работодатель, ведут переговоры об установлении заработной платы. Игрок L делает предложение x, а игрок M - предложение у, x и у - произвольные действительные числа. Если

х + У

х < у, то конфликта нет, и игроки соглашаются на выплату жалованья, равного ——— . Если же

х > у, игроки апеллируют к арбитру А. Обозначим решение арбитра через г . По схеме Фарбера [1] из предложений х и у выбирается то, которое ближе к точке г . В такой игре выигрыш имеет следующий вид: И (х, у) = ЕНг (х, у), где

гх + у

если X < у,

нг(х,у) = • X, если X > у, X — 2 < у — 2

у, если X > у, X — 2 > у — 2

2, если X > у, X — 2 у — 2

1. Постановка задачи

Пусть — го < у < 0 < х < +го , а г - дискретная случайная величина. Если г = 0, то, очевидно, точкой равновесия является пара чистых стратегий (0, 0). В статьях [2] и [3] для случаев, когда г с равной вероятностью принимает значения — п,—(п — 1),...,—1,0,1,..., п — 1, п, либо

— (2п — 1),—(2п — 3),...,—3,—1,1,3,...,2п — 3,2п — 1, соответственно, найдено равновесие в смешанных стратегиях.

В настоящей работе рассмотрена ситуация, при которой предложения арбитра сосредоточены на множестве целых чисел.

Итак, пусть арбитр выбирает значение 0 с вероятностью р, а значения — п и п - с равными ве-

роятностями | 1 ~ р | , 0 < р < 1. Имеем:

13 - Р )

р+2Е

1 - р

Л”

= 1.

п=1 3 — р )

Мы будем рассматривать равновесие в игре среди смешанных стратегий. Обозначим через / (х) и §(у) смешанные стратегии игроков Ь и М, соответственно:

+ го 0

/(х) > 0, | /(х)ёх = 1; § (у) > 0, | § (у^у

= 1.

Благодаря симметрии, цена игры равна нулю, а для оптимальных стратегий имеем: §(у) = / (—у) . Таким образом, достаточно указать оптимальную стратегию только для одного из игроков, например Ь. Функцию выигрыша игрока М при выбранной игроком Ь стратегии /(х) обозначим через И (/ ( х), у).

Теорема 3.1. Если р е[р0,1), где р0 - корень уравнения р5 + р4 — 8р3 — 6р2 — 5р +1 = 0 из интервала

1 11, то для игрока Ь оптимальной является стратегия 7,6 )

0, если 0 < х < с,

1 + р л/с

если с < х < с + 2,

4 р 4х?''

0, если с + 2 < х < +го,

(3.1)

где с =

(1—р)2 2р

Доказательство: Будем искать оптимальную стратегию для игрока Ь в следующей форме:

0, если 0 < х < с,

/(х) = Шх), если с < х < с + 2, (3.2)

0, если с + 2 < х < +го, где функция (р(х) положительна и непрерывно дифференцируема в интервале (с, с + 2) .

0

ю

Функция Н (/(х), у) непрерывна на всей полуоси (—да,0]. Стратегия (3.2) будет оптимальной, если Н (/(х), у) = 0 для у е [—(с + 2),—с] и Н(/(х), у) > 0 для у е (—да,—(с + 2)) и (—с,0].

Пусть у е [—(с + 2),—с], тогда - у е [с, с + 2] и

7 С + 2 / —у С + 2 у (

Н(/(х), у) = ^^ | У/(х)йх + Р | х/(х)йх +| У/(х)йх + —^ | х/(х)йх. (3.3)

с VС — у У

2

Если теперь /(х) - оптимальная стратегия, то из (3.3) получаем:

Н(/(х),—с — 0) = — 1 + Р с + 1—Р | х/(х)йх = 0,

с + 2

7 7 с + ^

Н(/(х),—(с + 2) + 0) = —-^ (с + 2) +------------^ | х/(х)йх = 0,

1 — Р , 1 + Р

—— (с + 2) +------

2 2

откуда следует соотношение для математического ожидания стратегии /(х) :

с+2 1 _ у. 1 А_ гл

[ х[(х)йх =-------------(с + 2) =-с = у/с(с + 2) . (3.4)

С 1 + р 1 — р

Далее, для оптимальности стратегии /(х) необходимо, чтобы Н'(/(х), у) = Н"(/(х), у) = 0 I интервале (—(с + 2),—с) . Имеем:

Н ' (/ (х), у) = Х—Р + р

2 (—у) + | / (х)йх

(3.5)

Н" (/(х), у) = р(3/(—у) — 2у/' (—у)), (3.6)

откуда приходим к уравнению

3/(—у) — 2 у/ (—у) = 0.

Положим х = —у, тогда х е (с, с + 2), /(х) = р(х) и

3р( х) + 2хр ' (х) = 0.

Решением этого уравнения является функция

а

(р( х) =~Г7. (3.7)

ых

Определим константы с и а . Из (3.5) получаем:

_1

1 — р 2ар

0=н '(/,—с—0)=—а,

2 л/с

0 = Н'(/,—(с + 2) + 0) = -

2 у/с + 2

Тогда

с = (1 р) , и а = 1^РЛ/с (3.8)

2 р 4 р

Из (3.2), (3.7) и (3.8) следует, что /(х) имеет вид (3.1).

Проверим выполнение условий оптимальности.

Пусть у е [—(с + 2),—с]. Так как при построении стратегии /(х) были использованы равенства Н"(/(х), у) = 0 в интервале (—(с + 2),—с), Н'(/(х),—с — 0) = 0 и Н(/(х),—с — 0) = 0, то в силу непрерывности функции Н (/(х), у) заключаем, что Н(/(х), у) = 0 при у е [—(с + 2),—с].

Исследуем теперь поведение функции Н (/(х), у) вне отрезка [—(с + 2),—с].

Для у е (—да,—(с + 2)] воспользуемся методом математической индукции. Итак, пусть

у е [—(с + 4),—(с + 2)], тогда — у е [с + 2, с + 4], — 2 — у е [с, с + 2] и

2 с+2 л (—2—у с+2 ^

/1 \2 с+2 і —2—у с+2 і С+2

Н(/(х), у) = р | у/(х)<^х + —£■ | х/(х)& + | у/(х)<^х + -+Р | х/(х)&

—2—у

+^- I х/ (х)Ох, (3.9)

- у

с

С

Н (/ (х), у) = + Х-Рр

2(3 — р) 3 — р

(

2(1 + у)/(—2 — у) + | / (х)йх

—2—у

(1 — р) (1 — р)(1 + р)

(1 — р) 1 — р 1 + р

--------------------1---------------------------

2(3 — р) 3 — р 2 р

[ 4~с

(1+у)4с 4с 4с

•\/(—2 — у)3 ^с + 2 V"2 _

у

2(3— р) 2 р(3— р)

л/(—2 — у)3 4сТ2

^(1 — р)2 (1 — р)2

(1 — р)3

2(3 — р) 2 р(3 — р) 2 р(3 — р)'

(3.10)

Так как Н(/(х),—(с + 2) — 0) = 0 и Н'(/(х), у) < 0 в интервале (—(с + 4),—(с + 2)), то Н(/(х), у) > 0 для у е [—(с + 4),—(с + 2)) .

Пусть у е [-(с + 2п + 2),-(с + 2п)], п > 2 . По индуктивному предположению

чи+1 с+2 { л „ Лп (—2п—у с+2 ^

Н(/(х) у) = , р) п • | у/(х)^х+

2(3 — р)

(

+

1 п—1 ( 1 Лк ^ с+2

1 + р ^ 1 — р

2

.3 — р

Н'(/(х),у) <—-

(л пЛп (—2п— у 1 — р , 3 — р)

V г ; V с

+2

| х/ (х)ёх

с

(1—р)п+2

| х/ (х)^х + | у/ (х)^х

—2п—у

+

(3.11)

2р(3 — р)

Пусть теперь у е [—(с + 2п + 4),—(с + 2п + 2)], тогда — у е[с + 2п + 2, с + 2п + 4], — 2п — 2 — у е [с, с + 2],

\п+2 с+2 { л „ ^п+1 (— 2п— 2— у с+2

(3.12)

Н (/( х), у) =

(1 — р)п 2(3 — р)п

+

п+1 —2п—2—у

1 — р -

V 3 — р )

| х/ (х)^х + | у/ (х)^х

—2п—2—у

+

+

Г1+р (1—р^кЛс+2

р+£' р

2

3 — р

| х/ (х)ёх,

(1 — „)п+2 (1 — „Л

Н'(/ (х), у) =-(—рр)-— + —р 2(3 — р) п+ ч 3 — р ,

2(п +1 + у) / (—2п — 2 — у) + | / (х)йх

—2п—2—у

(1 — р)

п+2 ( 1 Л

2 р(3 — р)п

+

Л

(1 — р)п

у/— 2п — 2 — у л/с + 2 (1—рГ3

, (1—р)и _

2(3 — р)И+1 2 р(3 — р)и+1 2 р(3 — р)и+1 '

Следовательно, Н (/(х), у) > 0 для у е (—да,—(с + 2)) при любых р е (0,1) .

Для дальнейшего исследования заметим, что функция с = с( р) =

(1 — р)2 2 р

строго убывает в интер-

вале (0,1).

Пусть у е [—с,—(с — 2)] п [—с,0], тогда — у е [с — 2, с] п [0, с], 2 — у е [с, с + 2)] п [2, с + 2]. Имеем:

с+2 1 ( 2—у с+2

Н (/(х) у) = | у/ (х¥х + р

2 1 3 — р(

с V с

ТТМ П \ \ 1 + р 1 — р^

Н ' (/(х), у) = —^ + ^

— у с+2

| х/ (х)^х + | у/(х)йх

Л (1 — р)2 с+2

2—у

+ -

2 3 — р

1 + р 1 — р 1 + р^

2(3 — р)

2(1 — у)/(2 — у) + | / (х)<*| =

| х/ (х)^х,

с+2

2 3 — р 2 р

(1—у)4с 4с 4с

(3.13)

(3.14)

•^/(2 — у)3 л/с + 2 42—У

>

С-

С-

к=1

с

<

с

с

V.1+p , 1—p1+p

2 3 — p 2 p

4c 4c

4c + 2)3 4c + 2

1 + P (1 — P)2(1 + P2)

2 2 p(3 — p)(1 + p)2

— P5 — P4 + 8 p3 + б p2 + 5 p — 1

2 р(3 — р)(1 + р)2

Рассмотрим функцию ¥(р) = — р5 — р4 + 8р3 + 6р2 + 5р — 1 на отрезке [0,1]. Так как ¥(0) = — 1, ¥(1) = 16 и ¥' (р) = —5р4 — 4р3 + 24р2 +12р + 5 = 5(1 — р) + 4р(1 — р) + 20р2 +12р > 0, то существует единственная точка р0 е (0,1) такая, что ¥(р0) = 0, ¥(р) < 0 при р е (0, р0) и ¥(р) > 0 при р е (р0,1).

l4455

1 1

Уточним границы для р . Имеем: ¥I — I =-------------< 0, ¥I — I =-------------> 0. Таким образом, р е I-I.

0 V 7) 16815 161 7776 0 V 7’б)

Пусть теперь с < 2, тогда р > 3 — 242 >1 и, так как Н(/(х),— с + 0) = 0 и Н'(/(х), у) > 0 для

6

у е (—с,0], то исследование окончено.

Осталось рассмотреть случай, когда р е[р0,3 — 2л/2) . Вначале заметим, что из условия с > 4

следует, что р < 5 — 246 <1 < р0. Следовательно, в нашем случае 2 < с < 4.

Пусть у е [—(с — 2),0], тогда — у е [0,с — 2], 4 — у е [4,с + 2] и

H (f (x), y) =

c+2

1 + p 1 — p

2 3 — p

j yf (x)dx

+

(i—pI2 (4--y

3 — P У

^—y c+2 I

j xf (x)dx + jyf (x)dx I

+

4—y

+

(l— p)

3 с+2

(3.15)

2(3 — p)2

j xf (x)dx,

1 — P

3 — P

/ \ 2

1 + P + - — P+ I - — P I - + P

3—p 13—p У 2P

2(2 — y)f (4 — y) + j f (x)dx

4—y

(2 — y)4c 4c 4c

д/(4 — y)3 Vc + 2 ft

y У

Л

y

2

> 1 + p + 1 — p+1 1 — p I 1 + p

3 — p 13 — P,J 2P

24c 4c

(3.16)

1 + P + 1 — P

(l— p)5

>

д/ (c + 2)3 Vc + 2

1 + P (1 — P)2(1 + P2)

2 2P(3 — P)(1 + P)

> 0

2 3 — Р 2Р(3 — Р)2(- + Р)

при р є [ р0,3—242).

Так как Н (/(х),—(с — 2) + 0) > 0 и Н' (/(х), у) > 0 для у є (—(с — 2),0], то Н(/(х), у) > 0 в промежутке (—(с — 2),0].

Окончательно заключаем, что Н (/(х), у) > 0 для у є (—да,—(с + 2)) и (—с,0] при р є[р0,1). Теорема доказана.

Список литературы

1. Farber H. An analysis of final-offer arbitration/ / Journal of conflict resolution. 1980. Vol.35. P. 683 - 705.

2. Mazalov V. V., Mentcher A. E., Tokareva J. S. On a discrete arbitration procedure// Sci. Math. Japonical. 2006. Vol. 63, №3. P. 325-330.

3. Менчер А.Е., Токарева Ю.С. Об одной дискретной арбитражной схеме//Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Вып. 2. T. 14. С. 417-420.

c

с

2

2