Арбитражная процедура в трёх точках со степенной функцией выигрыша Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.Т ББК 22.18

Александр Эмануилович Менчер,

кандидат физико-математических наук, профессор, Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского (Чита, Россия), e-mail:[email protected]

Арбитражная процедура в трёх точках со степенной функцией выигрыша1

Организация переговоров с использованием арбитражных процедур является акту-альной теоретико-игровой задачей. В работе рассматривается бескоалиционная игра с нулевой суммой, в которой применена схема арбитража, обобщающая известную арбитражную процедуру по последнему предложению. Найдено равновесие в игре по Нэшу в смешанных стратегиях.

Ключевые слова: игра, арбитражная схема, равновесие, смешанные стратегии.

On the Arbitration Procedure in Three Points with Power Payoff Function

The organization of negotiations by using arbitration procedures is an actual problem in game theory. The paper considers a non-cooperative zero-sum game with an arbitration procedure that generalizes the well-known arbitration final-offer procedure. It presents the found Nash equilibrium in this game in mixed strategies.

Keywords: game, arbitration scheme, equilibrium, mixed strategies.

1. Введение

Рассматривается игра с нулевой суммой, в которой игроки L и М, именуемые, соответственно, как работник и работодатель, ведут переговоры об установлении заработной платы. Игрок L делает предложение х, а игрок М - предложение у; х и у - произвольные действительные числа. Если

х + у

х < у, то конфликта нет и игроки соглашаются на выплату жалованья, равного —-—. Если же

х > у, игроки апеллируют к арбитру А. Обозначим решение арбитра через z. В работах [1-5] для достижения соглашения между игроками использовалась схема арбитража по последнему предло-жению, в которой из предложений ж и у выбиралось то, которое ближе к решению арбитра z. В такой игре функция выигрыша определялась как математическое ожидание случайной величины Hz(x, у): Н(х, у) = EHz(x,y), где

В настоящей работе мы, в предположении, что —оо < у < 0 < х < +оо, a z - дискретная слу-

Alexandr Emanuilovich Mentcher,

Candidate of Physics and Mathematics, Professor, Zabaikalsky State Humanitarian Pedagogical Universitety named after N. G. Chernyshevsky (Chita, Russia), e-mail: [email protected]

' x + y

, если x < yT

x, если x > y,\x — z\ < \y — z\,

у, если X > у, \x — z\ > \y — z\,

yz, если X > у, \x — z\ = \y — z\.

(1)

чайная величина, принимающая значения —1,0,1 с равными вероятностями р = -, будем полагать

О

(2)

1Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ, №8.3641.2011.

82

© А. Э. Менчер, 2012

Равновесие в игре будем искать в смешанных стратегиях. Обозначим через /(ж) и д(у) смешан-ные стратегии игроков Ь и М, соответственно. Имеем:

лОС /*и

/(ж) > О, / /{х)йх = 1\ д(у) > 0, / д(у)(1у = 1.

о 0 ^ — ею

Благодаря симметрии, цена игры равна нулю, а оптимальные стратегии симметричны относительно оси ординат, то есть: д(у) = /(—у). Следовательно, достаточно построить оптимальную стратегию только для одного из игроков, например, Ь. Функцию выигрыша игрока М при выбранной игроком Ь стратегии /(ж) обозначим через Н(/(х),у).

2. Оптимальные стратегии.

Теорема. Если а 6 (0,2], то для игрока Ь оптимальной является стратегия

0,

асг

если 0 < х < с,

если с < х < с + 2,

х 2

(3)

если с + 2 < х < +оо,

где с =

4» — 1

Доказательство. Будем искать оптимальную стратегию игрока Ь в виде

О, если 0 < х < с,

f(x) = ^ <р(х), если с < х < с + 2,

О, если с + 2 < х < +оо,

(4)

где функция (р(х) положительна и непрерывно дифференцируема в интервале (с, с + 2).

Функция Н(/(х),у) непрерывна на всей полуоси (—оо,0]. Стратегия (4) будет оптимальной, если Я(/0),у) = 0 для у е [-(с+ 2), -с] и Н(/(х),у) > 0 для у е (-оо, -(с+ 2)) и (-с,0].

Пусть у € [— (с+ 2), —с], тогда

H{f{x),y) =

с+2 -у

J {-{-y)a)f(x)dx + J xaf(x)dx+

с+2 с+2

У (—(—y)a)f(x)dx+ J xaf(x)dx

Если теперь /(ж) - оптимальная стратегия, то

(5)

0 = Я(/(ж), —с — 0) = ^ с+2 —2с“ + / жaf(x)dx

1 С с+2 -і (6)

0 = H(f(x), — (с + 2) + 0) = - — (с+2)а + 2 f xaf(x)dx с

Тогда (с + 2)“ = 4с“ и с = —-------. По смыслу задачи необходимо 0 < с < 2, откуда получаем

____________________________4» - 1_____________________________________________________________

О < а < 2. Отметим также, что

(7)

Далее, для оптимальности стратегии /(ж) необходимо Н'{/{ж), у) = Н"{/{ж), у) = 0 в интервале (—(с + 2), —с). Имеем

Н'{1{х),у) = ^ [а(-у)“-1 - 2(-у)“/(-у)+

с+2

(8)

Н"{/{х),у) = - \-а{а - 1)(-у)а 2 + 3а(-у){а 1]/(-у)+

с+2 +2(-у)а/'(-у) - а(а - 1 ){-у)а~2 ^ /(х) dx -у Если теперь Н!(/(х), у) = Нп(/(х), у) = 0 в интервале (—{с + 2), —с (9) :), то из (8) и (9) получаем

(а - 1)(-у)~1Н'(№, у) + Н"{Нх),у) = 0,

откуда

(а + 2)/(—у) - 2у/'{-у) = 0. (10)

Положим в (10) у = —х, тогда х € (с, с + 2) и

2х(р'(х) + (а + 2)(р(х) = 0. (П)

Решением последнего уравнения является функция

<р(х) = /Зх~(2+1\ (12)

Найдём константу /3. Из (8) получаем

О = Н'(/(х), —с — 0) = -

2аса~1 -2са^~

О —

/3 = ас2.

и наконец <р(ж) = ^ ■ . Таким образом, стратегия /(ж) имеет вид (3).

X 2+1

Проверим выполнение условий оптимальности.

Пусть у € [— (с+ 2), —с], тогда

Н(1(х),у) = -

-у с+2

+ I асіхі-1 ііх - (~у)‘ І асіх-‘і-,іІх+

-у

+2с“] = - [-(-2/)“ + 2с^(-у)т - 2с“ + (-у)“ - 2с%{-у)% +2с“] = 0.

___________□____________________________________________________________________

Пусть у € (—оо, — (с + 4)1, тогда

Н(/(х),у)= J x0lf(x)dx = 2ca.

с+2

Пусть у е [— (с + 4), —(с + 2)], тогда —у £ [с + 2, с + 4], — 2 — у е [с, с + 2] и

' -2-г/ с+2 с+2

Н{ї{х),у)=1-

~2-у

2 а _ ,с2

Имеем

(-2-у)2 + с2 +

2с2

(-у)“ (-у)с

(с+ 2) 2 ( 2 у)2 _

Я(/(х), -(с + 2) - 0) = —— [с2 + с? + (с + 2)“ - 2(с + 2) 2] =0.

____________________________□___________________________________________

(13)

(14)

(15)

(16)

Далее, положим в (15) — 2 — у = t, £ 6 [с, с + 2] и рассмотрим функцию

Я(і) = - ■ с*

(£ + 2)а _ (і + 2)с (с + 2)^

и _|_ 2)а а -|- 2)а а а

Функции д(р) = _[_ 2)~ И = ^-----— = — ] стРого возрастаютиа отрезке

[с, с + 2]. Окончательно заключаем, что функция Я(/(х),у) как композиция строго убывающей и

строго возрастающей функций строго убывает на отрезке [ — (с + 4), — (с + 2)] от 2са до 0 и, таким

образом, положительна в интервале (—(с + 4), — (с + 2)).

Пусть у € [—с, 0], тогда —у € [0, с], 2 — у 6 [2, с + 2] и

Н(/(х),у) = -

2-у с+2

-2(-у)“ + І хаї(х)сІх- І (~уУ1(х)

с 2-у

СІХ

-(-у)а + 2с%(2-у)% — 2с“ — 2с^

(~г/)а

(2-у)^

Имеем

Далее,

Я(/(х),-с + 0) =0; Я(/(х),-0) = -с^(2^ -с^) > 0.

_______________________________!__________□___________________

Н'(/(х),у) = -

(2-У)

г + 1

Пусть а £ (0,1], тогда с € (0, |] С (0,1]. Имеем

(17)

(18) (19)

-(2 - у)а + 4(—у)“-1 + {-у)а = -(2 - у)а + (—у)а_1(4 - у) >

>(4 — у) — (2 — у) = 2.

Следовательно, Н'(/(х),у) > 0 в интервале (—с,0) и, учитывая (18), заключаем, что

Я(/(х),у) > 0 в этом интервале.

Пусть а 6 (1,2], тогда се (1,2]. Имеем

Н'(/(х),-с + 0) = ?■-

«-і/

-с)

с —1— 2

> 0,

Я'(/(х),-0) = -^^ <0-

(20)

Таким образом, в интервале (—с, 0) существует хотя бы одна точка уо, в которой Н'(/(х),уо) = 0. Если точка уо - единственная, то уо - точка максимума функции Я(/(х),у) и, учитывая (18), эта функция положительна в интервале (—с, 0).

Положим в (19) —у = t, t € [0,с], уо = — 4р. Тогда

Й'т = I

(* + 2)

г+1

Если теперь Я'(4) =0, то получим равенство

іа~\і + 2) 2+і + С2 • г ( 1 - ( 1 + - ) ) = -4с2

о;— 1

(21)

В интервале (0, с) функция, стоящая в левой части равенства (21), строго возрастает, а функция, стоящая в правой части - строго убывает. Следовательно, точка 4о, для которой Я'(4о) = 0, -единственная. Это завершает доказательство теоремы.

В частности, при а = 1 получаем

о,

/(*) = < Л- 1

3 если

О, если - < X < оо,

о

(22)

- результат, известный из [2]. График, соотвествующий функции Н(/(х),у), имеет вид, представ-ленный на рис. 1.

Рис. 1.

При а = 2 получаем

если 0 < х < 2, если 2 < х < 4, если 4 < а; < сю.

График, соответствующий функции Н(/(х),у), имеет вид, представленный на рис. 2.

я

(23)

Рис. 2.

Список литературы

1. Мазалов В. В., Токарева Ю. С. Теоретико-игровые модели проведения конкурсов // Математическая теория игр и её приложения. 2010. Вып. 2. № 2. С. 66-78.

2. Менчер А. Э. Дискретная арбитражная процедура с неравномерным распределе-нием вероятностей // Математическая теория игр и её приложения. 2009. Вып. 4. Т. 1.

С. 78-91.

3. Farber Н. An analysis of final-offer arbitration// Journal of Conflict Resolution, 1980.

Vol. 35. P. 683-705.

4. Mazalov V. V., Mentcher A. E., Tokareva J. S. On a discrete arbitration procedure //

Sci. Math. Japonical. 2006. Vol. 63. № 3. P. 325-330.

5. Mazalov V. V., Mentcher A. E., Tokareva J. S. On a discrete arbitration procedure in

three points // Game Theory and Applications. 2005. Vol. 11. P. 87-91.

Статья поступила в редакцию 01.03.2012 г.