CC BY
25
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 1. С. 113-127.
УДК 530.1
О ДИНАМИКЕ РЕЛЯЦИОННЫХ СИСТЕМ: РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
А. Г. Жилкин", Е. П. Курбатов6
Институт астрономии РАН, Москва, Россия "zhilkin@inasan.ru; 6kurbatov@inasan.ru
Рассмотрены начальные этапы вывода динамического уравнения, лежащего в основе реляционной теории. В качестве предельного динамического уравнения используются уравнения, описывающие релятивистскую динамику трёхмерной пространственной гиперповерхности, составленной из непрерывного континуума произвольным образом движущихся частиц и соответствующей равному значению их собственного времени. Получены соотношения, описывающие внутреннюю геометрию этой пространственной гиперповерхности. Обсуждается вопрос об интерпретации метрики динамически изменяющейся пространственной гиперповерхности в случае дискретного множества частиц.
Ключевые слова: пространство-время, системы отсчёта, 'реляционная физика.
Введение
Анализ на основе соображений метафизического характера [1] позволяет в теоретической физике выделить три типа парадигм: триалистические, дуалистические и монистические. Теории, основанные на триалистических парадигмах, опираются на три базовые категории — частиц, пространства-времени и поля, которые рассматриваются как самостоятельные и независимые. Теории, основанные на дуалистических парадигмах, опираются уже не на три, а всего лишь на две категории. При этом первая категория представляет собой одну из базовых категорий, а вторая является соответствующей сверхкатегорией. К таким теориям, в частности, относятся общая теория относительности (ОТО) и квантовая теория. Однако отсюда следует, что наравне с ними в теоретической физике должна существовать ещё и третья теория, которая соответствует реляционной физике [2; 3]. При этом она должна изучать свой круг явлений и представлять собой третий путь описания физической реальности.
Двумя категориями реляционной физики являются базовая категория поля и сверхкатегория перепутанных частиц, которая обобщает базовые категории частиц и пространства-времени [2; 3]. В реляционной теории центральной задачей является исследование природы пространства-времени. Изначально в этой теории классическое непрерывное пространство-время отсутствует. Но в результате движения системы перепутанных частиц под воздействием поля должны формироваться сети причинно-следственных связей [2]. Макроскопическое непрерывное пространство-время должно возникать как эффективный предел очень плотного дискретного множества событий причинной сети, который соответствует большим пространственным и временным масштабам. Основные принципы реляционной физики, её задачи, а также некоторые связанные с ней идеи, рассмотрены в недавней работе одного из авторов [2].
В основе реляционной физики также, как в ОТО и в квантовой теории, должно лежать уравнение, описывающее динамику реляционных систем. В работе [4] была предложена общая методика вывода динамического уравнения, лежащего в основе теории, построенной на базе дуалистической парадигмы. В качестве примеров было рассмотрено применение этой методики к случаям ОТО и квантовой теории. Обсуждались также начальные (первый и частично второй) этапы реализации данной методики в применении к реляционной физике. Было показано, что в нерелятивистском случае предельное для реляционной теории динамическое уравнение описывает динамику метрики трёхмерного пространства в системе отсчёта, основанной на континууме произвольным образом движущихся материальных точек (частиц). В данной работе мы обобщаем эти результаты на релятивистский случай.
1. Непрерывная система частиц
1.1. Сопутствующая система координат
Рассмотрим сплошную среду, состоящую из непрерывного множества (континуума) частиц. Каждая частица формирует в пространстве-времени мировую линию, в каждой точке которой задан вектор скорости . В работе для обозначения пространственно-временных индексов, пробегающих значения 0, 1, 2, 3, используются греческие символы. Для обозначения пространственных индексов, пробегающих значения 1, 2, 3, используются латинские символы. Будем считать, что мировые линии частиц нигде не пересекаются, чтобы система была невырожденной.
Ассоциируем с частицами некоторую сопутствующую систему координат хм. Для данной частицы её пространственные координаты не меняются: хг — const. Координатные линии х0 совпадают с мировыми линиями частиц. Такая система координат определена с точностью до хронометрических преобразований
х — х (х , х , х ), (l)
х — х (х , х , х , х ). (2)
Величины, инвариантные относительно этих преобразований, в теории относительности называются хронометрическими инвариантами [5; 6]. Преобразование (1) определяет другой способ нумерации частиц. Второе преобразование (2) означает, что для каждой частицы можно по-своему определять временную координату х0.
Воспользуемся свободой выбора временной координаты х0, определяемой преобразованиями (2), для того чтобы выбрать её равной собственному времени т данной частицы1. При этом, конечно, останется ещё свобода выбора пространственных координат, определяемая преобразованиями (1). Гиперповерхности равного значения
Рис. 1. Сплошная среда, состоящая из непрерывного множества частиц. Линии со стрелками соответствуют мировым линиям частиц, которые пересекают пространственно-подобные гиперповерхности равного собственного времени частиц
1 Для удобства выкладок скорость света включаем в определение собственного времени.
собственного времени т = const (см. рис. 1) являются пространственно-подобными и соответствуют трёхмерному пространству в системе отсчёта, привязанной к частицам.
В заданной таким способом системе координат компонента метрического тензора goo = 1. Обозначим смешанные компоненты g0i = [г, а пространственные компоненты g.k = — h.k. Величины hit определяют трёхмерный метрический тензор на пространственно-подобных гиперповерхностях т = const, которые в дальнейшем будем называть просто пространственными гиперповерхностями. Величины вг определяют трёхмерные скорости частиц в сопутствующей системе координат. Компоненты четырёхмерного вектора скорости имеют вид
uf = (1, 0, 0, 0), uf = (1,в1,в2,вз). (3)
Следует подчеркнуть, что вектор uf не совпадает с вектором нормали к гиперповерхности из-за наличия ненулевых смешанных компонент метрического тензора. Это, в частности, означает, что рассматриваемая система координат не является синхронной (см., например, [7]).
Нетрудно вычислить и контравариантные компоненты метрического тензора gfv. Для этого сначала определим контравариантные компоненты трёхмерного метрического тензора hik как компоненты матрицы, обратной к матрице ковариантных компонент hik: hilhik = ¿к .С помощью этих величин можно определить контравариантные компоненты ei: ei = hikвk, вi = hik вк. Раскрывая покомпонентно соотношение gfagav = 5f, находим:
1 вi вг[к д00 = Л, g0i = ^, gik = —hik + Ц-, (4)
а2 а2 а2
где обозначено а2 = 1 + [гвi. Таким образом, контравариантные компоненты метрического тензора в конечном счёте выражаются через величины [г и hik. Следует отметить, что в часто используемом формализме Арновитта, Дезера и Мизнера [8] 3+1 расщепления пространства-времени величина а называется функцией хода, а величины [г составляют трёхмерный вектор сдвига (см., например, [9]).
1.2. Внутренняя структура пространственной гиперповерхности
Рассмотрим пространственную гиперповерхность, соответствующую какому-либо значению собственного времени т. Для описания её внутренней геометрии введём векторы пространственного локального базиса ef = dxf /дхг. Эту триаду векторов необходимо дополнить до четырёхмерной тетрады базисных векторов. В качестве дополнительного времени-подобного базисного вектора ef удобно использовать вектор нормали nf к выделенной пространственной гиперповерхности. Этот вектор ортогонален пространственным векторам, nf ef = 0.
Определим компоненты вектора нормали. Поскольку пространственные гиперповерхности соответствуют условию т = const, то вектор нормали nf по направлению совпадает с вектором dT/dxf. Отсюда следует, что пространственные ковариантные компоненты пг = 0. Из условия нормировки nfnf = 1 находим п0 = 1 /\Jg00 = а. Контравариантные компоненты nf = gfvnv имеют вид
1 [г
n0 = -, ri = —. (5)
а а
Поскольку имеет место очевидное соотношение nfnvVvnf = 0, то ковариантную производную вектора нормали можно представить в виде
Vv nf = Ф^ — KfV + Wf'nv. (6)
Первые два слагаемых в правой части определяют пространственный тензор, ортогональный вектору нормали. При этом = представляет (с учётом знака) симметричную часть этого тензора, Ф^ = — Ф^ — его антисимметричную часть. В последнем слагаемом величина представляет собой проекцию У^ пм на вектор нормали. Можно показать, что эти величины удовлетворяют соотношениям
Ж = ^ У^ пм, (7)
ф^ = -2 - VvnM) + 2 (n^Wv - nvWf), (8)
= -1 (Vfnv + VvnM) + 1 (nMWv + nvWf). (9)
2 — у+ 2 2 (у+ у^ + 2
Отметим, что все три тензора Ф^ и являются ортогональными вектору нормали пм, и поэтому они относятся к пространственной гиперповерхности. Пространственные компоненты этих тензоров определяются выражениями
Ж = ЖХ, Фгк = Ф^ е^к, Кк = е^к. Отсюда и из (8), (9) можно показать (см. приложение А), что
Фгк = 2 п-м (у ¿е£ — У к е^ , Кь = 2 пм (V ¿е^ + У к е^ ,
где через У^ обозначен оператор пространственной ковариантной производной. Учитывая свойство симметрии (36), находим:
Фгк = 0, Кгк = пмУ к еМ. (10)
Величины К^к составляют тензор внешней кривизны пространственной гиперповерхности. Величины определяют вектор ускорения наблюдателя, движущегося со скоростью, равной вектору нормали.
Для полноты картины запишем явные выражения для компонент Wi и . Поскольку имеет место соотношение паУМпа = 0, то выражение (7) для вектора можно переписать в следующем виде:
Ж,. = п"У„п„ - паУ,,п„ = па '
f v^ v^a ^dx« dxf
Отсюда и из (5) находим:
w = -1 да
г а дхг
С другой стороны, из (6) следует, что Kik = -Vkn = аГ0к. Вычисляя символы Кристоффеля Г0к, получаем
Kifc = ¿ (Vkвг + V^fc + , (11)
где точкой обозначена частная производная по т.
Применим равенства, записанные в приложении В, к смешанному тензору ef. Имеем, с одной стороны,
ViVkef - VkV*ef = evefe. + R™ e^ (12)
С другой стороны, используя полученные в приложении Б соотношения (39) и (41), находим:
V гУ к е» - V к V е = (V гКк1 - V к Кй) ич - (Кы КГ - Ка Кт) е/т. (13)
Приравнивая правые части (12) и (13), получаем равенство
-ЯЧ„рае1 е?е°к + К?е? = {^Кы - VкКй) иЧ - КК? - КйК?) е?. (14)
Сворачивая левую и правую части полученного равенства с дЧ\еП, приходим к соотношению Гаусса
еЧетеРек = К1тгк + {КИКкт - КгтКы) - (15)
В нашем случае тензор кривизны внешнего пространства-времени равен нулю. Поэтому соотношение Гаусса (15) принимает следующий вид:
К1тгк = КгтКк1 - КИКкт- (16)
Это равенство выражает тензор внутренней кривизны И,1тгк пространственной гиперповерхности через тензор её внешней кривизны Кгк.
Сворачивая левую и правую части равенства (14) с вектором нормали иЧ, приходим к соотношению Кодацци
Ячира иче\ ерекк = V к К - V Кы-
В нашем случае плоского внешнего пространства-времени оно принимает более простой вид:
V к Кг1 = ЧгКк1- (17)
Это соотношение определяет свойства симметрии пространственной ковариантной производной тензора внешней кривизны. Поскольку тензор Кгк является симметричным, то тензор третьего ранга VIКгк в силу соотношения Кодацци (17) оказывается симметричным по всем трём индексам.
Полученные соотношения Гаусса (16) и Кодацци (17) определяют внутреннюю структуру пространственной гиперповерхности в произвольный момент собственного времени т. Они могут служить в качестве дополнительных условий, накладываемых на величины, характеризующие динамику гиперповерхности. Оставшаяся компонента тензора кривизны
Ячира иче" ирек = 0 (18)
соответствует уравнению Риччи, которое как раз и определяет динамику пространственной гиперповерхности, поскольку оно содержит вторую производную по времени от трёхмерной метрики кгк. Однако в сопутствующей системе координат мы должны вычислять соответствующие проекции тензора кривизны не относительно вектора нормали ич, а по отношению к вектору скорости частиц ич.
1.3. Динамика пространственной гиперповерхности
Определим тензор градиентов скорости
Р = V и
(19)
Непосредственное вычисление временных и смешанных компонент этого тензора даёт равенства
Poo = 0, Poi = 0, Pi0 = Д. (20)
Вычислим производную Ли (см., например, [9]) метрического тензора вдоль вектора скорости
L«gMv = Va gv + g« v Ua + Vv Ua. (21)
Поскольку ковариантная производная метрического тензора равна нулю, из (21) с учётом определения (19) находим LugMv = P^v + PVjU. Напомним, что в производной Ли из-за взаимного сокращения символов Кристоффеля все ковариантные производные можно заменить на частные. Поэтому выражение (21) можно переписать в виде
r = qdg^v + dua + dua
= U + gav + g^a 5xv. Подставляя сюда компоненты скорости (3), имеем: Lug^v = g^v. Таким образом, приходим к уравнению
gjUV P/^v + Pv^. (22)
Для удобства введём обозначения для симметричной D^v и антисимметричной частей тензора P^v:
2 (VvUM + VMUv) , H^v = 2
= (VvUM + VMUv), = ТГ (VvUM - VMUv) , PMv = + .
Величина имеет смысл тензора скоростей деформаций, а П^ представляет собой тензор угловой скорости вращения. Уравнение (22) при этом можно переписать в виде
= . (23)
Вычислим производную Ли тензора Р^ вдоль вектора скорости:
Р/^ и УаР/^ + РаVУ/и + Р/а^^и . (24)
Последние два слагаемых в правой части этого выражения можно переписать в виде
РаVУ/и РаVР /' Р/аVvи Р/аР V. (25)
Для вычисления первого слагаемого заметим, что операторы ковариантного дифференцирования можно менять местами, поскольку в плоском пространстве-времени тензор кривизны равен нулю. Поэтому
иаУаР^ = иаVvУаЧ/ = Vv (иаУаЧ/) - (УаЧ/)^иа).
Первое слагаемое в правой части выражается через вектор ускорения ии = чаУаии. Поэтому
аР /V V Vи/ Р /аР V
Подставляя (25) и (26) в (24), приходим к уравнению
UaV„P„v = vvwu- R„Pav. (26)
Р^ = и/ + Ра/Ра V. (27)
Выделяя отдельно в этом уравнении симметричную и антисимметричную части, получаем
Auv = X (VvWM + V^Wv) + (Da^ + (Dav + v)
Ö= 1 (Vvwß - Vßwv). (29)
Таким образом, мы приходим к выводу о том, что динамика пространства в релятивистском случае описывается системой двух уравнений (22), (27) или эквивалентной системой трёх уравнений (23), (28), (29).
Покажем, как осуществляется в этих уравнениях переход к нерелятивистскому случаю. Рассмотрим сначала уравнение (22) для метрического тензора. Пространственные компоненты этого уравнения можно записать в виде
hik = -VkUi - ViUk. (30)
В нерелятивистском пределе необходимо учесть, что частная производная по собственному времени д/дт переходит в (l/c)d/dt, а компоненты ui = ßi переходят в —Vi/с, где vi — ковариантные компоненты трёхмерного вектора скорости в сопутствующей системе координат. В результате (30) переходит в уравнение вида
= 2dik, (31)
где трёхмерный тензор скоростей деформаций dik = 2 ^Vkvi + Viv^ . Здесь через
V обозначены трёхмерные ковариантные производные, соответствующие трёхмерному метрическому тензору hik сопутствующей системы координат.
Для перехода к нерелятивистскому случаю в уравнении (27) для заметим, что в нерелятивистском пределе пространственные компоненты имеют вид
Pik = Vk Ui ^ -1V k Vi = - 1Pik.
cc
Следовательно,
Градиент ускорения
^ l dpik ___
ik ~ о n, ■
с2 dt
VkWi ^ Vkai, c2
где аг — ковариантные компоненты трехмерного вектора ускорения в сопутствующей системе координат. Оставшееся слагаемое с учетом (20) можно переписать в виде
т~> т~>а ,.ав т~> т~> ,1т т~> ь
тк.
PaiP а k = дав Pai Pßk = g}™PliPmk.
Используя выражения (4) для контравариантных компонент метрического тензора, находим:
РагР " к = —^тр1гртк +--2 в 1Р™" Р1гРтк.
а2
Отбрасывая члены высокого порядка по у/о, получаем:
РагРак ~ - 4Ь1триртк = - 4РиР1к.
о2 о2
В результате уравнение (27) в нерелятивистском пределе перейдет в уравнение
^р1 = V к а + рир\. (32)
Уравнения (31) и (32) в рамках нерелятивистского приближения были получены в предыдущей работе [4].
Внутренняя геометрия трёхмерного пространства в нерелятивистском пределе существенно упрощается. В самом деле, из уравнения (31) следует, что в нерелятивистском случае тензор внешней кривизны (11) становится равным нулю. В результате соотношение Кодацци (17) вырождается в тождество 0 = 0. Из соотношения Гаусса (16) находим: = 0. Иными словами, в нерелятивистском пределе трёх-
мерное пространство становится плоским.
2. Дискретная система частиц
Следуя методике, изложенной в работе [4], рассмотрим вместо идеализированной сплошной среды дискретное множество (конечное или бесконечное) частиц. Это позволит заменить в полученных выше уравнениях величины, относящиеся к базовой категории пространства, на некоторые подходящие величины, относящиеся к базовой категории частиц. В частности, метрику пространства следует выразить не через метрические отношения между абстрактными точками, а через метрические отношения между частицами. В результате мы сможем сделать следующий шаг на
Произвольным образом выберем одну частицу в качестве базовой и обозначим её индексом 0. В окрестности базовой частицы рассмотрим какие-либо три соседние частицы (не обязательно ближайшие) и обозначим их соответственно индексами 1, 2 и 3. Четыре выделенные частицы 0, 1, 2, и 3 формируют в пространстве-времени тетраэдр. Рассмотрим положения этих частиц в один и тот же момент т их собственного времени. Это означает, что в этот момент времени все они лежат на пространственной гиперповерхности. Проведём из базовой частицы 0 три четырёхмерных пространственно-подобных вектора ei, e2 и e3 к соседним частицам 1, 2 и 3 соответственно (см. рис.2). Поскольку частицы 1, 2 и 3 различные, то эти векторы, очевидно, являются линейно-независимыми и их можно использовать в качестве векторов локального базиса в некоторой окрестности базовой частицы 0. Пространственные компоненты метрического тензора в точке, в которой находится базовая частица, определяются скалярными произведениями этих векторов: gik = ei • ek = —hik. В качестве четвёртого базисного вектора можно использовать вектор скорости базовой частицы e0 = u. Тогда остальные компоненты метрического тензора будут равны
goo = u • u = 1, goi = u • ei = Д. (33)
Квадрат длины пространственных базисных векторов есть ei • ei = s^ = — , где soi — интервал между частицей 0 и частицей с номером i в один и тот же момент их собственного времени т. Величина 1oi равна соответствующему пространственному расстоянию между этими частицами. Можно сказать, что величины soi и 1oi представляют собой метрические парные отношения между частицами 0 и i.
пути к сверхкатегории перепутанных частиц.
Рис. 2. Пространственно-подобные базисные векторы, построенные на четырёх частицах
Легко показать, что пространственные компоненты метрического тензора можно следующим образом выразить через метрические парные отношения:
_ 1 ( 2 I 2 2 Л
9гк = ^ 1% + в0к — 8гк) ,
кгк = 1 {11г + 4 - ^к) . (34)
Очевидно при этом, что диагональные компоненты оказываются равными дгг = в^, поскольку интервалы вида вгг = 0. Отметим, что определитель метрического тензора (34) к = det(kгk) удовлетворяет соотношению л/к = 6V, где V — объем тетраэдра, построенного на частицах 0, 1, 2, 3. Недиагональные компоненты метрического тензора д0г (см. второе соотношение в (33)) можно интерпретировать как еще один вид парных отношений базовой частицы и частицы с номером г.
Для замыкания системы уравнений (22), (27) необходимо написать выражения для ускорений частиц Вектор ускорения представляет собой удельную силу, действующую на данную частицу (сила, отнесенная к массе частицы). При этом полная сила складывается из внешних сил и сил взаимодействия между частицами. Внешние силы можно задавать непосредственно, а силы взаимодействия в конечном счете определяются расстояниями между частицами. Рассмотрим в качестве примера электромагнитную силу. В этом случае уравнение движения частицы можно записать в виде (см., например, [7])
е гг а
тсш^ = ,
где т — масса частицы, е — ее заряд, Ери — тензор электромагнитного поля. Отсюда находим
е
= —2 Ер, то2
где Е^ = Ерапа = Ер0. В силу свойства антисимметрии тензора электромагнитного поля вектор Ер имеет только пространственные компоненты Ег, которые составляют трехмерный вектор напряженности электрического поля в сопутствующей системе координат.
Рассмотрим вопрос о представлении ковариантной производной ускорения в случае дискретной системы частиц. Ковариантная производная содержит символы Кристоффеля, которые определяются частными производными (пространственными и временными) компонент метрического тензора. Поскольку метрический тензор в нашем представлении описывает свойства не отдельных частиц, а всего комплекса (тетраэдра) из четырех частиц, то символы Кристоффеля будут описывать свойства этого комплекса относительно некоторых соседних таких же комплексов. Очевидно, что такой подход резко усложнит описание системы. Необходимо будет все множество частиц разбивать на комплексы-тетраэдры, связывать их единой системой базисных векторов, указывать в каждом направлении соответствующие соседние комплексы. Чтобы этого избежать, можно предложить более простой и наглядный способ интерпретации ковариантной производной ускорения.
Запишем выражение для частной производной вектора ускорения
ш = (у"та)еа-
Умножая скалярно левую и правую части на базисный вектор ер, находим:
дw
еР ^ О:XV = ^^
Рис. 3. Схема, поясняющая представление ковариантной производной вектора ускорения
Для пространственных компонент, заменяя частные производные конечными разностями, получим:
Ук и*
д w
дхк
^ е* ■ ^(к) - w(0)] = и*(к) - и*(0).
Здесь использованы следующие обозначения: w(0) — вектор ускорения базовой частицы, w(k) — вектор ускорения частицы с номером к, и*(0) = е* ■ w(0), и*(к) = е* ■ w(k). Пояснить это выражение можно с помощью схемы, изображённой на рис. 3. Для примера рассмотрен случай г =1, к = 2. Сначала вектор ускорения w(2) частицы 2 переносится параллельно вдоль (в обратном направлении) базисного вектора е2 в точку, где расположена базовая частица. После этого в точке 0 строятся проекции векторов ускорений w(0) и w(2) относительно базисного вектора е1. В результате получаем две величины — и^(0) и и^(2). Ковариантная производная У2и1 представляется в виде разности и1(2) — и1(0). Символы Кристоффеля здесь не возникают, поскольку локальный базис в точке 2 не используется. Таким образом, в предложенной интерпретации величина Уи* приобретает простой смысл относительного ускорения двух частиц или ускорения какой-либо частицы (1, 2 или 3) относительно базовой частицы. Однако при этом компоненты ускорения второй (небазовой) частицы вычисляются относительно локального базиса в точке, где расположена базовая частица. Иными словами, величину и*(к) можно трактовать как своего рода тройное отношение между частицами 0, г и к.
е
Заключение
В рамках методики, предложенной в работе [4], рассмотрены первый и частично второй этапы вывода динамического уравнения, лежащего в основе реляционной теории. В качестве предельного динамического уравнения использованы уравнения, описывающие релятивистскую динамику трёхмерного пространства с точки зрения системы отсчёта, основанной на множестве материальных точек, составляющих идеализированную сплошную среду. Внутренняя геометрия пространственной гиперповерхности, соответствующей одинаковому значению собственного времени частиц, описывается соотношениями Гаусса (16) и Кодацци (17). При этом соотношение Гаусса выражает тензор внутренней кривизны пространственной гиперповерхности через тензор её внешней кривизны, а соотношение Кодацци определяет свойства симметрии пространственной ковариантной производной тензора внешней кривизны.
Уравнение, определяющее динамику пространственной гиперповерхности с точки зрения геометрии, соответствует уравнению Риччи (18). В сопутствующей системе координат, связанной с движущимися частицами, компоненты уравнения Риччи необходимо вычислять не относительно вектора нормали к пространственной гиперповерхности, а по отношению к вектору скорости частиц. В результате можно прийти к системе уравнений (22), (27), определяющей изменение метрики пространственной гиперповерхности. В работе показано, что в нерелятивистском пределе эти уравнения переходят в соответствующие уравнения, полученные в работе [4]. Кроме того, в нерелятивистском пределе существенно упрощается внутренняя геометрия трехмерного пространства. В этом случае тензоры внешней и внутренней кривизны становятся равными нулю. Поэтому в нерелятивистском пределе пространственная гиперповерхность выпрямляется и переходит в плоское евклидово трехмерное пространство.
В работе рассмотрен также вопрос об интерпретации метрики динамически изменяющейся пространственной гиперповерхности в случае дискретного множества частиц. Это позволяет в динамических уравнениях выразить величины, относящиеся к базовой категории пространства, через соответствующие величины, относящиеся к базовой категории частиц. В частности, оказывается возможным выразить метрику пространственной гиперповерхности через метрические отношения между частицами. Отметим, что этап дискретизации пространства связан с реализацией идеи Лейбница о том, что пространство суть «порядок расположения тел».
Однако сверхкатегория перепутанных частиц возникает не на этапе дискретизации пространства, а на этапе дискретизации времени, который связан с реализацией идеи Лейбница о том, что время суть «порядок явлений или состояний тел», или, иначе говоря, порядок следования событий. Дело в том, что в промежутках между отдельными событиями мы уже не сможем говорить ни о частицах, ни о пространстве-времени. Частицы будут проявлять себя исключительно в самих этих событиях. Поскольку изменения состояний частиц носит дискретный характер, то для тождественных частиц возникнет ситуация, аналогичная системе квантовых тождественных частиц. В квантовой механике из-за принципа неопределенности тождественные частицы оказываются принципиально неразличимыми (см., например, [11]). Поэтому проследить движение отдельной частицы в системе квантовых тождественных частиц оказывается невозможным. В реляционной физике из-за дискретного характера изменения состояний частиц проследить какие-либо их траектории также оказывается невозможным. В результате должен проявляться эффект перепутывания тождественных частиц, когда реляционную систему необходимо рассматривать уже как единое целое. Описание реляционных систем с учетом этого эффекта представляет собой отдельную математическую задачу.
Авторы выражают благодарность В. А. Клименко за полезные обсуждения.
Приложение
A. Смешанные тензоры на пространственной гиперповерхности
Величина ef даёт пример смешанного тензора [10], заданного на пространственной гиперповерхности. Такие тензоры содержат как пространственно-временные индексы, относящиеся к внешнему пространству-времени, так и пространственные индексы, относящиеся к пространственной гиперповерхности. Можно определить смешанные тензоры и произвольного ранга.
Рассмотрим в качестве примера поле некоторого смешанного тензора Bf*, заданного на пространственной гиперповерхности. Абсолютный дифференциал этого тензора
DBf = dBf + Г" Bf dx" + LimBT^ - Lim Bf dx1, (35)
где Lifc — трёхмерные символы Кристоффеля, вычисленные по компонентам hik трёхмерного метрического тензора на пространственной гиперповерхности. Отметим, что величина DBf также является смешанным тензором, заданным на пространственной гиперповерхности. Выражение (35) можно легко обобщить на случай смешанных тензоров произвольного строения.
Перейдем в (35) к ковариантной производной. Поскольку
. д Bfi г г
d^Bf — ~ k dx , dxf — e? dx , k dx1 1
то абсолютный дифференциал DBf можно представить в виде
DBkfi — dx1 V iBkfi,
где
д Bfi
V 1 Bffi — ^ + Г?" e" Bf + LimBfm - LimBm.
Величина V1Bf" также является смешанным тензором, заданным на пространственной гиперповерхности. Заметим, что для обычных четырёхмерных векторов
dAf ~ dAf
V"A — ^ + rfpA, V iAf — ^ + rfpe"Ж.
Поэтому имеет место соотношение V¿Af — e"V"Af. Для векторов ef пространственного базиса ковариантная производная может быть записана в виде
~ def
V k ef — джк + e" eP — Lifc e? . Отсюда следует свойство симметрии
V k ef — V*ef. (36)
Б. Ковариантные производные базисных векторов
Покажем, что тензор V k ef ортогонален векторам пространственного базиса ef. Для этого вычислим абсолютный дифференциал соотношения — hik — gik — gf vef ek. Получим
—Dhik — (Def )ek gfv + ef (Dek )gfv + ef ek (Dgf v). (37)
Поскольку Окгк = 0 и Едрг = 0, то из (37) находим:
(V1 + (V1 ек у^д^ = 0. (38)
Записывая ещё два аналогичных соотношения, отличающихся от (38) циклической перестановкой индексов г, к и I, и учитывая (36), приходим к выводу, что (VIер)екдрг = 0. Таким образом, тензор Vкер ортогонален векторам ер и, следовательно, направлен вдоль вектора нормали пр. Это условие можно записать в следующем виде: V к ер = Лгк пр, где коэффициенты Лгк являются компонентами некоторого симметричного тензора, касательного к пространственной гиперповерхности. Эти коэффициенты легко найти с помощью второго соотношения в (10). В результате получаем, что Лгк = Кгк и, следовательно,
V к ер = Кк пр. (39)
Вычислим пространственную ковариантную производную от левой и правой частей соотношения дргпреV = 0. С учётом того, что Vкдрг = 0, находим:
дрг(VкпрУг + дрШпр(^ке?г) = 0. Используя (39), приходим к равенству
дрг (V к пр)егг = -Кгк. (40)
Наконец, дифференцируя соотношение дргпрпг = 1, получим: дрг(Vкпр)пг = 0. Отсюда видно, что тензор Vкпр ортогонален вектору нормали пр. Следовательно, Vкпр лежит на пространственной гиперповерхности и может быть разложен по векторам внутреннего базиса: Vкпр = Вгкер, где Вгк — некоторые коэффициенты разложения. Подставляя это равенство в (40), можно убедиться, что Вк = -Кк. Поэтому
V к пр = -Кк ер. (41)
Полученные соотношения (39) и (41) играют важную роль при описании внутренней геометрии пространственной гиперповерхности.
В. Соотношения для тензора кривизны
Во внешнем пространстве-времени для любых векторов имеют место следующие равенства для операторов повторного ковариантного дифференцирования (см., например, [7]):
Лр - VаVpЛр = Лгярра, VpVaЛр - VкVpЛр = -Лгярра,
где Яррк — тензор кривизны внешнего пространства-времени. Аналогичные формулы могут быть получены и для тензоров, заданных на пространственной гиперповерхности:
V г V к Лр - V к V гЛр = Лг Я1ра еРреак, (42)
УгУfcAp - VkVA = Rppaepelk, (43)
VkAi - VkViAi = AmRmk, (44)
ViVkA1 - VkVA = -AmRlmik. (45)
Тензор Rlmik описывает внутреннюю кривизну пространственной гиперповерхности. Он обладает теми же свойствами симметрии, что и тензор RPpi. Выражения (42)-(45) можно легко распространить на смешанные тензоры произвольной структуры.
Список литературы
1. Владимиров, Ю. С. Метафизика / Ю. С. Владимиров. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Бином. Лаб. знаний, 2009. — 568 с.
2. Ж^илкин, А. Г. Базовые категории и принципы реляционной физики / А. Г. Жилкин // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2013. — № 25 (316). Физика. Вып. 18. — С. 80-92.
3. Ж^илкин, А. Г. Реляционная физика с точки зрения метафизики / А. Г. Жилкин // Метафизика. — 2014. — № 2 (12). — С. 49-67.
4. Ж^илкин, А. Г. О динамике реляционных систем: нерелятивистский случай / А. Г. Жилкин // Челяб. физ.-мат. журн. — 2017. — Т. 2, вып. 1. — С. 99-112.
5. Зельманов, А. Л. Хронометрические инварианты и сопутствующие координаты в общей теории относительности / А. Л. Зельманов // Докл. АН СССР. — 1956. — Т. 107, № 6. — С. 815-818.
6. Владимиров, Ю. С. Системы отсчёта в теории гравитации / Ю. С. Владимиров. — М. : Энергоиздат, 1982. — 256 с.
7. Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2012. — 536 с.
8. Arnowitt, R. The dynamics of general relativity / R. Arnowitt, S. Deser, C. W. Misner / ed. L. Witten. — New York : Wiley, 1962. — P. 227-265.
9. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. — М. : Мир, 1977.
10. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. — М. : Наука, 1967. — 664 с
11. Ландау, Л. Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Физматлит, 2004. — 800 с.
Поступила в 'редакцию 03.03.2017 После переработки 25.03.2017
Сведения об авторах
Ж^илкин Андрей Георгиевич, доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник, Институт астрономии РАН, Москва, Россия; e-mail: zhilkin@inasan.ru.
Курбатов Евгений Павлович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт астрономии РАН, Москва, Россия; e-mail: kurbatov@inasan.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 1. P. 113-127.
ON DYNAMICS OF RELATIONAL SYSTEMS: RELATIVISTIC CASE
A.G. Zhilkin", E.P. Kurbatovb
Institute of Astronomy, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
azhilkin@inasan.ru, bkurbatov@inasan.ru
In the paper the initial stages to obtain the dynamic equation of the relational theory is discussed. As the limiting dynamic equation we use the equations describing the relativistic dynamics of a three-dimensional spatial hypersurface that is composed of a continuum set of arbitrary moving particles and corresponding to the same value of their proper time. The relations describing the internal geometry of the space hypersurface are obtained. The problem of the interpretation of the spatial metrics of the dynamically evolving space hypersurface in the case of a discrete set of particles is discussed.
Keywords: space-time, reference system, relational physics.
References
1. Vladimirov Yu.S. Metafizika [Metaphysics]. Moscow, Binom. Laboratoriya znaniy Publ., 2009. 568 p. (In Russ.).
2. Zhilkin A.G. Bazovye kategorii i printsipy relyatsionnoy fiziki [Basic categories and principles of relational physics]. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta [Bulletin of Chelyabinsk State University], 2013, no. 25 (316), pp. 80-92. (In Russ.).
3. Zhilkin A.G. Relyatsionnaya fizika s tochki zreniya metafiziki [Relational physics from the view-point of metaphysics]. Metafizika [Metaphysics], 2014, no. 2 (12), pp. 49-67. (In Russ.).
4. Zhilkin A.G. O dinamike relyatsionnykh sistem: nerelyativistskiy sluchay [On dynamics of relational systems: non-relativistic case]. Chelyabinskiy fiziko-matematicheskiy zhurnal [Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal], 2017, vol. 2, iss. 1, pp. 99-112. (In Russ.).
5. Zelmanov A.L. Khronometricheskiye invarianty i soputstvuyushchiye koordinaty v obshchey teorii otnositel'nosti [Chronometric invariants and comoving coordinates in theory of general relativity]. Doklady AN SSSR [Reports of Academy of Sciences of USSR], 1956, vol. 107, no. 6, pp. 815-818. (In Russ.).
6. Vladimirov Yu.S. Sistemy otschyota v teorii gravitatsii [Reference frames in theory of gravity]. Moscow, Energoizdat Publ., 1982. 256 p. (In Russ.).
7. Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Field. Oxford, Butterworth — Heinemann, 1975.
8. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. The dynamics of general relativity. Ed. L. Witten. New York, Wiley, 1962. Pp. 227-265.
9. Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation. San Francisco, Freeman, 1973. 1304 c.
10. Rashevsky P. K. Rimanova geometriya i tenzornyy analiz [Riemann geometry and tensor analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1967. 664 p. (In Russ.).
11. Landau L.D., Lifshitz E.M. Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Oxford, Pergamon Press, 1977.
Accepted article received 03.03.2017
Corrections received 25.03.2017
