CC BY
33
УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 2
Е. В. Краковская
О ДЕФОРМАЦИИ СОСТАВНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ*
1. Введение. Форму глазного яблока определяет наружная оболочка — склера. В первом приближении эту оболочку можно считать сферической. Недалеко от заднего полюса глаза через склеру проходит зрительный нерв. Сплошного дефекта склеры в этом месте нет, но имеется ее истончение и появляется множество мелких отверстий. Этот участок склеры называется решетчатой пластинкой диска зрительного нерва. В настоящее время известно, что при глаукоме атрофия зрительного нерва происходит именно в области решетчатой пластинки. Решетчатая пластинка существенно мягче склеры. Интересно провести сравнение решений задач о напряженно-деформированном состоянии составной оболочки, состоящей из склеры и решетчатой пластинки, и отдельно задачи о напряженно-деформированном состоянии решетчатой пластинки под действием нормального давления.
В данной работе изучается влияние увеличения внутриглазного давления (ВГД) на диаметр склерального кольца, а также влияние деформации сферической оболочки глаза на величину прогиба решетчатой пластинки диска зрительного нерва.
В задаче о сопряженных оболочках решетчатая пластинка считается сферической оболочкой того же радиуса, что и склера. В первой модели решетчатая пластинка предполагается однородной и изотропной. Модуль упругости решетчатой пластинки Е2 значительно меньше модуля упругости склеры Е., полагается Е. / Е2 = 10. Рассматриваются аналитические и численные результаты, полученные в А№УЯ.
Во второй модели рассматривается задача о прогибе решетчатой пластинки как трансверсально-изотропной пластины с жесткой заделкой и проводится сравнение его с ранее полученными аналитическими результатами [1]. Приводятся полученные с помощью МКЭ в прикладном пакете А№УЯ численные результаты деформации сопряженных трансверсально-изотропных сферических оболочек под действием ВГД.
2. Аналитическое решение задач. Напряженно-дефор- ^---
мированное состояние изотропной однородной оболочки мо- __-- х\
жет быть описано уравнениями В. В. Новожилова [2] в сфери- / \
ческих координатах (^ — угол, образуемый нормалью к сре- I \
динной поверхности с осью оболочки, в — угол, определя- К N
ющий положение точки на соответствующем параллельном —■————-——
круге (рис. 1)). В случае осесимметричной деформации диф- рис. 1. Сферическая
ференциальные уравнения в комплексных усилиях для сфе- оболочка.
рической оболочки имеют вид
N N . ~ 1 dNl в , ~ ~ 1с dN
N = ^+N2,
с 1 — д2 с 1 — д2
где с = /г/\/12(1 “А*2); 9-ВГД- = !/Д2 * <Рй/<Ю2 + с^в/В? * йЙ/М-, ЛГЬ ЛГ2-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00250).
© Е. В. Краковская, 2008
усилия; Ы\, М2 — моменты, возникающие в оболочке; Н, Я, ц — толщина, радиус, коэффициент Пуассона оболочки соответственно.
Решение системы (1) для склеры как незамкнутой оболочки, полученное методом асимптотического интегрирования [2], имеет вид
где Q1 —перерезывающая сила, т — нормальный прогиб оболочки, и — перемещение в меридиональном направлении, в — угол поворота нормали; во — угол, определяющий край оболочки; Е1 —модуль упругости склеры; индекс (1) означает принадлежность к склере, индекс (2) —к решетчатой пластинке; А1, В1, С1 —константы интегрирования, причем С1 фиксирует начало отсчета осевого смещения оболочки. В нашем случае
В задаче о напряженно-деформированном состоянии сопряженных сферических оболочек решетчатая пластинка рассматривается как пологая оболочка, где г и <р — полярные координаты. Используя уравнения теории пологих оболочек в комплексной форме, приведенные Назаровым [3], можно получить дифференциальное уравнение для комплексной функции напряжений:
ная функция (Г — функция напряжения, т — прогиб оболочки); а — безразмерная переменная (г = ка).
Решение системы (5) имеет следующий вид:
(2)
С1 = 0.
(3)
(1 — и2)коа , / С2 , , п г А /2ч 1 дт(2) и(2)
ЧМг+2т+№) (ттк“+-вл ) • " = -ъ~*г + -ж-
где /1, 12, /1', 12' — значения действительной, мнимой составляющей функций Бесселя нулевого порядка и их производные соответственно.
На линии сопряжения оболочек выполняются шесть условий непрерывности перемещений, момента, усилий и угла поворота [4], причем в случае, когда сопряженные оболочки имеют один радиус кривизны, эти условия имеют вид
и(1) = и(2), ж1(1) = н{2), Q(11) = Q(12), (5)
т(1) = т(2), М(1) = М(2), в(1) = в(2).
11
Уравнение для усилий н{г) выполняется автоматически при выполнении остальных условий. Подстановка выражений (2) и (4) в соотношения (5) дает систему уравнений для определения неизвестных постоянных А.1, В1, А2, В2, С2.
Расчеты проводились при следующих параметрах: Н1 = 1 мм, ^4 = ц2 = 0.45, Е1 = 14.3 МПа; Н2 = 0.25 мм, Е2 = 1.43 МПа, радиус основания решетчатой пластинки а =1 мм. Радиус кривизны обеих оболочек Я =12 мм.
Прогиб жестко закрепленной круговой пластинки под действием давления ц в центре имеет вид хр1 = ца4/64/Б, где Б = Е2Н23/12/(1 — ^).
В табл. 1 представлены результаты решения задач о деформации в центре решетчатой пластинки в сопряжении со склерой г = т(2) (0) — т(2)(во)ео8 во, изменения начального радиуса склерального кольца Дх = и>(1)(во)8шво, а также прогиба пластины гр1, полученные по аналитическим формулам, для различных значений ВГД.
Таблица 1. Аналитическое решение для изотропных оболочек
£/, ММ рт.ст.
15 30 40 50 60 80
х * 10 а, мм 13.65 27.3 36.4 45.51 54.61 72.8
Дж * 10~6, мм 1.13 2.27 3.03 3.79 4.55 6.06
* 10 а, мм 13.38 26.76 35.68 44.6 53.53 71.36
Изменение радиуса склерального кольца на порядок меньше величины прогиба. При удалении от линии сопряжения решение становится безмоментным.
3. Численное решение. В табл. 2 приведены значения тех же параметров г, Дх и гР1, полученные методом конечных элементов в прикладном пакете А^УБ.
Таблица 2. Численное решение для изотропных оболочек
£/, ММ рт.ст.
15 30 40 50 60 80
г * 10 3, мм 12.5 24.8 33.1 41.3 49.6 66.2
Дж * 10~6, мм 1.58 2.28 4.21 5.28 6.34 8.45
хр1 * 10 а, мм 13.4 26.9 35.9 44.8 53.8 71.8
Разница в значениях максимальных прогибов решетчатой пластинки, полученных для составной сферической оболочки и для жестко закрепленной пластины не превосходит 6%. Значения численных и аналитических результатов различаются не более, чем на 9%. И в том и другом случае увеличение ВГД практически не меняет размеры склерального кольца.
Методом конечных элементов решена задача о деформации составной трансверсаль-но-изотропной сферической оболочки [5] под действием внутреннего давления.
д, мм рт.ст.
15 30 40 50 60 80
х * 10“3, мм 42.8 87.8 123.3 144.1 179.9 246.5
Дх * 10 3, мм 6.1 12.6 17.3 20.8 25.5 34.6
хр1 * 10“3, мм 40.3 80.7 107.7 134.6 161.5 215.4
хап * 10 3, мм 43.7 87.5 116.7 145.9 175.1 233.5
Согласно экспериментальным данным [6], модуль упругости склеры и решетчатой пластины в направлении толщины Е' 1 в десятки раз меньше, чем в тангенциальном направлении Ег. В расчетах предполагалось Е'г = Ег/20, для модуля сдвига в плоскости перпендикулярной плоскости изотропии принято С' = Ог/5, где О' = Е'/2/(1 + ^') — модуль сдвига в плоскости изотропии. Задача решалась при тех же геометрических параметрах, что и задача в изотропной постановке.
Значения максимального прогиба решетчатой пластинки для составной задачи г, изменение ее опорного радиуса Дх, а также значения прогиба трансверсально-изотроп-ной пластины с жестко защемленным краем под действием нормального давления гр представлены в табл. 3. Для сравнения приведено аналитическое решение задачи о деформации трансверсально-изотропной пластины с жестко защемленным краем, которое имеет вид гап = ца4/64/Б + 3ц/8/Ь,2/О2 [1]. На рис. 2 показаны формы прогиба.
Рис. 2. Сопряженные оболочки. а — изотропная, Ь — трансверсально-изотропная.
Сравнение результатов для изотропной и трансверсально-изотропной составных оболочек показывает, что анизотропия существенно влияет как на величину, так и на форму прогиба решетчатой пластины.
Прогиб трансверсально-изотропной составной сферической оболочки является более пологим и по форме больше соответствует реальной картине деформирования склеры и решетчатой пластинки.
Литература
1. Бауэр С. М., Зимин Б. А., Товстик П. Е. Простейшие модели теории оболочек и пластин в офтальмологии. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 92 с.
2. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 432 с.
3. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. М., 1966. 303 с.
4. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1999. 196 с.
5. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1996. 280 с.
6. Иомдина Е. Н. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция. Автореф. дис. ... д-ра биол. наук. М., 2000.
Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.
