О числе обусловленности Гёльдера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.643.5 Е. А. Калинина

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 2

О ЧИСЛЕ ОБУСЛОВЛЕННОСТИ ГЁЛЬДЕРА

1. Введение. В работе предлагается метод, позволяющий найти максимальный порядок клетки Жордана квадратной матрицы с комплексными элементами и построить полином с корнями - собственными числами данной матрицы, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка. Алгоритм не требует знания характеристического полинома рассматриваемой матрицы.

С теоретической и практической точек зрения важным является решение задачи об изменении собственных чисел и собственных векторов данной квадратной матрицы A (в общем случае комплексной) при достаточно малых возмущениях ее элементов. Обычно наряду с матрицей A анализируется возмущенная матрица A+eB, где B - произвольная матрица, а e - число, достаточно близкое к нулю. Известно [1], что каждое собственное число и каждый собственный вектор возмущенной матрицы допускают разложение по дробным степеням параметра e, в котором коэффициент при e в нулевой степени есть собственное число или собственный вектор невозмущенной матрицы A.

Важную роль в исследовании спектра возмущенных матриц играют теоремы, опубликованные В. Б. Лидским в 1966 г. [2]. В статье [1] приведены точные формулы для старших членов в разложении собственных чисел и собственных векторов возмущенной матрицы по степеням параметра е. Для анализа собственных чисел возмущенной матрицы используется число обусловленности Гёльдера [1, 3].

Определение 1. Числом обусловленности Гёльдера для собственного числа А матрицы A называется упорядоченная пара чисел

cond(A) = (nmax, а),

где nmax - порядок наибольшей клетки Жордана, соответствующей собственному числу А, а

а = max spr(yBX).

||B||<1

Здесь spr обозначает спектральный радиус, а столбцы матрицы X (и строки матрицы У) являются линейно независимыми правыми (левыми) собственными векторами, соответствующими собственному числу А, каждый из которых принадлежит цепочке Жордана максимальной длины, отвечающей данному собственному числу.

Для собственных чисел А' возмущенной матрицы A + eB, стремящихся к А при е ^ +0, выполняется неравенство [1]

\А' - А\ < Са1/Птах e1/nmax (1)

для любых положительных c > 1 и достаточно малых положительных e. Эта оценка точная в том смысле, что для достаточно малых e для любого c < 1 найдется некоторое значение А', для которого неравенство (1) выполняться не будет.

В дальнейшем нам понадобится следующее определение.

Калинина, Елизавета Александровна — кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].

© Е. А. Калинина, 2013

Определение 2. Кронекеровским произведением матриц Лихи и В1 х1 называется матрица

ацВ о,12В ... В ®21 В 022В ... 02иВ

[Л ® В]Ыхы =

Обозначим через С а матрицу

аи1 В ак2В ... аии В

СА = Е ® Л — Л ® Е.

(2)

Здесь Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица Л (размерности к х к).

Проблема вычисления числа обусловленности Гёльдера для собственного числа А матрицы Л состоит в необходимости знать форму Жордана рассматриваемой матрицы. Нахождение формы Жордана само по себе представляет довольно сложную вычислительную задачу. Предлагается метод определения максимального порядка клетки Жордана матрицы Л и построения полинома с корнями А1,...,А; - собственными числами матрицы Л, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка птах с помощью построения формы Жордана для одного лишь собственного числа 0 матрицы Са.

2. Предварительные результаты. Рассмотрим квадратную матрицу М(А), элементы которой являются полиномами относительно А (или А-матрицу).

Пусть гапкМ (А) = г. Обозначим через В^ (А) (] = 1, 2,...,г) наибольший общий делитель всех миноров порядка ] матрицы М(А).

Теперь приведем известные результаты, которые будут использованы в дальнейшем.

Пусть А1,А2,...,Аи - собственные числа матрицы Л (некоторые из них могут совпадать).

Теорема 1 [4]. Собственные числа матрицы С а равны А^ — А^, где г,] = 1, 2,...,к.

Отсюда сразу следует, что матрица С всегда имеет собственное число 0.

Оценим Хи2Х1 - собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному числу 0. Разобьем его на к подвекторов

X

/ Х1\

Х2

\Хк )

X1 е Си

Составим из векторов X^ (] = 1,...,к) матрицу X = (Х1, Х2,..., Хи) размерности к х к. Эта матрица удовлетворяет уравнению ЛХ = ХЛТ.

Замечание!.. Уравнение ЛХ = ХЛТ является частным случаем более общего уравнения ЛХ = ХВ, которое было исследовано Ф. Чечиони [5] и Ф. Г. Фробениусом [6].

Верно и обратное: если составить вектор из столбцов матрицы Х = (Х1, Х2,..., Хи) -решения уравнения ЛХ = ХЛТ, то получим собственный вектор матрицы С, отвечающий ее собственному числу 0.

Известна также следующая теорема.

Теорема 2 [4]. Число линейно независимых решений уравнения ЛХ = ХЛТ равно

к + 2(т1 + Ш2 + ... + ти-1),

где т^ = deg (А) при ] = 1,...,к — 1.

Далее будем параллельно рассматривать собственные векторы матрицы С, соответствующие собственному числу 0, и решения уравнения АХ = ХАТ.

Обозначим через AJ нормальную форму Жордана матрицы А. Пусть А = RAJК-1 и X' = К-1Х(КТ)-1. Тогда уравнение АХ = ХАТ будет эквивалентно уравнению

AJX' - X'АТ = Окхк,

где Окхк - нулевая матрица порядка к. Тем самым достаточно исследовать случай, когда матрица А = AJ приведена к форме Жордана.

Матрица Сл] (2) обладает блочно-диагональной структурой

Сл,

( 3х О

О 32

\ О ...

О О

3 )

в которой количество блоков р совпадает с количеством клеток Жордана в матрице AJ, и каждый блок имеет вид

/ А.Т- ЛЕ

3

О

-Е AJ - ЛЕ

\

\

... -Е AJ - Л Е )

где порядок блока т (количество матричных строк и количество матричных столбцов) равен размеру соответствующей клетки Жордана матрицы AJ. Степень матрицы Са}

( 3

пи

СЛ]

О 2

О

О О

зи)

здесь

л =

(Аз - \1Е)п -С1п(Лз - ХЕ)п-1 С2п(Ла - \Е)"-1

О

(Аз - \Е)п -С1(Лз - ХЕ)п-1

О О О

\ (-1)Г-1С;-1 (Аз - ХгЕ)п-Г+1 (-1)Г-2СГп-2(Лз - ХгЕ)п-Г+2 ... (Аз - ХЕ)п)

п!

(через О обозначены нулевые матрицы порядка к, а СП

]!(п - ])!

3. Максимальный порядок клетки Жордана. Рассмотрим сначала случай, когда

/ Л 0 0 . .. 0 0

1 Л 0. .. 0 0

А = 1 = 0 1 Л. .. 0 0

\ 0 0 0 . .. 1 Л кхк

Г X г

т. е. исходная матрица имеет вид одной клетки Жордана, соответствующей единственному собственному числу А. Обозначим через I квадратную матрицу порядка к:

/0 0 ... 0 0 \

1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0

I

\

0 0

1 0

иХи

В дальнейшем будет играть важную роль следующая теорема относительно системы линейных уравнений, задающей корневые векторы матрицы Сз, соответствующие собственному числу 0.

Теорема 3. Фундаментальная система решений (ф.с.р.) системы линейных уравнений

(-1)пЕ (-1)"-1СП-11 (-1)

\n-2cn-2 т2 Сп т п—1[~ п — 1 ] п

(-1)пЕ (-1)п-1Сп-11

... 1п ...... 1п

(-1)пЕ ...

XI

Х2 Хк

где Х^ е Си (] = 1,..., к), содержит в точности

п

пк + ^ (2] — п) — СП+1

¿=\п/2\ + 1

: О,

(3)

(4)

векторов. Здесь - целая часть числа в, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее в.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай к ^ п — 1. Обозначим через У^ (] = 1,...,к) корневые векторы ]-го этажа матрицы .. Имеем Уи-г = 1гУи. Очевидно, что все векторы Х^, образующие решение системы (3), являются корневыми. Тогда их можно разложить по базису корневого пространства следующим образом:

Х1 = апУ1 + «12 У + ... + аыУп,

Х2 = «21У1 + «22 V + ... + «2пУп + «2,п+1Уп+1,

Хи-п+1 = аи-п+1,1У1 + аи-п+1,2 У2 + ... + аи-п+1,и Уи,

Хи = аи1 У1 + ак2У2 + ... + аии Уи.

Приравнивая коэффициенты при линейно независимых векторах к нулю, запишем систему уравнений (3) как систему линейных уравнений относительно а^ (г,] = 1,...,к):

а1п — а2,п+1СП 1 = 0, а1,п-1 — а2пСП-1 + аз,п+1Сп-2 = 0, а1,п — а2,п+1Сп-1 + аз,п+2Сп-2 = 0,

ап+1,и-1 — ап+2,иСп-1 = 0.

п

т

1п1

-С11

Спт

п

2п2

1п1

С21

п

С1 т -п

п

п

т

Разобьем ее на подсистемы, каждая из которых включает переменные, не входящие в другие подсистемы, и получим, что:

1. Переменные а1п, а2,п+1, аз,п+2,..., ак-п+1,к входят в к — 1 уравнение.

При п ^ 2 значения всех этих переменных нулевые.

При п =1 ф.с.р. данной подсистемы состоит из одного вектора.

2. Переменные а1,п-1, а.2п, аз,п+1,..., ак-п+2,к входят в к — 2 уравнения, п ^ 2.

При п ^ 4 значения всех этих переменных нулевые.

При п = 2 ф.с.р. состоит из двух векторов.

При п = 3 ф.с.р. состоит из трех векторов.

3. Переменные а1,п-2, а2,п-1, азп,..., ак-п+з,к входят в к — 3 уравнения, п ^ 3.

При п ^ 6 подсистема имеет только нулевое решение.

При п = 3 ф.с.р. содержит 3 вектора.

При п = 4 ф.с.р. содержит 2 вектора.

При п = 5 ф.с.р. содержит 1 вектор.

И т. д.

п. Переменные ац, а22,..., акк входят в к — п уравнений.

При п < к данная подсистема имеет п линейно независимых решений.

п +1. Переменные а21, аз2,..., а^к-1 входят в к — п — 1 уравнений.

Ф.с.р. содержит п векторов.

И т. д.

к. Переменные ак-п>1, ак-п+1}2,..., ак,п+1 входят в одно уравнение.

Ф.с.р. содержит п векторов.

Таким образом, при \ п/2\ + 1 ^ I ^ п число векторов в ф.с.р. подсистемы с номером I равно 21 — п. При п +1 ^ I ^ к ф.с.р. с номером I состоит из п векторов. Кроме того, имеются переменные ап+2,1, ап+з,1,ап+з,2, ап+4,1, ап+4,2, ап+4,з,..., ак1 ,ак2,..., акп, которые не входят ни в одно из уравнений системы. Их число равно Сп, и они могут принимать произвольные значения (являются свободными).

Складывая все найденные количества решений, получаем утверждение теоремы для случая к ^ п.

Когда п > к, векторы Х1,Х2,..., Хк раскладываются по векторам корневого базиса следующим образом:

Х1 = апУ1 + а12 У + ... + а1к Ук, Хк = ак1 У1 + ак2У2 + ... + акк Ук.

Действуя аналогично предыдущему случаю, выведем формулу для числа решений системы уравнений (3)

2к — п — 1

(21 + п — 2к) + к(п — к +1) + п

1

сравнивая которую с (4) и учитывая, что

~2к - п Г, п =к— п

= к--

2 2 .2.

получаем утверждение теоремы.

Здесь \в\ - наименьшее целое число, не меньшее р.

2

Следствие 1. Корневые векторы, соответствующие собственному числу 0 матрицы С.], распределяются по этажам корневого пространства следующим образом:

1-й этаж - к векторов,

2-й этаж - к - 1 вектор,

■3-й этаж - к - 1 вектор,

4-й этаж - к - 2 вектора,

5-й этаж - к - 2 вектора,

2к - 1-й этаж - 1 вектор.

Следствие 2. Клетке Жордана матрицы 1 порядка к соответствует к клеток Жордана матрицы С.] размерностей

1, 3, 5, 7,...,2к - 1.

Рассмотрим теперь произвольную матрицу AJ - нормальную форму Жордана матрицы А. Каждый из векторов Хк в этом случае можно разбить на подвекторы Ху (] = 1,...,р). Размерность Хк^ равна порядку клетки Жордана матрицы AJ, стоящей на ]-м месте по главной диагонали, считая слева сверху. Системы линейных уравнений для нахождения корневых векторов в этом случае разобьются на кр подсистем каждая. При этом в любой подсистеме линейных уравнений неизвестными являются компоненты только одного вектора Х^. Каждая из полученных подсистем линейных уравнений имеет вид (3).

Таким образом, для каждой клетки Жордана матрицы А размерности ц мы получим ц клеток Жордана размерностей 1, 3, 5, 7,..., 2ц - 1. Разумеется, в случае, когда для одного и того же собственного числа матрицы AJ соответствуют две или больше клетки Жордана, появятся дополнительные клетки Жордана, принадлежащие собственному числу 0 матрицы Са} .

Далее будем рассматривать произвольную матрицу А. Следующая теорема отвечает на вопрос о максимальном порядке клетки Жордана матрицы А.

Теорема 4. Порядок максимальной клетки Жордана матрицы А равен птах = (в + 1)/2, где в - порядок максимальной клетки Жордана Сл, соответствующей собственному числу 0 матрицы.

Доказательство. Пусть максимальный порядок клетки Жордана матрицы А равен р. Из рассмотрения структуры матрицы С\] сразу следует, что у матрицы Сл нет клеток Жордана, отвечающих собственному числу 0, порядка больше, чем 2р - 1. Отсюда получаем утверждение теоремы.

Следствие 3. Матрица А диагонализируема тогда и только тогда, когда

птах 1.

4. Собственные числа, которым соответствуют максимальные клетки ЖЖордана. Следующая теорема дает алгоритм построения полинома с корнями - собственными числами матрицы А, которым принадлежат клетки Жордана максимального порядка.

Теорема 5 [7]. Для каждого собственного числа Л матрицы А существует матрица В 'ранга 1 такая, что АБ = БАТ, столбцы и транспонированные строки которой являются собственными векторами матрицы А, соответствующими данному собственному числу. Для каждого собственного числа Л имеется ровно и2 матриц ранга 1 такого вида (и - геометрическая кратность собственного числа Л).

Пусть матрица С имеет £ собственных векторов, соответствующих собственному

числу 0 и принадлежащих максимальной по длине цепочке Жордана. Обозначим эти векторы через £1, С2. Составим из них матрицу £ = (£1, С2£().

Теорема 6. Собственные числа матрицы А, которым отвечают клетки Жордана максимального порядка птах, являются корнями уравнения

ёе^(А ® Е)£ - Л£Т£) = 0.

(5)

Доказательство. Пусть Л - какое-либо собственное число матрицы А кратности птах.

Поскольку матрица Б, столбцы и транспонированные строки которой есть собственные векторы матрицы А, соответствующие собственному числу Л, удовлетворяет уравнению АХ = ХАТ, то она является линейной комбинацией Ь матриц, составленных из координат собственных векторов £1, £2,..., £4. Иначе говоря, для собственного числа Л существует матрица Б, отвечающая вектору

«1£1 + «2^2 + ... + аС

такая, что АБ = БАТ.

Обозначим через А вектор (а1, а2,...,аг)Т.

Перепишем это уравнение иначе, записав матрицу Б как вектор:

(А ® Е)£А = Л£А.

Домножим обе части полученного уравнения слева на £Т:

(£Т(А ® Е)£ - Л£Т£)А = О,

и данное уравнение имеет ненулевое решение А. Это возможно тогда и только тогда, когда

ёе!;(£Т(А ® Е)£ - Л£Т£) = 0,

т. е. Л - корень уравнения (5).

Так как гапк£ = то других корней у данного уравнения нет. Замечание 2. Как доказано в [7],

ёе!;(£Т(А ® Е)£ - Л£Т£) = ёе!;(£Т(Е ® А)£ - Л£Т£).

5. Пример. Найдем порядок максимальной клетки Жордана и собственные числа, которым соответствуют клетки Жордана максимального порядка, для матрицы

А=

-1 3 -1 1 0 0

-3 5 -1 0 1 0

-3 3 1 0 0 1

0 0 0 3 2 -3

0 0 0 4 10 -12

0 0 0 3 6 -7

Построим матрицу

ООООООООООООООООО^нОООООСООООООСЧОО^нСОСЧО

7 I -

ОООООООООООООООО^нОООООСООООООС^ОО^нОС^Ь-Ф

ООООООООООООООО^нОООООСООООООСЧОО^нООО^СО

ОООООООООООООО^нОООООСООООООСЧООО-

ICOOOO

ООООООООООООО^нОООООСООООООС^ООООСОС^СОООО

7 17

ОООООООООООО^нОООООСООООООСЧОООООФСОСОООО

о о о о

о о о о

о о о о

ООО ООО

О О ^Н О ^Н О

о о о о

ООО ООО

О О ' О О '

ООООООООО-^НОООООООООООСЧ

О OJOI

200

I I I

ОО^ООЬ-^СООООФОО

í^HCOC^b-OOOOO^O НОС^О^ООООО^ОО

о о о о

о о о о

о о о о

О О ^Н О ^Н О

ООО ООО

о о о о

ООО ООО

о о о о

о о 200

О О ^Н • О О СО I

'ООО

) о о о

о о о ^о

^о о о о о о о о

о о о о

О О < О О <

> ^н О О l000

ООО ООО

о о о о

ООО ООО

О CN

о о

ООО О ^Н СО

О О i—i 200

со со о о

ООО

о о ^

ф о о о

о о о о о о о со

ОООО^нООООООООО

ООО^НОООООООООО

О О О < О О О <

1 ^Н О

I I l000

to о <

I I

^ со о <

1 о ^ о < 1 ^ о о <

1 о о со о 1 о со о о

) о о ) о о

ООО ООО

ООО ООО

о о о о

О О О < О О О <

i н CN о ) со о

ООО ООО

о ^ 40

ООО ООО

о о о со

со о о о о о о о

■ О О <

■ О О <

>ооо l000

ООО О О ^Н

о о о о

ООО ^н СО

о ^ оо о

со со о

ООО

о о ^

ООО

о о о о

ООО ООО

со о о о

о о о о о о о о

ОООО^НООООО^НОО^

ООО^НООООО^НОО-

ОО^НООООО^НООО-

1 to о

I

( со о

ооооооооооооооооо

ооооооооооооооооо

lOOOOO^HOOOO

'ООООО^ООООО

■ ОМ'

■ МО'

о о о со о о •

О О О О <

О О О О (

< СО CN CN I OJ Ю «3

I I I

1 CN со

со ^

I I со

о о

о о

О CN Ol 1

I I

О ^ с

I I

О О О < МОО'

I

МОО'

ооосооооооооооооооооооо О О M ' О M О '

>0000000000000000000

>0000000000000000000

>0000000000000000000

lOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

>0000000000000000000

о о о со

со о о о

о о •

О О (

4000 ) о о о

о о о со

со о о

ООО

о о о о

ООО ООО

ООО ООО

о о о о

ООО ООО

о о о о

о о о о о о о о

со о < о о •

> о о ) CN to

to со со

ООО

ООО

о о со

со о о о

ООО ООО

о о со о

ООО ООО

ООО ООО

о о о о

ООО ООО

о о о о

о о о о о о о о

lOC^-^tOOOOOCOOOOOOCOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

^НОО^^СООООСООООО

I III I

^Н^НС^ОООООСО

I I

мюмоооомо III I

ососоооосооо

) о о о о о

о о со

I

о со о

осооооооооооооооооооооо

соооооооооооооооооооооо

оооооооооооооооооооооо

оооооооооооооооооооооо

о

Единственный собственный вектор матрицы Ca, соответствующий собственному числу О и принадлежащий самой длинной цепочке Жордана (длины Б), имеет вид

CT = (49, TG, 63, G, G, G, TG, 1GG, 9G, G, G, G, 63, 9G, Sl, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G, G).

Из уравнения (б) находим собственное число максимальной геометрической кратности матрицы A (в нашем случае она равна трем):

1ОБ 8ООЛ - 211 6ОО = О,

откуда Л = 2.

Проверка. Форма Жордана матрицы A содержит для собственного числа Л = 2 три клетки: одну третьего порядка и две первого порядка и для собственного числа Л =1 одну клетку первого порядка.

б. Заключение. Предложенный в данной работе алгоритм позволяет определить максимальный порядок nmax клетки Жордана матрицы A, а также собственные числа матрицы, которым соответствуют клетки Жордана порядка nmax. Полученные результаты могут быть применены при оценке изменений собственных чисел матрицы A при малых возмущениях ее элементов.

Автор благодарит доктора физико-математических наук, проф. А. Ю. Утешева за полезные замечания, способствовавшие улучшению статьи.

Литература

1. Moro J., Burke J. V., Overton M. L. On the Lidskii—Vishik—Lyusternik Perturbation Theory for Eigenvalues of Matrices with Arbitrary Jordan Structure // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1997. Vol. 18, N 4. P. 793-817.

2. Лидский В. Б. К теории возмущений несамосопряженных операторов // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1966. Т. 6, № 1. С. 52-60.

3. Chatelin F. Eigenvalues of Matrices. New York: John Wiley, 1993. 458 p.

4. Cecioni F. Sulle equazioni fra matrici AX = XB, Xm = A // Atti Accad. naz. Lincei, Rend. 1909. Vol. 18 (5). P. 556-571

5. Frobenius F. G. Uber die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen // Berlin Sitzb. S.-B. preuß Akad. Wiss. 1910. P. 3-15.

6. MacDuffee C. C. The Theory of Matrices. New York: Chelsea Publishing Company, 1956. 110 p.

7. Калинина Е. А. Общие собственные числа двух матриц // Дальневосточ. матем. журн. 2013. Т. 13, № 1 (принято к печати).

Статья рекомендована к печати проф. А. М. Камачкиным. Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.