О базисном множестве суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

ФИЛОСОФСКИЕ НАУКИ

О базисном множестве суждений традиционной квазиуниверсальной

силлогистики Сидоренко О. И.

Сидоренко Олег Иванович /Sidorenko Oleg Ivanovich - кандидат физико-математических наук,

главный конструктор, Научно-производственное предприятие «Анфас», г. Саратов

Аннотация: рассмотрены особенности применения метода решения силлогизмов путём вычисления результирующих отношений для построения традиционной квазиуниверсальной (максимально расширенной) силлогистики с предложенным базисным множеством суждений.

Abstract: the application features method of decision syllogisms by calculating the resulting relations to build quasi universal (maximally extended) traditional syllogistic with proposed basic set of judgments.

Ключевые слова: силлогизм, решение силлогизма, результирующие отношения, силлогистика. Keywords: syllogism, decision of the syllogism, resulting relations, syllogistic.

Введение

О квазиуниверсальной силлогистике с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности впервые сообщалось в работе [2] как о максимально расширенной силлогистической системе традиционного типа, в которой используются известные формы простых категорических суждений с квантификацией субъекта и/или предиката с разнообразной интерпретацией кванторных слов.

В работах [3, 4] перечень базисных суждений был расширен до 35 логических форм, при этом установлено, что общее количество сильных правильных модусов в таких образом измененной квазиуниверсальной силлогистике составляет 1952 модуса по 488 в каждой из четырёх фигур.

В работе [5] автором предпринято дальнейшее расширение базисного множества до 42 суждений, однако введение в него четырёх частных суждений OOv, OO'v; IIvи II'vнедостаточно обосновано, поскольку выражение логических форм данных суждений на естественном языке не соответствует представленным для них условиям истинности, а для приведения в соответствие необходимо использование сложных суждений.

Целью настоящей статьи является уточнение базисного множества сужений традиционной квазиуниверсальной силлогистики путём исключения из него указанных выше четырёх логических форм и соответствующая коррекция процесса построения традиционной квазиуниверсальной силлогистики с помощью метода вычисления результирующих отношений с тем, чтобы любой читатель смог самостоятельно без обращения к таблице правильных модусов определить правильность или решить тот или иной силлогизм данной силлогистики, представляющей значительный интерес для практики своей близостью к естественному языку.

Базисное множество суждений квазиуниверсальной силлогистики

В таблице 1 приведён изменённый по сравнению с [5] перечень базисных суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики с указанием возможных эквивалентных друг другу логических форм каждого из суждений.

Представленное в таблице 1 базисное множество суждений содержит:

1) 4 суждения Аристотеля A, E, I и O, которые представляют собой суждения с квантификацией субъекта;

2) 8 суждений Гамильтона AA, IA, AI, II, OO, EE, EO и OE, которые представляют собой суждения с квантификацией предиката;

3) 4 суждения А. Де Моргана A*, E*, O* и I*, которые представляют собой суждения с отрицательными терминами с квантификацией субъекта;

№ Обозначение логической формы Условия истинности суждения Логические формы суждения Число сильных правильных

суждения модусов

Все 8 суть все не-Р;

1 АА', А'А 6 Все Р суть все не-8; Все не-Р суть все 8; Все не-8 суть все Р. 38

Все не-8 суть только некоторые Р;

2 А'Г,1А' 7 Только некоторые 8 суть все не-Р; Только некоторые Р суть все не-8; Все не-Р суть только некоторые 8. 28

Все 8 суть все Р;

3 АА, А'А' 9 Все не-8 суть все не-Р; Все Р суть все 8; Все не-Р суть все не-8. 38

Только некоторые 8 суть все Р;

4 1А, А'1' 11 Все не-8 суть только некоторые не-Р; Все Р суть только некоторые 8; Только некоторые не-Р суть все не-8. 28

Все 8 суть только некоторые Р;

5 А1, ГА' 13 Только некоторые не-8 суть все не-Р; Только некоторые Р суть все 8; Все не-Р суть только некоторые не-8. 28

Все 8 суть только некоторые не-Р;

6 А1', Г'А 14 Только некоторые не-8 суть все Р; Только некоторые не-Р суть все 8; Все Р суть только некоторые не-8. 28

Только некоторые 8 и не-8 суть только

некоторые Р; Только некоторые Р и не-Р суть только

7 ГII 15 некоторые 8; Только некоторые Р суть только некоторые 8 и не-8; Только некоторые 8 суть только некоторые Р и не-Р 26

Всякие 8 суть Р;

Всякие не-Р суть не-8;

8 А 9, 13 Всякие 8 не суть всякие не-Р; Всякие 8 не суть не-Р; Всякие не-Р не суть 8; Всякие не-Р не суть всякие 8. 27

Всякие не-8 суть не-Р;

Всякие Р суть 8;

9 А* 9, 11 Всякие не-8 не суть всякие Р; Всякие не-8 не суть Р; Всякие Р не суть не-8; Всякие Р не суть всякие не-8. 27

Всякие 8 не суть Р;

Всякие 8 суть не-Р;

10 Е 6, 14 Всякие Р не суть 8; Всякие Р суть не-8; Всякие 8 не суть всякие Р; Всякие Р не суть всякие 8. 27

Всякие не-8 суть Р;

Всякие не-8 не суть не-Р;

11 Е* 6, 7 Всякие не-Р суть 8; Всякие не-Р не суть не-8; Всякие не-8 не суть всякие не-Р; Всякие не-Р не суть всякие не-8. 27

12 II 7, 15 Только некоторые 8 суть только некоторые Р; Только некоторые Р суть только некоторые 8. 16

13 II' 11, 15 Только некоторые 8 суть только некоторые не-Р; Только некоторые не-Р суть только некоторые 8. 16

14 14 13, 15 Только некоторые не-8 суть только некоторые Р; Только некоторые Р суть только некоторые не-8. 16

15 14' 14, 15 Только некоторые не-8 суть только некоторые не-Р; Только некоторые не-Р суть только некоторые не-8. 16

16 ГО 7, 11, 15 Только некоторые 8 суть Р; Только некоторые 8 суть не-Р; Только некоторые 8 не суть Р; Только некоторые 8 не суть не-Р. 8

17 ГО* 13, 14, 15 Только некоторые не-8 суть Р; Только некоторые не-8 суть не-Р; Только некоторые не-8 не суть Р; Только некоторые не-8 не суть не-Р. 8

18 ОГ 7, 13, 15 Только некоторые Р суть 8; Только некоторые Р суть не-8; Только некоторые Р не суть 8; Только некоторые Р не суть не-8. 12

19 ОГ* 11, 14, 15 Только некоторые не-Р суть 8; Только некоторые не-Р суть не-8; Только некоторые не-Р не суть 8; Только некоторые не-Р не суть не-8. 12

20 Г 7,9,11,13,15 Некоторые или всякие 8 суть Р; Некоторые или всякие 8 не суть не-Р; Некоторые или всякие Р суть 8; Некоторые или всякие Р не суть не-8. 6

21 Г* 9,11,13,14, 15 Некоторые или всякие не-8 суть не-Р; Некоторые или всякие не-8 не суть Р; Некоторые или всякие не-Р суть не-8; Некоторые или всякие не-Р не суть 8. 6

22 О 6,7,11,14,15 Некоторые или всякие 8 суть не-Р; Некоторые или всякие 8 не суть Р; Некоторые или всякие не-Р суть 8; Некоторые или всякие не-Р не суть не-8. 6

23 О* 6,7,13,14,15 Некоторые или всякие не-8 суть Р; Некоторые или всякие не-8 не суть не-Р; Некоторые или всякие Р суть не-8; Некоторые или всякие Р не суть 8. 6

24 ОО' 6,7,9,13,14 Только некоторые 8 не суть только некоторые не-Р; Только некоторые не-Р не суть только некоторые 8. 10

25 О'О 6,7,9,11,14 Только некоторые не-8 не суть только некоторые Р; Только некоторые Р не суть только некоторые не-8. 10

26 О'О' 6,7,9,11,13 Только некоторые не-8 не суть только некоторые не-Р; Только некоторые не-Р не суть только некоторые не-8. 10

27 ОО 6,9,11,13,14 Только некоторые 8 не суть только некоторые Р; Только некоторые Р не суть только некоторые 8. 10

28 ЕЕ, Е'Е' 6,7,11,13,14, 15 Все 8 не суть все Р; Все не-8 не суть все не-Р; Все Р не суть все 8; Все не-Р не суть все не-8. 2

29 ЕО, О'Е' 6,7,9,11,14, 15 Все 8 не суть только некоторые Р; Только некоторые не-8 не суть все не-Р; Только некоторые Р не суть все 8; Все не-Р не суть только некоторые не-8. 6

30 OE, E'O' 6,7,9,13,14, 15 Только некоторые 8 не суть все Р; Все не-8 не суть только некоторые не-Р; Все Р не суть только некоторые 8; Только некоторые не-Р не суть все не-8. 6

31 EE', E'E 7,9,11,13,14, 15 Все 8 не суть все не-Р; Все не-8 не суть все Р; Все не-Р не суть все 8; Все Р не суть все не-8 2

32 E'O, O'E 6,9,11,13,14, 15 Все не-8 не суть только некоторые Р; Только некоторые не-8 не суть все Р; Только некоторые Р не суть все не-8; Все Р не суть только некоторые не-8 6

33 EO', O'E 6,7,9,11,13,1 5 Все 8 не суть только некоторые не-Р; Только некоторые не-8 не суть все Р; Только некоторые не-Р не суть все 8; Все Р не суть только некоторые не-8 6

34 OO'O 6,7,9,11,13,1 4 Только некоторые 8 и не-8 не суть только некоторые Р; Только некоторые Р и не-Р не суть только некоторые 8; Только некоторые Р не суть только некоторые 8 и не-8; Только некоторые 8 не суть только некоторые Р и не-Р 4

35 (IO)' 6,9,13,14 Неверно, что только некоторые 8 суть Р; Неверно, что только некоторые 8 суть не-Р; Неверно, что только некоторые 8 не суть Р; Неверно, что только некоторые 8 не суть не-Р 17

36 (IO*)' 6,7,9,11 Неверно, что только некоторые не-8 суть Р; Неверно, что только некоторые не-8 суть не-Р; Неверно, что только некоторые не-8 не суть Р; Неверно, что только некоторые не-8 не суть не-Р 17

37 (OI)' 6,9,11,14 Неверно, что только некоторые Р суть 8; Неверно, что только некоторые Р суть не-8; Неверно, что только некоторые Р не суть 8; Неверно, что только некоторые Р не суть не-8 19

38 (OI*)' 6,7,9,13 Неверно, что только некоторые не-Р суть 8; Неверно, что только некоторые не-Р суть не-8; Неверно, что только некоторые не-Р не суть 8; Неверно, что только некоторые не-Р не суть не-8 19

4) 12 суждений Теофраста AA', A'I, AI', II', II, I'I', OO', O'O, O'O', EE', E'O и EO', которые представляют собой содержащие отрицательные термины суждения с квантификацией предиката;

5) 4 акцидентальных суждения Васильева IO, IO*, OI, OI* и 4 их отрицания (IO) ', (IO*) ', (OI) ', (OI*) '.

Примечание. В самих суждениях Васильева содержится всего лишь кажущееся отрицание,

поскольку в них имеются в виду разные части субъекта;

6) частное утвердительное суждение II'I с квантификацией предиката, соответствующее отношению пересечения, и его отрицание OO'O.

Условия истинности в таблице 1 представлены в виде десятичных номеров теоретико-множественных отношений между терминами суждений со стороны их объёмов в соответствии с семантикой отношений в традиционной силлогистике, приведенной в таблице 2 [6].

Непосредственные умозаключения в квазиуниверсальной силлогистике

Непосредственные умозаключения основаны на отношениях между суждениями. Из таблицы 1 следует, что в традиционной квазиуниверсальной силлогистике между суждениями различных логических форм существуют следующие отношения:

1) контрарность - два суждения не могут быть вместе истинными, остальные комбинации значений возможны: AA ', A 'I; AA ', AA и т. д.;

Таблица 2. Семантика отношений в традиционной силлогистике

Ж 0 0 1 1 Наименование отношения Диаграмма Эйлера отношения

Р 0 1 0 1

Номер отношения 6 0 1 1 0 Пр ОТНБОр ечиво сть

5 р

7 0 1 1 1 Дополнительность

3

9 1 0 0 1 Р авно о бъемно сть

©

11 1 0 1 1 Включение 5 :э Р

® ¿у

13 1 1 0 1 Включение Р з £

©ру

14 1 1 1 0 Соподчинение

© ©

15 1 1 1 1 Пересечение

© ®

Примечание. 0 — отсутствие свойства для терминов и запрещённая комбинация свойств для отношений; 1 — наличие свойства для терминов и разрешённая комбинация свойств для отношений; Б — субъект суждения, Р — предикат суждения; знак включения множеств.

2) контрадикторность - два суждения не могут быть вместе ни истинными, ни ложными: АА', ЕЕ'; А'1, Е'О; АА, ЕЕ; 1А, ОЕ; А1, ЕО; А1', ЕО'; А, О; А*, О*; Е, I; Е*, I*; ОО, II; 00', II'; О'О, II; О'О', II'; III, ОО'О; Ю, (Ю)'; Ю*, (Ю*)'; О1, (ОI)'; О* (ОР)', всего 19 случаев. Суждения в перечисленных парах являются отрицаниями друг друга;

Рис. 1. Диаграмма логического следования базисных суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики

3) логическое следование - если истинно первое из двух суждений, то второе не может быть ложным, и если ложно второе, то первое не может быть истинным: АА', Е; АА', Е* и т. д.

На рисунке 1 представлена диаграмма логического следования базисных суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики;

4) субконтрарность - два суждения не могут быть вместе ложными, остальные комбинации значений возможны: А, ЕЕ; А, ЕО и т. д.;

5) независимость - возможны любые комбинации истинностных значений: А, А*; А, О1 и т. д.

Опосредованные умозаключения в квазиуниверсальной силлогистике

В таблице 1 для всех базисных суждений в качестве справочной информации указано число сильных правильных модусов, порождаемых каждым из суждений в паре с любым суждением из базисного множества квазиуниверсальной силлогистики, что в сумме составляет 594 правильных модусов в каждой из четырёх фигур силлогизма.

Для решения силлогизмов и выявления правильных модусов с помощью метода вычисления результирующих отношений [2] предлагается поступать следующим образом:

1. Для любой выбранной пары из возможных 1444 упорядоченных пар базисных суждений квазиуниверсальной силлогистики из таблицы 1 выписывают логические формы посылок и их условия истинности (в скобках) в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами, при

которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом считаются термины Б и М, а во второй - М и Р , что соответствует первой фигуре силлогизма.

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений из ключевой таблицы 3 [7] выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации БМ - МР, соответствующей первой фигуре силлогизма.

Примечание. В настоящее время разработан аналитический метод вычисления результирующих отношений по условиям истинности посылок [3].

Таблица 3. Результирующие отношения в традиционной силлогистике

№ Посылки 8М, МР Заключение 8Р № Посылки 8М, МР Заключение 8Р

1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15

2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15

3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15

4 6, 11 14 29 13, 6 14

5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15

6 6, 14 11 31 13, 9 13

7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15

8 7, 6 11 33 13, 13 13

9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14

10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15

11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13

12 7, 13 7 37 14, 7 13

13 7, 14 11 38 14, 9 14

14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14

15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15

16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15

17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15

18 9, 11 11 43 15, 6 15

19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15

20 9, 14 14 45 15, 9 15

21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15

22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15

23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15

24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15

25 11, 11 11

3. Составляют перечень полученных по п. 2 результирующих отношений (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.

4. Выписывают из таблицы 1 те суждения из базисного множества, условия истинности которых покрывают результирующие отношения (т. е. включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают самое сильное, расположенное в верхней части диаграммы логического следования суждений на рисунке 1.

6. Для представления результата в общепринятой знаковой форме, соответствующей конфигурации посылок МР - БМ, переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычисления в других фигурах силлогизма производят взаимные замены отношений 11 ^ 13 в условиях истинности посылок в соответствии с фигурой, при этом для первой фигуры с конфигурацией посылок БМ - МР никакой замены не требуется, для второй фигуры с конфигурацией посылок БМ - РМ замена отношений должна быть проведена во второй посылке, для третьей фигуры с конфигурацией посылок МБ - МР - в первой посылке, для четвёртой фигуры с конфигурацией посылок МБ - РМ - в обеих посылках одновременно.

Рассмотрим вычисления для характерных примеров.

Пример 1. OO'O.

6, 6

Р.О.: 9. Пример 2.

6, 9 6, 13

Р.О.: 6, 7. Пример 3.

6, 7 6, 11 6, 15

Р.О.: 13, 14, Пример 4.

6, 7 6, 9 6, 11 6, 13 6, 15

Р.О.: 6, 7, 13 Пример 5. 6, 6 6, 7 6, 11 6, 13 6, 14

6, 15

Р.О.: 7, 9, 11 Пример 6. 9, 7 9, 11 9, 15

Р.О.: 7, 11 Пример 7.

7, 7 13, 7 15, 7

Р.О.: 6, 7, 9 Пример 8.

6, 15

7, 15 9, 15

13, 15

14, 15

Р.О.: 7, 11 Пример 9.

AA'(6), AA'(6) — AA(9) — A; A*; I; I*; OO; OO'; O'O; O'O'; OE; EO; EE'; E'O; EO'; — 9;

AA'(6), A(9,13) —E*(6,7) — O; O*; OO'; O'O; O'O'; EE; EO; OE; EO'; OO'O. — 6;

— 7;

AA'(6), IO(7,11,15) — IO*(13,14,15) — I*; O*; EE; OE; EE'; E'O.

— 13;

— 14;

— 15;

15.

AA'(6), I (7,9,11,13,15) — O*(6,7,13,14,15) —EE; OE.

— 13;

— 6;

— 14;

— 7;

— 15;

, 14, 15.

AA'(6), EE (6,7,11,13,14,15) — EE'(7,9,11,13,14,15).

— 9;

— 13;

— 14;

— 7;

— 11; — 15;

, 13, 14, 15.

A*(9,11), IO(7,11,15) — IO(7,11,15) — I; O; EE; EO; EE'; EO'.

— 7;

— 11; — 15;

11, 11, 11,

7 11 15

— 7;

— 11;

— 7,11,15;

15.

0I (7,13,15), А 4(7) ^ - .

^ 7,9,11,13,15; ^ 6,7,13,14,15; ^ 7,13,15;

11, 13, 14, 15.

00(6,7,9,13,14), 114(15) ^ЕЕ(6,7,11,13,14,15), ЕЕ'(7,9,11,13,14,15). ^ 15; ^ 7,11,15; ^ 15; ^ 13,14,15; ^ 13,14,15;

13, 14, 15.

Рассмотрим решение силлогизма из примера 3 для второй фигуры, для чего во второй посылке заменим отношение 11 на 13:

АА'(6), 10(7,13,15) ^ 0I (7,13,15) ^ I; 0*; ЕЕ; 0Е; ЕЕ'; ЕО'. 6, 7 ^ 13;

6, 13 ^ 7;

6, 15 ^ 15;

Р.О.: 7, 13, 15.

Пример 8 показывает, что в квазиуниверсальной силлогистике возможны правильные модусы с двумя равноправными заключениями.

Выводы

Известно, что в аристотелевской и традиционной силлогистиках, основанных на четырёх типах простых категорических суждений, существует всего 19 сильных правильных модусов [1]. Однако практика рассуждений на естественном языке требует гораздо большего разнообразия даже при рассуждениях о свойствах предметов.

В настоящей статье показано, что при развитии силлогистики в указанном направлении, несмотря на значительное расширение базисного множества суждений (более чем в 9 раз) и многократное увеличение числа сильных правильных модусов (более чем в 125 раз), предложенный автором в 2000 году семантический метод решения силлогизмов путём вычисления результирующих отношений [2] остаётся эффективным. Исследования показывают, что с переходом к максимально расширенной силлогистике вырастает только объём работы, а не её сложность, да и то не настолько, чтобы нельзя было построить всю квазиуниверсальную силлогистику вручную без привлечения компьютерных средств в отличие, например, от предельно расширенной универсальной силлогистики, содержащей 127 базисных суждений и 17 204 сильных правильных модуса [7].

Литература

1. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики / Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 313 с.

2. Сидоренко О. И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

3. Сидоренко О. И. Введение в аналитическую силлогистику. Саратов: Издат. Центр «Наука», 2016. 230 с.

4. Сидоренко О. И. О построении традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Единый Всероссийский научный вестник, № 4 (2). М.: Всероссийское научное содружество, 2016. С. 93-104.

5. Сидоренко О. И. О традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал, № 2 (2), часть 3. Новосибирск: ООО «Содружество», 2016. С. 7-15.

6. Сидоренко О. И. В лабиринтах логики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

7. Сидоренко О. И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.