О протологике силлогистических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЛОСОФСКИЕ НАУКИ

О протологике силлогистических систем Сидоренко О. И.

Сидоренко Олег Иванович /Sidorenko Oleg Ivanovich — кандидат физико-математических наук,

главный конструктор, Научно-производственное предприятие «Анфас», г. Саратов

Аннотация: рассмотрена единая первооснова - протологика различных силлогистик, не выходящих за рамки логики одноместных предикатов, с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности и без таковых, а также представлена количественная оценка дедуктивных возможностей базисных суждений протологики традиционных силлогистик в зависимости от их степени неопределённости.

Abstract: сonsidered the fundamental principle of the single-protologic various syllogistics, not beyond the single predicates logic, with restrictions on the terms and in terms of the non-emptiness and non-universality and without them, and presented a quantitative assessment of deductive capabilities of the basic structures of judgments of protologic traditional syllogistics depending of their degree of uncertainty.

Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, решение силлогизма, семантика, результирующие отношения, протологика.

Keywords: syllogism, syllogistic, solution of syllogism, semantics, resulting relations, protologic.

Введение. Силлогистика, как раздел дедуктивной логики, в настоящее время представляет собой множество логических систем с различной интерпретацией смыслов категорических суждений [3], [4]. При этом восходящий к Аристотелю традиционный подход к изучению силлогистических систем на основе логических форм суждений наталкивается на определённые трудности, связанные с тем, что логический смысл суждения на естественном языке могут выражать различные логические формы [7], [8].

Целью настоящей статьи является рассмотрение единой первоосновы (протологики) различных силлогистик с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности и без таковых, которая была бы свободна от указанного недостатка и обеспечивала прямое обоснование силлогистики в отличие, например, от косвенного обоснования, имеющего место при аксиоматизации силлогистики на основе логики предикатов.

Попытка найти такую единую первооснову для различных силлогистических систем была впервые предпринята в работе автора [9] в виде так называемой универсальной силлогистики, которая, по существу, и является протологикой силлогистических систем в смысле работы [1], где сказано, что основания логики являются онтологией и протологикой - первой логикой, предваряющей логику в её традиционно узком понимании. Протологика выражает предметы онтологии на собственном, наиболее адекватном, языке, создавая при этом собственную онтологию вещей по образу первой онтологии. Системы логики строятся затем по образу протологики путем строгого правилосообразного перевода протологичесих описаний на язык логики, который и является, по существу, дедукцией логических систем из логических оснований [1]. В работах автора [10], [11], [12], [13] продолжено исследование универсальной силлогистики и, наконец, в настоящей статье подводятся итоги указанного подхода.

Описание протологики силлогистических систем. Протологика силлогистики основана на структурном преобразовании исходных категорических суждений, которое заключается в переходе от логических форм суждений - посылок к их семантическим структурам в виде перечисления теоретико-множественных отношений с последующим вычислением результирующих отношений для декартова произведения отношений в посылках и обратным переходом к логическим формам суждений-заключений силлогизма и далее к их выражениям на естественном языке. Подобные преобразования часто используются в математике, например, переход от чисел к их логарифмам и обратно, преобразования Фурье, и т.д. Мы принимаем здесь известное из экстенсиональной интерпретации категорического суждения допущение о том, что смысл суждения полностью определяется условиями его истинности, в качестве которых фигурируют упомянутые выше отношения между терминами суждения со стороны их объёмов. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности таких

отношений, известных как отношения Кейнса, существует всего 7 [3], а при отсутствии ограничений для непустого универсума рассуждений таких отношений ровно 15 [9].

Присвоим каждому из указанных отношений номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения. Семантика всех возможных теоретико-множественных отношений в силлогистике, включая отношения Кейнса с номерами 6, 7, 9, 11, 13, 14 и 15, представлена в таблице 1.

Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определённые результирующие отношения в заключении, которые можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из заранее подготовленной ключевой таблицы 2 правил порождения результирующих отношений в силлогистике подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]. По аналогии с арифметикой такую таблицу в работе [21] предложено называть таблицей логического умножения отношений в силлогистике. Наконец-то найдена капитальная концептуальная опора для понятий, выводов и законов внутри самой силлогистики, которая при этом получает прямое обоснование, приобретает стройную логическую форму и благодаря этому становится подлинно теоретической дисциплиной, удовлетворяющей всем критериям точности [2].

Таблица 1. Семантика теоретико-множественных отношений в силлогистике

£ 0 0 1 1 Характеристика отношения Логическая формула отношения Примечание

Р 0 1 0 1

Номер отношения 1 0 0 0 1 5, Р - и SP Универсум вырожденных терминов

2 0 0 1 0 5 - и; Р - 0 SP'

3 0 0 1 1 5 - и

4 0 1 0 0 5 - 0; Р - и S'P

5 0 1 0 1 Р - и Р

8 1 0 0 0 5, Р - 0 S'P'

10 1 0 1 0 Р - 0 Р'

12 1 1 0 0 5 - 0 5'

6 0 1 1 0 Противоречивость S'P + SP' Универсум невырожденных терминов

7 0 1 1 1 Дополнительность 5 + Р

9 1 0 0 1 Равнообъёмность S'P' + SP

11 1 0 1 1 Включение 5 з Р 5 + Р'

13 1 1 0 1 Включение Р з 5 5' + Р

14 1 1 1 0 Соподчинение 5' + Р'

15 1 1 1 1 Пересечение 5'Р'+5'Р+5Р'+5Р = 1

Примечание. 0 - отсутствие свойства для терминов и запрещённая комбинация свойств для отношений; 1 - наличие свойства для терминов и разрешённая комбинация свойств для отношений; и - универсальный термин, 0 - пустой термин; з - знак включения множеств; «'» - отрицание; «•» - конъюнкция; «+» - дизъюнкция.

№ 8М, МР — 8Р № 8М, МР —8Р № 8М, МР — 8Р

1 1, 1 — 1 34 4, 3 — 12 67 7, 10 — 10

2 1, 2 — 2 35 5, 1 — 5 68 7, 11 — 6,7,11,14,15

3 1, 3 — 3 36 5, 2 — 10 69 7, 13 — 7

4 2, 4 — 1 37 5, 3 — 6,7,9,11,13,14,15 70 7, 14 — 11

5 2, 8 — 2 38 6, 5 — 5 71 7, 15 — 7,11,15

6 2, 12 — 3 39 6, 6 — 9 72 8, 4 — 4

7 3, 5 — 1 40 6, 7 — 13 73 8, 8 — 8

8 3, 6 — 3 41 6, 9 — 6 74 8, 12 — 12

9 3, 7 — 3 42 6, 10 — 10 75 9, 5 — 5

10 3, 9 — 3 43 6, 11 — 14 76 9, 6 — 6

11 3, 10 — 2 44 6, 13 — 7 77 9, 7 — 7

12 3, 11 — 3 45 6, 14 — 11 78 9, 9 — 9

13 3, 13 — 3 46 6, 15 — 15 79 9, 10 — 10

14 3, 14 — 3 47 7, 5 — 5 80 9, 11 — 11

15 3, 15 — 3 48 7, 6 — 11 81 9, 13 — 13

16 4, 1 — 4 49 7, 7 — 7,9,11,13,15 82 9, 14 — 14

17 4, 2 — 8 50 7, 9 — 7 83 9, 15 — 15

18 10, 4 — 5 51 12 ,10 — 8 84 14, 7 — 13

19 10,8 — 10 52 12, 11 — 12 85 14, 9 — 14

20 10, 12 — 6,7,9,11,13,14,15 53 12, 13 — 12 86 14, 10 — 10

21 11, 5 — 5 54 12, 14 — 12 87 14, 11 — 14

22 11, 6 — 7 55 12, 15 — 12 88 14, 13 — 6,7,13,14,15

23 11, 7 — 7 56 13, 5 — 5 89 14, 14 — 9,11,13,14,15

24 11, 9 — 11 57 13, 6 — 14 90 14, 15 — 13,14,15

25 11, 10 — 10 58 13, 7 — 6,7,13,14,15 91 15, 5 — 5

26 11, 11 — 11 59 13, 9 — 13 92 15, 6 — 15

27 11, 13 — 7,9,11,13,15 60 13, 10 — 10 93 15, 7 — 7,13,15

28 11, 14 — 6,7,11,14,15 61 13 ,11 — 9,11,13,14,15 94 15, 9 — 15

29 11, 15 — 7,11,15 62 13, 13 — 13 95 15, 10 — 10

30 12, 5 — 4 63 13, 14 — 14 96 15, 11 — 11,14,15

31 12, 6 — 12 64 13, 15 — 13,14,15 97 15, 13 — 7,13,15

32 12 ,7 — 12 65 14, 5 — 5 98 15, 14 — 11,14,15

33 12, 9 — 12 66 14, 6 — 13 99 15, 15 — 6,7,9,11,13,14,15

Примечание. 5 - субъект суждения, P - предикат суждения, M - средний термин силлогизма. В остальных 126 комбинациях отношений (15x15 - 99) результирующие отношения отсутствуют ввиду того, что в них объём среднего термина относится к разным типам множеств: универсальному, пустому или обыкновенному, чего в едином универсуме силлогизма быть не может.

Базисное множество суждений протологики силлогистик традиционного типа

Парадоксальность протологики заключается в том, что если не накладывать никаких ограничений на базисное множество суждений, то в ней не существует неправильных модусов, т.е. любая пара суждений даёт положительный результат и этот результат является правильным. Однако целесообразно исключить из рассмотрения тождественно-ложное и тождественно-истинное суждения и в результате для протологики силлогистик с ограничениями на термины останется 126 базисных суждений, представленных в таблице 3, а для протологики силлогистик без ограничений на термины останется ровно 32766 базисных суждений. При этом неправильным модусом мы будем считать такой модус, заключением которого является суждение, истинное на всех отношениях рассматриваемой силлогистики.

Приведенный в таблице 3 семантический номер суждения есть десятичный код условий истинности логической формы суждения, соответствующий 7-разрядному двоичному числу, разряды которого представляют собой перечисленные в лексикографическом порядке отношения Кейнса, начиная с отношения противоречивости 6 (старший разряд) и заканчивая отношением пересечения 15 (младший разряд). Например, десятичному коду 1 условий истинности логической формы суждения II'I, истинного на отношении пересечения 15, соответствует двоичное число 0000001, а десятичному коду 126 условий истинности логической формы суждения (II'I)', истинного на всех отношениях, кроме отношения пересечения 15, соответствует двоичное число 1111110.

Таблица 3. Базисное множество суждений протологики традиционных силлогистик

№ п/п Семантический номер суждения Семантическая структура суждения Обозначение логической формы суждения Логическая форма суждения (одна из возможных)

1 64 6 AA' Все 5 суть все не-Р

2 32 7 AI Все не-5 суть только некоторые Р

3 16 9 AA Все 5 суть все Р

4 8 11 1A Только некоторые 5 суть все Р

5 4 13 AI Все 5 суть только некоторые Р

6 2 14 AI' Все 5 суть только некоторые не-Р

7 1 15 III Только некоторые 5 и не-5 суть (не суть) только некоторые Р

8 96 6,7 E* Всякие не-5 суть Р

9 80 6,9 - -

10 72 6,11 - -

11 68 6,13 - -

12 66 6,14 E Всякие 5 не суть Р

13 65 6,15 - -

14 48 7,9 - -

15 40 7,11 - -

16 36 7,13 - -

17 34 7,14 - -

18 33 7,15 11 Только некоторые 5 суть (не суть) только некоторые Р

19 24 9,11 A* Всякие не-5 суть не-Р

20 20 9,13 A Всякие 5 суть Р

21 18 9,14 - -

22 17 9,15 - -

23 12 11,13 - -

24 10 11,14 - -

25 9 11,15 II' Только некоторые 5 суть (не суть) только некоторые не-Р

26 6 13,14 - -

27 5 13,15 II Только некоторые не-5 суть (не суть) только некоторые Р

№ п/п Семантический номер суждения Семантическая структура суждения Обозначение логической формы суждения Логическая форма суждения (одна из возможных)

28 3 14,15 II' Только некоторые не-5 суть (не суть) только некоторые не-Р

29 112 6,7,9 - -

30 104 6,7,11 - -

31 100 6,7,13 - -

32 98 6,7,14 - -

33 97 6,7,15 - -

34 88 6,9,11 - -

35 84 6,9,13 - -

36 82 6,9,14 - -

37 81 6,9,15 - -

38 76 6,11,13 - -

39 74 6,11,14 - -

40 73 6,11,15 - -

41 70 6,13,14 - -

42 69 6,13,15 - -

43 67 6,14,15 - -

44 56 7,9,11 - -

45 52 7,9,13 - -

46 50 7,9,14 - -

47 49 7,9,15 - -

48 44 7,11,13 - -

49 42 7,11,14 - -

50 41 7,11,15 10 Только некоторые 5 суть (не суть) Р

51 38 7,13,14 - -

52 37 7,13,15 01 Только некоторые Р суть (не суть) 5

53 35 7,14,15 - -

54 28 9,11,13 - -

55 26 9,11,14 - -

56 25 9,11,15 - -

57 22 9,13,14 - -

58 21 9,13,15 - -

59 19 9,14,15 - -

60 14 11,13,14 - -

61 13 11,13,15 - -

62 11 11,14,15 01* Только некоторые не-Р суть (не суть) 5

63 7 13,14,15 10* Только некоторые не-5 суть (не суть) Р

64 120 6,7,9,11 (Ю*)' Неверно, что только некоторые не-5 суть (не суть) Р

65 116 6,7,9,13 (01*)' Неверно, что только некоторые не-Р суть (не суть) 5

66 114 6,7,9,14 - -

67 113 6,7,9,15 - -

68 108 6,7,11,13 - -

69 106 6,7,11,14 - -

70 105 6,7,11,15 - -

71 102 6,7,13,14 - -

72 101 6,7,13,15 - -

73 99 6,7,14,15 - -

74 92 6,9,11,13 - -

75 90 6,9,11,14 (01)' Неверно, что только некоторые Р суть (не

№ п/п Семантический номер суждения Семантическая структура суждения Обозначение логической формы суждения Логическая форма суждения (одна из возможных)

суть) 5

76 89 6,9,11,15 - -

77 86 6,9,13,14 (Ю)' Неверно, что только некоторые 5 суть (не суть) Р

78 85 6,9,13,15 - -

79 83 6,9,14,15 - -

80 78 6,11,13,14 - -

81 77 6,11,13,15 - -

82 75 6,11,14,15 - -

83 71 6,13,14,15 - -

84 60 7,9,11,13 - -

85 58 7,9,11,14 - -

86 57 7,9,11,15 - -

87 54 7,9,13,14 - -

88 53 7,9,13,15 - -

89 51 7,9,14,15 - -

90 46 7,11,13,14 - -

91 45 7,11,13,15 - -

92 43 7,11,14,15 - -

93 39 7,13,14,15 - -

94 30 9,11,13,14 - -

95 29 9,11,13,15 - -

96 27 9,11,14,15 - -

97 23 9,13,14,15 - -

98 15 11,13,14,15 - -

99 124 6,7,9,11,13 (II')' Неверно, что только некоторые не-5 суть (не суть) только некоторые не-Р

100 122 6,7,9,11,14 (II)' Неверно, что только некоторые не-5 суть (не суть) только некоторые Р

101 121 6,7,9,11,15 - -

102 118 6,7,9,13,14 (II')' Неверно, что только некоторые 5 суть (не суть) только некоторые не-Р

103 117 6,7,9,13,15 - -

104 115 6,7,9,14,15 - -

105 110 6,7,11,13,14 - -

106 109 6,7,11,13,15 - -

107 107 6,7,11,14,15 О Некоторые или всякие 5 суть не-Р

108 103 6,7,13,14,15 О* Некоторые или всякие не-5 суть Р

109 94 6,9,11,13,14 (II)' Неверно, что только некоторые 5 суть (не суть) только некоторые Р

110 93 6,9,11,13,15 - -

111 91 6,9,11,14,15 - -

112 87 6,9,13,14,15 - -

113 79 6,11,13,14,15 - -

114 62 7,9,11,13,14 - -

115 61 7,9,11,13,15 I Некоторые или всякие 5 суть Р

116 59 7,9,11,14,15 - -

117 55 7,9,13,14,15 - -

118 47 7,11,13,14,15 - -

119 31 9,11,13,14,15 I* Некоторые или всякие не-5 суть не-Р

№ п/п Семантический номер суждения Семантическая структура суждения Обозначение логической формы суждения Логическая форма суждения (одна из возможных)

120 126 6,7,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые 5 и не-5 суть (не суть) только некоторые Р

121 125 6,7,9,11,13,15 EO' Все 5 не суть только некоторые не-Р

122 123 6,7,9,11,14,15 EO Все 5 не суть только некоторые Р

123 119 6,7,9,13,14,15 OE Только некоторые 5 не суть все Р

124 111 6,7,11,13,14,15 EE Все 5 не суть все Р

125 95 6,9,11,13,14,15 EO Все не-5 не суть только некоторые Р

126 63 7,9,11,13,14,15 EE' Все 5 не суть все не-Р

Метод вычисления результирующих отношений

Для решения силлогизмов в протологике используется метод вычисления результирующих отношений, предложенный в работе автора [9] и развитый в работах [11], [22], [23]. Он основан на тезисе Альфреда Тарского о том, что понимать суждение означает знать его условия истинности [40], в качестве которых фигурируют рассмотренные выше отношения между терминами суждения со стороны их объемов. Метод сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом как теории одноместных предикатов [6]. В процессе решения мы получаем или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок при данном базисном множестве суждений не существует.

Применительно к задаче решения силлогизмов в протологике метод вычисления результирующих отношений заключается в следующем:

1. Для упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из таблицы 3 выписывают их семантические номера (десятичные коды условий истинности) и в скобках указывают семантические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины S и M, а во второй - M и P, что соответствует первой фигуре силлогизма, где M - средний термин, а S и P - крайние термины силлогизма. Из таблицы 3 видно, что только 38 из 127 семантических структур суждений протологики имеют простое словесное выражение на естественном языке и составляют базисное множество суждений так называемой квазиуниверсальной силлогистики [26], [27], [28], [29], [30], [31].

2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений из ключевой таблицы 2 [9] выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации SM - MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений в силлогистике, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также аналитическим методом [14], [15], [17]. Как уже отмечалось, данной таблицей нужно пользоваться подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.

3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений (Р.О.) составляют перечень, в который включают только разные отношения без повторений.

4. Из базисного множества суждений протологики (см. таблицу 3) выписывают те суждения, условия истинности которых покрывают полученные результирующие отношения (т.е. включают их в себя).

5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределённости (т. е. меньшим числом отношений в семантической структуре суждения).

6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP - SM, при необходимости переставляют посылки местами.

7. Для получения результатов вычисления в других фигурах силлогизма производят взаимные замены отношений включения 11 ^13 в семантической структуре посылок в соответствии с фигурой, либо используют свойство силлогистической полноты базисного

множества суждений протологики и производят замену определенных суждений в соответствующей фигуре посылках в результатах вычисления по первой фигуре [9].

Очевидно, что для выявления всех правильных модусов в протологике традиционных силлогистик необходимо произвести 126x126 = 15876 вычислений. Ниже приведены примеры вычислений для характерных случаев. Правильный модус выделен.

Пример 1.

96(6,7), 48(7,9) ^ 125(6,7,9,11,13,15);

6,7 ^ 13;

6,9 ^ 6;

7,7 ^ 7,9,11,13,15;

7,9 ^ 7;

Р.О.: 6,7,9,11,13,15.

Пример 2.

96(6,7), 40(7,11) ^ -;

6,7 ^ 13;

6,11 ^ 14;

7,7 ^ 7,9,11,13,15;

7,11 ^ 6,9,13,14,15;

Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.

Результаты всех вычислений сведены в таблицы 4 и 5, которые отражают дедуктивные возможности суждений протологики силлогистик традиционного типа.

В таблице 4 представлен показатель реализуемости базисных суждений протологики, который представляет собой число правильных модусов протологики с заключением в виде данного суждения.

В таблице 5 представлен показатель дедуктивной продуктивности базисных суждений протологики, равный отношению числа порождаемых ими правильных модусов к числу неправильных, в зависимости от степени неопределенности суждений. В указанной таблице фрагменты протологики с различной степенью неопределенности суждений в посылках расположены в порядке уменьшения показателя их дедуктивной продуктивности.

Анализ результатов исследования протологики традиционных силлогистик

Из указанных таблиц 4 и 5 следует, что реализуемость суждения в среднем прямо пропорциональна степени его неопределенности, а логическая продуктивность обратно пропорциональна этой степени, хотя конкретные сочетания отношений могут давать значительные отклонения от средних значений (см. таблицу 4).

Точное число всех сильных правильных модусов в протологике традиционных силлогистик из 126 базисных суждений равно 17204 (по 4301 в каждой фигуре силлогизма) [11], [12].

Таблица 4. Показатель реализуемости базисных суждений протологики традиционных силлогистик

Усреднен- Усреднен-

Семанти Степень Показатель ный Семанти Степень Показатель ныи

ческии неопредел реализуемос показатель ческии неопредел реализуе- показатель

номер енности ти реализуе- номер енности мости реализуемос

суждения суждения суждения мости суждения суждения суждения суждения ти суждения

64 1 2 7,1 69 3 4 11,3

32 10 67 4

16 2 56 8

8 10 52 8

4 10 50 4

2 10 49 4

1 6 44 4

96 2 6 8,4 42 4

80 5 41 58

72 4 38 4

68 4 37 58

66 6 35 4

65 4 28 4

48 4 26 8

40 25 25 4

36 25 22 8

34 4 21 4

33 4 19 4

Усреднен- Усреднен-

Семанти Степень Показатель ный Семанти Степень Показатель ныи

ческии неопредел реализуемое показатель ческии неопредел реализуе- показатель

номер енности ти реализуе- номер енности мости реализуемос

суждения суждения суждения мости суждения суждения суждения суждения ти суждения

24 6 14 4

20 6 13 4

18 4 11 58

17 4 7 58

12 4 120 4 19 11

10 25 116 19

9 4 114 4

6 25 113 4

5 4 108 6

3 4 106 4

112 3 4 11,3 105 16

104 8 102 4

100 8 101 16

98 4 99 4

97 4 92 4

88 4 90 19

84 4 89 4

82 4 86 19

81 10 85 4

76 4 83 4

74 8 78 6

73 4 77 4

70 8 75 16

71 4 16 11 109 5 8 79,4

60 4 107 293

58 6 103 293

57 16 94 10

54 6 93 4

53 16 91 34

51 4 87 34

46 52 79 8

45 12 62 16

43 12 61 293

39 12 59 8

30 4 55 8

29 4 47 248

27 16 31 293

23 16 126 6 100 232,6

15 12 125 199

124 5 10 79,4 123 199

122 10 119 199

121 34 111 366

118 10 95 199

117 34 63 366

115 4 127 7 11575 11575

110 16

Анализ данных таблиц 4 и 5 показывает, что при дедуктивных выводах в силлогистике степень неопределенности суждений уменьшаться не может, что отмечалось в работах [21], [30].

Если оценивать дедуктивные возможности базисных множеств суждений по величине их дедуктивной продуктивности, то наибольшими дедуктивными возможностями обладают атомарные суждения, истинные всего на одном отношении между терминами. Далее следуют силлогистики с суждениями, степень неопределенности которых равна 1 или 2, и т.д., при этом наблюдается исключительно резкое падение дедуктивных возможностей суждений при увеличении степени их неопределенности. Практически, уже при степени неопределенности, равной 3, соответствующей акцидентальным суждениям Н. А. Васильева, силлогистики становятся дедуктивно непригодными, что подтверждает полученные ранее результаты [32].

Полученные в статье результаты (см. также [21]) позволяют оперативно оценивать логические возможности как известных, так и новых силлогистик как фрагментов

универсальной силлогистики. Так, например, силлогистике Аристотеля соответствуют строки 4, 11 и 19 и столбцы 2 и 5 таблицы 5, а силлогистике Н. А. Васильева соответствуют строки 4, 6 и 10 и столбцы 2 и 3 с гораздо меньшим числом правильных модусов. Отсюда можно сразу сделать вывод о том, что силлогистика Н. А. Васильева обладает меньшими дедуктивными возможностями, чем силлогистика Аристотеля.

Отметим, что протологика силлогистики носит цифровой характер, облегчающий её компьютеризацию и свидетельствующий о том, что математизация и цифровизация в наше время коснулись не только различных областей техники, но и науки.

Что касается протологики силлогистик без ограничений на термины, то в ней принципиально ничего не меняется. Просто приходится оперировать не только с семью отношениями Кейнса, но и со всеми пятнадцатью отношениями непустого универсума как с невырожденными, так и с вырожденными терминами (см. таблицу 1). Примеры таких вычислений приведены в монографии автора [14], а также в работе [33], а общее число правильных модусов из 32766 базисных суждений подсчитано в работе [24].

Следует отметить, что в более поздних работах других авторов [5], [41], [42] протологика рассмотрена в более общем виде (и не только для силлогистики) как система знаковых преобразований - аналогов логических умозаключений. В этих работах утверждается, что главным свойством протологики является вычислимость, что в полной мере подтверждается результатами настоящей статьи. В итоге мы в самом деле получаем реализацию программы Г. В. Лейбница: рассуждения заменяются вычислениями [5].

Таблица 5. Показатель дедуктивной продуктивности базисных суждений протологики традиционных

силлогистик

№ Степень неопределённости посылок Степень неопределённости заключения Число правиль ных модусов Число неправи льных модусов Общее число модусов Показат ель дедуктив ной продукт ивности

1 2 3 4 5 6

1 1, 1 32 - 8 - 8 - 48 1 49 48

2 1, 2 или 2, 1 9-2 58-2 26-2 - 44-2 - 137-2 10-2 147-2 13,7

3 1, 3 или 3, 1 - 16^2 102-2 - 92-2 - 210-2 35-2 245-2 6

4 2, 2 - 21 52 90 140 52 355 86 441 4,13

5 1, 4 или 4, 1 - 4-2 18-2 70-2 93-2 - 1852 60-2 245-2 3,08

6 2, 3 или 3, 2 - - 17-2 60-2 226-2 164-2 467-2 268-2 735-2 1,74

7 1, 5 или 5, 1 - - 4-2 - 88-2 - 92-2 55-2 147-2 1,67

8 1, 6 или 6, 1 - - - - 9-2 14-2 23-2 26-2 49-2 0,88

9 2, 4 или 4, 2 - - - 17-2 106-2 188-2 311-2 424-2 735-2 0,73

10 3, 3 - - - - 128 312 440 785 1225 0,56

11 2, 5 или 5, 2 - - - - 2Ь2 70-2 91-2 350-2 441-2 0,26

12 3, 4 или 4, 3 - - - - 17-2 148-2 165-2 1060-2 1225-2 0,16

13 2, 6 или 6, 2 - - - - - 9-2 9-2 1382 147-2 0,07

14 4, 4 - - - - - 38 38 1187 1225 0,03

15 3, 5 или 5, 3 - - - - - 16-2 16-2 7192 735-2 0,02

16 4, 5 или 5, 4 - - - - - 4-2 4-2 731-2 735-2 0,005

17 3, 6 или 6, 3 - - - - - - 0 245-2 245-2 0

18 4, 6 или 6, 4 - - - - - - 0 245-2 245-2 0

19 5, 5 - - - - - - 0 441 441 0

20 5, 6 или 6, 5 - - - - - - 0 147-2 147-2 0

21 6, 6 - - - - - - 0 49 49 0

22 2 50 177 394 384 1668 1628 4301 11575 15876 -

Выводы

1. Прямое обоснование различных силлогистических систем как с ограничениями на термины, так и без ограничений возможно через построение протологики в виде соответствующих универсальных силлогистик.

2. Результаты, полученные в данной статье, а также в работах автора [34], [35], [36], [37],

[38], [39] показывают, что в настоящее время в распоряжении читателей имеется эффективный

и достаточно простой инструмент для проведения подобных исследований в силлогистике.

Литература

1. Антаков С. М. Основания классической логики и дедукция систем аристотелевой и неаристотелевой (Н. А. Васильева) силлогистики. Вестник ННГУ. Выпуск 1 (2), 2002. С. 261-292.

2. Антаков С. М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2012. 175 с.

3. Бочаров В. А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.

4. Бочаров В. А., Маркин В. И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.

5. Карпенко А. С. На пути к протологике // Логические исследования. №17, 2011. С. 152-166.

6. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.

7. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. №4 (54), 2014. С. 53-62.

8. Сидоренко О. И. О многозначности в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-27. Т. 3. Саратов: Сарат. гос. ун-т, 2014. С. 102-106.

9. Сидоренко О. И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.

10. Сидоренко О. И. О существовании и построении универсальной силлогистики // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-16. Т. 7. Ростов н /Д.: РГАСХМ, 2003. С. 155-159.

11. Сидоренко О. И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.

12. Сидоренко О. И. О числе правильных модусов в универсальных силлогистиках // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21. Т. 8. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2008. С. 212-215.

13. Сидоренко О. И. О некоторых результатах семантического подхода к компьютеризации субъектно-предикатной логики // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-18. Казань: Изд-во КГТУ, 2005. С. 131-134.

14. Сидоренко О. И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.

15. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе вычисления результирующих отношений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-29. Т. 1. Сарат. гос. тех. ун-т, 2016. С. 108-112.

16. Сидоренко О. И. Об аналитическом методе решения силлогизмов // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-26. Т. 2. Саратов: СГТУ, 2013. С. 76-77.

17. Сидоренко О. И. Об аналитической силлогистике // Национальная ассоциация учёных. № 10. Т. 5. Часть 5. Екатеринбург, 2015. С. 71-75.

18. Сидоренко О. И. Аналитическая силлогистика - миф или реальность // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-28. Т. 4. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2015. С. 57-59.

19. Сидоренко О. И. Силлогистика и аналитический метод // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 1. Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 126-132.

20. Сидоренко О. И. О построении традиционной негативной силлогистики из суждений А. Де Моргана аналитическим методом // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-26. Т. 2. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2013. С. 73-75.

21. Сидоренко О. И. Исследование дедуктивных возможностей суждений универсальной силлогистики // Современные инновации. №11 (13), 2016. С. 44-55.

22. Сидоренко О. И. В лабиринтах логики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. 108 с.

23. Сидоренко О. И. Силлогистический процессор / Патент РФ № 39722. Приоритет 15.03.2004. Опубл. 10.04.2004. Бюл. № 22. С. 20.

24. Сидоренко О. И. О числе законов универсальной силлогистики без ограничений на термины // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении. Материалы Междунар. конф. ИПТМУ РАН. Саратов: Сарат. гос. тех ун-т, 2007. С. 60-65.

25. Сидоренко О. И. Об исследовании дедуктивных возможностей некоторых логических форм суждений универсальной силлогистики // Современные инновации. № 9 (11), 2016. С. 16-26.

26. Сидоренко О. И. О построении традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Единый Всероссийский научный вестник. № 4 (2). М., 2016. С. 93- 104.

27. Сидоренко О. И. О базисном множестве суждений традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. № 6 (8), 2016. С. 52-60.

28. Сидоренко О. И. Об одном уточнении базисного множества суждений квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 52-56.

29. Сидоренко О. И. О традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 2. Часть 3. Новосибирск, 2016. С. 7-15.

30. Сидоренко О. И. О процессе познания в традиционной квазиуниверсальной силлогистике // Российско-китайский научный журнал «Содружество». № 3. Часть 1. Новосибирск, 2016. С. 107-112.

31. Сидоренко О. И. Об исследовании дедуктивных возможностей суждений с фиксированной степенью неопределённости в квазиуниверсальной силлогистике // Научно-образовательное содружество «Evolutio». № 1. М., 2016. С. 61-68.

32. Сидоренко О. И. О дедуктивной непригодности базисного множества акцидентальных суждений Н.А. Васильева и их отрицаний в силлогистике // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 44-51.

33. Сидоренко О. И. О применении метода вычисления результирующих отношений для построения силлогистик без ограничений на термины // Ежемесячный научный журнал «Educatio». № 11 (18). Часть 3. Новосибирск, 2015. С. 104- 108.

34. Сидоренко О. И. Построение силлогистик Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. № 7 (9), 2016. С. 49-58.

35. Сидоренко О. И. Построение обобщённой ортогональной силлогистики Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. № 8 (10), 2016. С. 56-65.

36. Сидоренко О. И. Что даёт переход от суждений Аристотеля к суждениям А. Де Моргана в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-28. Т. 4. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2015. С. 60-62.

37. Сидоренко О. И. Моделирование естественных рассуждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-27. Т. 3. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2014. С. 110-113.

38. Сидоренко О. И. О логической полноте систем категорических суждений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-26. Т. 2. Саратов: Сарат. гос. тех. ун-т, 2013. С. 75-76.

39. Сидоренко О. И. О сравнении силлогистик с ограничениями на термины // Национальная ассоциация учёных. №11 (6). Часть 2. Екатеринбург, 2015. С. 85-91.

40. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук М.: Изд-во иностр. лит., 1948. 326 с.

41. Шалак В. И. Протологика: новый взгляд на природу логического // Диссертация на соискание учёной степени доктора философских наук. М.: ИФРАН, 2010.

42. Шалак В. И. Два подхода к построению логики // Логические исследования, 2011. Вып. 17. С. 269-280.